BAB II
TURUNAN PARSIAL
2.1 Fungsi dua Peubah atau Lebih
Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka penulisannya secara umum dinyatakan dengan z F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk implisit, maka penulisannya dinyatakan dengan
0 ) , ,
(x y z
F
Contoh:
1. z2xy F(x,y)2x y
2. zlnx2 2y4 F(x,y)lnx2 y2
3. z x y
sin sin 2
1 2
1
4. xyxz yz0 5. xy exsiny0
6. ln 2 2 arctan 0 x y y
x
7. arctan 2z 0 x
y
Berdasarkan contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua fungsi dalam bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.
Oktan I adalah ruang dengan x>0, y>, dan z>0 Oktan II adalah ruang dengan x>0, y<0, dan z>0 Oktan III adalah ruang denganx<0, y<0, dan z>0 Oktan IV adalah ruang dengan x<0, y>0, dan z>0 Oktan V adalah ruang dengan x>0, y>, dan z<0 Oktan VI adalah ruang dengan x>0, y<0, dan z<0 Oktan VII adalah ruang denganx<0, y<0, dan z<0 Oktan VIII adalah ruang dengan x<0, y>0, dan z<0
Berdasarkan oktan-oktan tersebut, dapat digambarkan sebarang titik P(x1,y1,z1 ) atau kurva ruang dengan persamaan z F(x,y)
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas P(x1,y1,z1)adalah sebarang titik pada oktan I, dengan menggunakan kaidah dan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang OP sebagai
2 1 2 1 2
1 y z
x
OP
Dengan cara yang sama, jika P(x1,y1,z1)dan Q(x2,y2,z2)maka
panjang PQ dinyatakan dengan 2
1 2 2 1 2 2 1
2 ) ( ) ( )
(x x y y z z
PQ
X Z
Y
) , , (x1 y1 z1
P
1 x
1 z
Selanjutnya, misal zF(x,y)maka dapat ditentukan gambar kurva ruang.
Contoh
Dalam ruang dimensi tiga (R3) gambarlah kurva ruang z 12 3x 4y
Untuk menggambar kurva ruang dengan persamaan z F(x,y) langkah yang ditempuh adalah menentukan titik potong kurva dengan masing-masing sumbu.
Jika x = 0 dan y = 0 maka z = 12, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu z di titik (0,0.12)
Jika y = 0, z = 0 maka x = 4, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu x dititik (4,0,0).
Jika x = 0, z = 0 maka y = 3, hal ini berarti kurva ruang memotong sumbu y dititik (0,3,0).
Sehingga diperoleh:
Gambar di atas, adalah kurva ruang di oktan I. Kurva ruang di oktan yang lain dibayangkan sebagai ruang maya.
Sebagai latihan bagi pembaca, gambarlah kurva ruang dengan persamaan:
1) z1 x2 y2
2) z 1 y
) 12 , 0 , 0 ( P
) 3 , 0 , 0 ( R
3) z2 x
4) 3z3y4z36 5) z 1 x2
6) z4 y2
2.2 Turunan Parsial Fungsi Dua atau lebih
Misal zF(x,y) adalah fungsi dengan variabel bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:
1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah. 2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah 3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.
Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.
Definisi
Misal zF(x,y)adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y
dinotasikan dengan x z
dan yz dan didefinisikan oleh
x
y x F y x x F x
z
x
) , ( ) , (
lim
0 , asalkan limitnya ada
dan
y
y x F y y x F y
z
y
) , ( ) ,
( lim
0 , asalkan limitnya ada
Contoh :
1 Tentukan
x z
Jawab
lim
0 lim lim
y lim
y lim
y lim
y lim
y lim
0 lim
lim
y
lim
2 lim
y lim
y lim
y
2 Tentukan
x
lim
0 sin ) sin(
lim
0 sin ) (
2 1 cos 2 lim
0 sin ) 2 cos(
lim 2 sin lim 2 cos
lim 2 sin lim 2 cos
lim 2 cos(
y lim
0 sin ) sin(
lim 0 sin ) (
2 1 cos 2 lim
0 sin ) 2 cos(
lim 2 sin lim 2 cos
lim 2 sin lim 2 cos
lim 2 cos(
2 x y
) cos(x y
Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan menggunakan metode sederhana sebagai berikut.
