BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n - Vektor Integral Turunan dimensi-n.rar (663Kb)

 

BAB III

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH

fungsi bernilai riil dari peubah riil

, fungsi bernilai vektor dari peubah riil

Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi yang memadankan setiap

pasangan terurut , dalam rangka D pada bidang dengan bilangan riil , .

, – ,

Himpunan D disebut daerah asal (domain) fungsi.

Jika daerah asal fungsi tidak diperinci , maka D berupa daerah asal mulanya

(natural domain), yakni himpunan semua titik , pada bidang dimana aturan

fungsi berlaku dan menghasilkan suatu bilangan riil. Contoh :

, daerah mulanya adalah seluruh bidang , daerah asal mulanya adalah , : , Daerah nilai suatu fungsi adalah himpunan nilai-nilainya

, dan peubah bebas peubah tak bebas Contoh : Buatlah grafik daerah asal mula untuk ,

Solusi : Keluarkan , : dan titik ,

   

™

KURVA KETINGGIAN

Setiap bidang mendatar memotong permukaan dalam sebuah kurva.

Proyeksi kurva pada bidang disebut kurva ketinggian , dan kumpulan

lengkungannya disebut peta kontur.

2. TURUNAN PARSIAL

Turunan parsial f terhadap x di , dan dinyatakan sebagai ,

, _∆ ∆ , _∆ ,

Sebaliknya :

, _∆ , ∆_∆ ,

Bidang    ,  

Permukaan 

Kurva ketinggian _,    

 

 

Permukaan 

7000 ft 

5000 ft 

  Contoh :

Carilah , dan , ,

, ,

, ,

,

, , ; , ,

, , ; , ,

Contoh :

Jika , cari dan

Solusi :

™

TURUNAN PARSIAL TINGKAT TINGGI

 

Cari keempat turunan parsial dari

, ⁄

Solusi : , ⁄

, ⁄

, ⁄

, ⁄ ⁄

, ⁄ ⁄

, ⁄ ⁄

3. LIMIT DAN KEKONTINUAN

, , ,

Nilai , semakin dekat ke bilangan pada waktu , mendekati

, caranya tak terhingga

Untuk mengatakan bahwa _{, ,} , berarti bahwa untuk

setiap 0 (betapapun kecilnya) terdapat 0 yang berpadanan sedemikian

hingga | , | dengan syarat bahwa | , , |

Contoh : Perlihatkan bahwa fungsi f yang didefinisikan oleh ,

tidak mempunyai limit di titik asal.

Solusi : ,

Jadi, limit , untuk , mendekati , sepanjang sumbu x adalah

_{, ,} , _{, ,}

 

, , , , ,

Jadi kita mendapat jawaban yang berbeda tergantung bagaimana

, , .

™ Kekontinuan pada suatu titik

, kontinu di titik (a,b), dengan syarat

. mempunyai nilai di (a,b)

. mempunyai limit di (a,b), dan

. nilai f di (a,b) sama dengan limitnya _{, ,} , ,

Berarti f tidak mempunyai loncatan atau fruktuasi liar di (a,b)

Teorema :

komposisi tunggal jika g suatu fungsi dua peubah kontinu di a,b dan f suatu fungsi satu peubah kontinu di , , maka fungsi komposisi yang didefinisikan oleh , , , adalah kontinu di a,b .

Contoh : Perlihatkan bahwa , adalah kontinu di

setiap titik dari bidang Solusi :

Fungsi , polinom, adalah kontinu dimana‐mana, juga kontinu disetiap bilangan t di R. , , kontinu di semua x,y di bidang.

4. KETERDIFERENSIALAN

dapat dideferensialkan di jika terdapat suatu vektor sedemikian hingga :

. | | dengan pada

Vektor gradient di

. | |

Catatan :

  • _{Titik dalam . menunjukkan hasil kali titik dari dua vector}

Jika fungsi dua peubah yang dapat dideferensialkan di , , maka turunan parsial pertama dari ada di dan

Contoh : Perlihatkan bahwa , dapat dideferensialkan dimana‐ mana dan hitung gradient‐gradientnya. Cari persamaan bidang singgung

, di 2,0

Solusi : ,

Fungsi ini kontinu dimana‐mana ,

, ,

Persamaan bidang singgungnya :

, , ,

, ,

Contoh : , , , cari , ,

, ,

, ,

, ,

Aturan‐aturan untuk gradient : Teorema :

adalah operator linier, yakni

  5. TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN

Andaikan , dan dan adalah vector‐vektor satuan arah dan positif. Maka turunan parsial di dapat dituliskan sebagai berikut :

Untuk tiap vector satuan , andaikan

Jika limit ini ada, ia disebut turunan berarah f di P pada arah u.

