MT05 Turunan Parsial

(1)

Aip Saripudin, Bahan Ajar EE-125 Matematika Teknik I 115 A. Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Banyak fungsi yang bergantung pada peubah lebih dari satu. Sebagai contoh, luas bidang segiempat bergantung pada panjang x dan lebar y, yakni L = f(x, y) = xy. Posisi sebuah partikel pada bidang-xy, juga bergantung x dan y, dinyatakan oleh r = f(x, y). Volume sebuah balok, ( ) , bergantung pada tiga peubah, yaitu panjang x, lebar y, dan tinggi z.

1. Definisi Fungsi Dua Peubah

Fungsi dua peubah terdiri dari dua peubah bebas dan satu peubah terikat. Secara umum, ungkapan z = f(x, y) menyatakan fungsi dua peubah dengan peubah bebas x dan y, sedangkan z adalah peubah terikat. Fungsi dua peubah didefinisikan sebagai berikut.

Gambar 4.1 Fungsi dua peubah memetakan setiap (x, y) di D ke f(x,y) di R.

(x, y) f(x, y)

Domain (D) Range (R) Definisi Fungsi Dua Peubah

Fungsi dua peubah memetakan setiap pasangan bilangan real terurut (x, y) dalam daerah asal D (domain) ke sebuah bilangan real z = f(x, y) dalam daerah hasil R (range).

BAB

5

Turunan Parsial

A. Fungsi Dua Peubah atau Lebih B. Turunan Parsial

C. Aturan Rantai

D. Nilai Ekstrem Fungsi Dua Peubah E. Metode Lagrange

(2)

2. Daerah Asal Fungsi Dua Peubah

Seperti halnya pada funsgi satu peubah, daerah asal suatu fungsi dua peubah ada yang disebutkan secara eksplisit dan ada pula yang tidak. Jika daerah asalnya tidak disebutkan secara eksplisit, daerah asal fungsi dua peubah adalah himpunan bilangan real sedemikian rupa sehingga fungsi tersebut terdefinisi. Fungsi akan terdefinisi jika tidak melibatkan pembagian dengan nol atau akar bilangan negatif.

Contoh 4.1

Tentukan daerah asal dari ( ) √ . Sketsalah daerah asal tersebut pada koordinat bidang.

Penyelesaian

( ) √ terdefinisi jika atau . Dengan demikian, daerah asalnya adalah *( ) +. Selanjutnya, adalah sebuah lingkaran berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 4. Solusi dari

x

²

 y

²

 16

adalah himpunan pasangan (x, y) yang berada di dalam lingkaran

x

²

 y

²

 16

^{. Dengan}

demikian, sketsa daerah asal pada koordinat bidang sebagai berikut.

Contoh 4.2

Jika ( ) , tentukan (a) ( ) dan (b) ( ). (c) Tentukan daerah asal fungsi tersebut.

x y

−4 4 4

−4 Daerah Asal Fungsi Dua Peubah

Daerah asal fungsi dua peubah f(x, y) adalah himpunan bilangan real (x, y) sedemikian rupa sehingga f(x, y) terdefinisi.

(3)

Aip Saripudin, Bahan Ajar EE-125 Matematika Teknik I 117 Penyelesaian

(a) ( )

(b) x = 0  Df  ( ) tidak terdefinisi

(c) Daerah asal fungsi di atas adalah *( ) +

3. Grafik Fungsi Dua Peubah

Ada dua cara baku untuk menggambarkan grafik fungsi ( ). Cara pertama, ( ) digambarkan sebagai permukaan ruang dari ( ). Permukaan ruang (grafik dari f) didefinisikan sebagai himpunan semua titik (x, y, z) dalam ruang untuk setiap (x, y) dalam domain f. Cara kedua, ( ) digambarkan sebagai kurva ketinggian atau kontur. Kurva ketinggian didefinisikan sebagai himpunan titik (x, y) dalam bidang di mana fungsi ( ) memiliki nilai konstan ( ) , dengan k konstanta.

Contoh 4.3

Gambarkan grafik fungsi dari ( ) . Gambarkan pula kurva ketinggian ( ) dengan k = 0, 1, 2.

Penyelesaian

Perpotongan grafik ( ) dengan:

 bidang xoy (z = 0) adalah

 bidang xoz (y = 0) adalah parabol

 bidang yoz (x = 0) adalah parabol

Kurva permukaan ruangnya seperti diperlihatkan pada gambar (a). Sementara itu, pada gambar (b) diperlihatkan kurva ketinggian dari ( ) dengan k = 0, 1, 2.

