BELAJAR TENTANG TURUNAN slide

4. TURUNAN

4.1 Konsep Turunan

c x

c f x

m

_PQ

f



 ( )  ( )

4.1.1 Turunan di satu titik

Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung

Kemiringan tali busur PQ adalah :

c

f(c) P

x

f(x) Q

x-c

f(x)-f(c)

Jika x  c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan

c x

f(c) m f(x)



 lim 

 b. Kecepatan Sesaat

Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).

 Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah

c

c+h

Perubahan waktu Perubahan

posisi

s

f(c) f(c+h)

h

c f h c

v_ratarata  f (  ) ( )

Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :

Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk

Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan

Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi didefinisikan sebagai berikut:

bila limit diatas ada

h

c f h

c v f

v h rata rata h

) ( )

lim (

lim0 0



 

   

c x

f(c) v f(x)

c

x



 

lim



) ( ' c f

c x

f(c) c f(x)

f

x c



 

lim



)

(

'

Notasi lain :

Contoh : Diketahui tentukan )

( ' ) ,

( y c

dx c df

) x x (

f  1

 

 

 3

3 3

3

x

) f(

lim f(x) )

f'(

x 3

3 1 1

lim3 



 x

x

x

 

 



x(x )

x

x

3 3

lim 3

3

9 1 3

lim 1

3

  



^x

x

) 3 ( ' f

) x(x

x

x

3 3

) 3 lim (

3









4.1.2 Turunan Sepihak

Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

bila limit ini ada.

Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau ada, jika

sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.

) c ( f )

c (

f

_^'



_^'

c x

c f x

c f

f x c 

 _ 

 

) ( )

lim ( )

'(

c x

f(c) (c) f(x)

f

x c

'





_





lim



) ( '

c f )

c ( f ) c ( f ) c (

'f 

_{_}^'



_^'

dan

Contoh : Diketahui

 











 

1 ,

2 1

1 ,

) 3 (

2

x x

x x

x x f

Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan

Jawab :

a.

b.

Jadi, f diferensiabel di x=1. dan

f

^'(1) 1.

) 1 ( ' f

1 1 1

1 

 

 

 x

) ( f ) x ( lim f )

( f

x '

1

1 2 1

2 3

1 







 

 x

) (

x lim x

x

1

2

1 

 

 x

x lim x

x 1

1 1

1

 

 

 x

) x ( lim x

x

1 1 1

1 

 

 

 x

) ( f ) x ( lim f )

( f

x '

1

1 2 1 2

1

1 





 

 x

) (

lim x

x

1 2 2

1 

 

 x

lim x

x

1 1 1

2 1

1

 



 

 ( x )( x ) lim x

x

 Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c f kontinu di c.

 Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah

 Perhatikan bahwa

 Maka

 Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

) ( )

(

lim f x f c

c

x





c x

c c x

x

c f x

c f f x

f  



 

 ( ) ( ).( ) , )

( )

(



 



 

 

 ( ) ( ) ( )

) ( lim

) (

lim

x c

c x

c f x

c f f x

f

x c

c x

) (

lim ).

( )

lim ( )

(

lim

x c

c x

c f x

c f

f

x c x c

c

x 



 

   

0 ).

( ' )

(c f c

f 

 = f(c). Terbukti.

Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0

Jawab

Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0









 

 , 0

0

| ,

| )

( x x

x x x

x f

) x ( f lim

x0^ 0

0  

 lim ( x )

x

) x ( f lim

x0^ 0

0 

 lim x

x

lim ( ) 0

0





f x

x

) 0 ( )

(

lim0 f x f

x 



f(0) = 0







f kontinu di x=0

0 0 0

0 

 

 

 x

) ( f ) x ( lim f )

( f

x

' 0 1

0

0   

 

 



 x

lim x x

lim x

x x

0 0 0

0 

 

 

 x

) ( f ) x ( lim f

) ( f

x

' .

x lim x x

lim x

x

x 0 1

0

0   

  

Selidiki apakah f terdiferensialkan di x=0

1 )

0 ( )

0 (

1  ^'  ^' 

 f_ f_ Karena

maka f tidak diferensiabel di 0.

Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f(x) berikut diferensiabel di x=1 ;









 

1 ,

1 ) ,

(

2

x ax

x b

x x f

).

( lim )

( lim )

1

( 1 f x 1 f x

f  x ^  x ^

Jawab : Agar f(x) terdiferensialkan di x = 1, haruslah a. f kontinu di x = 1 (syarat perlu)

b. Turunan kiri = turunan kanan di x = 1 (syarat cukup)

f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di x = 1 atau

1 1

lim

lim 1

2

1         

  x b  ax a b a b a

a x x

1 ) 1 ( )

lim ( )

1

(

1

'





_



 

x f x f f

x

2 )

1 ( )

1

( ^'

'  _  

 f a

f

Maka diperoleh : a = 2 dan b = 1.