Andaikan zF(x,y) maka untuk menentukan dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan
selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan yz sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.
Dengan cara yang sama, andaikan W F(x,y,z) adalah fungsi
x
z y x F z y x x F x
W
x
) , , ( ) , , (
lim
0
y
z y x F z y y x F y
W
x
) , , ( ) , ,
( lim
0
z
z y x F z z y x F z
W
z
) , , ( ) ,
, ( lim
0
Asalkan limitnya ada.
Selain menggunakan definisi di atas, maka turunan parsial fungsi dua peubah juga dapat dilakukan dengan metode sederhana.
Misal z F(x,y), x z
berarti x adalah variable dan y konstanta
sedangkan yz berarti y variabel dan x konstanta. Demikian pula,
misal W F(x,y,z) x W
berarti x adalah variabel y dan z adalah
konstanta. Wy berarti y variabel x dan z adalah konstanta. z W
berarti z variabel x dan y adalah kosntanta.
Contoh:
1. Ditentukan
x y xyz
z y x
F( , , ) 2tan
Carilah turunan parsial pertamanya. Dengan metode sederhana didapat
a.
2 2 1
2 )
, , (
x y
x y yz
x z y x F
) 1 ( 2
2 2
2 y x
yx yz
) 1 (
2 ) 1 (
2 2
2 2
2
y x
yx y
yz x
b.
x x y xz
y z y x
F 1
1 2 )
, , (
2
) 1 (
2 2 2
y x
x xy
) 1 (
2 ( ) 1 (
2 2
2 2
2
y x
yx y
yz x
c. xy
z z y x F
( , , )
Sebagai latihan bagi pembaca tentukan turunan persial pertama fungsi-fungsi di bawah ini:
1. zln xy
2. z36 x2 y2
3. 3 sin(1 )
y x z
4. zxy2 2x2 3y3
5.
x y z arctan
6. F(x,y,z)xy yzxz 7. F(x,y,z)3 x2y2 z2
8. F(x,y,z) sin(xy) 2exyz
9.
z xy z
y x
F( , , ) arcsin
Berdasarkan turunan parsial pertama fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n untuk n 2. Turunan parsial tersebut dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.
Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.
Jadi andaikan zF(x,y)maka: Turunan parsial tingkat dua adalah
x y
z dan y x
z y
z x
z
2 2
2 2 2 2
, ,
Demikian pula, jika W F(x,y,z)Turunan parsial tingkat dua adalah
turunan ke-n Contoh
1 Tentukan
2
Jawab
2 Tentukan
2 2
x z
dan 2 2 y z
dari fungsi 2 x2
y y
x
z
Jawab
Dari,diperoleh 2 3
2 1
x y y x z
3 2
1 2
x y
x y
z
Sehingga
x z x x
z 2 2
12 23
x y y x
64
x y
dan
2 3 2
2 2 1
x y
x y y
z
4
6
y x
Dengan cara yang sama dapat dicari
x y
z dan y x
z
2 2
Soal-soal Tentukan
x y
z dan y x
z y
z x
z
2 2
2 2 2 2
,
, fungsi-fungsi berikut:
1) z sin3xcos4y
2) zln xy
3) z36 x2 y2
4) 3 sin(1 )
y x z
5) zxy2 2x2 3y3
6)
x y z arctan
7) z sin(xy) 2exy
8)
arcsin 22
x y z
9)
cos 22 sin 22
y x x
y z
10) z 1 x2 y2
2.3 Differensial Total
Misal z F(x,y) adalah suatu fungsi yang dapat diturunkan terhadap variable x dan y. Secara berturut-turut dapat diperoleh turunan parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y. Keduanya dinyatakan oleh:
x y x F x z
( , )
--- (1) dan
y y x F y z
( , )
--- (2) Dari (1) dan (2) diperoleh:
dx x
y x F dz
( , ) dan dy
y y x F dz
( , )
Jumlah diferensialnya diperoleh: dy
y y x F dx x
y x F
( , ) ( , )
Bentuk di atas disebut diferensial total.
