fungsi kompleks.docx

(1)

ANALISIS KOMPLEKS

FUNGSI KOMPLEKS

Disusun Disusun Kelompok V: Kelompok V: Rahmi

Rahmi asmarani asmarani (2021121092)(2021121092) Meta

Meta Ramadona Ramadona (2012121096)(2012121096)

Riani (2012121103)

Imam

Imam Setiawan Setiawan (2012121113)(2012121113) Dosen Pengasuh : Eka Fitri Puspasari, M.pd Dosen Pengasuh : Eka Fitri Puspasari, M.pd

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PROGRAM SETUDI PENDIDKAN MATEMATIKA JURUSAN MIPA PROGRAM SETUDI PENDIDKAN MATEMATIKA JURUSAN MIPA

UNIVERSITAS PGRI

UNIVERSITAS PGRI PELEMBANGPELEMBANG 2014

(2)

Fungsi Kompleks

Definisi fungsi kompleks adalah dengan definisi fungsi variabel nyata. Definisi fungsi kompleks adalah dengan definisi fungsi variabel nyata.

Fungsi

Fungsi Nyata Nyata Fungsi Fungsi KompleksKompleks Variabel terikat Variabel terikat Variabel bebas Variabel bebas Fungsi Fungsi X X y y y = f (x) y = f (x) zz w w w = f (z) w = f (z)

Contoh : fungsi kompleks Contoh : fungsi kompleks

1. 1. w = zw = z 2. 2. w = 5iw = 5i 3. 3. w = xw = x

–

iy iy22 4. 4. w = 3zw = 3z22 + 6z + 6z88

Fungsi kompleks w = f (z) dapat dipikirkan dan dapat diuraikan menjadi jumlahan Fungsi kompleks w = f (z) dapat dipikirkan dan dapat diuraikan menjadi jumlahan dua fungsi yang masing-masing merupakan fungsi nyata dan variabel nyata.

dua fungsi yang masing-masing merupakan fungsi nyata dan variabel nyata.

        

  



Dalam bentuk polar (kutub), menjadi : Dalam bentuk polar (kutub), menjadi :

        

  



   

 

    

 



Contoh : Contoh :

Tentukan nilai f(z) = w berikut : Tentukan nilai f(z) = w berikut : 1.

1. w = zw = z22 + z + 1 dengan z = x + iy + z + 1 dengan z = x + iy Jawab:

(3)

w = z

w = z22 + z + 1 + z + 1 w = (x + iy)

w = (x + iy)22 + x + iy + 1 + x + iy + 1 w = x

w = x22 + 2ixy + 2ixy

–

y y22 + x + iy + 1 + x + iy + 1 w = (x

w = (x22

–

y y22 + x + 1) + i ( + x + 1) + i (2xy + y)2xy + y) jadi : u = x

jadi : u = x22

–

y y22 + x + 1 dan v = 2xy + y + x + 1 dan v = 2xy + y 2. 2. w =w =





dengan z = dengan z =

  

Maka : Maka : w = w =





w = w =

  

   



w = w =

   

 

 

    

w = w =



      

       

w = w =



        

     

Jadi, u =



      

dan v = dan v =

  

2.1

. Geometri fungsi kompleks ( Pemetaan dari bidang z ke bidang w )

Fungsi w = f(z) dapat dipandang sebagai suatu pemetaan dari domainnya di bidang z Fungsi w = f(z) dapat dipandang sebagai suatu pemetaan dari domainnya di bidang z terdapat kaitan dengan bidang w.

terdapat kaitan dengan bidang w.

Jadi untuk semua titik P (x,y) yang diberikan pada bidang z terdapat kaitan dengan Jadi untuk semua titik P (x,y) yang diberikan pada bidang z terdapat kaitan dengan suatu titik

suatu titik

P’(u,v) pada bidang w. Titik P’ merupakan ba

P’(u,v) pada bidang w. Titik P’ merupakan bayangan (image) dari P.

yangan (image) dari P.

