makalah analisis kompleks - Spada UNS

MAKALAH ANALISIS KOMPLEKS

APLIKASI TEORI PADA BILANGAN KOMPLEKS UNTUK PENYELESAIAN MASALAH GERAK PARTIKEL

Disusun untuk Memenuhi Tugas Proyek Mata Kuliah Analisis Kompleks Dosen Pengampu : Dyah Ratri A. S.Pd., M.Si.

Disusun Oleh:

KELOMPOK 3

- Amellia Putri (K1319004) - An Nisa’ Nur Azizah (K1319005) - Febriyani Valentina (K1319029) - Nahdah Afifah (K1319050) - Nurita Rachmawati (K1319056)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

2022

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat-Nya berupa kesempatan untuk menyelesaikan makalah tugas proyek yang berjudul “Aplikasi Teori pada Bilangan Kompleks untuk Penyelesaian Masalah Gerak Partikel”. Makalah ini dibuat untuk sarana belajar dan memenuhi tugas proyek mata kuliah Analisis Kompleks sebelum Ujian Tengah Semester. Makalah ini dapat terselesaikan atas bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, maka dari itu ucapan terima kasih diberikan kepada:

1. Dosen pengampu mata kuliah Analisis Kompleks Ibu Dyah Ratri A. S.Pd., M.Si.

yang telah berkenan membimbing dan mendidik dengan sabar hingga saat ini.

2. Bapak dan ibu kami yang selalu memberikan dukungan materi, dorongan, dan doa dalam menjalani pendidikan di Universitas Sebelas Maret Surakarta ini.

3. Teman-teman yang telah mendukung penyelesaian makalah ini.

Akhirnya, penulis menyadari bahwa makalah ini pasti belum sempurna. Kritik dan saran sangat diharapkan untuk perbaikan makalah ke depannya.

Surakarta, 7 Mei 2022

Penulis

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Bilangan kompleks merupakan penemuan besar dalam dunia matematika. Bilangan kompleks didefinisikan sebagai pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y yang dinyatakan dengan lambang z=(x,y). Karena bilangan kompleks z=(x,y) merupakan pasangan terurut, maka z=(x,y) dapat dipandang sebagai suatu vektor di R2. Selanjutnya, dengan menganggap bilangan kompleks sebagai R2 serta memilih 1 dan I sebagai basisnya, bilangan kompleks z=(x,y)€ R2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear z=x+iy.

Bilangan kompleks yang dinyatakan dengan z=x+iy memiliki banyak penerapan dalam kehidupan. Penggunaan bilangan kompleks dapat menjadi solusi atas permasalahan- permasalahan yang tidak dapat diselesaikan hanya dengan himpunan bilangan real. Salah satu penerapan bilangan kompleks yang dominan adalah di bidang fisika. Dalam mekanika kuantum, bilangan kompleks digunakan untuk menentukan kaedah komutasi antara operator koordinat dan momentum. Sementara dalam pembahasan mekanika bilangan kompleks juga digunakan untuk penyajian vektor posisi partikel dalam dua dimensi, dimana posisi x dan y berturut-turut merupakan bagian real dan imaginer dari vektor posisi z. Bilangan kompleks juga digunakan dalam pembahasan kelistrikan dan optika.

Makalah ini akan membahas penerapan bilangan kompleks dalam bidang mekanika fisika khususnya dalam hal kecepatan dan percepatan dari sebuah pergerakan partikel.

B. Perumusan Masalah

Bagaimana pergerakan partikel dan fungsi dalam t untuk kecepatan serta percepatan dari partikel yang direpresentasikan oleh 𝑧 = (1 + 𝑖)𝑒^𝑖𝑡? (z mewakili perpindahan partikel dari titik asal)

C. Tujuan Penelitian

Mengetahui pergerakan partikel dan fungsi dalam t untuk kecepatan serta percepatan dari partikel yang direpresentasikan oleh 𝑧 = (1 + 𝑖)𝑒^𝑖𝑡

BAB II

TEORI PENDUKUNG DAN PEMBAHASAN

A. Teori Pendukung 1. Interpretasi Geometri Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z = (x,y), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z.

