Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks
Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut:
(1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan Penaf-siran secara geometris.
(2) Pertemuan II: Bentuk kutub, Pangkat, dan Akar.
(3) Pertemuan III: Pengertian-pengertian topologis.
Di dalam Kalkulus telah diperkenalkan sistem bilangan realRbeserta operasi-operasi hitung dan relasi urutan yang berlaku di dalamnya. Karena untuk setiap
x∈ R, x2 ≥0, maka mudah dipahami bahwa persamaan
x2+ 1 = 0 (1.1)
tidak mempunyai penyelesaian di dalam R. Dari permasalahan ini, kemudian muncul pemikiran untuk mengkonstruksikan suatu sistem bilangan yang lebih besar dariRsehingga persamaan (1.1) mempunyai penyelesaian. Sistem bilangan yang dimaksud selanjutnya dikenal dengan nama sistem bilangan kompleks.
Di dalam bab ini, akan dibicarakan sistem bilangan kompleks beserta sifat-sifat aljabar dan sifat-sifat-sifat-sifat geometrisnya. Untuk itu para pembaca dianggap sudah memahami sifat-sifat terkait di dalam R.
1.1
Pengertian Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z didefinisikan sebagai pasangan berurutan
z = (x, y) (1.2)
denganx, y ∈ R, masing-masing dinamakanbagian realdanbagian imajinerdari
z, dan ditulis
Selanjutnya, himpunan semua bilangan kompleks ditulis dengan notasi C. Jadi,
C ={(x, y) : x, y ∈ R}
Ada korespondensi 1-1 antara Rdengan {(x,0) : x∈ R} ⊂ C. Oleh karena itu, sistem bilangan real R dapat dipandang sebagai himpunan bagian di dalam C. Bilangan kompleks berbentuk (0, y) disebut bilangan imajiner (khayal) murni.
1.2
Operasi Aljabar Pada Bilangan Kompleks
Dua bilangan kompleks dikatakan sama jika bagian real dan bagian imajiner kedua bilangan tersebut masing-masing sama. Jadi,
(x1, y1) = (x2, y2)⇔x1 =x2 y1 =y2
Selanjutnya, diberikan dua bilangan kompleks z1 = (x1, y1) danz2 = (x2, y2). O-perasipenjumlahanz1+z2 dan operasiperkalianz1z2, masing-masing didefinisikan sebagai berikut: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2) (1.3) (x1, y1)(x2, y2) = (x1x2−y1y2, x1y2+x2y1) (1.4) Khususnya, (x1,0) + (x2,0) = (x1+x2,0) (x1,0)(x2,0) = (x1x2,0),
yaitu operasi penjumlahan dan perkalian di dalam R. Dengan demikian, sistem bilangan kompleks merupakan perluasan sistem bilangan real.
Mudah dipahami bahwa
(x, y) = (x,0) + (0, y) (1.5)
KarenaR ⊂ C, maka setiapk ∈ Rdapat dinyatakan sebagai (k,0) =k. Sehingga untuk sebarang bilangan kompleks z = (x, y) dan k ∈ R, berlaku
Selanjutnya, apabila dinotasikan (0,1) = i, maka berdasarkan persamaan (1.5) bilangan kompleks z = (x, y) dapat pula dituliskan sebagai
z = (x, y) =x+iy
Seperti halnya di dalamR, di dalam sistem bilangan kompleksC disepakati pula
z2 =zz,z3 =zz2, z4 =zz3, dst. Selanjutnya, diperoleh
i2 = (0,1)(0,1) = (−1,0),
yaitu
i2 =−1
. Sebagai informasi tambahan, dalam bidang teknik elektro biasa digunakan notasi j untuk bilangan imajiner i.
Apabila dicermati, ternyata semua sifat penjumlahan dan perkalian pada bi-langan kompleks sama dengan sifat penjumlahan dan perkalian pada bibi-langan real. Beberapa di antaranya, dapat dibuktikan langsung berdasarkan definisi, diberikan di dalam pernyataan berikut ini.
Sifat 1.2.1 Untuk sebarang z, z1, z2, z3 ∈ C berlaku
i. Hukum komutatif: z1+z2 =z2+z1 dan z1z2 =z2z1.
ii. Hukum assosiatif: (z1+z2) +z3 =z1+ (z2 +z3) dan (z1z2)z3 =z1(z2z3).
iii. Hukum distributif: z(z1+z2) = zz1+zz2.
