1. Mg 01 Bilangan Riil 2024 2025

(1)

KALKULUS I

KODE MATAKULIAH : FTI2001 , 3 SKS WAKTU : SENIN , JAM 07.00 - 09.30 B (R.303)

JAM 09.30 – 12.00 C (R.301) SELASA, JAM 07.00 – 09.30 D (R. 303)

PENGAMPU

RABU , JAM 12.00 – 14.30 E ( R .303) JUM’At, JAM 07.50 – 10.20 A (R.303)

: IR. CAECILIAPUJIASTUTI, MT IR. NURUL WIDJI TRIANA, MT

IR. SUPRIHATIN, MT

1

JAM 10.20 – 12.50 F(R. 402)FT3

(2)

SISTEM BILANGAN

2

(3)

BILANGAN RIIL

• Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : 1, 2, 3, 4, 5,….

• Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih besar yang disebut himpunan bilangan bulat :

…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…

• Himpunan bilangan bulat masih merupakan himpunan bagian dari klas himpunan yang lebih besar yang disebut bilangan rasional.

Bilangan rasional dibentuk oleh pembagian bilangan bulat atau bisa dikatakan sebagai bilangan berbentuk ^m

n ,m dan bilangan bulat dan 𝑛 ≠ 𝑜. Sebagai contoh adalah :

2 , 7 , 6 , 0 , 5 (= -5 = 5 )

3 5 1 9 2 2 -2

(4)

Lanjutan

• Bilangan irrasional adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai

perbandingan bilangan bulat. Contoh bilangan irasional :

• √3, √5, 1 + √2, 3√7, π , cos 19°

• Bilangan rasional dan irasional bersama-sama

membangun suatu klas bilangan yang lebih

besar yang disebut bilangan riil atau kadang

disebut sistem bilangan riil.

(5)

PEMBAGIAN DENGAN NOL

• Pada perhitungan dengan bilangan riil, pembagian dengan nol tidak pernah

diperkenankan karena hubungan dalam bentuk y = p/0 akan mengakibatkan

• 0 . y = p

(6)

Jika digambar dalam suatu diagram, sistem bilangan itu adalah sbb:

6

(7)

GARIS KOORDINAT

• Dalam geometri analitik, langkah kuncinya adalah

menentukan hubungan bilangan real dengan titik pada garis, hal ini dilakukan dengan menandai salah satu dari dua arah sepanjang garis sebagai arah positif (+) dan yang lain sebagai arah negatif.(-) , Titik acuannya disebut Titik Awal (0)

• Bilangan riil yang bersesuaian dengan titik pada garis disebut koordinat dari titik tersebut.

(8)

SIFAT-SIFAT URUTAN

KETIDAKSAMAAN : 1. a < b atau b > a

Interpretasi geometri : a sebelah kiri b Ilustrasi :

a b

2. a ≤ b atau b ≥ a

Interpretasi geometri : a sebelah kiri b atau berimpit dengan b

Ilustrasi : a b

a b 3. 0 < a atau a > 0

Interpretasi geometri : a sebelah kanan titik asal Ilustrasi :

0 a

Interpretasi geometri : a sebelah kiri titik asal

(9)

l

4. a < 0 atau 0 > a

Interpretasi geometri : a sebelah kiri titik asal Ilustrasi :

a 0

5. a < b < c

Interpretasi geometri : a sebelah kiri b dan b sebelah kiri c Ilustrasi :

a b c

(10)

TEOREMA

Misal a, b, c, dan d bilangan riil :

• a) Jika a < b dan b < c, maka a < c

• b) Jika a < b, maka a + c < b + c dan a – c < b – c

• c) Jika a < b, maka ac < bc untuk c positif dan ac >

bc untuk c negatif

• d) Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d

• e) Jika a dan b keduanya positif atau keduanya

negatif dan a < b, maka 1/a > 1/b

(11)

Pernyataan dlm teorema diIlustrasikan :

1. Ketidaksamaan awal : -2 < 6

Operasi : kedua sisi ditambah dengan 7 Ketidaksamaan hasil : 5 < 13

Operasi : kedua sisi dikurangi dengan 8 Ketidaksamaan hasil : -10 < -2

Operasi : kedua sisi digandakan 3 Ketidaksamaan hasil : -6 < 18 4. Ketidaksamaan awal : 3 < 7

Operasi : kedua sisi digandakan 4 Ketidaksamaan hasil : 12 < 28 5. Ketidaksamaan awal : 3 < 7

Operasi : kedua sisi digandakan –4 Ketidaksamaan hasil : -12 > -28

(12)

PENYELESAIAN KETIDAKSAMAAN

Proses mendapatkan himpunan penyelesaian suatu ketidaksamaan disebut menyelesaikan ketidaksamaan.

Contoh : Selesaikan 3 + 7x ≤ 2x – 9 Penyelesaian :

3 + 7x ≤ 2x – 9 [diberikan]

7x ≤ 2x – 12 [kurangkan 3 dari kedua sisi]

5x ≤ -12 [kurangkan 2x dari kedua sisi]

x ≤ - 12 [gandakan kedua sisi dengan 1/5]

5

Jadi himpunannya berupa selang (-∞, - 12/5 ]

-12/5

(13)

Selang atau Interval

• Interval terbuka (a,b) adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar dari a dan kurang dari b.

