MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS

MATEMATIKA TEKNIK 1

3 SKS

TEKNIK ELEKTRO UDINUS

BAB III. TURUNAN

3.1 Definisi Turunan

Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan z_o  D.

Jika diketahui bahwa nilai ada, maka

nilai limit ini dinamakan turunan atau derivatif fungsi f di titik z_o. Dinotasikan : f’(z_o) o o z z z z ) z ( f ) z ( f lim o   

⇛ Jika f’(z_o) ada, maka f dikatakan terdifferensial atau

diferensiabel di z_o. Dengan kata lain :

⇛ Jika f terdifferensial di semua titik pada D, maka f terdifferensial pada D

Contoh 3.1.1

Buktikan f(z) = z2 _{terdifferensiasi diseluruh ℂ}

z ) z ( f ) z z ( f lim z f lim ) z ( ' f o o 0 z 0 z o           

Bukti :

Ditinjau sebarang titik z_o  ℂ

o o o o z z o 2 o 2 z z o o z z o z 2 z z ) z z )( z z ( lim z z z z lim z z ) z ( f ) z ( f lim ) z ( ' f o o o            

Karena z_o sebarang maka f(z) = z2 _{terdefferensial}

Teorema 3.1

Jika f fungsi kompleks dan f’(z_o) ada, maka f kontinu di z_o

Bukti :

Diketahui f’(z_o) ada

Akan dibuktikan f kontinu di z_o atau lim f(z) f(zo) z z _o  0 0 ) z ( ' f ) z z ( lim ) z z ( ) z ( f ) z ( f lim ) z z ( ) z z ( ) z ( f ) z ( f lim )) z ( f ) z ( f ( lim o z z o o z z o o o z z o z z o o o o               _{ }         sehingga

dengan kata lain f kontinu di z_o.

) z ( f ) z ( f lim ) z ( f lim _{o o} z z z z _o   _o 

Contoh 3.1.2

Buktikan f(z) = |z|2 _{kontinu di seluruh bidang kompleks} tetapi hanya terdifferensial di z = 0

Bukti :

f(z) = |z|2 _{= x}2 _{+ y}2 _{berarti u(x,y) = x}2 _{+ y}2 _dan v(x,y) = 0

u dan v kontinu di D, maka f(z) kontinu di D

0 z z z lim z | z | lim 0 z ) 0 ( f ) z ( f lim ) 0 ( ' f 0 z 2 0 z 0 z         

3.2 Syarat Chauchy-Riemann

Syarat yang diperlukan agar fungsi f

terdiferensial di z_o = x_o + i y_o adalah syarat Chauchy-Riemann, yang menghubungkan

derivatif-derivatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f.

Terema 3.2.1 (Syarat Chauchy-Riemann

Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) terdifferensial di z_o = x_o + i y_o, maka u(x,y) dan v(x,y) mempunyai derivatif parsial

pertama di (x_o,y_o) dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauchy – Riemann

derivatif f di z_o dapat dinyatakan dengan

Jika persamaan C-R tidak dipenuhi di (x_o,y_o) maka

f(z) = u(x,y) + i v(x,y) tidak terdifferensial di z_o = x_o + i y_o x v y u dan y v x u            ) y , x ( v i ) y , x ( u ) z ( ' f _o  _{x o o}  _{x o o}

Contoh 3.2.1

Buktikan f(z) = |z|2 tidak terdifferensiasi di z  0

Bukti : f(z) = x2 _{+ y}2 _sehingga

u(x,y) = x2 _{+ y}2

v(x,y) = 0

Persamaan Cauchy – Riemann y 2 y u dan x 2 x u _      0 y v dan 0 x v _      ) 1 ( 0 x 2 y v x u _{  }     

) 2 ( 0 y 2 x v y u dan _   _   

(1) dan (2) tidak dipenuhi jika x  0 atau y  0, jadi pasti f tidak terdeferensial di z  0

Catatan :

Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan. Contoh 3.2.2 Buktikan fungsi f(z) = 3 _{2 2}3 y x i) 1 ( y i) 1 ( x    

dan f(0) = 0, tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-R Bukti : u = _{2 2} 3 3 y x y x   _{dengan u(0,0) = 0} v = _{2 2} 3 3 y x y x   _{dengan v(0,0) = 0} u_x(0,0) = o xlim x ) 0 , 0 u( ) 0 u(x,  = 1 u_y(0,0) = lim u(0,y) _y u(0,0) o y   = -1

v_x(0,0) = x ) 0 , 0 v( ) 0 v(x, lim o x   = 1 o ylim y ) 0 , 0 v( ,y) 0 v(  v_y(0,0) = = 1

Jadi persamaan Cauchy – Riemann terpenuhi iy) )(x y (x i) 1 ( y i) 1 ( x lim z ) 0 ( f ) z ( f lim _{2 2} 3 3 0 z 0 z          Tetapi Untuk z  0 o xlim 3 3 x i) 1 ( x 

o xlim 3 3 x i) 1 ( 2 x i 2  1 i i 

Sepanjang garis real y = x  ₌

o zlim z ) 0 f( f(z) 