Untuk sebarang bilangan kompleks (x, y), berlaku:
(0,0) + (x, y) = (x, y), dan (1.6)
(1,0)(x, y) = (x, y) (1.7)
Jadi, ada elemen netral terhadap penjumlahan, yaitu (0,0) = 0, dan ada elemen identitas terhadap perkalian, yaitu (1,0) = 1. Jadi, untuk sebarang bilangan kompleks z ∈ C,
Mudah ditunjukkan bahwa 0 dan 1 masing-masing tunggal adanya.
Selanjutnya, untuk sebarang (x, y)∈ C, maka (−x,−y)∈ C dan berlaku
(x, y) + (−x,−y) = (0,0)
Jadi, untuk sebarang z ∈ C terdapat (dengan tunggal) −z ∈ C sehingga
z+ (−z) = 0 (1.8)
Berdasarkan (1.8) dapat diturunkan definisi operasi pengurangan pada bilangan kompleks, yaitu
z1−z2 =z1+ (−z2) (1.9)
Jadi, apabila z1 = (x1, y1) dan z2 = (x2, y2), maka
z1−z2 = (x1−x2, y1−y2) = (x1−x2(+i(y1−y2)
Sampai di sini belum dapat ditunjukkan bahwa C tidak memuat pembagi nol sejati. Oleh karena itu, persamaan z2−2z+ 2 = 0 tidak dapat diselesaikan de-ngan faktorisasi ruas kiri. Namun demikian, dede-ngan hanya menggunakan operasi-operasi yang telah dibicarakan sebelumnya, penyelesaian persamaan tersebut da-pat ditentukan. Untuk itu, perhatikan contoh di bawah ini.
Contoh 1.2.2 Tentukan penyelesaian persamaan z2−2z+ 2 = 0.
Penyelesaian: Misalkan z = (x, y), maka
z2−2z+ 2 = 0
⇔ (x, y)(x, y)−2(x, y) + 2 = 0 ⇔ (x2−y2 −2x+ 2,2xy−2y) = 0
⇔ x2−y2−2x+ 2 = 0 (I) dan 2xy−2y= 0 (II)
Dari (II) diperoleh x= 1 atau y= 0. Untuk y= 0, maka (I) menjadi
Persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian karena diskriminannya negatif. Sedangkan untuk x= 1, maka (I) menjadi
1−y2 = 0⇔y=±1
Jadi, z = (1,1) atau z = (1,−1). 2
Untuk sebarang bilangan kompleks (x, y) 6= 0, maka ( x x2+y2, −y x2+y2) ∈ C, dan berlaku (x, y)( x x2+y2, −y x2+y2) = (1,0)
Dengan kata lain, untuk sebarang bilangan kompleks z 6= 0 terdapat (dengan tunggal) z−1 ∈ C sehingga
zz−1 = 1 (1.10)
Selanjutnya, operasi perbagian pada bilangan kompleks dapat diturunkan berda-sarkan (1.10), yaitu
z1
z2
=z1.z2−1, z2 6= 0 (1.11)
Dengan adanya inverse terhadap operasi perkalian, maka dapat ditunjukkan bahwa C tidak memuat pembagi nol sejati. Hal itu dinyatakan di dalam perny-ataan berikut.
Sifat 1.2.3 Untuk sebarang z1, z2 ∈ C: z1z2 = 0 jika dan hanya jika z1 = 0atau
z2 = 0.
Bukti:(⇒) : Diketahui z1z2 = 0. Apabila z1 6= 0, maka terdapat z1−1 ∈ C sehingga z1−1z1 = 1. Selanjutnya, diperoleh
z2 = 1.z2 = (z1−1z1)z2 =z1−1(z1z2) = z1−1.0 = 0
(⇐) : Mudah ditunjukkan. 2
Dengan adanya Sifat 1.2.3, maka Contoh 1.2.2 dapat diselesaikan dengan cara melakukan faktorisasi ruas kiri persamaan dalam contoh tersebut.