Dengan demikian jika zF(x,y),maka diferensial totalnya adalah: dy
y y x F dx x
y x F dz
( , ) ( , )
Analog, jika W F(x,y,z) maka diferensial totalnya adalah: dz
z z y x F dy y
z y x F dx x
z y x F dw
Contoh.
1 Tentukan diferensial total fungsi
2 3y 2xy x
z
Jawab
xy x
y z xy y x x z
4 ,
3 2 2 3
sehingga diferensial total fungsi z x3y 2xy2 adalah
x y xy
dx
x xy
dz 3 2 2 3 4
2 Tentukan turunan parsial fungsi
2
2 y
x x z
Jawab
2 2
2 2 2
2
1
y x
y x
x x
y x
x z
2 2 2 2
2 2 2
y x y x
x y x
2 2 2 2
2
y x y x
y
2 2
2 2 2
2
0
y x
y x
y x
y x
y z
2 2 2
2 y x y
x
xy
sehingga diferensial total fungsi x2 y2 x z
adalah
dy y x y x
xy dx
y x y x
y dz
2 2 2 2 2
2 2 2
dy y x y x
xy dx
y x y x
y
2 2 2 2 2
2 2 2
2
3 Dengan menggunakan diferensial total, hitunglah
2 2
2 (1,99) (0,97)
) 01 , 2
(
Jawab
Langkah pertama yang harus ditetapkan fungsinya, dalam hal
2 2
2 (1,99) (0,97)
) 01 , 2
(
2 2 2 y z x
W
Pilih x = 2, y = 2 dan z = 1 sehingga W = 222212 = 3 Karena akan dihitung (2,01)2(1,99)2 (0,97)2 maka:
x + x = 2,01 sehingga x0,1 x + y = 1,99 sehingga x 0,1 x + z = 0,97 sehingga x0,3
dengan menggunakan definisi diferensial total W = F(x,y,z) maka dz
z z y x F dy y
z y x F dx x
z y x F dW
( , , ) ( , , ) ( , , )
( 0,03)
3 1 ) 01 , 0 ( 3 2 ) 1 , 0 ( 3 2
= -0,01
Akhirnya diperoleh (2,01)2 (1,99)2 (0,97)2
= 3 + (-0,01) = 2,99
4 Suatu segitiga siku-siku panjang sisi-sisi penyikunya 15 cm dan
20 cm. Bila sisi panjang dipendekkan cm 16
5
dan kaki pendek
dipanjangkan cm 8 5
. Dengan menggunakan differensial tentukan perubahan panjang sisi miringnya.
Jawab
Misal x : sisi pendek, y : sisi panjang, dan r : sisi miring maka berlaku
2 2 y x
r .
dy y r dx x r dr
dimana dr r, dx x, dxy
didapat
y y r x x r
r
y y x
y x
y x
x
2 2 2
2 2
2 2
2
16 5 20 15
20 8
5 20 15
15
2 2 2
2
16 5 25 20 8 5 25 15
cm 8 1
Hal ini berarti sisi miring dipanjangkan . 8 1
cm
Soal-soal
1) Dengan menggunakan diferensial total, hitunglah a) 3 (0,98)2(1,01)2(0,99)2
b) Suatu tempat berbentuk kotak dengan dimensi 2,02 m, 1,97 m, dan 0,99 m. Dengan menggunakan differensial tentukan panjang diagonal ruang kotak tersebut.
c) Suatu kotak alasnya persegi dengan panjang sisi 8,005 dm dan tingginya 9,996 dm. Hitung volume dan luas
permukaannya.
2) Dekatilah luas persegi panjang yang berdimensi 35,02 cm, 24,97 cm.