(4)

Soal nomor 1 – 5: Tentukan dan gambarkan daerah asal fungsi tersebut.

1. ( ) 2. ( ) √ 3. ( )

√

4. ( )

( )

5. ( ) √ Soal nomor 6 – 10: Gambarkan kurva

permukaan (grafik fungsi) dan kurva ketinggian dari fungsi-fungsi tersebut.

6. ( ) √ k = 0, 1, 2, 3

7. ( ) k = 4, 9, 16

8. ( ) √ ;

9. ( ) ; k = 1, 2, 3, 4 10. ( ) ; k = 1, 2, 3, 4 SOAL-SOAL 4.1

x

z

y

4 y

2

z   4 x

2

z  

2

4

2

 y  x

k = 0 k = 1

k = 2 x y

(a) (b)

(5)

Aip Saripudin, Bahan Ajar EE-125 Matematika Teknik I 99 B. Turunan Parsial

1. Definisi dan Notasi Turunan Parsial

Turunan parsial dan notasinya didefinisikan sebagai berikut.

Jika ( ), beberapa alternatif notasi turunan parsialnya sebagai berikut.

( )

( ) dan

( )

( ) [Catatan:

dibaca ”do ef do eks”.]

Contoh 4.4 Tentukan

dan

pada titik (2, −3) jika ( ) . Penyelesaian

Untuk menentukan

, perlakukan y sebagai konstanta dan turunkan f(x, y) terhadap x:

( )

, - Nilai

pada titik (2, −3) adalah ( )

, ( -|

( ) ( )

( )

, ( -|

( ) ( ) Definisi dan Notasi Turunan Parsial

Turunan parsial dari ( ) terhadap x dan y pada titik (x₀, y₀) masing- masing adalah

jika limitnya ada.

(6)

|

( )

( ) ( )

Untuk menentukan

, perlakukan x sebagai konstanta dan turunkan f(x, y) terhadap y:

( )

, - Nilai

pada titik (2, −3) adalah |

( )

( ) ( )

Contoh 4.5

Tentukan ( ) dan ( ) jika

( ) Penyelesaian

Gunakan aturan turunan hasil bagi.

( )

[ ]

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

[ ]

( ) ( )( )

( )

(7)

Aip Saripudin, Bahan Ajar EE-125 Matematika Teknik I 101 2. Tafsiran Geometris dari Turunan Parsial

Tinjau permukaan yang memiliki persamaan ( ). Bidang memotong permukaan ini pada kurva bidang JKL (Gambar 4.2(a)) dan nilai dari ( ) adalah kemiringan (gradien) dari garis singgung pada kurva bidang ini di titik ( ( )).

Demikian pula, bidang memotong permukaan ini pada kurva bidang PQR (Gambar 4.2(b)) dan nilai dari ( ) adalah kemiringan (gradien) dari garis singgung pada kurva bidang ini di titik ( ( )).

Gambar 4.2 (a) Gradien garis singgung pada kurva bidang JKL adalah f_x(x, y) dan (b) gradien garis singgung pada kurva bidang PQR adalah f_y(x, y).

Contoh 4.6

Tentukan gradien garis singgung pada kurva perpotongan dari permukaan √ dan bidang pada titik ( √ ).

Penyelesaian

Turunan parsial pertama dari √ terhadap y adalah ( )

√

Gradien garis singgung pada kurva perpotongan dari permukaan √ dan bidang pada titik ( √ ) adalah

( ) ( )

√ ( ) ( ) √ √

(a) (b)

(8)

3. Tafsiran Fisis dari Turunan Parsial

Turunan parsial dapat dimaknai sebagai laju perubahan.

Contoh 4.7

Rapat muatan listrik dalam pelat logam di dalam bidang-xy diberikan oleh ( ) dengan x dan y dalam cm dan  dalam C/cm². Tentukan laju perubahan rapat muatan terhadap x dan y, masing-masing, pada titik (2, 3).

Penyelesaian

Laju perubahan rapat muatan terhadap x adalah ( )

Pada titik (2, 3),

( ) ( ) C/cm³ Laju perubahan rapat muatan terhadap y adalah

( ) Pada titik (2, 3),

( ) ( ) C/cm³

4. Turunan Parsial Orde Kedua atau Lebih

Jika ( ) diturunkan dua kali, diperoleh turunan orde kedua. Notasi turunan parsial orde kedua dituliskan sebagai berikut.