Sesuai dengan definisi penjumlahan dari dua bilangan kompleks 𝑧₁ = (𝑥₁, 𝑦₁) dan 𝑧₂ = (𝑥₂, 𝑦₂), bilangan 𝑧₁+ 𝑧₂ berkaitan dengan titik yang koordinatnya (𝑥₁+ 𝑥₂, 𝑦₁+ 𝑦₂) atau vektor dengan komponen tersebut dan 𝑧₁+ 𝑧₂ dapat diperoleh secara vektorial seperti ilustrasi pada gambar berikut

Pengurangan 𝑧₁− 𝑧₂ = 𝑧₁+ (−𝑧₂) berkaitan dengan titik yang koordinatnya (𝑥₁− 𝑥₂, 𝑦₁− 𝑦₂) atau vektor dengan komponen tersebut. 𝑧₁− 𝑧₂ juga dapat diperoleh secara vektorial seperti ilustrasi pada gambar berikut

Meskipun perkalian bilangan kompleks 𝑧₁ dan 𝑧₂ adalah bilangan kompleks yang dapat dinyatakan dengan vektor yang terletak pada bidang yang sama dengan 𝑧₁ dan 𝑧₂ tetapi hasil kalinya bukanlah hasil kali skalar atau vektor seperti yang biasa digunakan pada analisis vektor. Interpretasi geometrik dari hasil kali dua bilangan kompleks akan dibicarakan nanti pada pembicaraan tentang koordinat polar.

2. Modulus Bilangan Kompleks Definisi

Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus dari z, ditulis |𝑧| = |𝑥 + 𝑖𝑦| =

√𝑥²+ 𝑦².

Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari titik O (0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks 𝑧₁ = 𝑥₁+ 𝑖𝑦₁dan 𝑧₂ = 𝑥₂+ 𝑖𝑦₂ adalah √(𝑥₁− 𝑥₂)²+ (𝑦₁− 𝑦₂)². Selanjutnya apabila 𝑧₁ = 𝑥₁+ 𝑖𝑦₁ dan r real positif, maka z – 𝑧₁ = r merupakan lingkaran yang berpusat di titik 𝑧₁ dengan jari- jari r. Jika z bilangan riil maka z = |𝑧|. Ketaksamaan 𝑧₁ 𝑧₂ berarti 𝑧₁ dan 𝑧₂ adalah bilangan riil , |𝑧₁|  |𝑧₂| berarti jarak 𝑧₁ ke titik asal lebih dekat daripada jarak 𝑧₂ ke titik asal.

3. Bentuk Eksponensial, Polar Bilangan Kompeleks dan Rumus Euler

Misal 𝑟 dan 𝜃 koordinat polar dari titik (𝑥, 𝑦) yang berkaitandengan bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 . 𝑧 dapat dinyatakan dalam bentuk polar 𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏𝜽) .

Jika 𝑧 = 0 maka 𝜃 tidak didefinisikan. Sehingga sebarang bilangan kompleks yang ditulis dalam bentuk polar dipahami sebagai tak nol. Pada analisis kompleks bilangan rill 𝑟 tidak diperbolehkan negative, 𝑟 = |𝑧| menunjukan Panjang vector yang mewakili 𝑧. Bilangan rill 𝜃 mewakili sudut, yang diukur dalam radian, yang dibentuk 𝑧 dengan sumbu real positif jika z dipandang sebagai vector.

𝜃 memiliki tak berhingga banyaknya nilai yang mungkin. Termasuk bilangan rill negatif, berbeda dalam kelipatan 2𝜋. Nilai tersebut dapat dicari dengan 𝑡𝑎𝑛𝜃 =^𝑥

𝑦, dimana kuadran yang memuat titik 𝑧 harus diperhatikan. Setiap nilai dari 𝜃 disebut argumen dari z dan dinotasikan dengan arg z.

Nilai utama dari arg z, dinotasikan dengan Arg zadalah nilai argumen z, ⊝ dengan −𝜋 <⊝≤ 𝜋, jadi 𝐚𝐫𝐠 𝒛 = 𝑨𝒓𝒈 𝒛 + 𝟐𝒏𝝅 (𝒏 = 𝟎, ±𝟏, ±𝟐, … ).

Simbol 𝑒^𝑖𝜃 atau exp(𝑖𝜃) didefinisikan oleh Rumus Euler sebagai 𝒆^𝒊𝜽 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏𝜽 dimana 𝜃 diukur dalam radian. Bentuk polar dituliskan dalam bentuk eksponensial 𝒛 = 𝒓𝒆^𝒊𝜽.

