SISTEM BILANGAN REAL
Dalam terminologi Aljabar Abstrak, sistem bilangan real disebut dengan “field (lapangan)” pada operasi penjumlahan dan perkalian. Suatu operasi biner biasa ditulis dengan suatu pasangan terurut (a, b) yang unik dari suatu himpunan B(a, b). Pada pembahasan sifat penjumlahan dan perkalian bilangan real, akan digunakan notasi a + b dan a . b secara konvensional.
1. Sifat Aljabar Bilangan Real
Pada himpunan bilangan real ℝ, terdapat dua operasi biner yang dilambangkan dengan + dan . dan berturut-turut disebut dengan penjumlahan dan perkalian. Operasi biner tersebut memiliki sifat sebagai berikut:
(A1) a + b = b + a untuk setiap a, b ∈ ℝ (komutatif terhadap penjumlahan) (A2) (a + b) + c = a + (b + c) untuk setiap a, b, c ∈ ℝ (assosiatif terhadap
perkalian)
(A3) terdapat unsur 0 ∈ ℝ sedemikian sehingga 0 + a = a dan a + 0 = a untuk setiap a ∈ ℝ (eksistensi unsur nol)
(A4) untuk setiap a ∈ ℝ terdapat unsur –a ∈ ℝ sedemikian sehingga a + (-a) = 0 dan (-a) + a = 0 (eksistensi unsur negatif)
(M1) a . b = b . a untuk setiap a, b ∈ ℝ (komutatif terhadap perkalian)
(M2) (a . b) . c = a . (b . c) untuk setiap a, b, c ∈ ℝ (assosiatif terhadap perkalian)
(M3) terdapat unsur 1 ∈ ℝ yang berbeda dari 0 sedemikian sehingga 1 . a = a dan a . 1 = a untuk setiap a ∈ ℝ (eksistensi unsur satuan di ℝ)
(M4) untuk setiap a ≠ 0 di ℝ terdapat unsur 1
a ∈ ℝ sedemikian sehingga 1 1 a a dan 1 1 a a
(D) a . (b + c) = (a . b) + (a . c) dan (b + c) . a = (b . a) + (c . a), untuk setiap a, b, c ∈ ℝ (distributif perkalian terhadap penjumlahan).
Sifat-sifat di atas telah umum diketahui. Empat sifat pertama (A1) – (A4) menjelaskan sifat aljabar bilangan real terhadap penjumlahan sedangakn empat sifat berikutnya (M1) – (M4) menjelaskan sifat aljabar bilangan real terhadap perkalian. Satu sifat terakhir yaitu (D) menjelaskan tentang gabungan dari kedua operasi tersebut.
Selanjutnya, akan ditunjukkan beberapa teorema tentang eksistensi unsur 0 dan 1 sebagaimana yang terdapat dalam (A3) dan (M3). Selain itu, akan ditunjukkan pula bahwa perkalian dengan unsu 0 akan selalu menghasilkan unsur 0.
Teorema 2
(a). Jika z dan a elemen di ℝ, dengan z + a = a maka z = 0
(b). jika u dan b ≠ 0 adalah elemen di ℝ dengan u . b = b maka u = 1 (c). jika a ∈ ℝ maka a . 0 = 0
Bukti
(a). diketahui z, a ∈ ℝ dan z + a = a Akan ditunjukkan z = 0.
Dari z + a = a, kedua ruas ditambahkan dengan –a, diperoleh (z + a) + (-a) = a + (-a)
z + (a + (-a)) = a + (-a) (A2) z + 0 = 0 (A4) z = 0 (A3) (b). diketahui u . b = b dan b ≠ 0
Karena b ≠ 0, maka terdapat 1
b∈ ℝ.
Dari u . b = b, kedua ruas dikalikan dengan 1
(u . b) 1 b = b 1 b 1 1 . . u b b b b (M2) u . 1 = 1 (M4) u = 1 (M3) (c). Karena a + a . 0 = a . 1 + a . 0 = a . (1 + 0) = a . 1 = a, maka a . 0 = 0. Jadi Teorema 2 terbukti.