Turunan parsial dari f_x terhadap x,

( )

[ ]

Turunan parsial dari f_x terhadap y,

( )

[ ]

(9)

Aip Saripudin, Bahan Ajar EE-125 Matematika Teknik I 103 Turunan parsial dari f_y terhadap x,

( )

[ ]

Turunan parsial dari f_y terhadap y,

( )

[ ]

Gambar 4.3 memperlihatkan diagram blok turunan parsial dari sebuah fungsi dua peubah. Perhatikan bahwa turunan parsial orde pertama terdiri dari dua buah, yaitu f_x(x, y) dan f_y(x, y). Turunan parsial orde kedua terdiri dari 4 buah, yaitu f_xx(x, y), f_xy(x, y), f_yx(x, y), dan f_yy(x, y). Berdasarkan pola ini, kita dapat menentukan jumlah turunan parsial orde ke-n.

Pada prinsipnya, turunan parsial setiap fungsi dua peubah selalu terdiri dari dua buah.

Gambar 4.3 Diagram blok turunan parsial orde ke-n dari fungsi dua peubah.

Contoh 4.8

Nyatakan turunan parsial berikut dalam notasi . (a) dan (b) . Penyelesaian

(a)

, -

0

( )1

0

.

/1

(b) [ ]

0

( )1

0

.

* +/1

0

.

2

3/1

(10)

Contoh 4.9

Jika ( ) , tentukan ( ).

Penyelesaian

( )

, -

( )

[ ( )]

, -

( )

[ ( )]

, - Maka

( ) ( )( )

jika ( ) . Penyelesaian

[ (

)]

Maka

, -

( )

[ (

)]

, - Dengan demikian,

[ (

)]

(11)

Aip Saripudin, Bahan Ajar EE-125 Matematika Teknik I 105 Contoh 4.11

Tentukan semua turunan parsial kedua dari ( ) . Penyelesaian

Turunan parsial pertama:

, -

, - Turunan parsial kedua:

, -

Soal nomor 1 – 6: Tentukan semua turunan parsial pertama fungsi tersebut.

1. ( ) 2. ( )

√

3. ( ) 4. ( ) 5. ( ) 6. ( ) ( )

7. Tentukan gradien garis singgung pada kurva perpotongan antara permukaan

√

dengan bidang di titik ( ).

8. Sesuai dengan hukum gas ideal, tekanan (p), suhu mutlak (T), dan volume gas (V) dinyatakan oleh , dengan k adalah konstanta. Tentukan laju perubahan tekanan terhadap suhu pada suhu 300 K jika volume dijaga tetap pada 100 m³.

Soal nomor 9 – 10: Tentukan semua turunan parsial kedua fungsi tersebut.

SOAL-SOAL 4.2

(12)

9. ( ) 10. ( )

Soal nomor 11 – 12, nyatakan notasi turunan berikut dalam notasi . 11.

12.

Soal nomor 13 – 15: Tentukan hasilnya jika diketahui

( ) 13.

14. ( ) 15. ( )

Soal nomor 16 – 18: Tunjukkan bahwa

16. ( ) 17. ( ) 18. ( ) ( )

19. Tunjukkan bahwa ( ) memenuhi

.

20. Sebuah silinder pejal terbuat dari logam. Jari-jari silinder adalah x dan tingginya adalah y. Jika tingginya dibuat konstan pada y = 10 cm, tentukan (a) laju perubahan volume silinder dan (b) laju perubahan luas permukaan silinder terhadap x ketika x = 5 cm.

C. Aturan Rantai 1. Versi Pertama

Untuk fungsi tiga peubah: w = f(x, y, z) dengan x = x(t), y = y(t), dan z = z(t):

Misalnya x = x(t) dan y = y(t) terdiferensialkan pada t dan misalnya z = f(x(t), y(t)) terdiferensialkan pada x(t) dan y(t) maka z = f(x(t), y(t)) terdiferensialkan pada t. Turunan z terhadap t memenuhi

(13)

Aip Saripudin, Bahan Ajar EE-125 Matematika Teknik I 107

Contoh 4.12

Jika dengan dan , tentukan

. Penyelesaian

( )( ) ( )( )

Substitusikan dan dan maka diperoleh

( )( )( ) ( ) ( ) Menentukan

dapat ditentukan juga dengan menyubstitusikan dan pada , yakni ( ) ( ) , sehingga diperoleh

. Akan tetapi, banyak fungsi yang mencari turunannya menjadi lebih rumit jika disubstitusikan terlebih dahulu.

