PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1

1 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017

PENGAYAAN MATEMATIKA

SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1

1. Diketahui x  dan R 1 6 8 5 3 2 2 8 6 2 2 2 2            y x xy y x y x xy y x . Temukan nilai y.



Solusi: 1 6 8 5 3 2 2 8 6 2 2 2 2            y x xy y x y x xy y x _x2 _6_y2 _xyx8_y2_x2 _2_y2 _3_xy5_x8_y6 _8_y2 _4_xy4_x16_y8_0 2_y2 _xyx4_y2_0 2



_y2 _2_y1



_xyx0 2(_y1)2 _x(_y1)_0 (y1)(2y2x)0 y1 0atau 2y2x0 y 1 y 1 2y2x0 2(1)2x0 x0

Jadi, nilai dari y adalah 1.

2. Pada simtem persamaan _

                  567 765 432 234 234 432 y x

, temukan nilai xy.



Solusi: _                   567 765 432 234 234 432 y x 432x234y 765 234x432y 567 666x666y1332 +

2 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 x y2 y 2x y 2x 432x234y 765 432x234(2x)765 432x468234x765 198 x 297 2 3  x 2 3  x  y 2x 2 1 2 3 2   4 3 2 1 2 3_{ }  xy

Jadi, nilai dari xyadalah

4 3 . 3. Jika 36x 36x 167_{, hitunglah 216}x_{ 216}x_.



Solusi: 36x 36x 167



6x 6x



2 2167



6x 6x



2 169 6x 6x 13 ₂₁₆x _{ 216}x_



₆x _6x

 

3 _36x_6x



₆x _6x



_133_{  3 1 132158} 4. Jika  merupakan salah satu akar persamaan _x2 _{ x}2_0_{, carilah nilai }4 _{+ 3.}



Solusi: x =   _x2 _{ x}2_0 2   + 2 = 0 2 =   2 4 = 2  4 + 4 4 + 3 = (2   + 2) + 2 4 + 3 = (0) + 2 4 + 3 = 2

3 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017

5. Persamaan _x2 _{ px}2_0_{akar-akarnya adalah  dan . Jika p0dan} n

n

n

F( )  , F(2)3, temukan nilai dari F(3).



Solusi: _x2 _{ px}2_0_{, dengan pdan 2} F(2)3 _2 _2 _3 1₂ 1₂ 3    2_{2 2}2 3      3 ) ( 2 ) ( 2 2        3 ) 2 ( 2 2 ) ( 2 2     p _p2 _4_12 _p2 _16 p4

Karena p0, maka yang memenuhi adalah p 4.

_F(3)3 _3 _{()}3 _{3() (4)}3 _{32(4) 642440.} Jadi, nilai dari F(3)adalah 40.

6. Carilah harga x dari persamaan

2 3 3 4 7 3 4 7        _        _ x x _.



Solusi: 2 3 3 4 7 3 4 7 _ _  _     _ x x 2 3 12 2 7 12 2 7 _ _  _     _ x x



 



2 3 3 2 3

2 x   x  (kedua ruas dikalikan



2  3



x)



 

x







 

x 2 3



x 2 3 3 2 3 2 3 2 2     

4 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017





x x



_{2 3}



x 2 3 ) 3 4 ( 3 2 2    





x



2 3



x 2 3 1 3 2 2   

Misalnya



2 3



x a, maka persamaan itu menjadi:

a a 2 3 1 2 _{ } 2_a2 _{ a}3 _2_0 (2a a1)( 2)0 2 1  

a (ditolak) atau a2(diterima)



2 3



x 2 log



2 3



x log2 xlog



2 3



log2

_

_

3 2 log 2 log   x _x2 3log2

Jadi, harga x yang memenuhi persamaan itu adalah2 3log2_.

7. Jika a, b, dan c adalah penyelesaian dari persamaan _x3 _ax2 _bxc0_dan

0 , ,b c

a , carilah nilai dari _a3_b3 _c3_.



Solusi: x a _x3 _ax2 _bxc0 _a3 _a3 _abc0 ab c0 c ab x   b _x3 _ax2 _bxc0 _b3 _ab2 _b2 _c0 _b3 _ab2 _b2 _ab0 _b2 _{abba}0 b(ba)(ba)0

5 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 (b1)(ba)0 b1atau a  b b1atau a b1 ( 1)( 1) 1 1 1              ab c b a _a3 _b3 _c3 _(1)3 _(1)3 _13 _{1111} Jadi, nilai dari _a3 _b3 _c3_{adalah 1.}

8. Salah satu akar real bulat dari persamaan _x4 _12_x2 _112_x192_0_{adalah p.}

Hitunglah nilai _{10p  p}2_.