Contoh : Contoh : 1. 1. w = zw = z22 , karena z = x + iy , karena z = x + iy u + iv = (x + iy) u + iv = (x + iy)22 u + iv = x

u + iv = x22

–

y y22 + 2ixy + 2ixy Jawab:

Jawab: u = (x

u = (x22

–

y y22) dan v = 2xy) dan v = 2xy

Untuk mencari bayangan titik A (1,2), adalah : Untuk mencari bayangan titik A (1,2), adalah :

(4)

 

   

Jadi titik A’ (

-3,4)-3,4)

Bidang

Bidang z z Bidang Bidang ww

y y vv

A’(

-3,4)-3,4) A(1,2) A(1,2) x x uu

2.2. Fungsi Eksponen dan

2.2. Fungsi Eksponen dan LogaritmaLogaritma 1. Fungsi Eksponen

1. Fungsi Eksponen Definisi

Definisi

Fungsi eksponen adalah fungsi f yang menentukan z ke

Fungsi eksponen adalah fungsi f yang menentukan z ke z e z e . Rumusnya ialah f(z). Rumusnya ialah f(z) =

= z e z e ..

Fungsi eksponen dengan peubah bebas z =x + yi (x dan y bilangan real) adalah

Fungsi eksponen dengan peubah bebas z =x + yi (x dan y bilangan real) adalah z e z e == x e x e (cos y + i sin

(cos y + i sin y ).y ). Dari definisi ini, jika : Dari definisi ini, jika : * y = 0 maka

* y = 0 maka z e z e == z e z e merupakan fungsi eksponen realmerupakan fungsi eksponen real * x = 0 maka

* x = 0 maka iy eiy e = cos y + i sin = cos y + i sin y yng kita kenal sebagai rumus Euler dany yng kita kenal sebagai rumus Euler dan kebenaranya dapat diperiksa melalui deret Maclaurin untuk

kebenaranya dapat diperiksa melalui deret Maclaurin untuk z z ee , dengan, dengan mengganti z dengan iy.

mengganti z dengan iy. Turunan fungsi f(z) =

Turunan fungsi f(z) = z e z e didapat sebagai berikut :didapat sebagai berikut : f(z) =

f(z) = z e z e == x e x e ( cos y + i sin ( cos y + i sin y )y ) bagian real dan imaginer berturut-turut : bagian real dan imaginer berturut-turut :

* u (x,y) =

* u (x,y) = x e x e cos ycos y * v (x,y) =

* v (x,y) = x e x e sin ysin y fungsi u, v, u

fungsi u, v, uxx ,u,uyy ,v,vxx ,v,vyy adalah fungsi yang kontiniu untuk setiap x dan y dan adalah fungsi yang kontiniu untuk setiap x dan y dan

persamaan Cauchy Rieman dipenuhi deng

(5)

f(z) =

f(z) = uu x x + i+ i vv x x

f(z) =

f(z) = ee x xcos y + icos y + i ee x xsin y , berarti :sin y , berarti :









==





,ada untuk setiap z pada bidang z ,ada untuk setiap z pada bidang z

Jadi f(z) =

Jadi f(z) = e e z z merupakan fungsi yang menyeluruh . sifat-sifat fungsi eksponenmerupakan fungsi yang menyeluruh . sifat-sifat fungsi eksponen merupakan teorema-teorema ringan yang boleh dijadikan rumus.

merupakan teorema-teorema ringan yang boleh dijadikan rumus. Contoh ;

Contoh ;

Tentukan nilai z yang memenuhi persamaan e

Tentukan nilai z yang memenuhi persamaan e (2 10)(2 10) = 1 = 1 Jawab :

Jawab :

Misalkan ; z = x + yi



2z 2z

–

1 = (2x-1)+2yi 1 = (2x-1)+2yi ee(2z-1)(2z-1) = 1 = 1

ee(2z-1)(2z-1) ( cos 2y + ( cos 2y + i sin 2y) + 1 i sin 2y) + 1 (cos 0(cos 000 + i sin 0 + i sin 000)) Dengan menggunakan kesamaan dua bilangan kompleks dalam bentuk

Dengan menggunakan kesamaan dua bilangan kompleks dalam bentuk polar, diperoleh:polar, diperoleh: ee(2x-1)(2x-1) = 1 = 1 = = ee00 2x 2x

–

1 = 0 1 = 0 x = x =





cos 2y = cos 0

cos 2y = cos 000 dan sin 2y = sin 0 dan sin 2y = sin 000 didapat y = k , didapat y = k ,



k bilangan bulat, memenuhi dua k bilangan bulat, memenuhi dua persamaan tersebut. Maka nilai z yang memenuhi persmaan ialah :

persamaan tersebut. Maka nilai z yang memenuhi persmaan ialah : z = x + yi

z = x + yi z =

z =





+ k+ k



i, k bilangan bulat i, k bilangan bulat

2.

