BAB 2. TURUNAN PARSIAL

BAB 2. TURUNAN PARSIAL

1.1 PENDAHULUAN

Pada bagian ini akan dipelajari perluasan konsep turunan fungsi satu peubah ke turunan fungsi dua peubah atau lebih.

Setelah mempelajari bab ini, anda akan dapat:

- Menentukan turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih - Menentukan diferensial total fungsi dua peubah atau lebih

- Menemukan hampiran linier, persamaaan garis normal dan bidang singgung kurva

- Menemukan turunan berarah

- Menggunakan jacobian untuk menentukan turunan fungsi.

2.2 TURUNAN

Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel x , maka turunan pertama fungsi f hanya terhadap x , dinotasikan sebagai:

( )

x f x f f ∂ ∂ = = ' '

Bila kita mempunyai fungsi f dari dua variabel, maka turunan pertama fungsi f dapat kita cari untuk kedua variabel tersebut. Masing-masing disebut sebagai turunan parsial.

Definisi 2.1 : Jika f fungsi dua peubah, x dan y, maka: (i) Turunan parsial f terhadap x, dinotasikan dengan

x y x f ∂ ∂ ( , ) atau fx(x,y), didefinisikan sebagai

x y x f ∂ ∂ ( , ) = x y x f y x x f x ∆ − ∆ + → ∆ ) , ( ) , ( lim 0

(ii) Turunan parsial f terhadap y, dinotasikan dengan y y x f ∂ ∂ ( , ) atau fy(x,y), didefinisikan sebagai y y x f ∂ ∂ ( , ) = y y x f y y x f y ∆ − ∆ + → ∆ ) , ( ) , ( lim 0

Contoh 2.1: Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang dirumuskan dengan f(x,y) = x2y + x + y + 1. Selanjutnya tentukan turunan parsial f terhadap x dan turunan parsial f terhadap y di titik (1,2) Penyelesaian: x y x f ∂ ∂ ( , ) = x y x f y x x f x ∆ − ∆ + → ∆ ) , ( ) , ( lim 0 = x y x y x y x x y x x x ∆ + + + − + + ∆ + + ∆ + → ∆ ) 1 ( 1 ) ( ) ( lim 2 2 0 = x y x y x y x x y x y x x y x x ∆ + + + − + + ∆ + + ∆ + ∆ + → ∆ ) 1 ( 1 ) ( . . 2 lim 2 2 2 0 = x x y x y x x x ∆ ∆ + ∆ + ∆ → ∆ 2 0 ) ( . . 2 lim = 2xy + 1 y y x f ∂ ∂ ( , ) = y y x f y y x f y ∆ − ∆ + → ∆ ) , ( ) , ( lim 0 = y y x y x y y x y y x y ∆ + + + − + ∆ + + + ∆ + → ∆ ) 1 ( 1 ) ( lim 2 2 0

= y y y x y ∆ ∆ + ∆ → ∆ 2 0 lim = x2 + 1

Sehingga turunan parsial f terhadap x di titik (1,2) adalah

x f

∂ ∂ (1,2)

= 2(1)(2) + 1 = 5 . dan turunan parsial f terhadap y di titik (1,2) adalah

y f

∂ ∂ (1,2)

= 22 +1= 5.

Untuk selanjutnya, dalam menentukan turunan parsial dari fungsi dua peubah f(x,y)maka dapat dilakukan hal berikut.

- Jika f diturunkan terhadap peubah x maka y dianggap tetap/konstanta

- Jika f diturunkan terhadap peubah y maka x dianggap tetap/konstanta.

Contoh 2.2:

Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang dirumuskan dengan f(x,y) = 3x4y2 + xy2 + 4y.

Penyelesaian: x y x f ∂ ∂ ( , ) = 12x3y2 + y2 y y x f ∂ ∂ ( , ) = 6x4y + 2xy + 4.

Turunan Parsial tingkat tinggi

Turunan fungsi biasanya masih berupa fungsi yang dapat diturunkan lagi. Jadi dari suatu fungsi kita dapat mencari turunan tingkat satu, turunan tingkat dua dan seterusnya.

Turunan tingkat dua dinotasikan sebagai berikut:

. ) ( y ) ( x ) ( y ) ( x 2 2 2 2 2 2 y f y f y f f y x f y f x f f x y f x f y f f x f x f x f f f yy y yx y xy x xx x ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ Contoh 2.3:

Tentukan semua turunan parsial order dua dari w = x3y2 − xy5. Penyelesaian: 3 2 2 5 2x3 y 5xy4, y w , y y x x w − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ xy , x w x x w ₂ 2 2 6 = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ₂ 2 3 20 3, 2 y x x y w y y w − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

6 2 5 4, 2 y y x y w x y x w − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 6 2 5 4. 2 y y x x w y x y w − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ Contoh 2.4:

Diketahui fungsi f(x,y)= x2 +2xy2 − y3. Carilah

x y f y x f y f x f y f x f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 , , , , , Penyelesaian: 2 2 2x y x f + = ∂ ∂ , 2 2 2 = ∂ ∂ x f , y x y f 4 2 = ∂ ∂ ∂ 4xy 3y2 y f − = ∂ ∂ , y y y f 6 4 2 2 − = ∂ ∂ , f y y x f yx 4 2 = = ∂ ∂ ∂ LATIHAN 2.2 :

Tentukan turunan parsial pertama dari 1. f(x,y) = 2x2y3 – x3y - y

2. f(x,y) = 3x2 – xy + cos (x2 + y2) 3. f(x,y) = 2xy2 – e2xy + ln (x2 + 2y) 4. ( , ) sin , 1 x f x y y = + 5. f x t( , )=arctan

(

x t

)

,

6. w=ln(x+2y+3 ),z

Tentukan semua turunan kedua dari 7. f x y

(

,

)

=x3+x y2 3−2y2.

8. z = x cos y – y cos x. 9. u = log (ax + by)

2.3 ATURAN RANTAI

Aturan rantai pada fungsi dua peubah merupakan peluasan dari aturan rantai pada fungsi satu peubah.

Misalkan z = f(u,v), dimana u = g(x,y) dan v= h(x,y) maka y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ , Contoh 2.5:

Jika z = f(u,v) =3u2 – v2 dengan u = 2x + 7y dan v = 5xy Carilah x z ∂ ∂ dan y z ∂ ∂

Misal F fungsi dari u, v dan w dengan u, v dan w fungsi-fungsi kontinu dua peubah u = u(x,y), v = v(x,y) dan w = w(x,y) yang mempunyai turunan parsial pertama dan semua turunan parsial pertama fungsi F kontinu, maka:

x w w F x v v F x u u F x F ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ dan y w w F y v v F y u u F y F ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ Contoh 2.6 :

Jika u = f (x, y) dan x = r cos θ, y = r sin θ, tunjukkan bahwa 2 2 2 2 2 1 ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ u r r u y u x u . Penyelesaian x = r cos θ, y = r sin θ . r y , r y , r x , r x cos sin sin cos = ∂ ∂ = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ∂ ∂ diperoleh y u x u r y y u r x x u r u sin cos ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ t u x u ∂ ∂ + ∂ ∂ =cos sin Secara sama, ) (r y u ) r ( x u y y u x x u u cos sin ∂ ∂ + − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ y u r x u r ∂ ∂ + ∂ ∂ − = sin cos

Dengan demikian terbukti bahwa 2 2 2 2 2 1 ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x u u r r u

Latihan 2.3

1. Jika G(u,v,w) =u3 + 2uvw + uw2 dengan u = xy, v = x – y, dan w = x/y, Carilah x G ∂ ∂ dan y G ∂ ∂ .

2. Jika z=x y2 +3xy4, dengan x=sin 2t dany=cost, Tentukan dz dt ketika t =0. 3. Jika z=cos(x+4 )y 4 5 , x= t dany 1 t = , Tentukandz dt .

4. Jika w=xy+ yz2, x=et, y=etsint, dan z=etcos ,t Tentukan dw. dt 5. Jika u=x y4 + y z2 3, denganx=rset, 2 t

y=rs e− , dan z=r s2 sin ,t Tentukan u

s ∂

∂ ketika r=2, s= dan 1, t =0.

6. Jika g s t

( )

, = f s

(

2−t t2, 2−s2

)

, dan f terdiferensial, tunjukkan bahwa 0. g g t s s t ∂ ∂ + = ∂ ∂

7. Jika u= r2+s2 dengan r= +y xcost dans= +x ysint, Tentukan , u x ∂ ∂ u y ∂ ∂ , dan u t ∂ ∂ . 8. Jika u = f (x, y) dan , x z t , z y s , y x r = = = tunjukkan bahwa . 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z u z y u y x u x

9. Jika , z y , z x f v= tunjukkan =0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z v z y v y x v x

2.4. TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Selain fungsi eksplisit, kita juga mengenal bentuk fungsi implisit. Fungsi implisit dua variabel, dilambangkan dengan F

(

x,y,z

)

. Dalam mencari turunan parsial terhadap x ataupun terhadap y dari fungsi implicit ini, dikenal dua metode, yaitu:

a. Cara langsung

Turunan parsial terhadap x , x z ∂ ∂

.

Persamaan yang ada berturut-turut diturunkan terhadap x dan z , dengan mengganggap variabel y sebagai konstanta. Khusus ketika diturunkan terhadap z , hasilnya selalu dikalikan dengan

x z ∂ ∂

.