Solusi:

Sehingga p2

p2 _{10p  p}2 _{10(2)(2)}2 _{20416} Jadi, nilai dari _{10p  p}2_{adalah 16.}

9. Dalam ABC, AB = AC dan

15 7 cos cos  B A . Tentukan B A sin sin .



Solusi:

Dalam ABC, dengan AB = AC atau c = b, maka menurut Aturan Kosinus: bc a c b A 2 cos  2  2  2 b b a b b     2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b   2₂ 2 1 b a   dan ac b c a B 2 cos 2 2 2 _{ }  ab b b a 2 2 2 2 _{ }  ab a 2 2  b a 2  15 7 cos cos  B A 15cosA7cosB0 0 2 7 2 1 15 ₂ 2                b a b a 15



2_b2 _a2



_7

 

_{ab }0 2 1 0 12 112 192 2 4 16 192 1 2 8 96 0

6 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 30_b2 _15_a2 _7_ab0 15_a2 _7_ab30_b2 _0 (5a6b)(3a5b)  0 5 6  b a (diterima) atau 3 5   b a

(ditolak, karena a dan b keduanya positif) Menurut Aturan Sinus:

B b A a sin sin  5 6 sin sin _{ } b a B A

10. Sisi-sisi sebuah segitiga panjangnya adalah 13, 74, dan 85satuan. Berapakah luas segitiga itu?



Solusi:

Kita ketahui bahwa _8522 _92_{, 747}2 _52_{, dan132}2 _32_{, sehingga persegi} panjang itu memiliki ukuran panjang 9 satuan dan lebar 5 satuan.

Luas ABC 5 7 2 1 3 2 2 1 9 2 2 1 5 9           2 35 3 9 45    2 31  satuan

Jadi, luas segitiga itu adalah

2 31

satuan.

11. Persamaan 4_x3_7_x2 _5_x1_0_{memiliki akar-akar , , dan . Susunlah}

persamaan kuadarat baru yang akar-akarnya (  1), (  1), dan (  1).



Solusi 1:

Persamaan kubik _ax3 _bx2 _{cxd }0_atau 3 _ 2 _{  0}

a d x a c x a b x yang akar-

akarnya , , dan  adalah

0 ) )( )( (x x x  85 74 13 A B C 3 2 2 9 7 5

7 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017



_x2_(_)_x





_x



_0 0 ) ( ) ( 2 2 3_{x   x   xx} x 0 ) ( ) ( 2 3 _{  x   x} x , dengan a b        , a c       , dan a d    4_x3 _7_x2 _5_x1_0 4 7        , 4 5        , dan 4 1  

Akar-akar persamaan yang diminta adalah (  1), (  1), dan (  1), sehingga persamaannya adalah 4 5 3 4 7 3 1 1 1        (1)(1)(1)(1)(1)(1) 111 2()3 3 4 7 2 4 5           4 7   (1)(1)(1)



()1



(1) 1 1 4 5 4 7 4 1_{  }  4 7   0 4 7 4 7 4 5 2 3 _{ x  x } x 4_x3 _5_x2 _7_x7_0 Solusi 2:

Karena akar-akar persamaan itu (  1), (  1), dan (  1)adalah simetri atau setangkup, maka persamaan yang diminta adalah

 x 1 4_x3 _7_x2 _5_x1_0

4(_x1)3 _7(_x1)2 _5(_x1)_1_0

4(_x3 _3_x2 _3_x1)_7(_x2 _2_x1)_5_x5_1_0

4_x3 _12_x2 _12_x4_7_x2 _14_x7_5_x5_1_0

8 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017

12. Garis 12x y5 60 memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik A dan B, sehingga OAB membentuk segitiga siku-siku. Sebuah lingkaran L dibuat sedemikian, sehingga menyinggung sumbu X, sumbu Y, dan garis tersebut. Carilah luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga.



Solusi:

Menurut Dalil Pythagoras: _AB 52 _122 _ 169 _13 (5 12 13) 15 2 1     S Luas OAB = 5 12 30 2 1_{  } 2 1530    S L r

Luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga = luas segitiga – luas lingaran _{5 12 (2)}2

2

1_{  }



304

13. Jika 1 y2dan x y1 0, cari nilai 4 2 _4 _3_2 2 _6 _2 _10

y x y y x .



