ANALISIS KOMPLEKS

(1)

VARIABEL KOMPLEKS

SUMANANG MUHTAR GOZALI SUMANANG MUHTAR GOZALI

KBK ALJABAR & ANALISIS

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

BANDUNG

2009

(2)

(3)

DAFTAR ISI

D

DAAFFTTAARR IISSII 22

1

1 SisSistem tem BilaBilangangan Kon Komplmpleks eks ((CC₎₎ ₁₁

11..1 1 PPeennddaahhuulluuaan n . . . . . . . 11

11..2 2 SSiiffaat-t-ssiiffat at AAlljjaabbar ar BBiillaangngaan n KKoommplplekeks s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

11..3 3 IInntteerrpprreettaassi i GGeeoommeettrriis s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11..4 4 KKeettaakkssaammaaaan n SSeeggiittiigga a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11..5 5 BBeennttuuk k PPoollaar r . . . . . . . 33

11..6 6 BBeennttuuk k EEkkssppoonneennssiiaal l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11..7 7 PPaannggkkaat t ddaan n AAkkaar r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 2 FFuunnggssi i AAnnaalliittiik k 55 22..1 1 FFuunnggssi i ddeennggaan n vvaarriiaabebel l kkoommpplleekks s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

22..2 2 LLiimmiit t . . . . . . . 55

22..3 3 KKeekkoonnttiinnuuaan n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

22..4 4 TTuurruunnaan n . . . . . . . 55

22..5 5 PPeerrssaammaaaan n CCaauucchhyy--RRiieemmaannn . . . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

22..6 6 FFuunnggssi i AAnnaalliittiik k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

22..7 7 FFuunnggssi i HHaarrmmoonniik k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 3 FFuunnggssi i EElleemmeenntteer r 77 33..1 1 FFuunnggssi i EEkkssppoonneen n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

33..2 2 FFuunnggssi i TTrriiggoonnoommeettrri i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

33..3 3 FFuunnggssi i LLooggaarriittmma a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

33..4 4 EEkkssppoonneen n KKoommpplleekks s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4 4 InIntetegrgral al didi RR ₉₉ 44..1 1 FFuunnggssi i BBeerrnniillaai i KKoommpplleekks s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

44..2 2 IInntteeggrraal l LLiinnttaassaan n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

44..3 3 AAnnttii--TTuurruunnaan n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

44..4 4 FFoorrmmuulla a CCaauucchhy y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5 5 DDereret et ddii CC ₁₁₁₁ 55..1 1 KKeekkoonnvveerrggeennaan n BBaarriissaan n ddaan n DDeerreet . . t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111

55..2 2 DDeerreet t TTaayylloor r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111

55..3 3 DDeerreet t LLaauurreennt . . t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111

55..4 4 KKeekkoonnvveerrggeennaan n MMuuttllaak . k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122

6 6 Teeo T orrii RReessiidduu 1133 66..1 1 RReessiiddu u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133

66..2 2 TTeeoorreemma a RReessiiddu u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133 D

DAAFFTTAAR R PPUUSSTTAAKKA A 1155 33

(4)

BAB 1

Sistem Bilangan Kompleks (

C

))

Pada bab pertama ini kita akan mempelajari struktur bilangan kompleks, dimulai Pada bab pertama ini kita akan mempelajari struktur bilangan kompleks, dimulai dengan deﬁnisi dan sifat-sifat aljabar kemudian ...

dengan deﬁnisi dan sifat-sifat aljabar kemudian ...

1.

1.1 1 P

Pen

enda

dah

hul

ulua

uan

n

Pada sistem bilangan real kita tidak mengenal konsep akar dari suatu bilangan Pada sistem bilangan real kita tidak mengenal konsep akar dari suatu bilangan negatif. Sekarang kita mendeﬁnisikan bilangan

negatif. Sekarang kita mendeﬁnisikan bilanganii ==

√

₋

1, atau1, atauii22 ==

₋

1. Selanjutnya,1. Selanjutnya, kita

kita mendeﬁnimendeﬁnisiksikan an himpunahimpunan n bilangbilangan an komkompleks pleks sebagaisebagai

C

C ₌₌

_{{

_x_x₊₊ _yi_yi _:: _x,_{x, y}_y

_∈∈

RR

_}}

_..