Jadi tidak ada

sehingga f tidak terdifferensial di 0 meskipun persamaan C-R dipenuhi di (0,0)

x u   y u   x v   y v   x u   y v   y u   x v    Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa : i. Syarat perlu f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z_o = x_o + i y_o f’(z) ada maka _{, , ,} berlaku C-R yaitu : = dan = dan f’(z₀) = u_x(x₀,y₀) + i v_x(x₀,y₀) ada di (x_o, y_o)

ii. Syarat cukup

u(x,y), v(x,y), u_x(x,y), v_x(x,y), u_y(x,y), v_y(x,y) kontinu pada kitar z_o = x_o + i y_o dan di (x_o,y_o) dipenuhi C-R maka f’(z_o) ada

Contoh 3.2.3

Buktikan f(z) = ex_{(cos y + i sin y) terdiferensial}

untuk setiap z dalam ℂ Bukti : u(x,y) = ex_{cos y}  u x(x,y) = excos y u_y(x,y) = -ex_{sin y} v(x,y) = ex_{sin y}  _v x(x,y) = exsin y v_y(x,y) = ex_{cos y} ada dan kontinu di setiap (x,y)  ℂ

Berdasarkan persamaan C-R :

u_x = v_y dan u_y = -v_x dipenuhi di  (x,y)  ℂ, dan ada kitar dimana keenam fungsi kontinu dan C-R dipenuhi di (x,y). Jadi f’(z) ada  z  ℂ.

Dan f’(z) = u_x(x,y) + i v_x(x,y) = ex_{cos y + i e}x_{sin y}

3.3 Syarat C-R Pada Koordinat Kutub

Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) dapat diilustrasikan

dalam koordinat kartesius maka dengan menggunakan hubungan x = r cos  dan y = r sin  , diperoleh

z = r cos  + i sin  , sehingga

Teoreama 3.3.1

Jika f(z) = u(r, ) + i v(r, ) terdiferensial dan kontinu pada suatu kitar (r_o, _o) dan jika dalam kitar tersebut u_r, u_, v_r, v_ ada dan kontinu di (r_o, _o) dan dipenuhi C-R yaitu: r u   r 1  v r 1  v r v    = dan = , r  0

maka f’(z) = ada di z = z_o dan

Contoh 3.3.1

Diketahui f(z) = z-3_,

Jawab :

f(z) = z-3 _{= r}-3 (cos 3 - i sin 3), maka :

u = r-3 cos 3 , sehingga u r = -3r-4 cos 3 dan u_ = -3r-3 sin 3 v = -r-3 sin 3 , sehingga v r = 3r-4 sin 3 dan v_ = -3r-3 cos 3

keenam fungsi ini kontinu dan syarat C-R dipenuhi untuk semua z  0

Jadi f(z) = z-3 terdiferensial untuk z  0

Dengan demikian f’(z) dalam koordinat kutub adalah : f’(z) = (cos  – i sin ) (-3r-4 cos 3 + i 3r-4 sin 3)

= cis(-) (-3r-4) cis(-3)

















2 ) z ( g ) z ( ' g ) z ( f ) z ( g ) z ( ' f ) z ( g ) z ( f dx d . 5 ) z ( ' g ) z ( f ) z ( g ) z ( ' f ) z ( g ) z ( f dx d . 4 ) z ( ' g ) z ( ' f ) z ( g ) z ( f dx d . 3 ) z ( ' cf dz ) z ( cf d . 2 1 dz d(z) , 0 dz dc . 1                 3.4 Aturan Pendiferensialan

Jika f(z), g(z) dan h(z) adalah fungsi- fungsi kompleks

dz d . d dw dz dw ) rantai aturan ( komposisi dengan disebut biasa ) z ( ' f )] z ( f [ ' g ) z ( ' h maka )] z ( f [ g ) z ( h Jika . 7 nz dz dz . 6 n 1 n       

3.5 Fungsi Analitik Definisi 3.5.1

Fungsi f analitik di z_o, jika ada r > 0 sedemikian, hingga f’(z) ada untuk setiap z  N(z_o,r)

(persekitaran z_o)

r f diferensiable

Fungsi analitik untuk setiap zℂ dinamakan fungsi utuh

o

Contoh 3.5.1 1. f(z) = 2. f(z) = x3 _{+ iy}3 diperoleh : u = x3 _{; v = y}3 _sehingga u_x = 3x2 _{; v} x = 0 ; uy = 0 ; vy = 3y2

dengan menggunakan persamaan C-R : 3x2 _{= 3y}2  y =  x dan v

x = uy = 0

persamaan C-R dipenuhi dan kontinu digaris y =  x berarti f’(z) ada hanya di y =  x

Jadi f(z) tidak analitik dimanapun karena tidak ada kitar.

z

 

 

g'

 

 

z , dengan g(z) 0 g'(z) 0 z f' z g z f lim o z z   

Sifat sifat analitik

Misalnya f dan g analitik pada D, maka : o f  g merupakan fungsi analitik

o fg merupakan fungsi analitik

o f/g merupakan fungsi analitik dengan g  0 o h = g ∘ f merupakan fungsi analitik

3.6 Titik Singular Definisi 3.6.1

Titik z₁ disebut titik singular dari f jika f tidak analitik di z₁ tetapi untuk setiap kitar dari z₁ memuat paling sedikit satu titik dimana f analitik.