4. Mekanika Gerak Partikel

Sebuah gerak partikel dapat direpresentasikan dengan z yang mewakili perpindahan partikel dari titik asal. Z dapat dituliskan dalam bentuk 𝑥 + 𝑖𝑦 dan menemukan x dan y sebagai fungsi dari t (waktu). Dengan penotasian tersebut, akan lebih mudah untuk mendapatkan kecepatan kompleks dan percepatan kompleks dari pergerakan partikel tersebut. Didefinisikan kecepatan kompleks dan percepatan kompleks sebagai berikut:

𝑣 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 =𝑑𝑧 𝑑𝑡= 𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑖𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑎 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 =𝑑²𝑧

𝑑𝑡² = 𝑑²𝑥

𝑑𝑡² + 𝑖𝑑²𝑦 𝑑𝑡²

Maka besarnya dari kecepatan adalah 𝑣 = √(^𝑑𝑥

𝑑𝑡)²+ (^𝑑𝑦

𝑑𝑡)² = |^𝑑𝑧

𝑑𝑡| dan juga

besarnya sebuah percepatan adalah 𝑎 = √(^𝑑2𝑥

𝑑𝑡²)²+ (^𝑑2𝑦

𝑑𝑡²)² = |^𝑑2𝑧

𝑑𝑡²|. Yang perlu diperhatikan adalah semua kuantitas fisik (x, y, v, dan a) adalah nyata. Ekspresi kompleks digunakan hanya untuk mempermudah dalam perhitungan.

B. Pembahasan Masalah 1. Pergerakan partikel 𝒛 = (𝟏 + 𝒊)𝒆^𝒊𝒕

Untuk menemukan bagaimana pergerakan dari partikel tersebut maka perlu dilakukan penginterpretasian z ke dalam bentuk geometris.

𝑧 = (1 + 𝑖)𝑒^𝑖𝑡

𝑧 = 𝑒^𝑖𝑡+ 𝑖𝑒^𝑖𝑡

|𝑧| = |𝑒^𝑖𝑡 + 𝑖𝑒^𝑖𝑡|

Ingat dengan rumus euler bahwa

𝑒^𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃

Sehingga

𝑒^𝑖𝑡 = cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡

𝑖𝑒^𝑖𝑡 = 𝑖 cos 𝑡 − sin 𝑡

Didapat

|𝑒^𝑖𝑡+ 𝑖𝑒^𝑖𝑡| = |(cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡) + (𝑖 cos 𝑡 − sin 𝑡)|

= |(cos 𝑡 + sin 𝑡) + 𝑖(cos 𝑡 − sin 𝑡)|

= √(cos 𝑡 + sin 𝑡)²+ (cos 𝑡 − sin 𝑡)²

= √(cos²𝑡 + 2 cos 𝑡 sin 𝑡 + sin²𝑡) + (cos²𝑡 − 2 sin 𝑡 cos 𝑡 + sin²𝑡)

= √2(cos²𝑡 + sin²𝑡)

= √2

Sehingga didapatkan

|𝑧| = √2

Yang jika diinterpretasikan dalam geometris adalah sebuah lingkaran yang pusatnya adalah (0,0) dengan jari-jari √2 artinya partikel tersebut bergerak dalam gerakan lingkaran tersebut.

2. Fungsi Kecepatan partikel 𝒛 = (𝟏 + 𝒊)𝒆^𝒊𝒕 Perhatikan

𝑧 = (1 + 𝑖)𝑒^𝑖𝑡

𝑧 = 𝑒^𝑖𝑡+ 𝑖𝑒^𝑖𝑡

Dengan 𝑥 = 𝑦 = 𝑒^𝑖𝑡

Untuk mencari besar kecepatan harus dicari kecepatan kompleks dengan formula 𝑣 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 =𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑖𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡 =𝑑(𝑒^𝑖𝑡) 𝑑𝑡

= 𝑖𝑒^𝑖𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =𝑑(𝑒^𝑖𝑡) 𝑑𝑡

= 𝑖𝑒^𝑖𝑡

Sehingga

𝑣 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 = 𝑖𝑒^𝑖𝑡+ 𝑖(𝑖𝑒^𝑖𝑡)