Solusi: x y1 0 x y1 x y1 4_x2 _4_y3_2 _y2 _6_x2_y10 _ 4(_y1)2 _4_y3_2 _y2 _6(_y1)_2_y10 _ 4_y2 _8_y4_4_y3_2 _y2 _6_y6_2_y10 _ 4_y2 _4_y1_2 _y2 _8_y16  2y12y2 Jika y1, maka 2y12y2  211212 1213 Jika y2, maka 2y12y2  221222 3203

Jadi, nilai dari 4_x2 _4_y3_2 _y2 _6_x2_y10_{adalah 3.}

14. Jika a cb 900dan 2loga_3logb_5logc_{, carilah nilai dari abc.}



Solusi:

2loga3logb5logck

X Y B(0, 12) A(5, 0) O 60 5 12x y

9 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 2_loga_k _2k _a 3_logb_k _3k _b 5_logc_k _5k _c a cb 900 2k3k5k 900 (235)k 900 _{30 }k ₃₀2 k 2 _a2k _22 _4 _b3k _32 _9 _c5k _52 _25 Jadi, abc492548.

15. Bilangan (9p8), (5p2), (3p1)merupakan tiga suku pertama deret geometri konvergen. Carilah jumlah tak hingga deret itu.



Solusi:

Karena bilangan (9p8), (5p2), (3p1)merupakan tiga suku pertama deret geometri konvergen, maka berlakulah hubungan:

) 1 3 )( 8 9 ( ) 2 5 ( _p 2 _{ p p} 8 24 9 27 4 20 25_p2 _{ p  p}2 _{ p p} 0 12 5 2_p2 _{ p } 0 ) 4 )( 3 2 ( p p  2 3  

p (ditolak) atau p4(diterima) Karena: 2 3   p  (9p8), (5p2), (3p1)= 2 11  , 2 11  , 2 11

 (bukan deret geometri konvergen)

p4 (9p8), (5p2), (3p1)= 44, 22, 11 (deret geometri konvergen) a 44dan 2 1 44 22   r

10 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 88 2 1 1 44 1  _   r a S

Jadi, jumlah tak hingga deret itu adalah 88.

16. Diberikan deret: (2), (4, 6), (8, 10, 12), (14, 16, 18, 20), (22, 24, 26, 28, 30), … Carilah jumlah bilangan pada kelompok ke-21.



Solusi:

Jumlah bilangan sampai kelompok ke-21 = 1 + 2 + 3 + … + 21

231 ) 21 1 ( 2 21 _{ }  .

Suku terakhir pada kelompok ke-21 2(2311)22460462 Suku pertama pada kelompok ke-21adalah

2 ) 1 21 ( 462 a  422  a

Jumlah bilangan pada kelompok ke-21 (422 462) 9282 2 21 _{ }  17. Jika a a a x f _x x   ) ( , carilah                             11 10 ... 11 3 11 2 11 1 f f f f



Solusi: a a a a a a f f                  11 10 11 10 11 1 11 1 11 10 11 1 1 11 10 11 1 11 10 11 1         a a a a a a a a a a a a a a a a a a f f                  11 9 11 9 11 2 11 2 11 9 11 2 1 11 9 11 2 11 9 11 2         a a a a a a a a a a a a a a a a a a f f                  11 8 11 8 11 3 11 3 11 8 11 3 1 11 8 11 3 11 8 11 3         a a a a a a a a a a a a a a a a a a f f                  11 7 11 7 11 4 11 4 11 7 11 4 1 11 7 11 4 11 7 11 4         a a a a a a a a a a a a a a a a a a f f                  11 6 11 6 11 5 11 5 11 6 11 5 1 11 6 11 5 11 6 11 5         a a a a a a a a a a a a                             11 10 ... 11 3 11 2 11 1 f f f f 111115

11 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017

18. Jika A adalah jumlah 100 suku pertama deret 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + …, carilah nilai dari

500

A

.



Solusi:

Misalnya jumlah n suku pertama deret itu adalah S₍n₎an3 bn2 cnd_{, maka}

_S(1)_a(1)3 _b(1)2 _c(1)_{d }3_{ abcd 3….(1) S}(2)_a(2)3_b(2)2 _c(2)_{d }10_{ 8a4b2cd 10….(2) S}(3)_a(3)3 _b(3)2 _c(3)_{d }23_{ 27a9b3cd 23….(3) S}(4)_a(4)3 _b(4)2 _c(4)_{d }44_{ 64a16b4cd44….(4)} (2) – (1): 7a3bc7….(5) (3) – (2): 19a5bc13….(6) (4) – (3): 37a7bc21….(7) (6) – (5): 12a b2 6….(8) (7) – (6): 18a b2 8….(9) (9) – (8): 6 a 2 3 1  a 3 1  a  12a b2 6 2 6 3 1 12        _b b1 7 3 7 13 1           _{a b c} b a 3(1) 7 3 1 7         _c 3 5  c 3 7 13 21 31 … 4 _{6 8 10} 2 2 2