3) Daya yang dibutuhkan oleh resistor listrik dinyatakan dengan P=
R E2
2.4 Turunan Total
Misal zF(x,y) dan F dapat diturunkan (differentiable).
Selanjutnya dimisalkan x x(t) dan y y(t), x dan y adalah fungsi satu peubah yaitu peubah t yang dapat diturunkan. Maka z F(x,y)adalah fungsi satu peubah, sehingga:
dy y
y x F dx x
y x F dz
( , ) ( , )
karena x =x(t) dan y=y(t) dapat diturunkan maka dapat ditentukan
dt dx dan dx dy
sehingga
dt dy y
y x F dt dx x
y x F dt dz
( , ) ( , )
Bentuk di atas dinamakan turunan total zF(x,y)dengan )
( )
(t dan y y t x
x
Catatan
Pengertian ganda z, x, dan y pada dzdt F xx y dxdt F xy y dydt
( , ) ( , )
Pada dt dz
, z berarti F
x(t),y(t)
, Sedangkan dan yz xz
, z berarti
f(x,y). Pada F xy y dydt
( , )
.
Andaikan zF(x,y) adalah fungsi yang dapat diturunkan, dan misalkan
) , ( )
,
(r s dan y y r s x
x adalah fungsi dua peubah dan dapat
diturunkan, maka diferensial totalnya adalah
dy y
y x F dx x
y x F dz
( , ) ( , )
Karena xx(r,s) dan yy(r,s) dan dapat diturunkan, maka dapat
ditentukan
s x r x
, dan
s y r y
,
r
Dengan cara yang sama diperoleh
1. Jika W F(x,y,z),xx(t),yy(t),dan zz(t) maka turunan totalnya adalah:
dt parsialnya adalah:
Wr F xxy z rx F xyy z ryF xzy z zt
Contoh
Tentukan turunan total fungsi-fungs berkut. 1) ( , , ) , 1,y 1 t,danz 2t2
Turunan total fungsi di atas adalah:
dt
Jawab
3 )
( 2 )
( 2 2 2 2 2 2 2 2
y x y x
y y
x y x
x
2 2 2 2 2
3 2
2 ( )
3 )
( 2
y x y x
y
y x
x
s y y
y x F s x x
y x F s z
( , ) ( , )
s
y x y x
y y
x y x
x
2 )
( 1 )
( 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 2
2 ( )
2 )
( x y x y
ys
y x
x
3) Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya 15 cm dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cm/det dan jari-jarinya berkurang 1 cm/det. Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder.
Jawab.
Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka h
r I 2
h
) , (r h I I
Diketahui r = 15 cm, h = 20 cm,
det 5 , 0 cm t
r
,
det 1cm t
h
Dengan definisi turunan total )
, (r h I
I dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh
dt dh h I dt dr r I dt dI
dt dh r dt dr
rh 2
2
det 1 15
det 5 , 0 20
15
2 cm cm cm cm 2 cm
det 225 det
300 cm3 cm3
det 75
3 cm
Soal-soal
1. Tentukan turunan total fungsi berikut: a. z = Ln (x2y2) jika x = et dan y = et b. u = x2 2y2 2z2 jika x = sin pcost , y =
p z
dan t
psin cos
sin
2.5 Turunan Parsial Fungsi Implisit
Turunan parsial fungsi juga dapat dilakukan untuk fungsi-fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Misal f(x,y)0 adalah fungsi implisit maka untuk menentukan turunan parsialnya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah diferensial totalf
Karena f(x,y)0 maka df(x,y)d(0) Sehingga
dy y
y x f dx x
y x f
( , ) ( , )
= 0
0 )
, ( ) , (
dx dy y
y x f x
y x f
x y x f dx
dy y
y x f
( , ) ( , )
y y x f x
y x f
dx dy
) , (
) , (
Contoh
1) Tentukan dandydx dx
dy
bila diketahui f(x,y)xy exsiny0
akan dicari dx dy
, menurut definisi turunan total
y y x f x
y x f
dx dy
) , (
) , (
y e x
y e y
x x
cos sin
x y x f
y y x f
dy dx
) , (
) , (
y e y
y e
x
x x
sin cos
2) Tentukan dari dy dx dan dx dy
0 arctan
ln ) ,
( 2 2
x y y
x y x f
y y x f x
y x f
dx dy
) , (
) , (
2 2
2 2 2 2
y x
x y
y x
y x
x y x f
y y x f
dy dx
) , (
) , (
xxyy 2
2
Sebagaimana telah dibahas sebelumnya bahwa fungsi dua peubah secara implisit dinyatakan dengan f(x,y,z) 0.