Contoh 4.13

Silinder pejal dengan diameter x dan tinggi y dipanaskan sehingga memuai. Ketika x = 10 cm dan y = 50 cm, diameter dan tinggi silinder memuai berturut-turut dengan laju 0,2 cm/menit dan 0,5 cm/menit. Tentukan (a) laju perubahan volume dan (b) laju perubahan luas silinder saat itu!

Penyelesaian

Laju perubahan diameter dinyatakan oleh

, sedangkan laju perubahan tinggi

. Diketahui pada x = 10 cm, y = 50 cm,

cm/menit, dan

cm/s.

x

y

(14)

(a) Volume silinder memenuhi persamaan ( ) , maka laju perubahan volumenya adalah

. /

|

( ) ( )( )( ) ( )( ) cm³/menit.

(b) Luas permukaan silinder ( ) maka laju perubahan luasnya adalah

( )

|

( ) ( )( ) ( )( ) cm²/menit.

2. Versi Kedua

dan

jika ( ) dengan dan . Penyelesaian

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Misalnya x = x(s, t) dan y = y(s, t) memiliki turunan parsial pertama pada (s, t) dan misalnya z = f(x(s, t), y(s, t)) maka turunan parsial z terhadap s dan t masing-masing adalah

(15)

Aip Saripudin, Bahan Ajar EE-125 Matematika Teknik I 109 3. Turunan Fungsi Implisit

Fungsi implisit dituliskan sebagai ( ) . Dengan menggunakan aturan rantai, turunan F terhadap x adalah

sehingga diperoleh sebagai berikut.

Contoh 4.15

Jika , tentukan

dengan menggunakan (a) metode pendiferensialan implisit dan (b) aturan rantai.

Penyelesaian

(a) Turunan dari y terhadap dengan menggunakan pendiferensialan implisit sebagai berikut. Kedua ruas (kiri dan kanan) diturunkan terhadap x:

, - , -

( )

( ) sehingga diperoleh

(b) Persamaan dapat ditulis sebagai ( ) . Turunan parsial F terhadap x dan y berturut-turut adalah

⁄ ⁄ Turunan Fungsi Implisit

Diketahui fungsi implisit ( ) maka

(16)

sehingga diperoleh

⁄ ⁄

Hasilnya, tentu saja, sama dengan cara yang diperoleh sebelumnya.

Soal nomor 1 – 4: Tentukan

menggunakan aturan rantai. Nyatakan jawaban tersebut dalam t.

1. ; , . 2. ; , . 3. ; , . 4. . /; , . Soal nomor 5 – 8: Tentukan

dan

. Nyatakan jawabannya dalam s dan t.

5. ; , . 6. ( ); , . 7. ; ( ), ( ).

8. ; , . 9. Budi mengendarai sepeda motor dengan kecepatan tetap 60 km/jam lurus ke Utara dan melintasi perempatan jalan tepat pukul 10.00 WIB. Tepat pada pukul 10.15 WIB, Iwan yang memacu sepeda motornya dengan kecepatan 80 km/jam lurus ke Barat melintasi

perempatan yang sama. Tentukan laju perubahan jarak antara Budi dan Iwan terhadap waktu pada pukul 11.00 WIB.

10. Sebuah pelat logam segiempat berukuran panjang x dan lebar y.

Logam tersebut dipanaskan sehingga panjang dan lebarnya memuai dengan laju sama 2 cm/menit. Tentukan laju perubahan luas pelat logam ketika panjangnya 50 cm dan lebarnya 20 cm.

dari persamaan tersebut menggunakan aturan rantai.

11.

12.

13.

14.

15.

SOAL-SOAL 4.3

(17)

Aip Saripudin, Bahan Ajar EE-125 Matematika Teknik I 111 D. Nilai Ekstrem Fungsi Dua Peubah

Nilai ekstrem fungsi adalah nilai maksimum atau minimum sebuah fungsi. Menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi dua peubah atau lebih dan mengetahui di titik mana maksimum atau minimum itu terjadi merupakan penggunaan penting dari turunan parsial.