Apabila di dalam (1.11) diambil z1 = 1, maka diperoleh 1
z2
=z2−1 (1.12)
sehingga perbagian dapat pula dituliskan sebagai
z1 z2 =z1( 1 z2 ), z2 6= 0
Karena untuk sebarang z1, z2 6= 0 berlaku
(z1z2)(z1−1z
−2
2 ) = (z1z1−1)(z2z2−2) = 1 maka (z1z2)−1 = (z1−1z
−2
2 ). Berdasarkan persamaan (1.12) diperoleh 1 z1z2 = ( 1 z1 )(1 z2 ), z1, z2 6= 0 (1.13)
Selanjutnya, mudah dipahami
z1+z2 z3 = z1 z3 + z2 z3 ; z1z2 z3z4 = (z1 z3 )(z2 z4 ), z3, z4 6= 0 Contoh 1.2.4 ( 1 2−i)( 1 3 + 2i) = 1 (2−i)(3 + 2i) = 1 8 +i = ( 1 8 +i)( 8−i 8−i) = 8−i 65 = 8 65+ 1 65i Latihan
1. Nyatakan bilangan-bilangan kompleks berikut ini ke dalam a+ib: a. (1 +i)(2−3i) b. (3 +i)(2−i)(15 +101i) c. 1+24−3ii d. −1+31 i e. (1 +i)4 f. 1+2i 3−4i + 2−i 5i g. (i−1)(2−i) h. (1−i)(35 −i)
2. Tunjukkan: a. (2,−1)(1,3) = (5,5) b. 4−53i = 4 + 3i c. (2−2i)4 =−64 d. 21+−ii =−5 2i e. 1+2ii = 1 +i f. 2+2−ii = 3−54i 3. Tunjukkan: (z+ 1)2 =z2+ 2z+ 1.
4. Tunjukkan bahwa perkalian pada bilangan kompleks memenuhi sifat komu-tatif.
5. Tunjukkan bahwa z = (−1 2,±
√
3
2 ) merupakan akar-akar persamaanz
2+z+ 1 = 0.
6. Jika zz1 =zz2 denganz 6= 0, maka tunjukkan z1 =z2.
7. Dengan induksi matematika tunjukkan, apabila z1z2. . . zn = 0 maka terda-pat i, i= 1,2, . . . , n, sehingga zi = 0.
8. Tunjukkan:
a. Re(iz) =−Im(z); b. 11/z =z (z 6= 0); c. (−1)z =−z
9. Tunjukkan bahwa elemen netral dan elemen identitas tunggal adanya, masing-masing adalah 0 dan 1.
1.3
Penyajian Secara Geometris
Setiap bilangan kompleks dapat dipasangkan dengan tepat satu titik di dalam bidang datar, sebaliknya setiap titik di dalam bidang datar berpasangan den-gan tepat satu bilanden-gan kompleks. Sebagai contoh, bilanden-gan 2 + 3i dapat dis-ajikan dengan titik (2,3). Jadi, terdapat korespondensi 1-1 antara sistem bilangan kompleks C dengan bidang datar. Oleh karena itu, sebarang bilangan kompleks
z = x+iy dapat atau sering disajikan sebagai titik (x, y) atau sebagai vektor posisi dari titik asal ke titik (x, y).
Gambar 1.1
Karena sebarang bilangan kompleksz =x+iysecara geometris dapat dinyatakan sebagai titik (x, y), maka bidang datar xyseringkali disebut sebagai bidang kom-pleksataubidang-z. Sumbu-xdan sumbu-ymasing-masing disebut sebagaisumbu real dan sumbu imajiner.
Diberikan dua bilangan kompleks sebarang z1 = x1+iy1 dan z2 =x2 +iy2. Terkait dengan definisi penjumlahan dua bilangan kompleks, makaz1+z2 dapat disajikan dengan titik (x1+x2, y1+y2) atau dapat pula disajikan dengan vektor posisiOA, dengan A(x1+x2, y1+y2). Dengan demikian z1+z2 dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan vektorz1dan vektorz2. Demikian pula, vektorz1−z2 dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor z1 dengan vektor −z2.
Gambar 1.2
Modulus (atau nilai mutlak) bilangan kompleks z = x+iy, ditulis dengan notasi |z|, didefinisikan sebagai
|z|=
q
x2+y2 (1.14)
Sebagai contoh, |3−4i|= 5, | −1 +i√3|= 2, | −2−3i|=√13, dan seterusnya. Mudah ditunjukkan bahwa untuk sebarang z ∈ C,
|z| ≥0
dan
Gambar 1.3
Dari (1.14) dan Gambar 1.3, |z| secara geometris dapat diartikan sebagai jarak titik asal ke titik (x, y), atau panjang vektor posisi z. Apabila y = 0, maka |z|=|x|, yaitu nilai mutlak di dalam sistem bilangan realR.
