05 Menghitung Integral dengan Aturan Parsial

(1)

TEKNIK PENGINTEGRALAN

C. Menghitung Integral dengan Aturan Parsial

Tehnik pengintegralan berikutnya selain dengan substitusi adalah dengan teknik

parsial. Metoda pengintegraalan parsial ini didapat dari balikan proses turunan hasil kali dua fungsi. Untuk lebih lengkapnya ikutilah proses berikut ini:

Misalkan u dan v adalah fungsi-fungsi dalam x dan diketahui y = u . v, maka diperoleh

y = u . v

dx dy

= u.

dx dv

+ v.

dx du dy = u dv + v du



dy 



udv 



vdu y =



udv 



vdu u . v =



udv 



vdu

u . v –



udv 



vdu sehingga



u dv  u.v



vdu

Jadi jika u dan v adalah fungsi-fungsi dalam x maka



u dv  u.v



vdu

Selengkapnya, penggunaan integral parsial dalam soal dapat diuraikan sebagai berikut

Contoh Soal

1. Tentukanlah hasil dari :

(a)



12x(2x 4)5dx (b)



6x(3x2)4dx Jawab

(a)



12x(2x 4)5dx = …..? Misalkan u = 12x

dx du

= 12 du = 12 dx

dv = (2x4)5dx v =



(2x4)5dx v = 1 (2x 4)5 1

1) 2(5







v = 1 (2x 4)6

12 

sehingga :



12x(2x 4)5dx = u.v



vdu = (12x) 1 (2x 4)6

12  –



(2x4) .12dx

6

(2)

= x.(2x4)6 – (2x 4)6 1 1)

2(6

1 _



 + C

= x.(2x4)6 – (2x 4)7 14

1

 + C

(b)



6x(3x2)4dx = …..? Misalkan u = 6x maka

dx du

= 6 atau du = 6 dx

dv = (3x2)4dx maka v =



(3x2)4dx v = 1 (3x 2)4 1

1) 3(4



v = 1 (3x 2)5

15 

sehingga :



6x(3x2)4dx = u.v



vdu = (6x) 1 (3x 2)5

15  –



(3x2) .6.dx

5

15 1

= 2x.(3x 2)5

5  –



(3x2) .dx

5

5 2

= 2x.(3x 2)5

5  –

1 5

) 2 (3x 1) 3(5

1 . 5

2 _



 + C

= 2x.(3x 2)5

5  –

6

) 2 (3x 45

1

 + C

02. Tentukanlah hasil dari :

(a)



8x.cos2x.dx (b)



9x.sin(3x).dx

Jawab

(a)



8x.cos2x.dx = …..?

Misalkan u = 8x maka dx du

= 8 atau du = 8 dx

dv = cos 2x dx maka v =



cos2x.dx

v = 2 1

sin 2x

sehingga :



8x.cos2x.dx = u.v



vdu = (8x)

2 1

sin 2x –



sin2x.8.dx 2

1 = 4x.sin2x –



4.sin2x.dx

= 4x.sin2x + .cos2x 2 4

(3)

(b)



9x.sin(3x).dx = …..?

Jawab

= 9 atau du = 9 dx

dv = sin(3x).dx maka v =



sin(3x).dx

v = 1cos(3 )

3 

 x

sehingga :



9x.sin(3x).dx = u.v



vdu = (9x)

  

_1_cos(₃ _ ₎

3 x  –



3cos(3x ).9.dx

1 _

= 3x.cos(3x) + 3



cos(3x).dx

= 3x.cos(3x) + 3

  

 _.sin₍₃ _ ₎

3 1



x + C

= 3x.cos(3x) + sin(3x) + C 03. Tentukanlah hasil dari

(a)



6x2.sin2x.dx (b)



12x2(3x1)3dx Jawab

(a)



6x2.sin2x.dx = …..? Misalkan u = 6x2 maka

dx du

= 12x atau du = 12x dx

dv = sin2x dx maka v =



sin2x.dx

v = 2 1

 cos 2x

sehingga :



6x2.sin2x.dx = u.v



vdu = (6x2)

  

1cos2x

2 +



2cos2x.12x.dx 1

= 3x2.cos2x +



6x.cos2x.dx Misalkan u = 6x maka

dx du

= 6 atau du = 6 dx

dv = cos2x dx maka v =



cos2x.dx

v = 2 1

(4)

sehingga :



6x2.sin2x.dx = 3x2.cos2x + u.v



vdu = 3x2.cos2x + (6x)

  

1_sin₂_x

2 –



2sin2x.6.dx 1

= 3x2.cos2x + 3x.sin2x –



3.sin2x.dx = 3x2cos2x + 3x.sin2x +

2 3

cos2x + C

(b)



12x2(2x1)3dx = …..? Misalkan u = 12x2 maka

dx du

= 24x atau du = 24x dx



(2x1)3dx v = 1 (2x 1)3 1

1) 2(3



v = 1(2x 1)4

8 

sehingga :



12x2(2x1)3dx = u.v



vdu = 12x2 1(2x 1)4

8  –



(3x1) 24x.dx 1

. 4

8 = x2(2x 1)4

2 3

 –



3x.(2x 1)4.dx

= 3 atau du = 3.dx



(2x1)4dx v = 1 (2x 1)4 1

1) 2(4



v = 1 (2x 1)5

10 

sehingga :



