2. FUNGSI ANALITIK
Fungsi f(z) disebut analitik di titik z0 apabila
f
(z
)
ada di semua titik pada suatu lingkungan z0. Untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y) digunakan persamaan Cauchy – Riemann. Sebelum mempelejari persamaan Cauchy-Riemann akan diperkenalkan terlebih dahulu pengertian tentang limit fungsi dan turunan fungsi pada bilangan kompleks.Oleh karena itu, setelah membaca Bab 2, mahasiswa diharapkan dapat Mengerti definisi fungsi analitik
Menghitung nilai limit dari fungsi kompleks Menentukan kekontinuan fungsi
Mencari turunan fungsi
Menentukan fungsi analitik dan fungsi harmonik 2.1 Fungsi Peubah Kompleks
Definisi Misalkan S himpunan bilangan kompleks. Fungsi kompleks f pada S adalah aturan yang mengawankan setiap
z
S
dengan biangan kompleks w.Notasi w = f(z).
Dalam hal ini, S disebut domain dari f dan z dinamakan variabel kompleks.
Misalkan w = u + iv adalah nilai fungsi f di z = x + iy, sehingga u + iv = f(x + iy).
Masing-masing bilangan riil u dan v bergantung pada variabel riil x dan y, sehingga f(z) dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut dari variabel riil x dan y, yaitu
f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Jika koordinat polar r dan θ pada x dan y digunakan, maka
u + iv = f(reiθ), dimana w = u + iv dan z = reiθ. Sehingga f(z) dapat ditulis menjadi
f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ). Contoh 1 Misalkan w = f(z) = z2 +3z.
Tentukan u dan v serta hitung nilai dari f pada z = 1 + 3i. Nyatakan juga u dan v dalam bentuk polar. Penyelesaian:
Misal z = x + iy, sehingga
)
3
2
(
3
)
(
3
)
(
)
(
)
(
z
f
x
iy
x
iy
2x
iy
x
2x
y
2i
xy
y
f
Jadiu
x
2
3
x
y
2 danv
2
xy
3
y
. Untuk z = 1 + 3i makaf
(
z
)
f
(
1
3
i
)
(
1
3
i
)
2
3
(
1
3
i
)
5
15
i
. Jadi u(1,3) = -5 dan v(1,3) = 15.Jika koordinat polar digunakan dimana z = reiθ, maka
)
sin
3
2
sin
(
cos
3
2
cos
sin
3
cos
3
2
sin
2
cos
3
)
(
3
)
(
)
(
)
(
2 2 2 2 2 2 2
r
r
i
r
r
ir
r
ir
r
re
e
r
re
re
re
f
z
f
i i i i i
2.2 Pemetaan / Transformasi
Sifat-sifat dari fungsi bernilai riil dapat dilihat dari grafik fungsinya. Tetapi untuk w = f(z), dimana w dan z bilangan kompleks, tidak ada grafik yang menyatakan fungsi f karena setiap bilangan z dan w berada di bidang bukan di garis bilangan.
Definisi Transformasi Korespondensi antara titik-titik di bidang-z dengan titik-titik di bidang-w disebut pemetaan atau transformasi dari titik-titik di bidang-z dengan titik-titik di bidang w oleh fungsi f.
Pemetaan dapat berupa: Translasi / pergeseran Rotasi / perputaran Refleksi / pencerminan Sebagai contoh, pemetaan
w = z + 1 = (x+1) +iy, dimana z = x + iy, mentranslasikan / menggeser setiap titik z satu satuan ke kanan.
2
exp
i
r
iz
w
, dimana z = reiθ dan i = eiπ/2, merotasi / memutar setiap titik taknol z kekanan dari pusatnya berlawanan arah jarum jam.
w
z
x
iy
merefleksikan / mencerminkan setiap titik z = x + iy pada sumbu riil. 2.3 LimitSecara umum definisi limit dalam kompleks sama dengan definisi limit pada bilangan riil dalam kalkulus. Kalau pada bilangan riil bila x mendekati x0 hanya mendekati sepanjang garis riil sedangkan pada bilangan kompleks bila z mendekati z0 akan mendekati dari semua arah dalam bidang kompleks.