1. Definisi Nilai Ekstrem Relatif dan Titik Kritis

Pada fungsi satu peubah, ( ), nilai ekstrem relatif dapat terjadi pada titik stasioner, yaitu sedemikian sehingga ( ) atau titik singular, yaitu titik sedemikian sehingga ( ) tidak terdefinisi. Hal yang mirip terjadi pada fungsi dua peubah. Pada fungsi dua peubah ( ), nilai ekstrem dapat terjadi pada titik stasioner atau titik singular.

Hanya saja, pada fungsi dua peubah, selain nilai ekstrem, ada satu kemungkinan lagi yaitu titik pelana.

Nilai ekstrem relatif didefinisikan sebagai berikut.

Titik yang menjadi calon terjadinya titik ekstrem disebut titik kritis. Pada fungsi dua peubah, titik kritisnya sebagai berikut.

Nilai Ekstrem Relatif

Misalnya ( ) terdefinisi pada daerah D yang terdapat titik ( ).

1. ( ) adalah nilai maksimum relatif dari ( ) jika ( ) ( ) untuk semua (x, y) dalam daerah D.

2. ( ) adalah nilai minimum relatif dari ( ) jika ( ) ( ) untuk semua (x, y) dalam daerah D.

(18)

Contoh 4.16

Tentukan titik kritis dari ( ) . Penyelesaian

(1) ( ) (2) ( )

Nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut dapat diperoleh dengan cara mengalikan persamaan (1) dengan angka 2 lalu kurangkan oleh persamaan (2) sebagai berikut.

sehingga diperoleh . Dengan memasukkan ke persamaan (1) diperoleh . Dengan demikian, titik kritisnya adalah ( ).

Contoh 4.17

Tentukan titik kritis dari ( ) . Penyelesaian

(1) ( ) (2) ( )

Eliminasi (1) dan (2) dengan cara mengalikan persamaan (1) dengan x dan persamaan (2) dengan y:

Titik kritis dari ( )

Misalnya ( ) adalah titik dalam D yang merupakan daerah asal dari ( ). Titik kritis dari ( ) adalah semua titik ( ) yang memenuhi sistem persamaan

(1) ( ) dan (2) ( )

(19)

Aip Saripudin, Bahan Ajar EE-125 Matematika Teknik I 113

sehingga diperoleh  . Masukkan ke persamaan (1):

  ( )  y = 0 atau y = 1. Untuk y = 0, x = 0 sedangkan untuk y = 1, x = -1. Dengan demikian, titik-titik kritisnya adalah (0, 0) dan (-1, 1).

2. Uji Turunan Parsial Kedua untuk Nilai Ekstrem Relatif

Nilai ekstrem fungsi dua peubah dapat ditentukan menggunakan uji turunan parsial kedua sebagai berikut.

Langkah-langkah untuk menentukan nilai ekstrem relatif dari sebuah fungsi ( ) sebagai berikut.

(1) Tentukan titik kritis dari fungsi tersebut.

(2) Tentukan ( ), ( ), dan ( ).

(3) Dapatkan persamaan ( ) sebagai berikut.

( ) ( ) ( ) ( ) Nilai Ekstrem Fungsi

Misalnya A(x₀, y₀) adalah suatu titik pada f(x, y) yang memenuhi f_x(A) = 0 dan f_y(A) = 0 dan ( ) ( ) ( ) .

(1) Jika D(A) > 0 dan f_xx(A) < 0, f(A) adalah nilai maksimum relatif dari f(x, y).

(2) Jika D(A) > 0 dan f_xx(A) > 0, f(A) adalah nilai minimum relatif dari f(x, y).

(3) Jika D(A) < 0, f(A) bukan nilai maksimum atau minimum. A(x₀, y₀) disebut titik pelana.

(4) Jika D(A) = 0, tidak dapat disimpulkan.

Titik (x₀, y₀, f(x₀, y₀)) disebut titik kritis, sedangkan f(A) disebut nilai ekstrem relatif. Fungsi ( ) disebut fungsi objektif (yang akan ditentukan nilai ekstremnya).

(20)

(4) Masukkan masing-masing titik kritis ke persamaan ( ) dan ( ) sehingga akan diperoleh, misalnya, ( ) ( ) dan ( ) ( ).

Dari sini akan diketahui apakah ( ) , ( ) (positif), atau ( ) (negatif) dan apakah ( ) (positif) atau ( ) (negatif).