Turunan parsial terhadap y , y z ∂ ∂

Persamaan yang ada berturut-turut diturunkan terhadap y dan z , dengan mengganggap variabel x sebagai konstanta. Khusus ketika diturunkan terhadap z , hasilnya selalu dikalikan dengan

y z ∂ ∂

b. Cara tidak langsung

Dalam cara tidak langsung, pertama-tama persamaan diturunkan terhadap x diperoleh

x F ∂ ∂

, kemudian diturunkan terhadap y diperoleh

y F ∂ ∂

, dan terakhir diturunkan terhadap z diperoleh

z F ∂ ∂ . Selanjutnya dihitung: z F x F x z ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ dan z F y F y z ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ Contoh 2.7:

Misal dipunyai fungsi implisit xyz =sin(xz) . Carilah turunan parsial pertama terhadap x dan y

Penyelesaian: a. Cara langsung

Untuk fungsi diatas, diperoleh:

( )

x z xz x xz z x z xy yz ∂ ∂ + = ∂ ∂ + cos cos( )

( )

xz yz z x z xz x x z xy = − ∂ ∂ − ∂ ∂ cos ) cos(

( )

) cos( cos xz x xy yz xz z x z − − = ∂ ∂

Dengan cara yang sama diperoleh: xyz =sin(xz)

y z xz x y z xy xz ∂ ∂ = ∂ ∂ + cos( ) .

xz y z xz x y z xy =− ∂ ∂ − ∂ ∂ ) cos( . ) cos(xz x xy xz y z − − = ∂ ∂

a. Cara Tidak Langsung ) cos(xz z yz x F − = ∂ ∂ , xz y F = ∂ ∂ , dan xy x xz z F cos − = ∂ ∂ . Diperoleh: ) cos( ) cos( xz x xy xz z yz z F x F x z − − − = ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ dan ) cos(xz x xy xz z F y F y z − − = ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ LATIHAN 2.4 :

Carilah turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini: 1. x2 −3xy+2y2 −xz+4z2−4yz−10=0

2. xyz −2xz +3yz−4xy=0 3. xyz =cos( yz)

4. yz = xy

5. xyz2 =sin(xz)+cos(yz)

6. xz = yx

7. sin(xyz)= +x 2y+3 .z

Bidang Singgung

Misalkan suatu permukaan mempunyai persamaan z= f x y( , ) dan f mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu, maka persamaan bidang singung pada permukaan z= f x y( , ) di titik P x( ₀,y z₀, ₀) dinyatakan oleh:

0 x( ,0 0)( 0) y( ,0 0)( 0)

z−z = f x y x−x + f x y y−y .

Persamaan bidang singgung ini adalah linierisasi dari sautu permukaan.

Contoh 2.8 :

Tentukan persamaan bidang singgung terhadap paraboloid eliptik

2 2

2

z= x + y di titik (1,1,3).

Penyelesaian :

Dalam hal ini f (x,y) = z=2x2+ y2, sehingga

4 ) 1 1 ( ; 4 ) (x,y = x f , = f_{x x} 2 ) 1 (1 ; 2 ) (x,y = y f , = f_{y y}

Maka persamaan bidang singgung di titik ( 1,1,3) adalah

. 3 2 4 atau ) 1 ( 2 ) 1 ( 4 3 − + = − + − = − y x z y x z Hampiran Linier

Perhatikan bahwa pesamaan bidang singgung pada suatu permukaan di titik dinyatakan oleh

0 x( ,0 0)( 0) y( ,0 0)( 0)

z−z = f x y x−x + f x y y− y Dengan memperhatikan bahwa diperoleh

yang merupakan linierisasai permukaan di titik . Fungsi di ruas kanan persamaan ini merupakan linierisasi dari di titik , dan biasa ditulis dengan

Dalam hal ini fungsi f merupakan fungsi yang terdiferensial di , yaitu fungsi yang turunan parsialnya, dan ada di sekitar dan kontinu di .

Contoh 2.9 :

Tunjukkan bahwa fungsi terdiferensial di titik (1,4) dan carilah hampiran liniernya di titik tersebut, kemudian gunakan hasilnya untuk mendekati nilai .

Penyelesaian:

Turunan parsialnya adalah

Jelas bahwa dan ada di sekitar dan kontinu di , jadi f terdiferensial di (1,4). Linierisasinya adalah

Jadi , sehingga

Untuk fungsi tiga peubah , maka pendekatan linier di titik 0 0 0 ( , , ) P x y z dinyatakan dengan:

(

)

(

)

(

)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z L x y z f x y z f x y z x x f x y z y y f x y z z z = + − + − + − Diferensial

Ingat kembali untuk fungsi satu peubah,y= f x( ), differensial dari y didefinisikan dengan dy= f x dx'( ) . Perbedaan antara dy dan y dapat dilihat pada ilustrasi gambar berikut.

Selanjutnya perhatikan fungsi dua peubah z= f x y( , ). Diferensial dari z, ditulis dz , didefinisikan dengan

z z dz dx dy x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ .

Diferensial dari z sering dinotasikan dengan df , sering disebut juga dengan Diferensial Total.