Untuk kemudahan penulisan notasi, kita akan sering menggunakan notasi

Untuk kemudahan penulisan notasi, kita akan sering menggunakan notasizz = = ((x,x, yy)) untuk

untuk zz == xx++yiyi.. Misalkan

Misalkan zz == xx ++ yiyi

_∈∈

CC_{, kita menyebut}_{, kita menyebut} _x_x _{sebagai bagian real dari}_{sebagai bagian real dari} _zz_{, dino-}_,

dino-tasikan dengan

tasikan dengan Re zzRe , dan, dan yy kita sebut bagian imajiner darikita sebut bagian imajiner dari zz, dinotasikan dengan, dinotasikan dengan

IIm m zz. Jika bagian imajiner suatu bilangan kompleks adalah nol, maka kita peroleh. Jika bagian imajiner suatu bilangan kompleks adalah nol, maka kita peroleh suatu bilangan real.

suatu bilangan real. Dengan demikiDengan demikian kita memandang sistem bilangan real sebagaian kita memandang sistem bilangan real sebagai subhimpunan di sistem bilangan kompleks.

subhimpunan di sistem bilangan kompleks.

Sebagaimana pada sistem bilangan real, pada sistem bilangan kompleks

Sebagaimana pada sistem bilangan real, pada sistem bilangan kompleksCC _kita_kita

dapat mendeﬁnisik

dapat mendeﬁnisikan an operasi penjumlahan dan operasi penjumlahan dan perkaperkalian. lian. MisalMisalkkanan zz11 == xx11 ++ yy11ii,,

zz22 == xx22 ++ yy22ii keduanya dikeduanya di CC. Kita mendeﬁnisikan penjumlahan dan perkalian dari. Kita mendeﬁnisikan penjumlahan dan perkalian dari

zz11 dandan zz22 melaluimelalui

zz11 ++zz22 = = ((xx11 ++xx22) + () + (yy11++yy22))ii

(5)

22 BAB 1. BAB 1. SISTEM SISTEM BILANBILANGAN KGAN KOMPLOMPLEKS ( EKS ( CC₎₎

zz11zz22 = = ((xx11xx22

−

yy11yy22) + () + (xx11yy22 ++ xx22yy11))i.i.

Selanjutnya, kita mendeﬁnisikan invers penjumlahan dari

Selanjutnya, kita mendeﬁnisikan invers penjumlahan dari zz, sebagai, sebagai

₋

zz = = ((

₋

xx) +) + ((

₋

yy))ii. Dengan mudah kita dapat memeriksa kesamaan. Dengan mudah kita dapat memeriksa kesamaan zz + (+ (

₋

zz) = 0.) = 0.

Jika

Jika zz == xx++ yiyi

_

= 0, kita mendeﬁnisikan invers= 0, kita mendeﬁnisikan invers zz terhadap perkalian sebagaiterhadap perkalian sebagai

zz−−11 == xx x x22 ₊₊_y_y22 ++

−

y y x x22 ₊₊_y_y22 ii

1.2 1.2 Sif

Sifat-

at-sif

sifat

at Alj

Aljaba

abar B

r Bila

ilanga

ngan

n Kom

Komple

pleks

ks

Untuk semua

Untuk semua a,b,ca,b,c

_∈∈

CC_{, operasi penjumlahan dan perkalian memenuhi semua}_{, operasi penjumlahan dan perkalian memenuhi semua}

sifat berikut: sifat berikut:

Sifat Ketertutupan

Sifat Ketertutupan aa++bb dandan a.ba.b keduanya adalah elemen dikeduanya adalah elemen di RR

SifatKomutatif

SifatKomutatif aa++bb == bb ++aa,, a.ba.b == b.ab.a

Sifat Asosiatif

Sifat Asosiatif ((aa++bb) +) + cc == aa+ (+ (bb++ cc), ), ((a.ba.b)).c.c == a.a.((b.cb.c)) Sifat Distributif

Sifat Distributif a.a.((bb++cc) ) == a.ba.b++ a.ca.c dan (dan (bb++cc)).a.a == b.ab.a++ c.ac.a

Eksistensi Identitas Penjumlahan

Eksistensi Identitas Penjumlahan Terdapat 0Terdapat 0

_∈∈

CC _{sehingga 0 +}_{sehingga 0 +}_a_a ₌₌ _a_a_..

Eksistensi Identitas Perkalian

Eksistensi Identitas Perkalian Terdapat elemen 0Terdapat elemen 0

_

= = 11

_∈∈

CC _{sehingga 1}_{sehingga 1}_.a_.a ₌₌ _a_a

untuk semua

untuk semua aa

_∈∈

CC

Eksistensi Invers Penjumlahan

Eksistensi Invers Penjumlahan Untuk setiapUntuk setiap aa

_∈∈

CC _terdapat_terdapat

₋

_a_a

_∈∈

CC _sehingga_sehingga

a

a+ (+ (

₋

aa) = 0.) = 0. Eksist

Eksistensi ensi InvInvers ers PerPerkkalianalian Untuk setiapUntuk setiap xx

_

= 0 di= 0 di CC _{terdapat satu elemen}_{terdapat satu elemen}

x x−−11

∈∈

CC _sehingga_sehingga _x._x.11 x x = = 1.1. Latihan Latihan 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4.