12x2(3x1)3dx = x2(2x 1)4 2

3

 – (u.v



v.du )

= x2(2x 1)4 2

3

 – _3x. (2x1)5



(2x1)5.3.dx_ 10

1 10

1

= x2(2x 1)4 2

3

 – x.(2x1)5 



(2x1)5.dx 10

3 10

3

= x2(2x 1)4 2

3

 – x x  x  C



1 5 5

) 1 2 ( )

1 2 .(

) 1 5 ( 2

1 . 10

3 10

3

= x2(2x 1)4 2

3

 – x.(2x1)5  (2x1)6C 40

1 . 10

(5)

Disamping itu, proses pengintegralan dengan aturan parsial dapat juga dilakukan dengan

bantuan bagan atau skema yang dikenal dengan cara Tanzalin_{. Untuk contoh soal nomor}

3, dapat diuraikan sebagai berikut :

03. Tentukanlah hasil dari

(a)



6x2.sin2x.dx (b)



(a)



6x2.sin2x.dx Jawab



6x2.sin2x.dx = (6x2)( 2 1

 cos2x) – (12x)( 4 1

 sin2x) + (12)( 8 1

cos2x) + C

= 3x2cos2x + 3x.sin2x + 2 3

cos2x + C

(b)



12x2(2x1)3dx = (12x2) (3 1)4 12

1



x – (24x) (3 1)5 180

1



x + (24) (3 1)6 3240

1



x + C

= x2(3x1)4 – x.(3x1)5 (3x1)6C 135

1 15

2

x 2 sin

x 2 cos 2 1 

x 2 sin 4 1  2

6x

12x 12

0 cos2x

8 1

3

) 1 3 ( x 2

12x

24x 24

0

4

) 1 3 ( 12

1



x

5

) 1 3 ( 180

1



x

6

) 1 3 ( 3240

1



(6)

04. Tentukanlah hasil dari

(a)



8.sin2x.cos4x.dx (b)



9.sin3x.sinx.dx Jawab

(a)



8.sin2x.cos4x.dx = … Misalkan u = 8.sin2x maka

dx du

= 16.cos2x atau du = 16.cos2x dx

dv = cos4x dx maka v = cos4x.dx v =

4 1

sin 4x

sehingga :



8.sin2x.cos4x.dx = u.v



vdu = (8.sin2x)(

4 1

sin 4x) –



sin4x)(16.cos2x. ) 4

1

( dx

= 2.sin2x.sin4x –



4.sin4x.cos2x.dx

Misalkan u = 4.cos2x maka dx du

= –8.sin2x atau du = –8.sin2x dx

dv = sin4x dx maka v = _sin 4x.dx v =

4 1

 cos 4x

sehingga :



8sin2x.cos4x.dx = 2.sin2x.sin4x – (u.v



vdu)



8sin2x.cos4x.dx = 2sin2x.sin4x – (4cos2x)( 4 1

 cos4x) +



 cos4x)(8.sin2x. ) 4

1

( dx

8



sin2x.cos4x.dx = 2sin2x.sin4x + cos2x.cos4x + 2



sin2x.cos4x.dx + C 6



sin2x.cos4x.dx = 2sin2x.sin4x + cos2x.cos4x + C



sin2x.cos4x.dx = 3 1

sin2x.sin4x + 6 1

cos2x.cos4x + C

(b)



9.sin3x.sinx.dx = …

Misalkan u = 9.sin3x maka dx du

= 27.cos3x atau du = 27.cos3x dx

dv = sinx dx maka v = _sin x.dx v = –cosx sehingga :



9.sin3x.sinx.dx = u.v



vdu

= (9.sin3x)(–cosx) –



(cosx)(27.cos3x.dx)

(7)

Misalkan u = cos3x maka dx du

= –3.sin3x atau du = –3.sin3x dx

dv = 27.cosx dx maka v = 27.cos x.dx v = 27.sin x sehingga :



9.sin3x.sinx.dx = –9.sin3x.cosx + (u.v



vdu)



9.sin3x.sinx.dx = –9.sin3x.cosx + (cos3x)(27sinx) –



(27.sinx)(3.sin3x.dx) 9



sin3x.sinx.dx = –9.sin3x.cosx + 27.cos3x.sinx + 81



sin3x.sinx.dx + C

–72



sin3x.sinx.dx = –9.sin3x.cosx + 27.cos3x.sinx + C



sin3x.sinx.dx = 8 1

sin3x.cosx – 8 3

cos3x.sinx + C

05. Dengan menggunakan integral parsial buktikanlah bahwa



cos4x dx =

4 1

cos3x.sinx +

8 3

x +

16 3

sin2x + C

Jawab



cos4x dx =



cos3x.cos x dx

Misalkan u = cos3x maka du = –3cos2x.sinx dx v =



cos x dx maka v = sin x

maka



cos4x dx = cos3x.sinx +



3cos2x.sin2x dx



3cos2x.(1cos2x) dx



3cos2x. dx –



3cos4x dx



cos4x dx +



3cos4x dx = cos3x.sinx +



3cos2x. dx 4



 dx

2 3

cos2x) (1



cos4x dx = 4 1

cos3x.sinx + x 8 3

+



dx 8

3

cos2x



cos4x dx = 4 1

cos3x.sinx + x 8 3

+ sin2x 16

3