Contoh 2.10: Jika z = xy , tentukan diferensial dz dan gunakan untuk memperkirakan perubahan z jika ( , )x y berubah dari (2,3) ke (2.05,2.96). Bandingkan dz dengan z. Penyelesaian : 0.07 2.(-0,04) (0,05) . 3 = + = + = ∂ ∂ + ∂ ∂ = dy y x x y y z dx x z dz Disisi lain z=(x + x)(y + y) − xy = x y + y x + x y = 2 (-0,04) + 3 (0,05) + (0,05)(-0,04) = 0,068.

Perhatikan bahwa perubahan z adalah 0,068. Sedangkan perkiraannya perubahan tersebut menggunakan diferensial adalah 0,07. Dengan

demikian terdapat kesalahan (error) sebesar z −dz = x y =−0,002 .

Contoh 2.11 :

Gunakan diferensial untuk memperkirakan nilai 2731021. Penyelesaian:

Yang kita tahu adalah

. 10 1000 , 5 25= 3 =

Kita bentuk fungsi f (x,y)= x1/2 y1/3

Akan dilihat kenaikan jika terjadi perubahn dari x = 25, y = 1000 ke x = 27, y = 1021. Diferensial f adalah dy y f dx x f df ∂ ∂ + ∂ ∂ = diperoleh df x 1/2 y1/3 dx x1/2 y 2/3dy 3 1 2 1 _{− −} + = dengan memasukkan x = 25, y = 1000, dx = 2, dy = 21, maka 35 , 2 ) 21 ( ) 1000 ( ) 25 ( 3 1 ) 2 ( ) 1000 ( ) 25 ( 2 1 _{1 2 1 3 1 2 2 3} = + = − / / / − / df

Dengan demikian diperoleh

. 35 . 52 35 . 2 1000 25 1000 27 3 ≈ 3 + =

LATIHAN 2.5

1. Tunjukkan bahwa terdiferensial di dan temukan pendekatan linier di titik tersebut. Selanjutnya gunakan untuk mendekati nilai .

2. Tentukan pendekatan linier dari di (3,4,2) , kemudian gunakan untuk mendekati nilai

! ! " .

3. Gunakan diferensial untuk menghampiri nilai 125 415.

4. Tentukan perubahan volume yang terjadi jika ukuran tinggi tabung berubah dari 12 cm menjadi 12.1 cm dan jari-jarinya turun dari 6 cm menjadi 5.8 cm.

2.6. TURUNAN BERARAH (The Directional Derivative) Ingat kembali bahwa

arah dalam ) , ( titik di ) , ( perubahan Laju ) , ( ) , ( x b a y x f x z b a f b a x = ∂ ∂ = arah dalam ) , ( titik di ) , ( perubahan Laju ) , ( ) , ( y b a y x f y z b a f b a y = ∂ ∂ =

Selanjutnya akan ditentukan laju perubahan dalam arah sembarang

Misalkan u = < a, b > adalah vektor satuan (unit vektor , yaitu vektor dengan panjang satu) pada bidang x-y, yang menunjukkan arah perubahan. Maka didefinisikan turunan berarah:

Definisi : Turunan berarah

Turunan berarah dari fungsi z = f (x, y) dalam arah vektor satuan u = < a, b >, dinyatakan dengan D_uf(x,y), didefinisikan sebagai berikut:

b y x f a y x f y x f D_u ( , )= _x( , ) + _y( , ) θ

Dalam definisi ini :

1. Secara Geometri, turunan berarah digunakan untuk menghitung gradient dari permukaan z = f (x, y), yaitu untuk menghitung gradient permukaan di titik (x₀,y₀,z₀), dengan z₀ = f(x₀, y₀), Dengan demikian :

Gradien dari permukaan di titik (x₀,y₀,z₀) dalam arah vektor satuan # $ % & ' adalah b y x f a y x f y x f D_u ( ₀, ₀)= _x( ₀, ₀) + _y( ₀, ₀)

2. Vektor u = < a, b > harus merupakan vektor satuan. Jika akan ditentukan turunan berarah dari suatu fungsi dalam arah vektor v dan v bukan vektor satuan, maka dicari vektor satuan yang searah dengan vektor v, yaitu

) 0 , , (x₀ y₀ 0 x 0 y ) , (x y f z==== ) , , (x₀ y₀ z₀ arah dalam perubahan Laju ) , ( _{0 0} x y x f_x = arah dalam perubahan Laju ) 0 , 0 ( y y x y f = arah dalam perubahan Laju ) , ( _{0 0} u y x D_u = , >>>> =< =< =< =<a b u

v v | v | v u | | 1 = = = = = == = .

3. Arah vektor satuan u dapat dinyatakan dalam bentuk sudut θ , sudut antaravektor u dan sumbu x. Dalam hal ini, u=<cos ,sin > ( perhatikan bahwa u adalah vektor satuan, karena

1 1 sin

cos2 + 2 = = =

|u| ) dan turunan berarah dapat dinyatakan dengan θ θ ( , )sin cos ) , ( ) , ( uf x y f x y f x y D = _x + _y .