  Contoh : jika  _, , tentukan turunan berarah   di (2,‐1) pada arah 

vektor     

Solusi : 

Vektor satuan   pada arah a adalah   

, ,  

, ,  

,  

Contoh : Cari turunan berarah dari fungsi  _{, ,} di titik  _{, ,}  pada 

arah vector  . 

Solusi : 

Vektor satuan u pada arah a adalah    

, , , ,  

, , , ,  

, , , ,  

Maka  _{, ,}  

 

™ LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM  

Untuk suatu fungsi f di titik p , fungsi berubah paling cepat pada arah mana    yang terbesar 

. | || | | |  

 sudut antara   dan   

 maksimum pada   

 minimum pada   

Suatu fungsi bertambah secara paling cepat di p pada arah gradient (dengan laju  | |) dan berkurang secara paling cepat pada arah berlawanan (dengan laju 

   

6. ATURAN RANTAI (Chain Rule) 

Andaikan   dan   dapat didiferensialkan di   dan andaikan  , dapat didiferensialkan di  , maka fungsi  akan dapat  didiferensialkan di  dan karenanya, 

   

Contoh : Misalkan   dengan   dan  . Tentukan  _⁄  

Solusi :       laju  _,  dan tingginya bertambah pada laju  _, . Tentukan laju 

pertambahan luas permukaan terhadap waktu pada saat radius sama dengan  

⁄  dan hitung nilainya di  _⁄ . 

  Solusi : 

. √  

√  

 

Misalkan  _,  dan  _,  mempunyai turunan pertama di  _,  dan  misalkan  _,  dapat didiferensialkan di  _{, , ,} , maka 

, , ,  mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh : 

  

 

 

Contoh :  

Jika   dengan   dan  . Tentukan  dalam bentuk s 

dan t. 

Tentukan  _⁄  jika   

Solusi : 

  ⁄

⁄  

 

7. BIDANG SINGGUNG, APROKSIMASI 

Suatu permukaan yang ditentukan oleh  _{, ,}  dan sebuah kurva pada  permukaan tersebut yang melalui titik  _{, , .} Jika  _{, ,}   adalah persamaan parameter untuk kurva ini, maka untuk semua t 

Andaikan  _{, ,}   menentukan  suatu  permukaan  dan  misalkan  F  dapat 

dideferensialkan di sebuah titik  _{, ,}  dari permukaan dengan  _{, ,} , maka bidang yang melalui P tegak lurus  _{, ,}  dinamakan bidang singgung  permukaan itu di P. 

Teorema : 

Untuk permukaan  _{, ,} , persamaan bidang singgung di  _{, ,}  adalah 

, , , , , ,  

Dalam  hal  khusus,  untuk  permukaan  _, ,  persamaan  bidang  singgung  di 

, , ,  adalah  

Bidang singgung

, , , ,

 

, ,  

Contoh: 

Cari persamaan bidang singgung terhadap   di titik (1,1,2). 

Solusi : 

Misalkan  _,   

,   ,  

 

   

Contoh : Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap  

, ,  di  _{, ,}  

Solusi :  _{, , , ,}  

, ,  

Maka persamaan bidang singgung 

 

Persamaan simetri dari normal yang melalui  _{, ,} adalah : 

 

 

8. MAKSIMUM DAN MINIMUM 

Bila   suatu titik di s, yaitu daerah asal dari f 

 adalah nilai maksimum (global) dari  pada   jika   untuk semua 

p di s. 

 adalah nilai minimum (global) dari f pada s jika   untuk semua 

   adalah  nilai  ekstreem  (global)  dari  f  pada s  jika  jika ia  adalah  nilai  maksimum (global) atau nilai minimum (global). 

2) Titik‐titik stasioner   jika   adalah suatu titik dalam dari s dimana f dapat  didiferensialkan dan   bidang singgung mendatar. 

3) Titik‐titik singular   jika   adalah suatu titik dalam dari s dimana f tidak dapat  didiferensialkan. 