Teorema 3. Jika a ∈ ℝ, maka (a). (-1) . a = -a (b). –(-a) = a (c). (-1) . (-1) = 1
Selanjutnya, akan diberikan dua sifat penting dari operasi perkalian yaitu sifat ketunggalan elemen inversnya dan bahwa perkalian dua buah bilangan akan menghasilkan nol hanya jika salah satu dari kedua bilangan tersebut adalah nol.
Teorema 4.
(a). Jika a + b = 0, maka b = -a
(b). Jika a ≠ 0 dan b ∈ ℝ sedemikian sehingga a . b = 1, maka b 1 a
(c). Jika a . b = 0, maka a = 0 dan b = 0. Bukti:
(a). dari a + b = 0, kedua ruas ditambahkan dengan (-a), diperoleh (-a) + (a + b) = (-a) + 0
((-a) + a) + b = (-a) + 0 0 + b = -a b = -a
(b). dari a . b = 1, kedua ruas dikalikan dengan 1 a, diperoleh
1 1 . .1 a b a a 1 1 .a b a a 1.b 1 a b 1 a (c). dari a . b = 0, kedua ruas dikalikan dengan 1
a, diperoleh
1 1 . .0 a b a a 1 .a b 0 a 1 . b = 0 b = 0Jadi Teorema 4 terbukti.
Operasi pengurangan (subdtraction) didefinisikan dengan a – b = a + (-b) untuk a, b ∈ ℝ. Begitu pula dengan operasi pembagian (division), a, b ∈ ℝ dengan b ≠ 0 didefinisikan a a. 1
b b
. Tanpa mengurangi keterumuman, untuk selanjutnya perkalian a . b cukup ditulis dengan ab. Sama halnya dengan penulisan bentuk eksponen a2 cukup ditulis aa, a3 dengan (a2)a, dan
secara umum an + 1 = (an)a, untuk n ∈ ℕ. Lebih lanjut, a1 = a, dan jika a ≠ 0,
maka cukup ditulis a0 = 1 dan a-1 untuk 1
a , dan jika n ∈ ℕ, maka dapat ditulis
a-n untuk 1 n a .
2. Bilangan rasional dan Bilangan Irrasional
Perhatikan bahwa himpunan bilangan asli, ℕ, dan himpunan bilangan bulat, ℤ, merupakan subset dari ℝ. Elemen ℝ yang dapat dituliskan ke dalam bentuk b
a dengan a, b ∈ ℤ dan a ≠ 0 disebut dengan bilangan rasional.
Himpunan semua bilangan rasional di ℝ dinotasikan dengan ℚ. Perhatikan pula bahwa sifat-sifat lapangan juga berlaku untuk ℚ. Tidak semua elemen di ℝ merupakan elemen ℚ. Misalnya saja 2, yang tidak dapat dinyatakan ke
dalam bentuk b
a. Elemen ℝ yang bukan termasuk ke dalam elemen ℚ disebut
bilangan irrasional.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa tidak ada bilangan rasional yang apabila dikuadratkan hasilnya adalah 2. Untuk membuktikannya digunakan istilah genap dan ganjil. Suatu bilangan asli disebut genap apabila bilangan tersebut mempunyai bentuk 2n untuk n ∈ ℕ, dan disebut ganjil apabila bilangan tersebut mempunyai bentuk 2n – 1 untuk n ∈ ℕ.
Teorema 5.
Tidak ada bilangan rasional r sedemikian sehingga r2 = 2.
Bukti
Dengan kontradiksi, misalkan p dan q adalah bilangan bulat sedemikian sehingga (p/q)2 = 2. Diasumsikan bahwa p dan q positif dan tidak memiliki
faktor persekutuan lain selain 1.
Karena (p/q)2 = 2, maka p2 = 2q2. Jelas bahwa p2 adalah genap. Akibatnya p
juga genap sebab jika ganjil maka p = 2n – 1 untuk suatu n ∈ ℕ sehingga p2 =
(2n – 1)2 = 4n2 – 4n + 1 = 2(2n2 – 2n) + 1 yang berarti bahwa p2 juga ganjil.