Untuk dua bilangan kompleks sebarang z1 = x1 +iy1 dan z2 = x2 +iy2, |z1−z2| secara geometris adalah jarak antara titik z1 dan titikz2. Hal ini dapat diterangkan pula dengan persamaan (1.14), yaitu
|z1−z2|=
q
(x1−x2)2+ (y1−y2)2
Dari persamaan (1.14) pula diperoleh hubungan antara |z|, Re(z), dan Im(z), yaitu sebagai berikut:
|z|2 = (Re(z))2+ (Im(z))2 Akibatnya,
Re(z)≤ |Re(z)| ≤ |z|, Im(z)≤ |Im(z)| ≤ |z| (1.15)
Sekawan (konjugat) bilangan kompleks z = x+iy, ditulis dengan notasi z, adalah bilangan kompleksx−iy. Jadi
z=x−iy (1.16)
Dari (1.16) dapat dilihat bahwa z disajikan oleh titik (x,−y), yang tidak lain adalah pencerminan titik (x, y) terhadap sumbu real.
Gambar 1.5
Selanjutnya, dapat ditunjukkan sifat-sifat berikut ini.
Sifat 1.3.1 Untuk sebarang z, z1, z2 ∈ C berlaku:
i. (z) =z dan |z|=|z|, ii. z1+z2 =z1+z2, z1−z2 =z1−z2, iii. z1z2 =z1z2, (z1 z2) = z1 z2, z2 6= 0,
iv. z+z= 2Re(z), z−z = 2iIm(z)
Untuk sebarang z =x+iy∈ C,
zz = (x+iy)(x−iy) =x2+y2 =|z|2 (1.17)
Berdasarkan persamaan (1.17) dapat diberikan cara lain untuk menyatakan z1
z2,
yaitu dengan mengalikan pembilang dan penyebut denganz2. Sebagai gambaran, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 1.3.2 2 +i 2−3i = 2 +i 2−3i 2 + 3i 2 + 3i = 1 + 8i 13 = 1 13 + 8 13i
Selanjutnya, mudah ditunjukkan sifat berikut ini.
Sifat 1.3.3 Untuk sebarang z1, z2 ∈ C berlaku:
i. |z1z2|=|z1||z2|, |z1
z2|=
|z1|
|z2|, z2 6= 0,
ii. Ketaksamaan segitiga:
||z1| − |z2|| ≤ |z1+z2| ≤ |z1|+|z2|, ||z1| − |z2|| ≤ |z1−z2| ≤ |z1|+|z2|.
Bukti: Akan dibuktikan pertidaksamaan pertama pada ii, yang lain dipersi-lahkan para pembaca untuk mencobanya. Berdasarkan (1.17),
|z1+z2|2 = (z1+z2)(z1+z2) =z1z1+z1z2+z1z2 +z2z2 = z12+ (z1z2+z1z2) +z22 =z 2 1 +Re(z1z2) +z22 ≤ z12+|z1z2|+z22 =z12+|z1||z2|+z22 = (|z1|+|z2|)2
Karena modulus tidak negatif, maka |z1+z2| ≤ |z1|+|z2|. Selanjutnya, menggu-nakan hasil ini berturut-turut akan diperoleh
a. |z1|=|z1−z2+z2| ≤ |z1−z2|+|z2| ⇔ |z1| − |z2| ≤ |z1−z2|.
b. |z2|=|z2−z1+z1| ≤ |z1−z2|+|z1| ⇔ |z2| − |z1| ≤ |z1−z2|.
Dari (a) dan (b) diperoleh: ||z1| − |z2|| ≤ |z1+z2|. 2
Latihan
1. Gambar bilangan-bilangan kompleks berikut: a. (2−3i) b. (3 +i)
c. (1 + 2i()4−3i) d. −1+31 i e. (1−i)4 f. 31+2−4ii + 25−ii g. (i−1)(2−i) h. (1−i)(35 −i)
2. Tentukan |z| jika diketahui
a. z = (4−3i) b. z = (3 +i) c. z = (√5 + 2i()4−3i) d. z = −1+31 i e. z = (1−i)4 f. z = 1+2i 3−4i 2−i 5i g. z = (i√3−1)(√2−i√2) h. z = (1−i)(35−4i) 3. Tunjukkan:
a. z∈ R jika dan hanya jika z =z.
b. z merupakan bilangan real atau imajiner murni jika dan hanya jika (z)2 =z2.
