BAB VI. TURUNAN FUNGSI TINGKAT TINGGI

BAB VI.

TURUNAN FUNGSI TINGKAT TINGGI

Jika Y = f (x) terdiferensial pada himpunan A maka f’ (x) (turunan pertama dari fungsi x) nilainya tergantung dari x € A. Jadi f’ (x) adalah juga merupakan fungsi dari x. Jika f’ (x) terdeferensial pada x maka turunannya disebut turunan tingkat dua atau turunan ke-2. dari f () di

tulis f‘’(x) ; 2

2 2

2 _{( )}

dx y d atau dx

x f d

 f’ (x) = d/dx atau ₂ / ( / ).

2

dy dy x d d dx

y d



Dengan pengertian yang sama bila turunan f’’ (x) ada turunan itu disebut turunan tingkat tiga dari fungsi x

ditulis f ‘’’ (x) atau 3

3 3

3

'' ' ; ) (

dx y d atau y

dx x f d

Selanjutnya turunan tingkat n dari y = f (x) dimana n bilangan bulat positif ditulis dengan lambnag :

n n n

n n n

dx y d atau y

dx x f d x

Contoh :

1. y = 6x3 _{+ 12x}2 _{+ 5x + 2}  _d3_y/dx3 _{= ……?}

dy/dx = 18 x2 _{+ 24 x + 5}

d2_y/dx2 _{= 36x + 24.}  _d3_y/dx3 _{= 36}

2. y = xm  _y(n)

y(1) _{= m x}m-1

y(2) _{= m (m-1) x}m-2

y(n) _{= m (m-1) (m-2) (m-3) … (m-n+1) x}m-n

3. y = x6  _{y y} (4)

y(4) _{= 6.5.4.3.x}2 _{= 360 x}2

4. Jika Y = u.v  y(n) _{= …}

Y(1) _{= u’v + uv’}

Y(2) _{= u’’v + u’v’ + u’v’ + uv’’}

= u’’v + 2u’v’+uv’’

y(n) ₌ ( ) ( )_{; 1,2,3,......}

    

 



 u v n

k

n _{n k k}

n

o k

u(0) _{= u dan v}(0) _{= v}

5. Y = X4 _(3X+5)3  _Y(4) _{(pakai aturan LEIBNIZ}

Penyelesaian :

Misalkan : u = x4 _{dan v = (3x – 5)}3

Y(4) ₌ (4) (0) ₎ (3) (1)

1 4 ( ) 0 4

( u v  u v

) 4 ( ) 0 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ₎ 4 4 ( ) 3 4 ( ) 2 4

( u v   u v  u v

U = x v = (3x+5)3

U(1) _{= 3x}3 _v(1) _{= 9 (3x+5)}2

U(2) _{= 12x}2 _v(2) _{= 54 (3x+5)}

U(3) _{= 24x v}(3) _{= 162}

U(4) _{= 24 v}(4) _{= 0}

. 1 ! ) 0 4 ( ! 0 ! 4 ) 0 4 (    1 ) 4 4 ( 6 ) 2 4 ( 4 ) 3 4 ( 4 ) 1 4 (    

Y(4) _{= 1.24. (3x5)}p _{+ 4 (24x) {9(3x+5)}+}

6.12x2 _{{54(3x+5)} + 4.4x}3 _{. 162 + 1.x}4

SOAL – SOAL LATIHAN

1 .Y = sin2 _{xcos x  d}2_y/dx2

2. Y = e2 x _{ d}3 _y/dx3

3. Y = sin2 _{x. cos}2 _{x  d}2_y/dx2

4. Y = etg 2x+3 _{ d}2 _{y / dx}2

5. Y = a _{log( 4x}2_{+2x+5 )  d}3_y/dx3

6. Y = sec(x–3)  2₂