4. Turunan berarah menyatakan laju perubahan fungsi f dalam arah vektor satuan u.

Contoh 2.12: Tentukan turunan berarah dari f(x,y)=3y−4xy+6x di titik (1, 2) dalam arah vektor satuan yang membentuk sudut

3

π θ ==== .

Penyelesaian:

Contoh 2.13: Tentukan turunan berarah dari fungsi f(x,y)=3y−4xy+6x di titik (-3, -4) dalam arah vektor v=−2i+3j.

Penyelesaian:

Turunan parsial f adalah

6 4 ) , (x y =− y+ f_x ; f_y(x,y) =3−4x

Vektor v bukan vektor satuan dan vektor satuan yang searah dengan vektor v adalah ) 3 2 ( 13 1 ) 3 2 ( 9 4 1 1 j i -j i -v |v| u + = + + = =

) 13 3 )( 4 3 ( ) 13 2 )( 6 4 ( ) , (x y y x f_u = − + − + −

Turunan berarah di titik ( -3, - 4) adalah

. 13 1 ) 13 3 ))( 3 ( 4 3 ( ) 13 2 )( 6 ) 4 ( 4 ( ) 4 , 3 (− − = − − + − + − − = u f Gradien Fungsi

Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y), vektor gradien, dinyatakan dengan )

, (x y f

∇ , adalah vektor di bidang x-y yang dinyatakan dengan j ) , ( i ) , ( ) , (x y f x y f x y f = _x + _y ∇ Catatan

1. Turunan berarah fungsi z = f (x, y) dalam arah vektor satuan u = < a, b > dapat dituliskan dalam bentuk dot product, yaitu,

b y x f a y x f b a y x f y x f b a y x f y x f y x f y x f D y x y x y x ) , ( ) , ( , ) , ( ), , ( ) j i ( j) ) , ( i ) , ( ( u ) , ( ) , ( u + = > < ⋅ > =< + ⋅ + = ⋅ ∇ =

2. Vektor gradien ∇f(x,y) menunjukkan arah perubahan maksimum dari permukaan z = f (x, y). Panjang vektor gradien adalah nilai maksimum dari turunan berarah, yaitu laju perubahan maksimum dari f. Jadi Nilai maksimum turunan berarah f adalah | ∇f(x,y)|

3. Sedangkan −∇f (x,y) adalah nilai minimum turunan berarah f

Contoh 2.14: Diberikan fungsi f(x,y)= ycos(x− y). a. Tentukan gradient f

b. Tentukan gradien di titik P ,0) 3 (π .

c. Gunakan gradient untuk menentukan turunan berarah f dalam arah vektor > − =< 5 4 , 5 3

u , kemudian tentukan laju perubahan f di P dalam arah vektor u.

d. Tentukan laju perubahan maksimumnya di P dan dalam arah manakah saat perubahan itu terjadi.

Turunan berarah dan gradien untuk fungsi 3 peubah

Turunan berarah fungsi 3 peubah f (x, y, z) dalam arah vektor satuan u = < a, b, c >, dinyatakan dengan D_uf(x,y,z), didefinisikan dengan:

c z y x f b z y x f a z y x f z y x f D_u ( , , )= _x( , , ) + _y( , , ) + _z( , , ) Vektor gradient, ∇∇∇∇f(x,y,z), dinyatakan sebagai

k ) , , ( j ) , , ( i ) , , ( ) , , (x y z f x y z f x y z f x y z f = _x + _y + _z ∇

Contoh 2.15: Tentukan gradien dan turunan berarah dari xyz xy x z y x

f ( , , )=5 2 −3 + di P(1, 2, 4) dalam arah dari titik P ke titik Q(-3, 1, 2).

Penyelesaian:

Terlebih dahulu dicari turunan parsial terhadap x, y, and z, yaitu

yz y x yz y x z y x f_x( , , )=10 −3 (1)+ (1)=10 −3 + xz x xz x z y x f_y( , , )=0−3 (1)+ (1)=−3 + xy xy z y x f_z( , , )=0−0+ (1)= . Diperoleh gradien:

k j ) 3 ( i ) 3 10 ( k ) , , ( j ) , , ( i ) , , ( ) , , ( xy xz x yz y x z y x f z y x f z y x f z y x f _{x y z} + + − + + − = + + = ∇

Sehingga gradient di titik P(1, 2, 4) adalah

> =< + + = + + − + + − = ∇ 2 1 12 k 2 j i 12 k ) 2 )( 1 ( j )) 4 )( 1 ( ) 1 ( 3 ( i )) 4 )( 2 ( ) 2 ( 3 ) 1 ( 10 ( ) 4 , 2 , 1 ( , , f

Selanjutnya untuk mencari turunan berarah, pertama ditentukan vektor satuan u , yang searah dengan vektor dari titik P(1, 2, 4) ke titik Q(-3, 1, 2).