𝑣 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑒𝑘𝑠 = −𝑒^𝑖𝑡+ 𝑖𝑒^𝑖𝑡

Besar kecepatan partikel tersebut

𝑣 = √(𝑑𝑥 𝑑𝑡)

2

+ (𝑑𝑦 𝑑𝑡)

2

𝑣 = √(−𝑒^𝑖𝑡)²+ (𝑒^𝑖𝑡)²

𝑣 = √(𝑒^𝑖𝑡)²+ (𝑒^𝑖𝑡)²

= √2𝑒^𝑖2𝑡

= 𝑒^𝑖𝑡√2

Sehingga fungsi kecepatan dari partikel tersebut adalah 𝑣 = 𝑒^𝑖𝑡√2

3. Fungsi Percepatan partikel 𝒛 = (𝟏 + 𝒊)𝒆^𝒊𝒕

Untuk mencari besar percepatan harus dicari percepatan kompleks dengan formula 𝑎 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 =𝑑²𝑧

𝑑𝑡² = 𝑑²𝑥

𝑑𝑡² + 𝑖𝑑²𝑦 𝑑𝑡²

𝑑𝑥

𝑑𝑡 =𝑑(𝑒^𝑖𝑡) 𝑑𝑡

= 𝑖𝑒^𝑖𝑡

𝑑²𝑥

𝑑𝑡² = 𝑑(𝑖𝑒^𝑖𝑡) 𝑑𝑡

= −𝑒^𝑖𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡 =𝑑(𝑒^𝑖𝑡) 𝑑𝑡

= 𝑖𝑒^𝑖𝑡

𝑑²𝑦

𝑑𝑡² =𝑑(𝑖𝑒^𝑖𝑡) 𝑑𝑡

= −𝑒^𝑖𝑡

Sehingga

𝑎 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 = −𝑒^𝑖𝑡+ 𝑖(−𝑒^𝑖𝑡)

𝑣 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑒𝑘𝑠 = −𝑒^𝑖𝑡− 𝑖𝑒^𝑖𝑡

Besar percepatan partikel tersebut

𝑎 = √(𝑑²𝑥 𝑑𝑡²)

2

+ (𝑑²𝑦 𝑑𝑡²)

2

𝑎 = √(−𝑒^𝑖𝑡)²+ (−𝑒^𝑖𝑡)²

𝑎 = √(𝑒^𝑖𝑡)²+ (𝑒^𝑖𝑡)²

= √2𝑒^𝑖2𝑡

= 𝑒^𝑖𝑡√2

Sehingga fungsi percepatan dari partikel tersebut adalah 𝑎 = 𝑒^𝑖𝑡√2

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah disajikan dalam bab sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa :

1. Untuk menemukan bagaimana pergerakan dari partikel tersebut maka perlu dilakukan penginterpretasian z ke dalam bentuk geometris yang jika diinterpretasikan dalam geometris adalah sebuah lingkaran yang pusatnya adalah (0,0) dengan jari-jari √2 artinya partikel tersebut bergerak dalam gerakan lingkaran tersebut.

2. Fungsi kecepatan dari partikel tersebut adalah 𝑣 = 𝑒^𝑖𝑡√2 3. Fungsi percepatan dari partikel tersebut adalah 𝑎 = 𝑒^𝑖𝑡√2

B. Saran

Berdasarkan uraian yang telah dijelaskan di atas, dapat diambil beberapa saran yaitu:

1. Ketika akan melakukan pencarian diharapkan agar terlebih dahulu memahami materi pendukung yang berkaitan dengan permasalahan yang akan dicari.

2. Dapat dilakukan pencarian matematika lainnya untuk meningkatkan kemampuan berpikir matematis.

Demikian saran yang dapat disampaikan penulis. Semoga bermanfaat dan dapat menjadi motivasi pembaca untuk belajar membuktikan kebenaran dari permasalahan matematis.

DAFTAR PUSTAKA

Boas, M. L. (2006). Mathematical Methods in The Physical Sciences. USA: John Wiley &

Sons, Inc.

Churchill, R. V. (1984). Complex variables and applications. New York: McGraw-Hill.

Dedy, E., & Sumiaty, E. (2019). Fungsi Variabel Kompleks. Jakarta: Bumi Aksara.