– (a,b) = {x | a < x < b}.

• Interval tertutup [a,b] adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a dan kurang atau sama dengan b.

– [a,b] = {x | a ≤ x ≤ b}.

• Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut.

13

(14)

14

(15)

(16)

Pertidaksamaan

15

(17)

16

(18)

Nilai Mutlak

Definisi:

• Nilai mutlak bilangan real x, ditulis |x| didefinisikan dengan

• Misal: | 5 | = 5 , | − 5 | = −(−5) = 5 , | 0 | = 0

17

(19)

Sifat-Sifat Nilai Mutlak

(20)

SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK

Teorema : Jika a dan b bilangan riil, maka

 (a) |-a| = |a| Suatu bilangan dan negatifnya mempunyai nilai mutlak sama

 (b) |ab| = |a||b| Nilai mutlak dari perkalian merupakan perkalian nilai mutlak

 (c) |a/b| = |a|/|b| Nilai mutlak dari perbagian merupakan pembagian nilai mutlak

Bukti (a) : |-a| = √(-a)

²

= √a

²

= |a|

Bukti (b) : |ab| = √(ab

⁾²

= √a

²

b

²

= √a

²

√b

²

= |a||b|

(21)

KETIDAKSAMAAN SEGITIGA

Secara umum tidak selalu benar bahwa |a + b|=|a|+|b|

Sebagai contoh, jika a = 2 dan b = -3, maka a + b = -1, sehingga|a + b| = |-1| = 1

Sedangkan ;|a| + |b| = |2| + |-3| = 2 + 3 = 5 Jadi |a + b| ≠ |a| + |b|.

Akan tetapi, benar bahwa nilai mutlak suatu jumlahan selalu lebih kecil atau sama dengan jumlah nilai mutlak.

Hal ini merupakan isi teorema yang sangat penting, yang

dikenal dengan ketidaksamaan segitiga.

(22)

INTERPRETASI GEOMETRIK DARI NILAI MUTLAK

Notasi nilai Mutlak muncul secara alamiah

dalam masalah jarak. Karena jarak tak negatif, maka jarak d antara A dan B adalah :

d = { jika a > b

b – a jika a < b a – b

0 A

a

B b

A a b-a

jika a = b B

b

a-b (1) b-a = positif, jadi b-a = |b-a|

(2) b-a = negatif, jadi a-b = -(b-a) = |b-a|

(23)

TEOREMA

Rumus Jarak ;

• Jika A dan B titik –titik pada suatu garis

koordinat yang masing-masing mempunyai

koordinat a dan b, maka jarak d antara A dan B adalah ;

d = | b - a|

(24)

Nilai Mutlak

• Pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak

– Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak dapat digunakan teorema berikut.

– Secara fisis | x | dapat menyatakan jarak x ke 0, sehingga x yang memenuhi | x | < a menyatakan x yang jaraknya ke 0 kurang dari a.

– Secara fisis |x − c| dapat menyatakan jarak x ke c, sehingga x yang memenuhi |x − c| < a menyatakan x yang jaraknya ke c kurang dari a.

23

(25)

24

(26)

Increments, Kemiringan ( slope), Jarak , Titik Tengah

• Jika partikel bergerak dari titik x1,y1 ke titik (x2,y2),

increments dalam koordinat ini ∆𝑥 = 𝑥₂ − 𝑥₁ ; ∆𝑦 = 𝑦₂ − 𝑦₁

• Garis vertikal melalui titik x1,y1 ) dengan persamaan 𝑥 = 𝑥₁ karena setiap koordinat x pada garis tersebut mempunyai nilai = a.

Hal yang sama , garis horisontal melalui x1,y1 mempunyai persamaan 𝑦 = 𝑦₁

• Persamaan dari garis non vertikal jika diketahui slope

(= kemiringan ) m dan titik P₁(x₁,y₁) terletak pada garis tersebut dan P(x,y) adalah titik lain pada garis tersebut maka

Sehingga persamaan garis melalui kedua titik adalah : y-y₁ = m(x-x₁) atau y = m( x-x₁)+y₁

25

 m  slope y y₁

x  x₁

(27)

• Sebuah garis tidak vertikal melalui (0,b) dan (x,y) dengan slope (kemiringan ) m adalah :

y = m ( x – 0 ) + b atau y = mx + b dimana:

• Jika garis

• m adalah slope dari garis tersebut

• b adalah interceptnya .

• L1 sejajar dengan L2 maka m1 = m2

• L1 tegak lurus dengan L2 maka m1 . m2 = -1

26

(28)

• Jika titik A dengan koordinat (x

₁

,y

₁

) dan titik B

dengan koordinat (x

₂

,y

₂

) , maka jarak antara titik A dan B adalah didefinisikan dengan rumus :

d =

27

( x  x )

²

 ( y  y )

2

2 1 2 1

• Titik tengah suatu segmen garis yang

menghubungkan dua titik dengan koordinat (x

₁

,y

₁

) dan (x

₂

,y

₂

) dalam suatu bidang adalah :



¹2

( x

₁

 x

₂

),

¹₂

( y

₁

 y

₂

) 