(5) Masukkan ( ) ke fungsi objektif ( ) sehingga diperoleh ( ) ( ). Sesuai dengan teorema, jika

(i) ( ) dan ( ) , ( ) ( ) adalah nilai maksimum relatif.

(ii) ( ) dan ( ) , ( ) ( ) adalah nilai minimum relatif.

(iii) ( ) , ( ) ( ) bukan nilai ekstrem ( ( ) disebut titik pelana).

(iv) ( ) , tidak dapat disimpulkan.

Contoh 4.18

Tentukan semua nilai ekstrem dari ( ) . Penyelesaian

Titik kritis fungsi adalah penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

(1) ( ) ( ) (2) ( ) ( )

Dari persamaan (2) diperoleh . Dengan memasukkan ke persamaan (1), ( ) atau

Dengan demikian, titik-titik kritisnya adalah ( ) dan . /.

Dengan memerhatikan persamaan (1) dan (2), turunan parsial kedua dari f(x, y) adalah

( ) ( ) ( ) sehingga diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

 Untuk titik A(0, 0):

(21)

Aip Saripudin, Bahan Ajar EE-125 Matematika Teknik I 115 ( ) ( ) ( )

Karena D(A) < 0, A(0, 0) merupakan titik pelana.

 Untuk titik . /:

( ) . / . /

Karena D(B) > 0 dan f_xx(B) < 0 maka f(B) merupakan nilai maksimum relatif, dengan nilai:

( )

. / . / . / . / . /

Contoh 4.19

Tentukan nilai ekstrem relatif dari ( ) . Penyelesaian

Titik-titik kritisnya sebagai berikut.

(1) ( ) (2) ( )

Kalikan (1) dengan x dan (2) dengan y, kemudian selisihkan maka

sehingga diperoleh . Dengan memasukkan ke (1) maka diperoleh ( ) atau Dengan demikian, titik-titik kritisnya adalah A(0, 0) dan B(−1, −1).

Turunan parsial kedua dari f(x, y) adalah

( ) ( ) ( )

(22)

sehingga diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

 Untuk titik A(0, 0):

( ) ( ) ( )( ) Karena D(A) < 0, A(0, 0) merupakan titik pelana.

 Untuk titik B(−1, −1):

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

Karena D(B) > 0 dan f_xx(B) < 0 maka f(B) merupakan nilai maksimum relatif, dengan nilai:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

Tentukan nilai ekstrem atau titik pelana dari fungsi berikut.

1. ( ) 2. ( )

3. ( )

4. ( )

5. ( ) 6. ( ) 7. ( ) 8. ( ) 9. ( ) 10. ( )

E. Pengali Lagrange

1. Nilai Ekstrem Fungsi Terkendala

Fungsi terkendala adalah fungsi yang daerah asalnya tertentu. Sebagai contoh, misalnya kita akan membuat kotak tanpa tutup dengan volume 200 cm³. Bahannya adalah selembar karton. Agar luas karton yang dipakai sekecil mungkin, berapakah ukuran kotak tersebut?

SOAL-SOAL 4.4

(23)

116 Aip Saripudin, Bahan Ajar EE-125 Matematika Teknik I

Pada kasus ini, luas karton sekecil mungkin (minimum) terkendala oleh kotak tanpa tutup dengan volume 200 cm³.

Menentukan nilai ekstrem fungsi terkendala dapat dilakukan dengan menggunakan uji turunan kedua atau menggunakan metode pengali Lagrange. Pada subbab ini, kita akan menentukan nilai ekstrem fungsi terkendala dengan menggunakan uji turunan kedua.

Metode pengali Lagrange akan dibahas pada subbab berikutnya.

Contoh 4.20

Tentukan dimensi dari sebuah persegi panjang berdiagonal 2 sedemikian rupa sehingga luasnya maksimum.

Penyelesaian

Misalnya panjang dan lebar dari persegi panjang tersebut adalah x dan y, dengan x > 0 dan y > 0 (lihat gambar!). Kita ingin menentukan ukuran x dan y sedemikian rupa sehingga luasnya, ( ) , maksimum dengan syarat diagonalnya memenuhi √ atau √ .

Dengan memasukkan √ ke ( ) , luasnya menjadi fungsi satu peubah sebagai berikut

( ) √

Untuk kasus seperti ini, titik kritisnya adalah titik stasioner, yakni titik x yang memenuhi ( ) , sebagai berikut.