TEOREMA : 

Andaikan f dideferensikan pada suatu himpunan S yang mengandung  . jika   adalah  suatu ekstrem, maka   haruslah berupa suatu titik kritis,   berupa salah satu dari : 

i. Suatu titik batas dari S, atau  ii. Suatu titik stasioner dari f ; atau  iii. Suatu titik singular dari f. 

Contoh : cari nilai maksimum dan minimum local dari  _{, ⁄}  

 

, ⁄ ⁄  

⁄  

jadi  _,  adalah minimum global untuk f 

 

™ SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM 

Andaikan bahwa  _,  mempunyai turunan parsial kedua kontinu di suatu  lingkungan dari  _,  dan bahwa  _, . Ambil  

,  = _{, , ,}  

Maka : 

 jika  ₀ dan  _{, 0}, maka  _,  adalah nilai maksimum lokal. 

 jika  ₀ dan  _{, 0}, maka  _,  adalah nilai minimum lokal. 

 jika  ₀,  _,  bukan suatu nilai ekstrem  _,  adalah titik pelana. 

 jika  , pengujian tidak member kesimpulan 

Jadi pada titik  _,  

, . , ,  

.  

 

, 0 

Sehingga menurut  _{,  ,}  adalah nilai minimum local dari   Sedangkan pada titik  _{, :} 

, . , ,  

.  

0 

  ™ Tafsiran Geometri Metode Lagrange 

 

Vektor gradient  adalah tegak lurus terhadap kurva ketinggian, dan   adalah tegak  lurus terhadap kurva batasan, jadi   dan   sejajar di titik    dan  _, maka : 

 dan   

 dan   adalah bilangan tak nol. 

Teorema : Metode Lagrange 

Untuk memaksimumkan atau meminimumkan   terhadap batasan/kendala    , seesaikan sistem persamaan : 

 dan   

Tiap titik   yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem  terkendala dan   yang berpadanan disebut pengali lagrange. 

 

   Nilai ektrem terbatasi / terkendala

Maksimumkan atau minimum  _,   terhadap batasan  _,  

Untuk memaksimumkan f terhadap batasan 

,  adalah mencari kurva. 

Ketinggian  _,  dengan 

kemungkinan k terbesar yang memotong  kurva batasan yaitu pada titik  _,  

dan  _, . 

  Contoh : 

Gunakan Metode Lagrange untuk mencari nilai‐nilai maksimum dan minimum dari : 

,    ;pada ellips   

Solusi : 

, ,  

;  

Persamaan Lagrange : 

 

 

 

Jadi   dan   tidak dapat sama dengan nol 

Pers   

Pers  _,  

Jadi titik‐titik kritis  _,  

Bila   

Dari persamaan pertama, bila  _, maka dari persamaan ketiga   

Maka  _, juga titik‐titik kritis 

,  

,  

,  

,  

,  

 maka nilai minimum dari  _,  adalah   dan nilai maksimum adalah 1. 

  Contoh : 

Tentukan minimum  _{, , ,} terhadap batasan  _{, ,}  

Solusi : 

, ,  

, ,  

Titik kritis, bila 

, , , ,  dan  _{, ,}   Untuk  _{, , ,}  dengan λ pengali lagrange 

 

 

 

 

Dari   substitusi ke   dan  , didapat   dan     

Dari persamaan  , 

             

Sehinga penyelesaian sistem persamaan simultan tersebut adalah  _{– , , ,}  

Satu‐satunya titik kritis adalah  _{– , ,}  

Maka minimum   _{, ,}  terhadap kendala adalah  _{– , ,}  

Bagaimana bila batasannya lebih dari Satu 

Misalkan terdapat dua batasan  _{, ,}  dan  _{, ,}  , maka persamaannya  menjadi 

, , , , , ,  

  Dimana   dan   adalah pengali lagrange 

Sehingga sistem lima persamaan simultan adalah 

  _{, , , , , ,}    

    _{, , , , , ,}  

, , , , , ,  

, ,   

, ,   

 

Contoh : 

Tentukan nilai‐nilai maksimum dan minimum dari  _{, ,}  pada ellips  yang merupakan perpotongan tabung   dan   

Solusi : 

Persamaan‐persamaan Lagrange yang berpaduan 

 

 

 

 

 

Dari   

&  

 

Untuk   titik kritis  _{, ,}  

Untuk   titik kritis  _{– , ,}  

, ,  Nilai Maksimum