(6)

1.3.

1.3. INTERINTERPRETPRETASI GASI GEOMEEOMETRIS TRIS 33

1.

1.3 3 In

Inte

terp

rpre

reta

tasi

si Ge

Geom

omet

etri

riss

1.

1.4 4 Ke

Keta

taks

ksam

amaa

aan

n Se

Segi

giti

tiga

ga

1.

1.5 5 Be

Ben

ntu

tuk

k P

Pol

olar

ar

Latihan Latihan 1. 1. 2. 2. 3. 3.

1.

1.6 6 Be

Ben

ntu

tuk

k Ek

Ekspo

spone

nens

nsia

iall

1.

(7)

(8)

BAB 2

Fungsi Analitik

2.1 2.1 F

Fung

ungsi

si den

dengan

gan v

vari

ariabel

abel k

komp

omplek

lekss

2 2..2

2 L

Liim

miitt

2.

2.3 3 Ke

Kek

kon

onti

tin

nua

uan

n

2

2.4 .4 T

Tur

urun

unan

an

Latihan Latihan

2.5 2.5 P

Pers

ersama

amaan

an Cau

Caucch

hy-R

y-Riem

iemann

ann

2.

2.6 6 F

Fun

ungs

gsi

i An

Anal

alit

itik

ik

Latihan Latihan

(9)

66 BAB BAB 2. 2. FUNFUNGSI GSI ANAANALITLITIK IK 1. 1. 2. 2. 3. 3.

2.

(10)

BAB 3

Fungsi Elementer

Pada bab ini ... Pada bab ini ...

3.

3.1 1 F

Fun

ungs

gsi

i Ek

Ekspo

spone

nen

n

3.2 3.2 F

Fung

ungsi

si T

Trig

rigono

onomet

metri

ri

3.

3.3 3 F

Fun

ungs

gsi

i Lo

Loga

gari

ritm

tma

a

Latihan Latihan

(11)

88 BAB 3BAB 3. . FUNFUNGSI EGSI ELEMLEMENTENTERER 1. 1. 2. 2. 3. 3.

3.

(12)

BAB 4

Integral di

C

4.

4.1 1 F

Fun

ungs

gsi B

i Ber

erni

nila

lai K

i Kom

ompl

plek

ekss

4.

4.2 2 In

Inte

tegr

gral

al Li

Lin

nta

tasa

san

n

4.

4.3 3 An

Anti

ti-T

-Tur

urun

unan

an

4.

4.4 4 F

For

orm

mul

ula

a Ca

Cauc

uch

hy

y

Latihan Latihan

(13)

10

10 BAB BAB 4. 4. INTINTEGREGRAL AL DI DI CC

1. 1. 2. 2. 3. 3.

(14)

BAB 5

Deret di

C

5.1 5.1 Kek

Kekon

onv

verg

ergena

enan

n Bar

Barisa

isan d

n dan

an Der

Deret

et

5.

5.2 2 De

Dere

ret

t T

Ta

ayl

ylor

or

5

5.3 .3 De

Dere

ret

t La

Lau

ure

ren

ntt

Latihan Latihan 1. 1. 11 11

(15)

12

12 BABAB 5B 5. . DEDERERET DT DI I CC

2. 2. 3. 3.

5.4 5.4 Kek

Kekon

onv

verg

ergena

enan

n Mut

Mutlak

lak

(16)

BAB 6

Teori Residu

6 6..1

1 R

Reessiid

du

u

6.

6.2 2 T

Teo

eore

rema

ma Re

Resi

sidu

du

Latihan Latihan 1. 1. 2. 2. 3. 3. 13 13

(17)

14

(18)

DAFTAR PUSTAKA

[1

[1] ] BarBartltle, e, R.R.G. G. (19(1985)85),, Introduction to Real AnalysisIntroduction to Real Analysis, , JohJohn Wiln Wiley & Soney & Sons. Ins. Inc.c. [2]

[2] ChurcChurchill, hill, Ruel Ruel V. V. (1978),(1978), Compleks Variables and ApplicationsCompleks Variables and Applications, , McGRAMcGRAW- W-HILL.

HILL. [3]

[3] WWade, ade, W.RW.R. (2. (2000)000),, An Introduction to AnalysisAn Introduction to Analysis, , PrPrenentitice ce HaHallll.. [4]

[4] ZeidZeidlerler, , EberhEberhard (ard (19951995),), Applied Functional AnalysisApplied Functional Analysis, , SpringerSpringer-V-Verlag erlag NewNew York, Inc.

York, Inc.

15 15