Jadi p haruslah genap.
Selanjutnya, karena p dan q tidak memiliki faktor persekutuan lain selain 1 maka q haruslah merupakan bilangan asli ganjil.
Karena p genap, maka p = 2m untuk m ∈ ℕ, sehingga dari p2 = 2q2 diperoleh
(2m)2 = 2q2 ⇔ 4m2 = 2q2 ⇔ 2m2 = q2. Dengan demikian, q2 adalah genap.
Akibatnya q juga haruslah genap.
Hal ini kontradiksi dengan permisalan bahwa q ganjil.
Jadi pengandaian salah. Yang benar adalah tidak ada bilangan rasioanl r sedemikian sehingga r2 = 2.
3. Sifat Urutan Bilangan Real
Sifat urutan bilangan real menjelaskan tentang kepositifan (positivity) dan ketaksamaan (inequalities) diantara bilangan real. Sifat urutan bilangan real yang dimaksud adalah sebagai berikut:
Definisi 15.
Suatu subset tak kosong P (P ⊆ ℝ), disebut dengan himpunan bilangan real positif tegas, jika memenuhi sifat-sifat berikut:
(a). Jika a, b ∈ P, maka a + b ∈ P (b). Jika a, b ∈ P, maka ab ∈ P
(c). Jika a ∈ P, maka memenuhi tepat satu kondisi berikut: a ∈ P, a = 0, atau –a ∈ P.
Dua sifat pertama yaitu (a) dan (b) menjelaskan tentang sifat tertutup P terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Sementara sifat yang ketiga yaitu (c) sering disebut dengan Sifat Trikotomi sebab akan membagi ℝ ke dalam tiga jenis elemen yang berbeda. Hal ini menjelaskan bahwa himpunan {-a | a ∈ P+ dari bilangan real negatif tidak memiliki elemen yang sama dengan himpunan bilangan real positif. Lebih lanjut, himpunan bilangan ℝ merupakan gabungan dari tiga himpunan saling asing tersebut yaitu:
Jika a ∈ P, ditulis a > 0, artinya a adalah suatu bilangan real positif. Jika a ∈ P ∪*0+, ditulis a ≥ 0, artinya a adalah bilangan real nonnegatif. Sama halnya jika –a ∈ P, ditulis a , 0, artinya a adalah bilangan real negatif. Dan jika –a ∈ P ∪{0}, ditulis a ≤ 0, artinya a adalah bilangan real nonpositif.
Definisi 16. Misalkan a, b ∈ ℝ.
(a). jika a – b ∈ P, maka ditulis a > b atau b < a (b). Jika a – b ∈ P ∪*0+, maka ditulis a ≥ b atau b ≤ a.
Akibatnya, sifat trikotomi dapat dituliskan kembali menjadi: suatu a, b ∈ ℝ memenuhi tepat satu kondisi berikut:
a > b, a = b, a < b.
sementara itu, jika a ≤ b dan b ≤ a maka a = b. Dan jika a < b < c maka artinya a < b dan b < c.
Teorema 6.
(a). Jika a ∈ ℝ dan a ≠ 0, maka a2 > 0
(b). 1 > 0
(c). Jika n ∈ ℕ, maka n > 0 Bukti
(a). berdasarkan sifat trikotomi, jika a ≠ 0 maka berlaku salah satu dari a ∈ P atau –a ∈ P.
Jika a ∈ P maka a2 = a . a ∈ P. Sama halnya jika a ∈ P maka a2 = (-a) . (-a)
∈ P. Sehingga dapat disimpulkan bahwa jika a ≠ 0, maka a2 > 0.
(b). karena 1 = 12, maka berdasarkan Teorema 6(a), 1 > 0.
(c). akan digunakan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa jika n ∈ ℕ, maka n > 0.
(i). untuk n = 1, maka 1 > 0 benar (Teorema 6 (b))
(ii). Misalkan n = k benar yakni k > 0. Maka akan bernilai benar juga untuk n = k + 1 yakni k + 1 > 0
Jadi, pernyataan untuk n = k + 1 juga bernilai benar. Dari (i) dan (ii) maka terbukti jika n ∈ ℕ, maka n > 0. Teorema 7.