Perhatikan bahwa vektor ==== =<=<=<=<−−−− −−−− −−−− −−−− >=<>=<>=<>=<−−−− −−−− −−−− >>>>

→ → → → 2 , 1 , 4 4 2 , 2 1 , 1 3 PQ v dan v

bukan vektor satuan. Vektor satuan yang searah dengan vektor v adalah ( _*+*) > − − − >=< − − − < = > − − − < − + − + − = 21 2 21 1 21 4 2 1 4 21 1 2 1 4 ) 2 ( ) 1 ( ) 4 ( 1 2 2 2 , , , , ,

Dengan demikian diperoleh turunan berarah di titik P(1,2,4) yang searah dengan vektor sataun u

21 53 21 4 21 1 21 48 ) 21 2 ( 2 ) 21 1 )( 1 ( ) 21 4 )( 12 ( 21 2 , 21 1 , 21 4 2 , 1 , 12 u ) 4 , 2 , 1 ( ) 4 , 2 , 1 ( u − = − − − = − + − + − = > − − − < ⋅ > =< ⋅ ∇ = f f D

Contoh 2.16: Tentukan laju perubahan maksimum dari fungsi xyz xy x z y x

f( , , )=5 2−3 + di titik (1, 2, 4) dan arah saat perubahan itu terjadi.

Garis Normal terhadap Permukaan

Perhatikan kembali bahwa grafik fungsi z = f (x, y) akan berupa luasan permukaan di ruang 3D .

Selanjutnya persamaan dapat kita tulis dalam bentuk z y x f z y x F( , , )= ( , )− = 0.

Selanjutnya, misalkan titik (x₀,y₀,z₀) pada permukaan, maka gradien F di titik tersebut, yaitu

k ) , , ( j ) , , ( i ) , , ( ) , , (x₀ y₀ z₀ F x₀ y₀ z₀ F x₀ y₀ z₀ F x₀ y₀ z₀ F = _x + _y + _z ∇

merupakan vektor orthogonal (normal) terhadap permukaan z = f(x,y).

) , (x y f z==== ) , , (x₀ y₀ z₀ F ∇ ∇∇ ∇ ) , , (x₀ y₀ z₀

Contoh 2.17 : Tentukan vektor normal satuan terhadap permukaan 4 2 2 = + xz y x di titik (2, − 2, 3). Penyelesaian :

Permukaan x2y + 2xz= 4 dapat dinyatakan sebagai

0 4 2 ) , , (x y z = x2 y + xz− = F .

Maka vektor normal terhadap permukaan tersebut adalah ) 4 2 ( ) 4 2 ( ) 4 2 ( 2 2 2 + − ∂ ∂ + − + ∂ ∂ + − + ∂ ∂ = ∇ x y xz z f k z x y x y j z x y x x i F k x j x i z y x 2 ) 2 2 ( + + 2 + = Di (2, − 2, 3), F∇ (2, − 2, 3) =− 2i + 4j + 4k 6 16 16 4 | |∇F _(2,−2,3) = + + =

Jadi vektor normal satuan terhadap permukaan F adalah k. j i k j i 3 2 3 2 3 1 4 4 2 ( 6 1 + + − = + + − = )

Bidang Singgung

Menggunakan gradien, kita dapat menemukan persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan permukaan.

Untuk memperoleh persamaan bidang, diperlukan titik pada bidang tersebut dan sebuah vektor normal. Karena

> =<

∇F(x₀,y₀,z₀) F_x(x₀,y₀,z₀),F_y(x₀,y₀,z₀),F_z(x₀, y₀,z₀)

menyatakan vektor normal terhadap permukaan (dan bidang singgung), Komponen-komponennya dapat digunakan dalam menentukan persamaan bidang singgung di titik (x₀,y₀,z₀). Persamaan bidang singgung dinyatakan dalam: 0 ) )( , , ( ) )( , , ( ) )( , , (x₀ y₀ z₀ x−x₀ +F x₀ y₀ z₀ y−y₀ +F x₀ y₀ z₀ z−z₀ = F_{x y z} . ) , (x y f z==== ) , , (x₀ y₀ z₀ F ∇ ∇ ∇ ∇ ) , , (x₀ y₀ z₀

Persamaan parameter untuk garis normal di titik (x₀,y₀,z₀)dinyatakan dengan t z y x F x x= ₀+ _x( ₀, ₀, ₀) , y= y₀+F_y(x₀,y₀,z₀)t, z = z₀+F_z(x₀,y₀,z₀)t atau ) , , ( ) , , ( ) , , ( _{0 0 0} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x − = − = −

Contoh 2.18: Carilah persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan f(x,y)=e−x2−y2 di titik (0,1,1)

e . Penyelesaian:

Perhatikan bahwa f(x,y)=e−x2−y2dapat ditulis sebagai z =e−x2−y2 atau z e z y x f z y x F( , , )= ( , )− = −x2−y2 − . Selanjutnya akan dicari vektor gradient di titik (0,1,1)

e . Dengan mengingat vektor gradient di titik (x₀,y₀,z₀),

k ) , , ( j ) , , ( i ) , , ( ) , , (x₀ y₀ z₀ F x₀ y₀ z₀ F x₀ y₀ z₀ F x₀ y₀ z₀ F = _x + _y + _z ∇ ,

pertama kita cari turunan parsialnya, yaitu

2 2 2 2 2 0 2 ) , , ( x y x y x x y z xe xe F =− − − − = − − − 2 2 2 2 2 0 2 ) , , ( x y x y y x y z ye ye F = − − − − =− − − 1 1 0 ) , , (x y z = − = − F_z di titik ( ₀, ₀, ₀) (0,1,1) e z y x = diperoleh

0 ) 0 ( 2 ) 1 , 1 , 0 ( ) , , ( _{0 0 0} = =− e−(0)2−(1)2 = e F z y x F_{x x} , e e e e F z y x F_y( ₀, ₀, ₀)= _y(0,1,1)=−2(1) −(0)2−(1)2 =−2 −1 =−2, dan 1 ) 1 , 1 , 0 ( ) , , ( _{0 0 0} = =− e F z y x F_z ,

Sehingga vektor gradien F di titik (0,1,1)

e adalah k j k j i e e e F(0,1,1)====0 ++++(1) ++++1 ==== ++++1 ∇ ∇ ∇ ∇

Selanjutnya akan dicari persamaan garis singgung

0 ) )( , , ( ) )( , , ( ) )( , , (x₀ y₀ z₀ x−x₀ +F x₀ y₀ z₀ y−y₀ +F x₀ y₀ z₀ z−z₀ = F_{x y z} Di titik ( ₀, ₀, ₀) (0,1,1) e z y x = , diperoleh 0 ) 1 )( 1 , 1 , 0 ( ) 1 )( 1 , 1 , 0 ( ) 0 )( 1 , 1 , 0 ( − + − + − = e z e F y e F x e F_{x y z} atau 0 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 2 ( ) 0 )( 0 ( − + − − + − − = e z y e x atau 0 ) 1 ( ) 1 ( 2 = − − − − e z y e atau

Atau 0 3 2 = + − − e z y

e . (ini adalah bidang siggung) Sedangkan persamaan garis normalnya

t z y x F x x= ₀+ _x( ₀, ₀, ₀) , y= y₀+F_y(x₀,y₀,z₀)t, z = z₀+F_z(x₀,y₀,z₀)t dengan ( ₀, ₀, ₀) (0,1,1) e z y x = , diperoleh 0 ) 1 , 1 , 0 ( ) , , ( _{0 0 0} = = e F z y x F_{x x} , e e F z y x F_y( ₀, ₀, ₀)= _y(0,1,1)=−2, dan 1 ) 1 , 1 , 0 ( ) , , ( _{0 0 0} = =− e F z y x F_z .

Jadi persamaan garis normalnya adalah t x=0+(0) , t e y=1+(−2) , t e z = 1+(−1) atau 0 = x , t e y=1−2 , t e z= 1−

Dengan menyelesaikan untuk t diperoleh persamaan garis normal

1 / 1 / 2 1 − − = − − z e e y . LATIHAN 2.6

2. Jika ( , )f x y =xey,tentukan laju perubahan f di titik P(2,0) dalam arah dari P ke titik 1, 2 .

2 Q

3. Misalkan suhu di titik ( , , )x y z dalam ruang diberikan oleh

2 2 2 80 ( , , ) 1 2 3 T x y z x y z =

+ + + , dengan T diukur dalam derajar Celsius dan , ,x y z dalam meter. Dalam arah manakah suhu naik tercepat di titik (1, 1,2)?− Tentukan laju perubahan maksimumnya! 4. Tentukan vektor normal satuan terhadap permukaan

9 2 2 2_{+ + =} z y x di titik (2, 1, 2)

5. Carilah persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan x− =z 4arctan(yz) di titik (1+

π

, 1, 1).

6. Carilah persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan x2 ++++ y2 ++++z2 ====9di titik (2, 1, 2).

2.7. JACOBIANS

Pada bagian ini akan dibahas tentang Jacobian. Jacobian nantinya akan sangat bermanfaat ketika kita berbicara mengenai integral lipat, khususnya dalam penggantian variable

Jika x = g (u, v) dan y = h (u, v) terdiferensial, maka Jacobian x dan y yang bersesuaian dengan (terhadap) u dan v, dinyatakan dengan