2. Fungsi Fungsi LogaritmaLogaritma Jika z = e

Jika z = eww , maka w = ln , maka w = ln z z ( logaritma ( logaritma natural dari z ) jadi natural dari z ) jadi fungsi logaritmafungsi logaritma natural adalah invers dari fungsi pangkat dan dari definisi tersebut sebagai berikut:

natural adalah invers dari fungsi pangkat dan dari definisi tersebut sebagai berikut: W = ln r + i (

W = ln r + i (

   

  



Dimana: z = r.





= r.= r.





Nilai utama atau cabang utama dari ln z sering didefinisikan : Nilai utama atau cabang utama dari ln z sering didefinisikan :

ln z = ln r + i

(6)

in z = ln

√





 



+ i arg (x + iy), dimana 0+ i arg (x + iy), dimana 0

  

   

tetapi selang lain dengan panjang



seperti -seperti -

   

 

 

 

sifat- sifat logaritma:

sifat- sifat logaritma: 1. 1. ln (zln (z11.z.z22) = ln z) = ln z11+ ln z+ ln z22 2. 2. lnln











 

ln zln z11

–

ln z ln z22 contoh: contoh: 1.

1. jika z jika z11 = -i dan z = -i dan z22 = -1, maka: = -1, maka:

a. a. ln (zln (z11. z. z22) ) = ln = ln ( -i ( -i . (-1) . (-1) )) = ln i = ln i = ln 1 + i = ln 1 + i





  

= 0 + i = 0 + i





 

     

b. b. lnln











    





      







 



 

2.3. Fungsi Tr

2.3. Fungsi Trigonometri dan igonometri dan Invers TrigInvers Trigonometrionometri 1. Fungsi Trigonometri

1. Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri atau fungsi lingkaran sin z, cos z, seterus dalam suku-suku Fungsi trigonometri atau fungsi lingkaran sin z, cos z, seterus dalam suku-suku fungsi pangkat sebagai berikut:

fungsi pangkat sebagai berikut: eeixix = cos x + i sin x = cos x + i sin x ee-ix-ix = cos x = cos x

–

i isn x i isn x cos x =

cos x =



(7)

maka fungsi trigonomertinya: maka fungsi trigonomertinya:

Cos z = Cos z =





 





sec z =sec z =

 



Sin z = Sin z =





 





cosec z =cosec z =





Tan z = Tan z =





 



((



_{ }



₎₎

c tan z =c tan z =



_

sifat-sifat trigonometri real juga berlaku untuk fungsi trigonometri komleks. sifat-sifat trigonometri real juga berlaku untuk fungsi trigonometri komleks. Contoh:

Contoh:

Carilah semua solusi untuk persamaan berikut: Carilah semua solusi untuk persamaan berikut:

1. 1. cos (z) = 1cos (z) = 1 penyelesaian : penyelesaian : kareana cos z = kareana cos z =





(



 



))

maka: maka:





(



 



))  





_

_{ }



_{ }





_{ }

_{   }

_{ }







_

_{ }



_{   }

(



_

_{ )}

_)



_{= 0}_{= 0}





_{ }





_{ }





_{}

_{  }





_{ }

_{  }

_



_{ }

_{   }

-- y y cos cos x x = = 0 0 - - y y = = 00

(8)

cos cos x x = = 0 0 y y = = 00 cos x = 0 cos x = 0 x = x =





 



z = z =

  







 



2.