Contoh
1. xyyzxz0 2. sin 0
y x exy
3. x2y2z2 250
a. Turunan Fungsi Implisit 2 Peubah
Fungsi Implisit 2 peubah secara umum dinyatakan dalam bentuk 0
) , ,
(x y z
f
Dengan menggunakan diferensial total
Andaikan W f(x,y,z)0 maka df(x,y,z)d(0)
0 )
, , ( )
, , ( )
, , (
dz z
z y x F dy y
z y x F dx x
z y x F
Jika masing masing bagian dibagi dx akan diperoleh 0
) , , ( )
, , ( )
, , (
dx dz z
z y x F dx dy y
z y x F x
z y x F
Karena akan dicari turunan fungsi terhadap x, maka 0 dx dy
. Dan karena fungsi lebih dari satu variabel maka turunan terhadap x
dinyatakan dengan x z
, sehingga:
0 )
, , ( )
, , (
x z z
z y x F x
x
Dengan menurunkan terhadap z dan menentukan z y
diperoleh
0
Dengan menurunkan terhadap y dan menentukan yx diperoleh
0
dan x
Contoh
1. Tentukan yx dari xyyzxz0 Jawab
Maka y z x
y y x f
( , , )
dan x z
y y y x f
( , , )
, sehingga menurut definisi turunan fungsi implisit 2 peubah
x z y x F
y z y x F
y x
) , , (
) , , (
yxzz
2. Tentukan z x
dari sin 0
x y z exyz
Jawab
Karena ( , , ) sin 0
x y z e z y x
f xyz
Maka
y y x z
e yz x
y y x
f( , , ) ( ) xyz cos 1
dan
y x e
xy z
y y x
f( , , ) ( ) xyz sin , sehingga menurut definisi turunan
fungsi implisit 3 peubah
x z y x F z
z y x F
z x
) , , (
) , , (
y x e
xy
y x y z e yz
xyz xyz
sin )
(
cos )
(
3. Tentukan yz dari x2y2 z2 250 Jawab
Karena ( , , ) 2 2 2 25 0
x y z z
Maka z z
y y x f
2 ) , , (
dan y
y y y x f
2 ) , , (
, sehingga menurut definisi turunan fungsi implisit 3 peubah
z z y x F
y z y x F
y z
) , , (
) , , (
z y 2 2
z y
b. Turunan parsial fungsi implisit 4 peubah
Bentuk umum fungsi impilisit 4 peubah dinyatakan dengan
0
)
,
,
,
(
0
)
,
,
,
(
v
u
y
x
G
v
u
y
x
F
Atau
0 ) , , , ( 0
) , , ,
(x y u v danG x y u v
F
Dimana variable x sejenis dengan y (berpasangan) dan variable u sejenis dengan v dan F(x,y,u,v)0sertaG(x,y,u,v)0tidak dapat berdiri sendiri. Karena u dan v sejenis maka tidak dapat ditentukan
v u
atau u v
dan tidak dapat pula ditentukan x y
atau x y
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Contoh
1.
0
0
2
2 2 2 2
2
v
u
y
xy
x
uv
y
x
atau
2.
0
2
0
2
2 2
y
xy
v
u
xy
x
v
u
atau
2u vx2xy0danu2vxy y2 0
3.