) ( ) ( v u, y x, ∂ ∂ , didefinisikan sebagai

v y u y v x u x v u, y x, ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ) ( ) ( Jika x= g (u,v,w), y= h(u,v,w),z = j(u,v,w) terdiferensial,maka Jacobian yang diperoleh dari transformasi dari daerah U di ruang u v w ke daerah W dalam ruang x y z, didefinisikan sebagai

w z v z u z w y v y u y w x v x u x w) v, (u, z) y, (x, ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ , ) ( ) ( w v, u, z y, x, ∂ ∂

sering ditulis dengan . w v, u, z y, x, J Sifat : Jika , ) , ( ) , ( dan ) , ( ) , ( v u y x J y x v u J ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∗ Maka ∗ =1. JJ Bukti :

MIsalkan u = (x,y) dan v= (x,y). Selanjutnya kita dapat menyelesaikan x, y dalam u dan v sehingga diperoleh

). ( dan ) ( ₁ 1 u,v y u,v u = = diperoleh dy y u dx x u du ∂ ∂ + ∂ ∂ = dan dv= ∂v dx+ ∂v dy.

Dengan demikian didapatkan 1 0 1 dan =0 ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ u v v v , v u , u u sehingga u y y u u x x u u u ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ 1 v y y u v x x u v u ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ 0 v y y v v x x v v v ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ 1 u y y v u x x v u v ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ 0 Diperoleh v y u y v x u x y v x v y u x u JJ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ × ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗

(Dengan mengingat A B = AB , diperoleh

JJ∗ v y y v v x x v u y y v u x x v v y y u v x x u u y y u u x x u ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = 1 1 0 0 1 = = Sifat

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( y x q p q p v u y x v u ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ Bukti

Karena u dan v fungsi dari p dan q,maka

dq q u dp p u du ∂ ∂ + ∂ ∂ = dq q v dp p v dv ∂ ∂ + ∂ ∂ = dan x q q u x p p u x u ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ y q q u y p p u y u ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ x q q v x p p v x v ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ y q q v y p p v y v ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ Dengan memperhatikan y q x q y p x p q v p v q u p u y x, q p, q p, v u, ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ × ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ × ∂ ∂ ) ( ) ( ) ( ) ( y q q v y p p v x q q v x p p v y q q u y p p u x q q u x p p u ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ =

) ( ) ( y x, v u, y v x v y u x u ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = diperoleh ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y x, q p, q p, v u, y x, v u, ∂ ∂ × ∂ ∂ = ∂ ∂ Sifat

Jika u dan v fungsi dari x dan y sedemikian sehingga f (u, v) = 0, maka 0. ) , ( ) , ( = ∂ ∂ y x v u Bukti :

Karena f (u, v) = 0, maka

= 0 ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ x v v f x u u f dan =0. ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ y v v f y u u f Eliminasi v f , u f ∂ ∂ ∂ ∂ diperoleh 0 = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y v y u x v x u yaitu, . y v x v y u x u 0 = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Dengan demikian diperoleh, . y x, v u, 0 ) ( ) ( = ∂ ∂ Contoh 2.18 :

JIka x = r cos θ, y = r sin θ, z = z, tentukan . ( ( z) , r, z) y, x, ∂ ∂ Penyelesaian: 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos ) ( ) ( r r z z z r z z y y r y z x x r x z , r, z y, x, − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

= r cos2θ − (− rsin2θ)= r (cos2θ +sin2θ)= r

Turunan parsial menggunakan jacobian Diberikan persamaan:

/ # .

0 # .

dengan memperhatikan u dan v sebagai fungsi dari x da y, maka: 1# 1 1 / 0 1 . 1 / 0 1 # . 1# 1 1 / 0 1 . 1 / 0 1 # . 1. 1 1 / 0 1 # 1 / 0 1 # . 1. 1 1 / 0 1 # 1 / 0 1 # .

Jika # . # . Tentukan 23 2 ,242 . Penyelesaian: 1# 1 1 / 0 1 . 1 / 0 1 # . 5 #_. 5 5 # 5 # . # 1. 1 1 / 0 1 # 1 / 0 1 # . 5 # _.# 5 5 # 5 # . "# # # LATIHAN 2.7 :

1. Jika x = r cos θ, y = r sin θ, Tentukan

) , ( ) , ( and ) , ( ) , ( y x r r y x ∂ θ ∂ θ ∂ ∂ dan tunjukkan bahwa . y x, r, . r, y x, 1 ) ( ) ( ) ( ) ( = ∂ ∂ ∂ ∂

2. Jika x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ, tentukan . , r, z y, x, ) ( ) ( ∂ ∂ 3. Jika , 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x y , x x x y , x x x y = = = Tentukan ) ( ) ( 3 2 1 3 2 1 x , x , x y , y , y ∂ ∂ dan ) ( ) ( 3 2 1 3 2 1 y , y , y x , x , x ∂ ∂ .

4. Jika u = x + y + z, y + z =uv, z =u vw, tentukan ) ( ) ( w v, u, z y, x, ∂ ∂ dan . ( ( z) y, x, w) v, u, ∂ ∂

5. Tentukan 23₂ 23₂ 24₂ 24₂ dari fungsi:

# 6 _#.