Turunan Fungsi
Parsial
Turunan Parsial
Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel
bebas hanya akan memiliki satu macam turunan. Apabila y
= f(x) maka turunannya hanyalah turunan y terhadap x,
dengan kata lain y’ = dy / dx
Bagaimana jika mengandung lebih dari satu variabel
bebas? Kunci:
Jika sebuah fungsi mempunyai
n
macam
variabel bebas, maka ia akan memiliki
n
macam
turunan
.
Misalnya, jika y = f(x,z) maka akan terdapat 2 macam
Turunan Parsial
Contoh: y = x
3+ 5z
2– 4x
2z – 6xz
2+ 8z – 7
Karena memenuhi syarat y = f(x,z) maka jawaban
untuk contoh diatas ada 2 jawaban.
Jawaban 1 = 3x
2– 8xz – 6z
2Jawaban 2 = 10z – 4x
2– 12xz + 8
Turunan Parsial
Kunci:
(1)
Ketika mengoperasikan turunan y terhadap x, jika
dalam satu variabel hanya terdapat ‘z’ tanpa
‘berteman’ dengan x, maka otomatis turunannya
adalah 0.
(2)
Berlaku juga sebaliknya ketika mengoperasikan
Turunan Dari Turunan Parsial
Dalam contoh sebelumnya, ternyata baik jawaban 1 dan jawaban 2
masih dapat diturunkan secara parsial lagi. Sehingga ketika
diperintahkan untuk mencari turunan parsial kedua dari fungsi awal tersebut, kedua turunan pertamanya akan bercabang masing-masing menjadi dua lagi.
Turunan Dari Turunan Parsial
Dan ternyata, turunan parsial kedua di slide sebelumnya (1.1) (1.2)
(2.1) dan (2.2) masih bisa diturunkan parsial lagi baik terhadap x maupun terhadap z. Sehingga untuk masing-masing turunan parsial keduanya, akan didapatkan turunan parsial ketiganya sebagai
berikut:
Turunan Dari Turunan Parsial
Turunan Parsial dan Nilai
Ekstrim: Maksimum & Minimum
Nilai-nilai ekstrim (optimum) dari sebuah fungsi yang
mengandung lebih dari satu variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai turunan parsial keduanya.
Ingat di bab sebelumnya, bahwa alternatif nilai yang
memaksimumkan dan meminumkan fungsi yang tersedua, sudah bisa kita cari sejak selesainya turunan pertama, yaitu dengan
mengkondisikan bahwa fungsi turunan pertama nya = 0 Pengujian apakah titik ekstrim yang ditemukan adalah
maksimum atau minimum memiliki dua macam kondisi skenario: Jika turunan keduanya bernilai kurang dari nol ( dan < 0), maka titik
ekstrimnya merupakan titik maksimum.
Jika turunan keduanya bernilai lebih dari nol ( dan > 0), maka titik
ekstrimnya merupakan titik minimum.
Turunan Parsial dan Nilai
Ekstrim: Maksimum & Minimum
Contoh: selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini
merupakan titik maksimum ataukah titik minimum?
y = -x
2+ 12x – z
2+ 10z – 45
Sub-Jawaban 1:
= -2x + 12 dicari nilai x-nya -2x + 12 = 0 2x = 12 x = 6 = -2 < 0
Sub-Jawaban 2:
= -2z + 10 dicari nilai z-nya -2z + 10 = 0 2z = 12 z = 5 = -2 < 0
Turunan Parsial dan Nilai Ekstrim:
Maksimum & Minimum
Dari sub-jawaban 1 dan sub-jawaban 2, kita pastikan bahwa nilai
keduanya kurang dari nol. Oleh karena itu, kita bisa mengatakan
bahwa baik titik x = 6 dan z = 5 adalah titik ekstrim yang merupakan titik maksimum.
Sedangkan jika kita diminta mencari y maksimumnya, maka kita
tinggal substitusikan nilai ekstrim x dan z yang sudah kita dapatkan ke dalam fungsi awalnya.
y maksimum = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45
Turunan Parsial - Praktik
Ekonomi
Contoh:
Misalkan laba total dari sebuah restoran Jepang tergantung
dari penjualan menu sushi (dilambangkan x) dan ramen
(dilambangkan y). Fungsi laba totalnya sendiri adalah di
bawah ini:
π = f(x,y) = 80x – 2x
2– xy – 3y
2+ 100y
a)
Berapa nilai x ekstrim dan y ekstrim yang akan
memaksimumkan laba?
Turunan Parsial - Praktik
Ekonomi
Step 1: Bentuk fungsi turunan parsial pertamanya
= 80 – 4x – y –4x – y + 80 = 0 = -x – 6y + 100 -x – 6y + 100 = 0
Step 2: Karena di turunan parsial pertama masih ada kedua
variabel bebasnya, maka untuk mencari nilai x dan y di kasus ini adalah dengan cara “eliminasi” lalu “substitusi”. Sekarang,
katakanlah kita akan mengeliminasi dulu variabel x-nya
–4x – y + 80 = 0 (x1) -4x – y = -80 -x – 6y + 100 = 0 (x4) -4x – 24y = -400
23y = 320 y = 13,92
Turunan Parsial - Praktik
Ekonomi
Setelah mendapatkan nilai (y) ekstrimnya, maka substitusikan nilai
(y) tersebut ke dalam salah satu fungsi turunan parsial pertamanya. –4x – (13,92) + 80 = 0 -4x + 66,08 = 0 4x = 66,08 x = 16,52
Step 3: Setelah tahu kedua titik ekstrim (yang pasti merupakan titik
maksimum—karena konteks kasus ini adalah laba) maka
substitusikan kedua titik/nilai ekstrim tersebut ke persamaan laba total yang awal.
π = 80(16,52) – 2(16,52)2 – (16,52)(13,92) – 3(13,92)2 + 100(13,92)