4. Tunjukkan bahwa Re(z) +Im(z)≤√2|z|.
5. Tunjukkan bahwa
a. z1z2z3. . . zn=z1z2. . . zn b. zn= (z)n, n ∈ Z.
7. Jika |z3| 6=|z4|, maka tunjukkan
|z1 +z2
z3 +z4
| ≤ |z1|+|z2| ||z3| − |z4||
8. Tunjukkan bahwa |z −z0| = r, r > 0, merupakan persamaan lingkaran dengan pusatz0 dan jari-jari r.
9. Jika |z|= 1, maka tunjukkan |z2 +z+ 1| ≤3.
10. Jika |z−i|< 12, maka tunjukkan bahwa |z| ≥ 1 2.
11. Secara geometris, |z1 −z2| dapar diartikan sebagai jarak titik z1 dan titik
z2. Berikan gambaran geometris dari
a. |z−2i|+|z+ 2i|= 5 b. |z−3i|=|z+ 3i|
12. Jika |z|= 2, maka tunjukkan
| 1
z4 −4z2+ 3| ≤ 1 3
1.4
Bentuk Kutub
Seperti telah dijelaskan pada Bagian 1.2, bilangan kompleks z = x+iy dapat disajikan dengan titik (x, y) di dalam bidang-xy. Selanjutnya, sebarang bilangan kompleks tak nol z = x+iy atau z = (x, y), di dalam sistem koordinat kutub, dapat disajikan dengan (r, θ), dengan r menyatakan jarak titik tersebut ke titik asal danθ sudut yang dibentuk oleh garis yang menghubungkan titik tersebut ke titik asal dan garis horisontal, arah berlawanan jarum jam. Karena
x=rcosθ dan y=rsinθ
maka z dapat pula dinyatakan sebagai
z=r(cosθ+isinθ) (1.18)
Pernyataan (1.18) disebut bentuk kutub bilangan kompleks z. Berbeda dengan di dalam kalkulus, di dalam sistem bilangan kompleks ini r tidak diperkenankan
bernilai negatif. Sedangkan θ bisa bermacam-macam (tak hingga banyak) ni-lainya, termasuk negatif.
Bilangan r adalah modulus (panjang) bilangan kompleksz, yaitu
r=qx2+y2 =|z|
sedangkan θ disebut argument z, biasa ditulis argz. Secara geometris argz me-nyatakan sudut yang dibentuk oleh vektor posisi z terhadap sumbu real positif dan diukur dalam radian. Apabilaθmerupakan argz, makaθ+ 2kπ,k∈ Z, juga merupakan argz. Jadi, argz bernilai tidak tunggal. Untuk z = 0, argz tidak didefinisikan. Sedangkan untukz6= 0, nilai argz dapat ditentukan dengan rumus
θ= arctan(y x) , x6= 0 (1.19) atau θ= arcsin(y r) = arccos( x r) (1.20)
Apabila menggunakan rumus (1.19), maka kuadran yang memuat z harus diper-hatikan. Perlu diperhatikan pula bahwa berdasarkan keterangan tersebut di atas, apabila bilangan kompleksz dinyatakan dalam bentuk kutub, maka selalu dimak-sudkan z 6= 0, meskipun hal itu tidak dikatakan secara eksplisit.
Gambar 1.6
Nilai utama(principal value) argz, ditulis dengan notasi Argz, adalah suatu nilai argz (tunggal) sehingga −π <argz ≤π.