Definisi Limit 0
)
(
lim
0w
z
f
z z
dibaca “limit f(z) untuk z menuju z0 sama dengan w0 “, dan
didefinisikan sebagai berikut:
(
)
00
0
0
0lim
0z
z
w
z
f
z z berlaku
0)
(
z
w
f
.Secara geometri definisi di atas mengatakan bahwa untuk setiap lingkungan- dari w0, yaitu |w - w0|< ada suatu lingkungan- dari z0, yaitu 0 < |z - z0| < sedemikian sehingga setiap titik z pada image w berada pada lingkungan Dalam hal ini
Jika limit tersebut ada, maka limitnya tunggal z mendekati z0 dari berbagai arah atau lintasan
Jika untuk lintasan yang berbeda, nilai f(z) untuk z menuju z0 berbeda maka
lim
(
)
0
z
f
zz tidak ada
Contoh 2 Misalkan
,
1
2
)
(
z
iz
z
f
. Buktikan2
)
(
lim
1i
z
f
z
. Bukti:Ambil ε > 0 sebarang. Pilih
2
z
1
berlaku
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
)
1
(
2
2
2
)
(
z
z
z
i
z
i
i
iz
i
z
f
Jadi untuk setiap z dan positif berlaku
2
)
(
z
i
f
bila0
z
1
2
, lihat gambar 2.Sehingga menurut definisi limit terbukti
2
)
(
lim
1i
z
f
z
. Contoh 3 Misalkanz
z
z
f
(
)
. Buktikanlim
(
)
0f
z
z tidak ada. Bukti:Akan ditunjukkan nilai limit dengan lintasan yang berbeda. Pendekatan sepanjang sb-x positif, dalam hal ini y = 0.
1
1
lim
0
.
0
.
lim
lim
)
(
lim
0 ) 0 , ( ) 0 , 0 ( ) , ( 0
xy x x zx
i
i
x
iy
x
iy
x
z
f
. Pendekatan sepanjang sb-y positif, dalam hal ini x = 0.
1
1
lim
.
0
.
0
lim
lim
)
(
lim
0 ) , 0 ( ) 0 , 0 ( ) , ( 0
xy y y zi
y
y
i
iy
x
iy
x
z
f
. Pendekatan sepanjang garis y = x.
i
i
i
x
i
x
x
i
x
x
i
x
iy
x
iy
x
z
f
x x x x z
1
1
)
1
(
)
1
(
lim
.
.
lim
lim
)
(
lim
0 0 ) 0 , 0 ( ) , ( 0 .Karena pendekatan sepanjang arah yang berbeda menghasilkan nilai yang tidak sama maka
)
(
lim
0
f
z
z tidak ada.
Teorema 1 Andaikan f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + iy0 , ω0 = u0 + iv0 maka
0 ) ( ) , ( 0 ) ( ) , ( 0
lim
(
,
)
lim
(
,
)
)
(
lim
0 , 0 0 , 0 0v
y
x
v
dan
u
y
x
u
z
f
y x y x y x y x z z
Bukti:)
(
Misalkan 0 ) ( ) , ( 0 ) ( ) , ()
,
(
lim
)
,
(
lim
0 , 0 0 , 0v
y
x
v
dan
u
y
x
u
y x y x y x y x
, artinya 2 2 0 2 0 0 1 2 0 2 0 0 2 1)
(
)
(
0
,
2
)
(
)
(
0
,
2
,
0
y
y
x
x
v
v
y
y
x
x
u
u
Pilih
min(
1,
2)
.Karena
(
u
iv
)
(
u
0
iv
0)
(
u
u
0)
i
(
v
v
0)
u
u
0
v
v
0 dan(
x
x
0)
2
(
y
y
0)
2
(
x
x
0)
i
(
y
y
0)
(
x
iy
)
(
x
0
iy
0)
maka
2
2
)
(
)
(
u
iv
u
0iv
0 bila0
(
x
iy
)
(
x
0
iy
0)
. Jadilim
(
)
0 0
zf
z
z .)
(
Misalkanlim
(
)
0 0
zf
z
z , artinya
0
(
u
iv
)
(
u
0iv
0)
bila0
(
x
iy
)
(
x
0
iy
0)
. Perhatikan bahwa)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0iv
u
iv
u
v
v
i
u
u
v
v
iv
u
iv
u
v
v
i
u
u
u
u
dan 2 0 2 0 0 0 0 0)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
iy
x
iy
x
x
i
y
y
x
x
y
y
Sehingga
u
u
0
dan
v
v
0
bila
2 0 2 0)
(
)
(
0
x
x
y
y
. Jadi 0 ) ( ) , ( 0 ) ( ) , ()
,
(
lim
)
,
(
lim
0 , 0 0 , 0v
y
x
v
dan
u
y
x
u
y x y x y x y x
. Teorema 2 Andaikanf
z
A
g
z
B
z z z zlim
0(
)
,
lim
0(
)
maka
f
z
g
z
A
B
z z(
)
(
)
lim
0 . f
z
g
z
AB
z z(
)
(
)
lim
0 . B
A
z
g
z
f
z z(
)
)
(
lim
0 .2.4 Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga
Kadang-kadang suatu bidang kompleks memuat titik di tak hingga.Bidang kompleks yang memuat titik tersebut disebut bidang kompleks yang diperluas.