Jenis kesingularan f(z) atau titik singular antara lain : 1. Titik singular terisolasi

Titik z_o dinamakan titik singular terisolasi dari f(z) jika terdapat   0 demikian sehingga lingkaran |z – z_o| =  hanya melingkari titik singular lainnya. Jika  seperti itu tidak ada, maka z = z_o disebut titik singular tidak

2. Titik Pole (titik kutub)

Titik z = z_o disebut titik pole tingkat n, jika berlaku .

Jika n = 1, z_o disebut sebagai titik pole sederhana. 3. Titik Cabang

Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular. 4. Titik Singular dapat dihapuskan

Titik singular z_o disebut titik singular dapat dihapuskan dari f(z) jika f(z) ada.

0 A ) z ( f ) z z ( lim _o n z z _o    lim

5. Titik Singular Essensial

Titik singular z = z_o yang tidak memenuhi syarat titik singular pole titik cabang atau titik singular yang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial.

6. Titik Singular tak hingga

Jika f(z) mempunyai titik singular di z = , maka sama dengan menyatakan f(1/w) mempunyai titik singular di w = 0.

Contoh 3.6.1

• g(z) = berarti titik z = i adalah titik pole tingkat 2 dari g(z)

• h(z) = |z|2 _{tidak merupakan titik singular}

• k(z) = ln (z2 _{+ z – 2) maka titik cabang adalah z}

1 = 1 dan z₂ = –2 karena (z2 _{+ z – 2) = (z – 1) (z + 2) = 0} 2 ) 1 z ( 1 

3.7 Fungsi Harmonik

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v mempunyai derivatif parsial di semua orde yang

kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R , u_x = v_y dan u_y = –v_x

Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v kontinu

dalam D, maka berlaku v_xy = v_yx. Jika dalam u_x = v_y dan u_y = –v_x diderivatifkan parsial terhadap x dan y maka (x,y) D berlaku

u_xx + u_yy = 0 v_xx = v_yy = 0

Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial Laplace dalam 2 dimensi.

u dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain maka f(z) harmonik pada domain tersebut.

Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu domain

dinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain itu. 0 y x 2 2 2 2        

Contoh 3.7.1

Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v yang harmonik konjugat dengan u = 4xy3 _{– 4x}3y, (x,y) ℂ

Jawab :

Misal diklaim konjugatnya adalah v(x,y)

jadi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada ℂ sedemikian sehingga berlaku C-R u_x = v_y dan u_y = -v_x

u_x = 4y3 _{– 12x}2_{y v}

y = 4y3 – 12x2y

u_y= 12xy2 _{– 4x}3 _{v= y}4 _{– 6x}2_y2 _{+ g(x)}

karena v_x = –u_y maka –12xy2 _{+ g’(x) = –12xy}2 _{+ 4x}3 _sehingga

g’(x) = 4x3 _{diperoleh g(x) = x}4 _{+ C}

Cara Milne Thomson

Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(x,y) harmonik pada D andaikan v(x,y) sehingga

f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada D f’(z) = u_x(x,y) + iv_x(x,y)

sesuai persamaan C-R : f’(z) = u_x(x,y) – iu_y(x,y) z = x + iy dan = x – iy sehingga diperoleh z

i 2 z z y dan 2 z z x             i 2 z z , 2 z z         i 2 z z , 2 z z f(z) = u_x – iu_y

Suatu identitas dalam z dan , jika diambil = z maka f’(z) = u_x(z,0) – iu_y(z,0)

Jadi f(z) adalah fungsi yang derivatifnya u_x(z,0) – iu_y(z,0) kemudian didapat v(x,y)

Contoh 3.7.2

Dari Contoh 3.7.1 dengan u= 4xy3 _{– 4x}3y, (x,y)  ℂ, jika

diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thomson. Jawab : u_x = 4y3 _{– 12x}2_y u_y= 12xy2 _{– 4x}3 f’(z) = u_x(z,0) – iu_y(z,0) = –i(– 4z3₎ = 4iz3 sehingga f(z) = iz4 _{+ A} f(z) = i(x + iy)4 _{+ A} = 4xy3 _{– 4x}3_{y + i(x}4 _{– 6x}2_y2 _{+ y}4_{) + A}