BILANGAN KOMPLEKS
MATEMATIKA TERAPAN
PNJ 2023
Persamaan Kuadrat
Misalkan sebuah persamaan kuadrat 𝑎𝑧 2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0
Dapat diselesaikan menggunakan rumus persamaan kuadrat/rumus ABC untuk mencari akar
𝑥 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Diskriminan 𝐷 = 𝑏 2 – 4𝑎𝑐 Contoh: 𝑧 2 – 4𝑧 + 5 = 0
EDUCATION | TECHNOLOGY | INNOVATION
Bilangan imajiner:
𝑖 = −1
Solusi untuk f(z) dapat dituliskan dalam notasi bilangan komples
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
𝑓 𝑧 = 𝑧 2 – 4𝑧 + 5
𝑧 1,2 = 2 ± 𝑖
Ubah ke dalam bentuk bilangan kompleks
1. −16
2. −3
3. −2 −8
EDUCATION | TECHNOLOGY | INNOVATION
Bentuk Rectangular
5 + 3i merupakan contoh bilangan kompleks yang ditulis dalam bentuk rectangular.
Jika digambarkan ke dalam suatu bidang kompleks (complex plane) yang disebut Argand Diagram
y(Im)
x(Re)
Koordinat Polar (Kutub)
Koordinat polar (r,θ)
EDUCATION | TECHNOLOGY | INNOVATION
Ubah 𝑧 = 5 + 3𝑖 ke dalam bentuk triangular 𝑧 = 𝑟 (cos𝜃 + 𝑖 sin𝜃)
EDUCATION | TECHNOLOGY | INNOVATION
Ubah 𝑧 = 1 + 𝑖 3 ke dalam bentuk triangular 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 sin𝜃 dan bentuk polar 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃
Menentukan nilai θ
Nilai θ harus ditentukan dari diagram, bukan hanya menggunakan rumus/kalkulator yang mana
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑦
𝑥
Contoh 𝑧 = −1 − 𝑖
EDUCATION | TECHNOLOGY | INNOVATION
Complex Conjugate
𝑧 ∗ = 𝑥 – 𝑖𝑦 merupakan complex conjugate dari 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
Penjumlahan dan Pengurangan
𝑧 1 dan 𝑧 2 adalah bilangan kompleks 𝑧 1 + 𝑧 2 = 𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 + 𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 = (𝑥 1 + 𝑥 2 ) + 𝑖 (𝑦 1 + 𝑦 2 )
EDUCATION | TECHNOLOGY | INNOVATION
Perkalian
𝑧 1 𝑧 2 = (𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 )(𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 )
= 𝑥 1 𝑥 2 + 𝑖𝑥 1 𝑦 2 + 𝑖𝑦 1 𝑥 2 + 𝑖 2 𝑦 1 𝑦 2
= (𝑥 1 𝑥 2 – 𝑦 1 𝑦 2 ) + 𝑖(𝑥 1 𝑦 2 + 𝑦 1 𝑥 2 )
Perkalian
Berlaku komutatif dan asosiatif:
▪𝑧 1 𝑧 2 = 𝑧 2 𝑧 1
▪(𝑧 1 𝑧 2 )𝑧 3 = 𝑧 1 (𝑧 2 𝑧 3 ) Modulus:
▪|𝑧 1 𝑧 2 | = |𝑧 1 ||𝑧 2 | Argument (arg)
arg 𝑧 1 𝑧 2 = arg 𝑧 1 + arg 𝑧 2 ; dimana arg 𝑧 = tan −1 (𝑦/𝑥)
EDUCATION | TECHNOLOGY | INNOVATION
Pembagian
𝑧 1
𝑧 2 = 𝑥 1 + 𝑖𝑦 1
𝑥 2 + 𝑖𝑦 2
Contoh Pembagian
EDUCATION | TECHNOLOGY | INNOVATION
𝑧 1
𝑧 2 = 3 − 2𝑖
−1 + 4𝑖
Modulus
𝑧 1
𝑧 2
EDUCATION | TECHNOLOGY | INNOVATION