Teorema 3 Jika z0 dan w0 titik-titik pada bidang z dan w, maka
1)
0
)
(
1
lim
)
(
lim
0 0
zf
z
jhj
z zf
z
z 2) 0 0 01
lim
)
(
lim
w
z
f
jhj
w
z
f
z z
3)0
)
/
1
(
1
lim
)
(
lim
0
f
z
jhj
zf
z
z Bukti:1) Misalkan
(
)
lim
0z
f
z z , artinya
1
)
(
0
f
z
bila 0 < |z – z0| < δ ...………..(#). Akan dibuktikan0
)
(
1
lim
0
zf
z
z .Titik w = f(z) berada di suatu lingkungan-ε ,yaitu |w| > 1/ε dari ∞ bila z ada di lingkungan 0 < |z – z0| < δ dari z0.
Sehingga persamaan (#) dapat ditulis menjadi
0
)
(
1
z
f
bila 0 < |z – z0| < δ. Jadi0
)
(
1
lim
0
zf
z
z . 2) Misalkanlim
f
(
z
)
w
0 z
, artinya
0
f
(
z
)
w
0
bila |z| >1/δ...(*). Akan dibuktikan 0 01
lim
w
z
f
z
.Pada persamaan (*) rubah z dengan 1/z, maka akan diperoleh
01
w
z
f
bila 0 < |z – 0| < δ. Jadi 0 01
lim
w
z
f
z
. 3) Misalkan
(
)
lim
f
z
z , artinya
0
(
)
1
f
z
bila |z| > 1/δ ………....(**). Akan dibuktikan0
)
/
1
(
1
lim
0
f
z
z .Pada persamaan (**) rubah z dengan 1/z, maka akan diperoleh
0
)
/
1
(
1
z
f
bila 0 < |z – 0| < δ. Jadi0
)
/
1
(
1
lim
0
f
z
z . 2.5 KekontinuanDefinisi Kontinu Fungsi f(z) dikatakan kontinu di z = z0 jika
lim
(
)
0z
f
z z ada f(z0) ada lim
(
)
(
0)
0z
f
z
f
z z
Dengan kata lain f(z) kontinu di z = z0 jika
(
)
(
0)
0
0
0lim
0z
z
z
f
z
f
z z berlaku
(
)
)
(
z
f
z
0f
.Fungi kompleks f(z) dikatakan kontinu pada region D jika f(z) kontinu pada tiap titik z dalam D. Misalkan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) kontinu di z0 = x0 + iy0 ,
u(x,y) dan v(x,y) kontinu di (x0,y0)
lim
(
,
)
(
,
)
lim
(
,
)
(
0,
0)
) ( ) , ( 0 0 ) ( ) , ( 0, 0 0, 0y
x
v
y
x
v
dan
y
x
u
y
x
u
y x y x y x y x
.Sifat-sifat fungsi kontinu 1) Fungsi konstan kontinu pada bidang kompleks 2) Jika f dan g kontinu pada daerah D maka
a) f+g kontinu b) f-g kontinu c) f.g kontinu
d) f/g kontinu kecuali di
z
0
D
sehingga g(z0) = 0.2.6 Turunan Definisi Turunan
Turunan fungsi f di z0, ditulis dengan
f
(
z
0)
didefnisikan sebagai berikut:z
z
f
z
z
f
z
f
z
)
(
)
(
lim
)
(
0 0 00 jika limitnya ada.
Notasi untuk turunan f di z adalah
(
)
f
(
z
)
dz
d
z
f
.Aturan turunan pada bilangan riil berlaku juga pada bilangan kompleks. Aturan Turunan 1.
(
c
)
0
dz
d
2.(
z
)
1
dz
d
3.
c
(
f
(
z
)
c
f
(
z
)
dz
d
4.z
nz
z
n
dz
d
n n,
0
,
)
(
1 5.
f
(
z
)
g
(
z
)
f
(
z
)
g
(
z
)
dz
d
6.
f
(
z
)
g
(
z
)
f
(
z
)
g
(
z
)
f
(
z
)
g
(
z
)
dz
d
7.