Contoh 1.4.1 Untuk bilangan kompleks z =−1−i√3, argz = 4π 3 + 2kπ, k ∈ Z tetapi Arg z =−2π 3
Diberikan dua bilangan kompleks sebarang:
z1 =r1(cosθ1+isinθ1) dan z2 =r2(cosθ2+isinθ2)
maka diperoleh
z1z2 = r1(cosθ1 +isinθ1)r2(cosθ2+isinθ2) = r1r2(cosθ1 +isinθ1)(cosθ2+isinθ2)
= r1r2{(cosθ1cosθ2−sinθ1sinθ2) +i(sinθ1cosθ2+ cosθ1sinθ2)} = r1r2(cos(θ1+θ2) +isin(θ1+θ2))
Jadi,
z1z2 =r1r2(cos(θ1+θ2) +isin(θ1+θ2)) (1.21)
Dengan demikian diperoleh suatu persamaan
argz1z2 = argz1+ argz2 (1.22)
Apabilaθ1danθ2masing-masing adalah nilai argz1 dan argz2, maka berdasarkan (1.22)θ1+θ2 merupakan suatu nilai argz1z2. Sebaliknya, diberikan sebarang nilai argz1 dan nilai argz1z2, misalkan masing-masing adalah
argz1 = θ1+ 2kπ, n∈ Z, dan argz1z2 = (θ1+θ2) + 2nπ, n ∈ Z
Karena
maka persamaan (1.22) akan dipenuhi apabila nilai argz2 =θ2+ 2(n−k)π. Jadi,
sebarang argz1z2 sama dengan suatu argz1 ditambah suatu argz2. Dalam hal ini perlu diperhatikan bahwa sebarang argz1z2 tidak sama dengan sebarang argz1 ditambah sebarang argz2. Demikian pula, Arg z1z2 belum tentu sama dengan Arg z1 ditambah Arg z2 Perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 1.4.2 Diberikan z1 = −1 dan z2 = −1 +i √ 3, maka z1z2 = 1−i √ 3. Berturut-turut diperoleh: argz1 = π+ 2kπ, k∈ Z, Arg z1 =π argz2 = 2π 3 + 2kπ, k∈ Z, Arg z2 = 2π 3 , argz1z2 = − π 3 + 2kπ, k ∈ Z, Arg z1z2 =− π 3.
Selanjutnya, apabila diberikan zk =rk(cosθk+isinθk), k = 1,2, . . . , n, maka secara induktif dapat ditunjukkan
z1z2. . . zn =r1r2. . . rn(cos(θ1+θ2+. . .+θn) +isin(θ1+θ2+. . .+θn)) (1.23)
Diberikan sebarang bilangan kompleks tak nol z = r(cosθ +isinθ), maka mudah ditunjukkan bahwa
1 z = 1 r(cos(−θ) +isin(−θ)) (1.24) Demikian pula z =r(cos(−θ) +isin(−θ)) (1.25)
Selanjutnya, berdasarkan persamaan (1.21) dan (1.24), maka untuk dua bi-langan kompleks sebarang:
z1 =r1(cosθ1+isinθ1) dan z2 =r2(cosθ2+isinθ2)
berlaku z1 z2 = (r1 r2 )(cos(θ1−θ2) +isin(θ1−θ2)) (1.26)
Jadi, seperti halnya pada (1.22), dari (1.26) dapat dikatakan bahwa sebarang
arg(z1
z2) sama dengan suatu argz1 dikurangi suatu argz2.
Apabila pada persamaan (1.23), zk = z = (cosθ +isinθ), k = 1,2, . . . , n, maka diperoleh
zn= (cosθ+isinθ)n = (cosnθ+isinnθ) (1.27)
Selanjutnya, berdasarkan (1.24) dan (1.27), maka untuk n∈ N diperoleh
z−n = 1
zn =
1
(cosnθ+isinnθ) = cos(−n)θ+isin(−n)θ (1.28) Jadi, dari (1.27) dan (1.28) diperoleh
(cosθ+isinθ)n= (cosnθ+isinnθ) (1.29)
untuk setiapn∈ Z. Persamaan (1.29) ini dikenal dengan namarumus De Moivre.
Contoh 1.4.3 Tentukan Re(z) dan Im(z) jika diketahui z = (1−i
√ 3)2 (1+i√3)6(1+i)6. Penyelesaian: Berdasarkan (1.29), (1−i√3)2 = {2(cos(−π 3) +isin(− π 3))} 2 = 22(cos(−2π 3 ) +isin(− 2π 3 )) (1 +i√3)6 = {2(cos(π 3) +isin( π 3))} 6 = 26(cos 2π+isin 2π) (1 +i)6 = {√2(cos(π 4) +isin( π 4))} 6 = 23(cos(3π 2 ) +isin( 3π 2 )) sehingga z = 2 2(cos(−2π 3 ) +isin(− 2π 3 )) 26(cos 2π+isin 2π)23(cos(3π
2 ) +isin( 3π 2 )) = 2−7(cos(−π 6) +isin(− π 6)) = 2−7(− √ 3 2 − 1 2) Jadi, Re(z) =− √ 3 28 dan Im(z) =−218. 2
1.5
Akar Bilangan Kompleks
Diberikan bilangan kompleks z dan n ∈ N. Bilangan kompleks w dikatakan merupakanakar pangkatndariz jikawn=z. Selanjutnya, akar pangkatndari z
ditulis dengan notasizn1. Misalkanz =r(cosθ+isinθ) danw=R(cosφ+isinφ).