2. Invers TrigonometriInvers Trigonometri - untuk cos(arcsin x) - untuk cos(arcsin x) - untuk sin(arccos x) - untuk sin(arccos x) - untuk tan(arcsin x) - untuk tan(arcsin x)

- untuk tan (arccos x) - untuk tan (arccos x)

(9)

- untuk cos(arctan x): - untuk cos(arctan x):

- untuk sin(arctan x) - untuk sin(arctan x)

2.3. Fungsi Hiperbolik dan Infres Hiperbolik 2.3. Fungsi Hiperbolik dan Infres Hiperbolik

1. Fungsi Hiperbolik 1. Fungsi Hiperbolik Cosh z = Cosh z =





 





sec h z =sec h z =

 



Sinh z = Sinh z =





 





cosech z =cosech z =

 



Tanh z = Tanh z =





 







_{ }

 c tanh z =c tanh z =

 

_{ }

Hubungan yang ada antara fungsi trigonometri dan

Hubungan yang ada antara fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik:fungsi hiperbolik: Sin

Sin iz iz = = i i sinh sinh z z i i sin sin z z = = sinh sinh iziz Cos

Cos z z = = cosh cosh iz iz tan tan iz iz = = i i tanh tanh zz Cos

Cos iz iz = = cosh cosh z z tanh tanh iz iz = = i i tan tan zz

Contoh: Contoh: 3. 3. sinh (z) = 0sinh (z) = 0 penyelesaian: penyelesaian:

(10)

karena sinh z = karena sinh z =









 





maka:maka:









 



  





_{ }



_{ }





_{   }





_{ }

2z = ln 1 2z = ln 1 Z = 0 Z = 0 2.

2. Invers HiperbolikInvers Hiperbolik

Seperti kita ketahui bahwa fungsi hiperbol juga memiliki turunan, maka fungsi Seperti kita ketahui bahwa fungsi hiperbol juga memiliki turunan, maka fungsi hiperbol pun memiliki balikan atau invers. Oleh karena sinus hiperbol dan tangent hiperbol pun memiliki balikan atau invers. Oleh karena sinus hiperbol dan tangent hiperbol adalah fungsi-fungsi yang turunannya selalu positif, maka fungsi-fungsi hiperbol adalah fungsi-fungsi yang turunannya selalu positif, maka fungsi-fungsi tersebut naik.

tersebut naik.

Dibawah ini adalah balikan fungsi kosinus hiperbol dan sekan hiperbol dengan daerah Dibawah ini adalah balikan fungsi kosinus hiperbol dan sekan hiperbol dengan daerah

asalnya yang dibatasi pada x ≥ 0. Maka;



 x = sinhx = sinh-1-1 y y

⇔

y = sinh x y = sinh x 

 x = coshx = cosh-1-1 y y

⇔

y = cosh x dan x ≥ 0y = cosh x dan x ≥ 0 

 x = tanx = tan-1-1 y y

⇔

y = tanh x y = tanh x 

 x = sechx = sech

-1 -1

y

⇔

y = sech x dan x ≥ 0y = sech x dan x ≥ 0

karena fungsi hiperbol dinyatakan dengan e

karena fungsi hiperbol dinyatakan dengan exx dan e dan e-x-x, maka tidak terlalu mengejutkan, maka tidak terlalu mengejutkan apabila balikan fungsi hiperbol dapat dinyatakan dengan logaritma asli.

apabila balikan fungsi hiperbol dapat dinyatakan dengan logaritma asli.

Perhatikanlah : y = cosh x untuk x ≥ 0, ini artinya bahwa ;

y = e

y = exx + e + e-x-x

/2 , x ≥ 0

dari persamaan diatas kita akan mencari nilai x nya. Dengan mengalikan kedua ruas itu dari persamaan diatas kita akan mencari nilai x nya. Dengan mengalikan kedua ruas itu dengan 2e

(11)

y2e

y2exx = e= exx + e + e-x-x/2 . 2e/2 . 2exx

, x ≥ 0

2ye

2yexx =2e=2e2x2x + 2e + 2e00

/2 , x ≥ 0

2ye

2yexx = e= e2x2x

+ 1 , x ≥ 0 atau

(e

(exx))22

–

2ye 2yexx

+ = 0, x ≥ 0

Apabila kita mencari e

Apabila kita mencari exx dari persamaan tersebut, maka kita peroleh : dari persamaan tersebut, maka kita peroleh : eexx