( )

0 √ 1 √

√

Persamaan tersebut dipenuhi jika sehingga diperoleh √ atau √ . Karena x > 0, yang memenuhi syarat adalah √ .

Selanjutnya, untuk √ √ √ (√ ) √ . Dengan demikian, dimensi dari persegi panjang berdiameter 2 dengan luas maksimum adalah √ .

(x, y) x y

0 2

(24)

Contoh 4.21

Tentukan jarak terdekat dari titik asal (0, 0, 0) ke titik (x, y, z) yang terletak pada bidang .

Penyelesaian

Jarak dari titik asal (0, 0, 0) ke titik (x, y, z) memenuhi persamaan √

Untuk memudahkan penyelesaian, ambil

( )

Titik (x, y, z) terletak pada bidang sehingga ( ) dapat diubah menjadi fungsi dua peubah sebagai berikut.

( ) ( ) Titik-titik kritis fungsi tersebut sebagai berikut.

(1) ( ) (2) ( ) Kurangkan (1) oleh (2) maka

sehingga diperoleh . Dengan memasukkan ke persamaan diperoleh . Selanjutnya, dengan memasukkan ke persamaan diperoleh atau . Dengan demikian, diperoleh dua titik kritis, yaitu ( ) dan ( ).

Jarak dari ( ) ke titik ( ) dan ( ) masing-masing sebagai berikut.

( ) √ ( ) ( ) √

(25)

Dengan demikian, jarak minimum dari titik (0, 0, 0) ke titik (x, y, z) yang terletak pada bidang adalah 2.

2. Metode Pengali Lagrange

Contoh 4.20 dan Contoh 4.21 dapat ditentukan pula dengan menggunakan metode pengali Lagrange. Teoremanya sebagai berikut.

Contoh 4.22

Ulangi Contoh 4.20 dengan menggunakan metode pengali Lagrange.

Penyelesaian

Fungsi objektif : ( )

Fungsi kendala : ( ) Untuk fungsi dua peubah, sistem persamaannya adalah

(1) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) (3) ( )

Untuk memecahkan sistem persamaan tersebut, kalikan (1) dengan y dan (2) dengan x maka Metode Pengali Lagrange

Misalnya ( ) adalah fungsi objektif dan ( ) adalah fungsi kendalanya. Titik-titik kritis dari ( ) adalah solusi dari sistem persamaan berikut.

(1) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) (3) ( ) ( ) (4) ( )

dengan  adalah konstanta pengali (faktor pengali Lagrange).

(26)

sehingga diperoleh . Dengan memasukkan ke persamaan (3):

√

Karena x > 0, ambil nilai √ sehingga √ (y > 0). Dengan demikian, dimensi dari persegi panjang berdiameter 2 dengan luas maksimum adalah √ .

Seperti yang dapat kita lihat pada Contoh 4.22, dalam menggunakan metode pengali Lagrange, kita tidak selalu harus mendapatkan nilai . Tujuan utamanya adalah menemukan titik kritis dan mendapatkan nilai ekstremnya. Akan tetapi, adakalanya  dapat terlebih dahulu ditemukan dengan mudah. Jika ini terjadi, kita tinggal menggunakan nilai  untuk mendapatkan titik kritis dan selanjutnya menentukan nilai ekstrem fungsi.

Contoh 4.23

Ulangi Contoh 4.21 dengan metode pengali Lagrange.

Penyelesaian

Fungsi objektif : ( ) Fungsi kendala : ( ) Sistem persamaannya adalah

(1) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) (3) ( ) ( ) (4) ( )

Dari persamaan (3) diperoleh . Dengan memasukkan nilai ke persamaan (1) dan (2), kemudian selisihkan kedua persamaan tersebut,

(27)

sehingga diperoleh . Masukkan ke persamaan maka diperoleh . Selanjutnya, masukkan ke persamaan (4), , maka diperoleh . Dengan demikian, titik kritisnya adalah A(0, 0 , –2) dan B(0, 0, 2).

 Untuk A(0, 0, −2) : ( ) ( ) ( )

 Untuk B(0, 0, 2) : ( ) ( ) .

Jarak dari ( ) ke titik ( ) dan ( ) masing-masing sebagai berikut.

( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) √

Dengan demikian, jarak minimum dari titik (0, 0, 0) ke titik (x, y, z) yang terletak pada bidang adalah 2.

Contoh 4.24

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari ( ) dengan ( ) terletak pada bola .