Karenawn=z, maka berdasarkan rumus de Moivre
Rn(cos(nφ) +isin(nφ)) = r(cosθ+isinθ)
sehingga
Rncos(nφ) = rcosθ dan Rnsin(nφ) =rsinθ (1.30)
KarenaR ≥0 maka dengan menyelesaikan (1.30) diperoleh
R =r1n dan φ = θ+ 2kπ
n , k ∈calZ (1.31)
Tetapi karena cosinus dan sinus merupakan fungsi yang periodik dengan periode 2π maka (1.31) menjadi
R =rn1 dan φ = θ+ 2kπ
n , k= 0,1,2, . . . , n−1 (1.32)
Jadi, jika diberikan bilangan kompleks tak nol z =r(cosθ+isinθ) dan n ∈ N, maka akar pangkat n dari z adalah bilangan-bilangan kompleks
zk =r 1 n(cos(θ+ 2kπ n ) +isin( θ+ 2kπ n )), k = 0,1,2, . . . , n−1 (1.33)
Dari (1.33) dapat diketahui bahwa akar pangkat n merupakan fungsi bernilai sebanyak n (tidak tunggal). Hal ini berbeda dengan pengertian fungsi bernilai real yang selalu bernilai tunggal. Namun demikian, apabila yang diperhatikan salah satu cabangnya saja, yaitu untuk satu nilaintertentu, maka akar pangkatn
merupakan fungsi bernilai tunggal. Apabila pada (1.33) diambil−π < argzk ≤π, maka zk terkait dinamakan cabang utama dari z
1
n.
Contoh 1.5.1 Tentukan (−8−8i√3)14.
Penyelesaian: Karena z = −8−8i√3 = 16(cos(43π) + sin(43π)), maka menurut (1.33) akar pangkat 4 dari z =−8−8i√3 adalah bilangan-bilangan kompleks
zk = (16) 1 4(cos( 4π 3 + 2kπ 4 ) +isin( 4π 3 + 2kπ 4 )), k= 0,1,2,3
atau z0 = 1 +i √ 3, z1 =− √ 3 +i z2 = −1−i √ 3, z3 = √ 3−i2 Latihan
1. Nyatakan ke dalam bentuk kutub
a. 2−2i√3 b. 1 +i c. 2i d. √3−i e. i(1−i√3)(√3 +i) f. (1−i)9 g. 1+2ii√ 3 h. (√3+i)12 (1−i√3)10
2. Tentukan Arg z jika diketahui
a. z=−2−2i√3 b. z = 1+ii c. z= (2 + 2i)5 d. z =√3−i e. z= (1−i√ i 3)(√3+i) f. z =i(1−i) 9 g. z= −1+2+2i√i 3 h. (√3+i)12 (1−i)(1−i√3)10
3. Tentukan bagian real dan bagian imajiner dari bilangan-bilangan
a. z= (2 + 2i)5 b. z = (−1+i)7 (1+i)2 c. z= (2 + 2i√3)14 d. z = ( √ 3−i)37 (1−i)3 4. Tentukan a. (8−8i√3)14 b. 8 1 6 c. (−16)14 d. (4 + 4i √ 3)13 5. Tentukan z jika a. z= (1−i√3)4 b. z = (3 +i√3)10
c. z= (3−i√3)5(−1 +i)7 d. z = (√3+3i)4
(1+i)10
6. Tentukan semua nilai z sehingga z4+ 8(1 +i√3) = 0.
7. Jika Re(z1)>0 dan Re(z2)>0, maka tunjukkan
Arg z1z2 = Arg z1+ Arg z2
8. Tunjukkan cos(π7)−cos(27π) + cos(37π) = 12.
9. Jika z akar pangkat n dari 1 dan z 6= 1, maka tunjukkan
1 +z+z2+z3+. . .+zn−1 = 0
10. Jika z akar pangkat n dari 1 dan z 6= 1, maka tentukan
1 + 2z+ 3z2+ 4z3+. . .+nzn−1
11. Jika sin(θ2)6= 0, tunjukkan
1 + cosθ+ cos 2θ+. . .+ cosnθ= 1 2 +
sin(n+ 12)θ
2 sinθ2
1.6
Daerah (Region) di Dalam Bidang Kompleks
Di dalam bagian ini akan dibicarakan himpunan dan titik di dalam bidang kom-pleks, serta hubungan antara titik dan titik atau antara titik dan bidang di dalam bidang kompleks.