= 2y ± (√(2y)

22

–

4) /2 4) /2

eexx

= y ± √y

22

–

1 1

setelah ditarik logaritma aslinya, kita dapatkan ; setelah ditarik logaritma aslinya, kita dapatkan ;

x = ln(y ± √y

22

_–

1) 1)

syarat agar x ≥ 0, mengakibatkan bahwa kita harus memilih tanda positif, sehingga ;

x = cosh

x = cosh-1-1 y y

= ln(y ± √y

22

–

1) 1)

dengan cara sama kita akan mendapatkan balikan fungsi hiperbol yang lain yaitu setelah dengan cara sama kita akan mendapatkan balikan fungsi hiperbol yang lain yaitu setelah peranan x dan y kita tukar.

peranan x dan y kita tukar.



 sinhsinh-1-1 x x = ln(y ± √y= ln(y ± √y22 – – 1) 1) 

 coshcosh-1-1 x x = ln(y ± √y= ln(y ± √y22 – – 1), x ≥ 01), x ≥ 0 

 tanhtanh-1-1 x x = ½ ln = ½ ln 1 + x/1- 1 + x/1- x ,x , – – 1 < x < 1 1 < x < 1 

 sechsech-1-1x x = = ln(1ln(1 + √1 –+ √1 – x x22)/ x , 0 < x ≤ 1)/ x , 0 < x ≤ 1

semua fungsi diatas dapat didiferensialkan yaitu : semua fungsi diatas dapat didiferensialkan yaitu :

  DD_xx sinh sinh-1-1x = 1/√xx = 1/√x22 + 1 + 1   DD_xx cosh cosh -1 -1 x = 1/√x x = 1/√x22 – – 1 ; x > 1 1 ; x > 1   DD_xx tanh tanh -1 -1 x = 1/1 x = 1/1 – – x x22 ; -1 < x < 1 ; -1 < x < 1   DD_xx sech sech -1 -1 x = x = – – 1 /x√1 –1 /x√1 – x x22; 0 < x < 1; 0 < x < 1

(12)

Contoh : Contoh :

Buktikan bahwa D

Buktikan bahwa Dxx sinh sinh-1-1

x = 1/√x

22

–

1 dengan dua cara yang berlainan. 1 dengan dua cara yang berlainan.

Penyelesaian : Penyelesaian : Cara 1 :

Cara 1 :

Andaikan y = sinh

Andaikan y = sinh-1-1 x, maka x = sinh y. setelah itu ruas kanan dan kiri kita turunkan x, maka x = sinh y. setelah itu ruas kanan dan kiri kita turunkan berdasarkan x. maka ,

berdasarkan x. maka , 1 = (cosh y) D

1 = (cosh y) Dxx y sehingga ; y sehingga ;

D

Dxx y = D y = Dxx sinh sinh-1-1 x x

1/cosh y 1/cosh y

1/√1 + sinh

22 y y

1/√1 +

xx22 Cara 2 : Cara 2 : D Dxx (sinh (sinh-1-1 x) = D x) = Dxx

ln (x +√x

22 +1) +1)

⇒

1/x + √x

22 +1 D +1 Dxx

(x +√x

22 +1) +1)

⇒

1/x + √x

22

_{+1 [1 + x/√x}

22 +1] +1]

⇒

1/√x

22 +1 +1

(13)

Daftar Pustaka Daftar Pustaka Roihanah. 2009.

Roihanah. 2009. Analisis Kompleks Analisis Kompleks. Palembang: Universitas PGRI Palembang. Palembang: Universitas PGRI Palembang http://mtkanwar.blogspot.com/2011/01/invers-trigonometri.html

http://mtkanwar.blogspot.com/2011/01/invers-trigonometri.html

http://cerdaskan.com/balikan-fungsi-hiperbolik-invers-fungsi-hiperbol.htm http://cerdaskan.com/balikan-fungsi-hiperbolik-invers-fungsi-hiperbol.htm

tanggal pengambilan : 18 April tanggal pengambilan : 18 April 20142014