Penyelesaian

Fungsi objektif : ( )

Fungsi kendala : ( ) Sistem persamaannya adalah

(1) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) (3) ( ) ( ) (4) ( ) Dari persamaan (1), (2), dan (3) berturut-turut diperoleh

Masukkan nilai-nilai tersebut ke persamaan (4), maka

(28)

( ) (

) (

)

( )

sehingga diperoleh .

 Untuk ,

( )

( ) Maka titik kritisnya adalah ( ).

 Untuk ,

()

( )

( ) Maka titik kritisnya adalah ( ).

Selanjutnya, masukkan titik-titik kritis tersebut ke fungsi objektif ( ) .

 Untuk ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

 Untuk ( ) : ( ) ( ) ( ) ( )

Dengan demikian, ( ) dengan ( ) terletak pada bola memiliki nilai minimum ( ) dan nilai maksimum ( ) .

SOAL-SOAL 4.5

(29)

Aip Saripudin, Bahan Ajar EE-125 Matematika Teknik I 117 1. Tentukan nilai maksimum dan

minimum dari ( ) jika ( ) di dalam elips . 2. Tentukan nilai maksimum dari

( ) pada garis .

3. Tentukan nilai minimum dari ( ) jika ( ) adalah titik yang terletak pada ( ) .

4. Sebaran suhu pada cakram tipis memenuhi persamaan ( ) .

Tentukan suhu terpanas dan suhu terdingin pada cakram tersebut.

5. Tentukan titik terdekat pada kurva terhadap titik asal.

6. Tentukan nilai tiga buah bilangan positif yang jumlahnya 15 sedemikian rupa sehingga perkalian ketiganya memberikan hasil terbesar.

7. Tentukan jarak terdekat dari titik asal ke permukaan . 8. Tentukan nilai maksimum dan

minimum dari ( ) jika ( ) adalah titik pada bola .

9. Sebuah tangki logam berbentuk kotak tanpa tutup dirancang dapat menampung 256 meter kubik air.

Berapakah dimensi (ukuran panjang, lebar, dan tinggi) tangki agar bahan logam yang digunakan untuk membuatnya sesedikit mungkin?

10. Sebuah pesawat luar angkasa dengan moncong berbentuk elipsoida

memasuki atmosfer bumi sehingga permukaannya mulai panas. Setelah 1 jam, suhu pada titik ( ) pada moncongnya memenuhi ( ) . Tentukan titik terpanas pada moncong pesawat tersebut.

ULANGAN BAB

(30)

(31)

Aip Saripudin, Bahan Ajar EE-125 Matematika Teknik I 123 Soal nomor 1 – 5: (a) Tentukan daerah

asal, (b) gambarkan kurva permukaan ruang, dan (c) gambarkan kurva ketinggian dari fungsi tersebut.

1. ( ) 2. ( ) 3. ( ) 4. ( )

5. ( )

Soal nomor 6 – 10: Tentukan semua turunan parsial pertama fungsi tersebut.

6. ( ) 7. ( )

8. ( ) ( ) 9. ( ) . / 10. ( )

Soal nomor 11 – 15: Tunjukkan bahwa

11. ( ) 12. ( ) ( ) 13. ( )

14. ( ) 15. ( )

Soal nomor 16 – 20: Tentukan turunan parsial yang diindikasikan jika diketahui ( ) .

16.

17.

18.

19.

20.

atau

dan

dari fungsi tersebut.

21. , dan 22. , dan

23. , dan

24. , dan

25. , dan

. 26.

27.

28.

29.

30.

Soal nomor 31 – 35: Tentukan nilai ekstrem fungsi tersebut.

31. ( )

32. ( )

(32)

33. ( ) 34. ( )

35. ( ) Soal nomor 36 – 40: Gunakan metode pengali Lagrange.

36. Tentukan jarak terdekat dari titik asal ke bidang . 37. Sebuah bak air berbentuk kotak

tanpa tutup akan dibuat dari bahan plastik. Bak air tersebut dirancang mampu menampung air maksimum 256 m³. Jika harga bahan plastik Rp 20.000,00 per m², berapakah biaya

minimum yang mungkin untuk membeli bahan plastik tersebut?

38. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari ( ) jika ( ) berada dalam bola .

39. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum ( ) dengan ( ) berada pada garis . 40. Jumlah kuadrat tiga buah bilangan

adalah 27. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari jumlah ketiga bilangan tersebut.