1

2

1





 



x

a b

lim x

x

1

2

1

1







 



x

a )

a ( lim x

x 1

2 1

1 

 

 x

lim x

x

1 1 1

1 



 

 x

) x

)(

x lim (

x

1 2

1

 

 lim



x

x

1 ) 1 ( ) lim (

) 1

( 1

'



 _ 

 

x f x f f

x 1 1

 

 x

a lim ax

x a

x lim x

a x 



 

 1

1

1

Soal Latihan

f x a x x

x bx x

( ) ;

  ; 

 





3 0 1

2 1

f x ax b x

x x

( ) ;

  ; 

 





2

2 ² 1 2

f x x x

ax b x

( ) ;

  ; 

 







2 1 3

2 3

Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di titik yang diberikan.

, x = 1

,x = 2

,x = 3

1.

2.

3.

4.2 Aturan Pencarian Turunan

 Fungsi Turunan Pertama

 Definisi 4.2 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai

 atau jika h=t-x

bila limitnya ada.

 Notasi lain , bentuk dikenal sebagai notasi Leibniz.





 

 

 x

x t

x f t

x f

f t x ( ) ( ) , lim

) ('





 

 

 x

h

x f h

x x f

f h ( ) ( ) ,

lim )

(' 0

) ( ,

), , (

,' D y D f x

dx x df dx

y dy _{x x}

dx dy

) ( ' x f

 Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :

1. Jika f (x)=k, maka 2.

3.

4.

5. dengan g(x) 0.

 

_{rx r R}

dx x

d ^r _r



 ^1 ;

 

_{f (x) g (x)}

dx

g(x) f(x)

d   _'  _'



^{( ) ( )}



f '₍x₎ g₍x₎ f ₍x₎ g'₍x₎

dx x g x f

d  

 

) (

) ( )

( )

( )

(

2

' ) '

) ( (

x g

x g

x f x

g x

f dx

d

^{f x} _{g x}



 

0 )

(

' x  f

Bukti aturan ke-4 Misal h(x) = f(x)g(x)

h

x h h x x h

h h

) ( ) lim (

) (

' 0



 

 h

x g x f h x g h x f

h

) ( ) ( ) (

) lim (

0





 



h

x g x f x g h x f x g h x f h x g h x f

h

) ( ) ( )

( ) (

) ( ) (

) (

) lim (

0













 





       

  h

x f h x h f

x h g

x g h x h g x

h f

) ( ) ) (

) ( ( ) ) (

( lim0

h

x f h x h f

x h g

x g h x h g

x

f h h h

h

) ( ) lim (

) (

) lim ( ) lim (

) (

lim0 0 0 0



 

 

 

    

) ( ' ) ( )

( ' )

(x g x g x f x

f 



) ( ' ) ( )

( ) (

' x g x f x g x

f 



1 ) 3

( ₂



  x x x

f

2 2

2 2

1 2 6

1

) x

(

x x

x







 

2 2

2

1

3 2

1 1

) x

(

) x ( x ) x

) .(

x ( '

f 





 

3.Tentukan turunan pertama dari

) . x

(

x x

2 2

2

1 1 6







  Contoh

1. Tentukan turunan pertama dari f (x)  x³ 3x²  4 Jawab :

0 2

. 3 3

) (

' x  x²  x 

f  3x²  6x

2. Tentukan turunan pertama dari ^{f (x)  (x3 1)(x2 2x3)} Jawab :

) 2 2

)(

1 (

) 3 2

( 3 ) (

' x  x² x²  x   x³  x  f

2 2

2 2

9 6

3 ⁴  ³  ²  ⁴  ³  

 x x x x x x

2 2

9 8

5 ⁴  ³  ²  

 x x x x

Jawab :

Soal Latihan

Tentukan fungsi turunan pertama dari

) 1 2

( ) 1 (

)

( x  x  x

³

 x  f

1 ) 1

( 

  x x x

f

) 1

(

₂

  x x x

f

1 ) 1

(

₂

2



  x x x

f

1 )

( x  x

^1/2



³

x

²

 f

1.

2.

3.

4.

5.