Misalkan a, b, c ∈ ℝ.
(a). Jika a > b dan b > c, maka a > c (b). Jika a > b dan a + c > b + c (c). Jika a > b dan c > 0, maka ca > cb
Jika a > b dan c < 0, maka ca < cb (d). Jika a > 0 maka 1 0
a
Jika a < 0 maka 1 0 a
Bukti
(a). Jika a – b ∈ P dan b – c ∈ P, maka (a – b) + (b – c) = a – c ∈ P. Akibatnya a > c.
(b). Jika a – b ∈ P maka (a + c) – (b + c) = a – b ∈ P. Artinya a + c > b + c (c). Jika a – b ∈ P dan c ∈ P, maka ca – cb = c(a – b) ∈ P. Akibatnya ca > cb
untuk c > 0.
Sementara itu, jika c < 0 dan –c ∈ P sehingga cb – ca = -c(a – b) ∈ P, maka cb > ca untuk c < 0.
(d). Jika a > 0, maka a ≠ 0. Akibatnya 1 0 a . Misalkan 1 0 a , maka 1 . 1 0 a
a . Hal ini jelas salah (Teorema 6 (b)).
Sehingga haruslah 1 0 a
Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan jika a < 0 maka 1 0 a
Teorema 8.
Jika a, b ∈ ℝ, dan a < b, maka 1
2
a ab b.
Bukti
Dari a < b, maka berlaku 2a = a + a < a + b dan a + b < b + b = 2b. Dari kedua pernyataan tersebut diperoleh 2a < a + b < 2b.
Karena 2 > 0, maka berdasarkan Teorema 7 (d) diperoleh 1 0
2 . Sehingga
1 1 1 2 2 2 2 2 a a ab b b Jadi 1
2 a ab b, untuk setiap a, b ∈ ℝ.Perhatikan bahwa tidak akan pernah terdapat bilangan real positif terkecil. Sebagai gambaran, misalkan a > 0, dan ambil ½ > 0, diperoleh 0 < ½ a < a untuk a sebarang bilangan real. Artinya, untuk setiap bilangan real positif a pasti akan terdapat bilangan real poitif lain yang lebih kecil dalam hal ini ½ a. Selanjutnya, untuk membuktikan bahwa suatu himpunan a ≥ 0 adalah sama dengan 0, maka harus ditunjukkan bahwa a selalu lebih kecil dari sebarang bilangan positif yang diberikan.
Teorema 9.
Jika a ∈ ℝ dan 0 ≤ a < ε untuk ε > 0, maka a = 0. Bukti:
Akan dibuktikan dengan kontradiksi.
Misalkan a > 0. Maka berdasarkan Teorema 8 berlaku 0 < ½ a < a. Pilih ε = ½ a > 0. Jadi, terdapat ε > 0 sedemikian sehingga ε < a. Hal ini kontradiksi dengan a < ε untuk ε > 0.
Hasil kali dua bilangan positif adalah positif, tetapi bilangan positif tidak selalu dihasilkan dari perkalian dua buah bilangan positif. Perkalian dua bilangan negatif juga adalah positif. Selanjutnya perhatikan Teorema 10 berikut.
Teorema 10.
Jika ab > 0 maka berlaku: a. a > 0 dan b > 0, atau b. a < 0 dan b < 0 Bukti:
Perhatikan ab > 0 sehingga a ≠ 0 dan b ≠ 0. Berdasarkan sifat trikotomi jika a ≠ 0 maka a < 0 atau a > 0. Demikian pula jika b ≠ 0 maka b < 0 atau b > 0. a. Ambil a > 0. Maka jelas 1 0
a sehingga diperoleh
1 1 0 0
a a
b ab
b. Ambil a < 0. Maka jelas 1 0
a sehingga diperoleh
1 1 0 0
a a
b ab
Akibat 1.
Jika ab < 0 maka berlaku a. a < 0 dan b > 0, atau b. a > 0 dan b < 0