Untuk sebarang z0 ∈ C dan bilangan real r >0, himpunan
N(z0, r) = {z ∈ C : |z−z0|< r}
disebut persekitaran (neighborhood) z0 dengan jari-jari (radius) r. Selanjutnya, berdasarkan pengertian persekitaran didefinisikan pengertian beberapa titik dan himpunan di dalam bidang kompleks.
Titik z0 ∈ A ⊂ C disebut titik dalam (interior point) A jika terdapat r > 0 sehingga N(z0, r) ⊂ A. Titik z0 ∈ A ⊂ C disebut titik luar (exterior point) A
jika z0 titik dalamAc. Titikz0 disebut titik batas(boundary point)A⊂ C jika z0 bukan titik dalam dan bukan titik luarA. Dengan kata lain,z0 disebut titik batas
A⊂ C jika untuk setiap r >0 berlaku N(z0, r)∩A6=∅ dan N(z0, r)∩Ac6=∅. Himpunan A ⊂ C dikatakan terbuka (open) jika setiap titiknya merupakan titik dalam.
Teorema 1.6.1 Setiap persekitaran merupakan himpunan terbuka.
Bukti: Diambil sebarang z0 ∈ C dan bilangan real r > 0. Akan ditunjukkan
N(z0, r) terbuka.
Diambil sebarang z1 ∈N(z0, r), artinya |z1−z0|< r, maka terdapat bilangan real p > 0 sehingga |z1−z0|=p < r. Didefiniskan
r1 =r−p
maka r1 >0. Jika diambil sebarangz ∈N(z1, r1), maka
|z−z0| ≤ |z−z1|+|z1−z0|< r1+p=r
Jadi, z ∈ N(z0, r). Karena berlaku untuk z ∈ N(z1, r1), maka N(z1, r1) ⊂
N(z0, r). Bukti selesai. 2
Diberikan himpunan A ⊂ C. Titik z0 ∈ C disebut titik limit (limit point) A jika untuk setiap bilangan real r >0,N(z0, r)∩A− {z0} 6=∅. Himpunan A⊂ C dikatakan tertutup (closed) jika A memuat semua titik limitnya.
Himpunan A⊂ C dikatakan terhubung(connected) jika untuk setiap dua titik berbedaz1, z2 ∈Adapat dihubungkan dengan sebanyak berhingga segmen (peng-gal) garis yang kesemuanya berada di dalam A. Himpunan terbuka yang ter-hubung disebutdomain. Mudah dipahami bahwa setiap persekitaran merupakan domain. Suatu domain ditambah (atau tidak ditambah) beberapa atau semua titik batasnya disebut daerah (region).
Himpunan A ⊂ C dikatakan terbatas (bounded) jika terdapat bilangan real
M > 0 sehingga|z| ≤M untuk setiap z ∈A. Jadi,A terbatas jika ada lingkaran |z|=R sehingga setiap z ∈A berada di dalam lingkaran tersebut.
Latihan
1. Diberikan A={z ∈ C : −1≤x≤1, −1≤y≤1} ∪ {2 +i}. Tentukan
a. semua titik dalam A. b. semua titik limit A.
c. semua titik batas A.
2. Jika E ={z ∈ C : −2≤x ≤2, −1≤y≤1}, maka tunjukkan E tidak terbuka tetapi tertutup.
3. Selidiki apakah himpunan yang tidak terbuka pasti tertutup.
4. Tunjukkan A tertutup jika dan hanya jika Ac terbuka.
5. Jikaz0bukan titik dalam dan bukan titik luar himpunanA, maka tunjukkan bahwa z0 merupakan titik batasA.
6. Jika Atidak terbuka, maka tunjukkan bahwa A memuat suatu titik batas-nya.
7. Jika A tidak tertutup, maka tunjukkan terdapat titik batas A yang tidak termuat di dalamnya.
8. Tunjukkan bahwaA={z1, z2, . . . , zn}tidak mempunyai titik limit. Dengan demikian A tertutup.
9. Tunjukkan bahwa setiap titik di dalam suatu domain merupakan titik limit domain tersebut.