2)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
z
g
z
g
z
f
z
g
z
f
z
g
z
f
dz
d
Contoh 4 Tentukan turunan dari fungsi berikut: 1. f(z) = (2z2 + i)5
2.
pada
i
i
z
i
z
z
f
(
)
)
(
Penyelesaian :1. Dengan menggunakan aturan turunan (4) dan aturan rantai diperoleh
4 2 4 2
)
2
(
20
4
.
)
2
(
5
)
(
z
z
i
z
z
z
i
f
.2. Dengan menggunakan aturan turunan (7) diperoleh
2
2 2)
(
2
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
i
z
i
i
z
i
z
i
z
z
g
z
g
z
f
z
g
z
f
z
f
Sehingga untuk z = i diperoleh
i
i
i
i
i
i
i
f
2
1
4
2
)
(
2
)
(
2 2
.Aturan Rantai Misalkan f mempunyai turunan di z0, dan g mempunyai turunan di f(z0). Maka fungsi F(z) = g[f(z)] mempunyai turunan di z0, dan
).
(
)].
(
[
)
(
z
0g
f
z
0f
z
0F
Dengan kata lain, jika w = f(z) dan W = g(w) = F(z), maka menurut aturan rantai
dz
dw
dw
dW
dz
dW
.Contoh 5 Tentukan turunan dari fungsi f(z) = (2z2 + i)5 dengan menggunakan aturan rantai! Penyelesaian:
Misalkan w = 2z2 + I dan W = w5. Maka menurut aturan rantai
dz
dw
dw
dW
dz
dW
= (5w4)(4z) = 20z(2z2 + i)4.2.7 Persamaan Cauchy – Riemann
Persamaan Cauchy – Riemann merupakan persamaan yang sangat penting pada analisis kompleks. Karena persamaan ini digunakan untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y).
Definisi Persamaan Cauchy - Riemann
Fungsi f dikatakan analitik pada domain D jika dan hanya jika turunan parsial pertama dari u dan v memenuhi persamaan Cauchy – Riemann, yaitu
x y y x
v
u
v
u
dengany
v
v
x
v
v
y
u
u
x
u
u
x y x y
.Contoh 6 Misalkan f(z) = z2 = x2 – y2 + 2ixy. Apakah f(z) analitik untuk semua z ? Penyelesaian :
f(z) analitik jika memenuhi persamaan Cauchy – Riemann,
u
x
v
yu
y
v
x. Perhatikan bahwau = x2 – y2 dan v = 2xy. Maka ux = 2x = vy dan uy = -2y = -vx. Karena memenuhi persamaan C-R maka f analitik untuk semua z.
Teorema 4 Misalkan f(z) = u (x,y) + iv (x,y) terdefinisi dan kontinu di suatu lingkungan dari z = x + iy dan mempunyai turunan di z maka ux , vy , uy , vx ada dan memenuhi persamaan Cauchy - Riemann
x y y
x
v
u
v
u
.Teorema 5 Jika dua fungsi kontinu yang bernilai riil u(x,y) dan v(x,y) mempunyai turunan parsial pertamanya kontinu dan memenuhi persamaan Cauchy – Riemann dalam domain D maka fungsi kompleks f(z) = u (x,y) + iv (x,y) analitik di D.
Contoh 7 Apakah f(z) = z3 analitik? Penyelesaian
Perhatikan bahwa
u = x3 – 3xy2 dan v = 3x2y – y3. Maka ux = 3x2 – 3y2 = vy dan uy = -6xy = -vx. Karena memenuhi persamaan C-R maka f analitik untuk semua z.
2.8 Fungsi Analitik
Definisi Fungsi Analtik Fungsi f(z) disebut analitik (atau holomorfik atau reguler atau monogenik) di titik z0 apabila f’(z) ada di semua titik pada suatu lingkungan z0.
Teorema 5 Misal f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Andaikan
i. ux , vy , uy , vx kontinu di semua titik dalam lingkungan tertentu N dari titik z0 ii. persamaan Cauchy- Riemann
u
x
v
yu
y
v
xberlaku di setiap titik diN
maka f(z) analitik di z0.
Contoh 8 Buktikan f(z) = | z | 2 tidak analitik Bukti:
Karena f hanya mempunyai turunan di z = 0 atau f’(z) tidak ada pada persekitaran z = 0. Beberapa hal yang perlu diperhatikan
Jika f(z) analitik pada setiap titik di himpunan S maka f(z) analitik pada S.