0
0
3
2
2 2
y
x
uv
y
x
v
u
atau
u2 v2 2x3y0danuvx y0
Turunan Parsial fungsi implisit 4 variabel dilakukan dengan menggunakan metode eliminasi.
Bentuk umum F(x,y,u,v)0danG(x,y,u,v)0, u,v variabel sejenis, x,y variabel sejenis sehingga tidak dapat ditentukan
u v dan v u x y y x
, ,
, .
Sehingga turunan parsial fungsi implisit yang dapat ditentukan adalah
x v dan y v y u x u u y v y v x u x
, , , , , , ,
Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud, lalu dari persamaan yang diperoleh gunakan metode eliminasi..
Contoh: 1. Tentukan
u x dan x u
Karena akan ditentukan dilakukan
xy2 2uv0danx2 xyy2u2v2 0
dengan menurunkan fungsi terhadap variabel x didapat 0
Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi x v
didapat
1
didapat
v
Karena akan ditentukan u x
xy2 2uv0danx2 xyy2u2v2 0
dengan menurunkan fungsi terhadap variabel u didapat 0
Berdasarkan persamaan (1) dan (2), dengan metode eliminasi diperoleh
1 v
Didapat
)
Diperoleh
)
u dilakukan
Selanjutnya dengan menurunkan fungsi 0
Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi yv didapat
x
didapat
Karena akan ditentukan yv maka vu,uv,yx,xy tidak boleh dilakukan
Selanjutnya dengan menurunkan fungsi 0
2 0
2u vx2xy danu vxy y2 terhadap variabel y didapat
0 2
2
y x y x y x x y v y u
………(1)
2 0 x 0
y v y u
atau x
y v y u
2
dan
0 2
2
y y y x y y x y v y
u
…………(2)
0 2 ) 0 (
2
x y
y v y u
atau x y
y v y
u
2 2
Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi yu didapat
x y v y u
2 (1)
y x y v y
u
2 2
(2)
didapat
x y v y u
2
y x y v y
u 4 2 4
2
y x y
v
4 3 5
atau
x y
y v
4 3 5 1
Soal-soal
a. dan xv y
u x v x u
, , ,
b.
u x dan v y v x u x
, , ,
2. Ditentukan 2u vx2xy0danu2vxy y2 0 Tentukan:
a.
x v dan x u
b.
v x dan u x
3. Jika xy2 2uv0danx2 xyy2u2v2 0 Tentukan
a. dan yv y
u
b.
v x dan u x
c. Turunan Parsial Fungsi Implisit 6 peubah.
Fungsi implisit 6 peubah, secara umum dinyatakan dalam bentuk:
0
)
,
,
,
,
,
(
0
)
,
,
,
,
,
(
0
)
,
,
,
,
,
(
z
y
x
w
v
u
H
z
y
x
w
v
u
G
z
y
x
w
v
u
F
u,v,dan w variable sejenis, sehingga tidak dapat ditentukan hasilnya
v w u w w
v u v w
u v u
, , , , ,
x,y, dan z variable sejenis, sehingga tidak dapat ditentukan hasilnya
y z x z z x y x z y x y
Contoh fungsi 6 peubah:
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
1. Tentukan u
Jawab
Persamaan diturunkan terhadap u dan diperoleh 0
Karena akan ditentukan u x
maka eliminasikan
u z dan u
dari persamaan (1), (2) dan (3)
Dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi u y
diperoleh:
y
Dari (1) dan (3) dengan mengeliminasi u y
diperoleh:
0
Selanjutnya eliminasi u
z
dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:
y
Sehingga:
6( )( )
2(3 3 )
Jawab
Persamaan di atas diturunkan terhadap variable w dan diperoleh 0
Karena akan ditentukan w
z
maka eliminasikan
w y dan w
dari persamaan (1), (2) dan (3)
Dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi w
x
diperoleh:
0
Selanjutnya dari (1) dan (3) dengan mengeliminasi w
x
diperoleh:
0
Selanjutnya eliminasi w
y
0
Sehingga:
}
Soal-soal.