4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus

Bukti:

a. Misal f(x) = sin x maka

x x

f x

x f

a . ( )  sin  ' ( )  cos

x x

f x

x f

b . ( )  cos  ' ( )   sin

x t

x x t

f t x 

 



sin limsin

) ( '

2 ) (

2 ) sin(

lim 2 ).

cos(

lim

2 0 t x

x t x

t

x x t

t 

 



 



x t

x t x

t

x

t 



 



  



 



 

 

sin 2 cos 2

2 lim

. cos 1

.

cos x  x



b. Misal f(x) = cos x maka

h

x h

x x

f

h

cos )

lim cos(

) (

'

0



 

 h

x x

x

h

cos sinh

sin cosh

lim cos

0



 



h

x x

h

sinh sin

) 1 (cosh lim cos

0



 

 x h

h x h

h

sin sinh 2)

sin ( cos lim

2

0  

 

sinh) 4 sin

) 2 / (

2) sin ( cos (

lim ₂

2

0 x h

h

h h x

h  

  h x h

h x h

h h

limsinh 4 sin

2 /

) 2 / lim sin(

cos 0

2 0

) 2 /

(    



 





 x

x

x.0 sin sin

cos   



Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan

menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v

   

dx d

dx x

c d

^x

xcos

tan

sin

. 

^x 2 _x ^x

2 2

cos sin cos 

 cos² x

 1

 sec

²

x

   

dx d

dx x

d d ^x

xsin

cot cos

. 

x

x x

2

2 2

sin

cos sin 

 

2 x sin

1



  csc

²

x

   

dx d dx

x

e d sec ^1cosx

.  cos2^x_x

 sin

x x

x

cos 1 cos

 sin tan

x

sec

x

   

dx d dx

x

f d csc ^1sinx

.  ^{ }_sin^cos2 _x^{x   cos}_{sin x}^x _sin¹ _x

  csc x cot x

4.4 Aturan Rantai



Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada , maka

Contoh : Tentukan dari Jawab :

Misal sehingga bentuk diatas menjadi Karena

dan

maka

dx du du dy dx

dy 

du dy

dx du

dx

dy y  _sin(x2 ₁₎

2 1



x u

dx x

du  2

u y  sin

du u

dy  cos

) 1 cos(

2

²



 x x

x dx x

dy

 cos( ² 1)2

dx dv dv du du dy dx

dy 



Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan

dx dv dv

du du

dy , , _{Ada, maka}

Contoh : Tentukan

dx

dy

_{dari y  Sin}⁴_(x³ _5)

3

 5

 x

v _dx ^{dv  3 x}

²

Jawab :

Misal



u = Sin v  cosv  cos(x³ 5) dv

du

u

4

y 

_{ 4u}³ _{ 4Sin}³_(x³ _{ 5)}

du dy



sehingga

) 5 (

) 5 (

12 .

.  ^{2 3 3}  ³ 

 x Sin x Cos x

dx dv dv du du dy dx

dy

 Contoh : Tentukan jawab :

0 ,

1 ))

( ( )

(

' ²

f x

² 

x

² 

x



dx jika d

x f

2 1

2 ))  x  x

( f dx (

d

x x x

f 2

) 1 ( '

2 2 





1

2

²

2

 

 f ' ( x ). x x

 

y  2 x  3

¹⁰

y  sin ³ x

 ^{x x} 

y  cos

⁴

4

²



2

1 1



 







 

x y x

Tentukan fungsi turunan pertama dari

y = sin x tan [ x² + 1 ] Soal Latihan

y x x

x x

  

 

2 2

2 5

2 3

1.

2.

3.

4.

5.

6.

 

¹⁰

dx

)) d(f(cos(x

2

3 2

jika

)), (cos(x

f' Tentukan

2

 x 

4.5 Turunan Tingkat Tinggi

 Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).

 Turunan pertama

 Turunan kedua

 Turunan ketiga

 Turunan ke-n

 Contoh : Tentukan dari

 Jawab :

f x df x 

' ( )  dx

 

2 2

) (

"

dx x f x d

f 

 

3 3

) ( '

"

dx x f x d

f 

 

 

n n n

dx x f x d

f ( ) 

 ^{( )} 

)

(

^{( 1)}

)

(

f x

dx x d

f

ⁿ



^n

x x

y  4

³

 sin x

x

y '  12

²

 cos ^{maka y ' '}

^{ 24}

^x

^

^{sin x} ''

y

 

y  sin 2 x  1

 

y  2x  3 ⁴

y x

 x

 1

 

y  cos

²

 x

f "( )c  0

f x

( ) 

x

³  3

x

²  45

x

 6

g x

( ) 

ax

² 

b x c

 3

) 1 (

' 

g g ''(1)  4 A. Tentukan turunan kedua dari

B. Tentukan nilai c sehingga bila

C. Tentukan nilai a, b dan c dari bila g (1) = 5, dan

Soal Latihan

1.

2.

3.

4.

4.6 Turunan Fungsi Implisit

 Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam

bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x.

Contoh :

 Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.

10 .

1 x

³

y

²

 x

²

 y 

1 )

sin(

.

2 xy  x

²

 y

²



Jawab

) 10 ( )

( )

( )

( ^{3 2} _x ² _{x x}

x x y D x D y D

D   

0 ' 2

) ' 2

3

( x²y²  x³y y  x  y 

2 2

3 1) ' 2 3

2

( x y  y   x x y 1

2 3

' 2 ₃

2 2





 

y x

y x y x

) 10 ( )

( .