Jika f(z) analitik di seluruh bidang kompleks maka f(z) fungsi menyeluruh /fungsi utuh (entire function). Daerah keanalitikan (region of analycity) bagi f adalah keseluruhan titik pada bidang datar yang membuat f
Contoh 9 Misalkan
1
1
)
(
2 3
z
z
z
z
f
. Apakah f(z) analitik? Penyelesaian:f’(z) ada di semua z kecuali di z2 + 1 = 0 atau z = ± i. Jadi f(z) analitik kecuali di z = ± i.
Definisi Titik Singular Titik z0 dinamakan titik singular bagi f jika dan hanya jika f gagal menjadi analitik pada z0 tetapi setiap lingkungan z0 memuat paling sedikit satu titik yang membuat f analitik. Contoh 10 Misalkan
z
z
z
z
f
2
31
)
(
. Tentukan titik singular dari f dan tentukan dimana sajaf(z) analitik! Penyelesaian:
f’(z) ada di semua z kecuali di z3 + z = 0 atau di z = 0 dan di z = ± i . Sehingga titik singular dari f adalah di z = 0 dan di z = ± i. f(z) analitik di semua z kecuali di z3 + z = 0 atau di z = 0 dan di z = ± i .
2.9 Fungsi Harmonik
Definisi Fungsi Harmonik Fungsi riil H(x,y) yang mempunyai turunan parsial orde 1 dan 2 yang kontinu dan memenuhi persamaan Laplace
0
)
,
(
)
,
(
x
y
H
x
y
H
xx yy disebut fungsi Harmonik.Contoh 11 Misalkan u(x,y) = x2 – y2 dan v(x,y) = 2xy. Apakah u dan v fungsi harmonik? Penyelesaian:
Perhatikan bahwa:
ux = 2x vx = 2y uxy = 0 vxy = 2 uy = -2y vy = 2x uyx = 0 vyx = 2 uxx = 2 vxx = 0
uyy = -2 vyy = 0
Karena ux = 2x = vy , uy = -2y = -vx , uxx + uyy = 2 + (-2) = 0 dan vxx + vyy = 0 + 0 = 0 dimana u dan v memenuhi persamaan Laplace maka u dan v fungsi harmonik.
Definisi Fungsi Harmonik Sekawan
Misalkan f(z) = u + iv. v disebut fungsi harmonik sekawan dari u jika u fungsi harmonik dan v fungsi harmonik.
Contoh 12 Misalkan u(x,y) = y3 – 3x2y. Tentukan fungsi harmonik sekawan dari u. Penyelesaian:
= vy.
Sehingga
v
(
x
,
y
)
(
6
xy
)
dy
3
xy
2
h
(
x
)
……….(1) atau vx = -3y2 + h’(x).Syarat persamaan Cauchy – Riemann yang kedua harus dipenuhi, yaitu uy = -vx. Sehingga
c
x
dx
x
x
h
x
x
h
x
h
y
x
y
x
h
y
x
y
3 2 2 2 2 2 2 2 23
)
(
3
)
(
)
(
3
3
3
)
(
3
3
3
...………(2)Dari (1) dan (2) diperoleh
v(x,y) = -3xy2 + x3 + c yang merupakan fungsi harmonik sekawan dari u.
Contoh 13
Misalkan
v
x
2
y
2
2 . Apakah fungsi tersebut harmonik? Jika ya, tentukan fungsi analitik sekawan darif(z) = u (x,y) + iv (x,y). Penyelesaian:
Akan diselidiki apakah v merupakan fungsi harmonik atau bukan. Perhatikan bahwa:
vx = 2(x2 – y2 )2x = 4x3 – 4xy2 vy = 2(x2 – y2 )(-2y) = -4x2 + 4y3 vxx = 12x2 – 4y2 dan vyy = -4x2 + 12y2 .
vxx dan vyy kontinu pada semua z, tetapi tidak memenuhi persamaan Laplace, yaitu vxx + vyy = 8x2 + 8y2 = 8(x2 +y2 ) ≠ 0. Jadi v bukan fungsi harmonik.
Soal – soal Latihan
1. Tuliskan fungsi
(
)
1
,
z
0
z
z
z
f
kedalam bentuk f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ).2. Misalkan a dan b konstanta kompleks. Gunakan definisi limit untuk membuktikan
a)
az
b
az
b
z z(
)
0
lim
0 b)z
b
z
b
z z
2 0 2)
(
lim
03. Buktikan teorema 2 pada bagian 2.3
5. Tentukan
f
(z
)
pada persamaan a)f
(
z
)
(
1
4
z
2)
3 b)(
)
(
1
2)
,
0
4 2
z
z
z
z
f
6. Misalkan u dan v bilangan riil dan misalkan