1 D_x x³y²  x²  y  D_x

0 ' 2 2

) ' (

)

cos(xy y  xy  x  yy 

) cos(

2 '

) 2 ) cos(

(x xy  y y   x  y xy

y xy

x

xy y

y x

2 ) cos(

) cos(

' 2





 

) 1 (

) )

sin(

( .

2 D_x xy  x²  D_x y² 

10 .

1 x³y²  x²  y  ^{2. sin(xy) x2  y2 1} Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut

y

'

 

y  sin xy  1

x ³  3 x y y ²  ²  0

Tentukan turunan pertama ( ) dari bentuk implisit

tan ( x y ) - 2 y = 0 Soal Latihan

x y

xy

x

²

sin( )  

1.

2.

3.

4.

4.7 Garis singgung dan garis normal



Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x

₀

,y

₀

) dengan kemiringan m adalah

y – y

₀

= m( x – x

₀

).



Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal.



Persamaan garis normal di titik (x

₀

,y

₀

) adalah

).

1 (

0

0

x x

y m

y    

4 2

. 4 2

. 3 )

6 , 2 ( ' 4

3

'  x

²

 x  y 

²

 

y

2 4 

 x y

) 2 (

4

6  

 x

y

2 1 4

6 1 )

2 4 (

6   1      

 x y x

y

2 . 13 4

1 



 x

y Jawab :

Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :

Persamaan garis normal dititik (2,6) :

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal

fungsi di (2,6). y  x³ 2x² 6

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva

0

2

6

2

y  xy  

x

di titik dengan absis( x) = 1

Jawab :

Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh

0

2

 y  6 

y  ( y  3 )( y  2 )  0

) 0 ( )

6

( ^{2 2} _x

x x y xy D

D   



y = 3 dan y = -2 Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2)

Hitung terlebih dahulu

y '

dengan menggunakan turunan fungsi implisit

0 0

) ' (

' 2

2 xy

²

 x

²

yy  y  xy   0

' '

2

2 xy

²

 x

²

yy  y  xy 

2

2

) ' 2

2

( x y  x y  y  xy

x y x

xy y y



 ₂ ² 2

' 2

Di titik (1,3)

5 3 15 1

3 . 1 . 2

9 . 1 . 2

|'_(1,3) 3    



  y

Persamaan garis singgung

3 3 )

1 ( 3

3     

 x x

y

6 3x y 

Persamaan garis normal

3 1 3 ) 1 1 3(

31   

 x x

y

8 3  

 y x



Di titik (1,-2)

5 2 10 1

) 2 .(

1 . 2

4 . 1 . 2

|'_{(1, 2)} 2 



 







  y 

Persamaan garis singgung

2 2

) 1 (

2

2    

 x x

y

4 2 x  y 

Persamaan garis normal

2 1 2

) 1 1 2 (

2   1    

 x x

y

3 2  

 y

x

4.8 Diferensial dan Hampiran

 4.8.1 Diferensial

 Jika ada, maka

Untuk sangat kecil , maka mPQ = mPT yakni ,

 Definisi 4.4 Jika y = f (x) diferensiabel di x, maka Diferensial dari x , dinyatakan dengan dx, adalah

x y x

x f x

x x f

f x x 

 







 







 0 ( ) ( ) lim0

lim )

( '

P

Q

x x x ^x

x f x y f x x

x

y    



 '( ) , '( )

.

x dx  

dx x f

dy  '( )

) ( ' x f

T

4.8.2 Hampiran

 Perhatikan kembali gambar sebelumnya,

 Misalkan y= f (x) diferensiabel di interval I yang memuat x dan x + ∆x. Jika x

ditambah ∆x, maka y bertambah sepadan dengan ∆y yang dapat dihampiri oleh dy .

 Jadi , (*)

 Contoh : Hampiri

 Jawab : Pandang,

Dengan pers (*)

x x

f x

f dy

x f x

x

f

(   )  ( )  ( ) '( )

3

28

3 27 27

) 27 ( )

( ^{3 3}

1 3

1









 x f x

f

27 ) 1

3 3( ) 1

27 3( ) 1 27 ( 3 '

) 1 (

' ³

2 3 3

2 3

2









 x^ f ^{ }

x f

) 27 28

)(

27 ( ' )

27 ( )

28

(  f  f 

f

1 .

 3

Soal Latihan

 

y  sin xy  1

1. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di (,1)

10 33

2. Gunakan diferensial untuk menghampiri

a.

b.

3 ) 0 ( ' , 0 ) 0 ( , 2 ) 0 (

'  g  g 

f ( f  g)'(0).

3. Jika diketahui tentukan