12 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 3 3 5 13 1                d c b a c b a 3 3 5 1 3 1_{   } d d 0 S n n n n 3 5 3 1 ) ( _ 3 _ 2 _



_{3 5}



3 1 2 _{ }  nn n (100)



100 3 100 5



3 1 ) 100 ( _ 2 _{  }  S A 343500

Jadi, nilai dari 687 500

343500

500  

A

19. Pada suatu barisan geometri, S_nadalah jumlah n suku pertama. Jika S₉ 5dan

25

18 

S , carilah nilai dariS₂₇.



Solusi:





1 1    r r a S_n n





5 1 1 9 9 _    r r a S  1 5 1 9 _   r r a





25 1 1 18 18 _    r r a S



1



25 1 5 18 9 _ r   r



1



1



25 1 5 9 9 9 _ r  r   r _r9 _1_5 _r9 _4





1 1 27 27 _   r r a S



1



1 5 27 9 _   r r









9 18 3 9 9 ₁ 1 3 3 5 r r r r     





1



3



1





1 5 9 3 9 9 9 _     r r r r





9 2 9 _{1 15} 5r   r  _5



4_1



2_15_4 _105

13 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017

20. Akar-akar persamaan kuadrat _x2 _{ x}3 _2_0_{adalah p dan q. Carilah jumlah tak}

hingga dari 1 1 1 1 1 1 ... 3 3 2 2                                           q p q p q p



Solusi: q q p p S 1 1 1 1 1 1     1 1 1 1     q p ( ) 1 2 ) (       q p pq q p 1 3 2 2 3      4 1  

Jadi, jumlah tak terhingga dari deret itu adalah

4 1

 .

21. Carilah jarak terdekat dari kurva y x2 x _{ke garis y x5.}



Solusi:

Persamaan garis singgung pada kurva y x2 x_{yang sejajar garis y x5}

memiliki gradien m1, yaituyxn x2 x xn _x2 _2_xn0 D0 (_2)2 _4_1(_n)_0 4 n4 0 n1

Mencari titik singgung: _x2 _{ x}2 _1_0

(_x1)2 _0

x1

x1 y x1110

Titik singgungnya adalah (1, 0)

2 2 2 4 ) 1 ( 1 5 0 1 ) 1 ( 1 5 2 2 2 2 2 2 _{ }               x y b a c by ax d

22. Titik-titik A(a,6);B(b,1); dan C( c, 4)terletak pada kurva y2 _12x_{. Carilah luas}

segitiga ABC.



Solusi: 5 5 O 5   x y x x y  2  Y X g d

14 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 ) 6 , (a A  y2 _12x 62 _12a a 3

Koordinat titik A adalah (3, 6).

) 1 , (b B  y2 _12x 12 _12b 12 1  b

Koordinat titik B adalah       _,1 12 1 . C( c, 4) y2 _12x (_4)2 _12c 3 4  c

Koordinat titik A adalah       4, 3 4

Luas segitiga ABC

6 3 4 3 4 4 3 4 1 12 1 1 12 1 6 3 2 1 _     8 12 3 4 3 1 2 1 3 2 1 _{     }  20 3 5 2 5 2 1 _{ }  2 120 10 15 2 1    12 125  12 5 10  satuan luas. 23. Jika akar-akar dari persamaan kuadrat_x2 _axb0_{ditambah 3 maka diperoleh}

persamaan kuadrat _x2 _bxa0_{. Carilah nilai a dan b.}



Solusi:

Misalnya akar-akar persamaan kuadrat _x2 _axb0_{adalah  dan , maka}

a      dan b.

Persamaan kuadrat yang baru yang3dan 3adalah _x2 _(_3_3)_x(_3)(_3)_0

_x2 _(_6)_{x}3(_)_9_0

_x2 _(_a6)_xb3(_a)_9_0

15 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017

Persamaan kuadrat _x2 _(_a6)_xb3_a9_0_{identik dengan persamaan}

kuadrat _x2 _{bxa }0_{, maka diperoleh:}

a 6b…. (1) a a

b3 9 …. (2)

Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh: a a a63 9 3 3 a 1  a 1  a  a 6b 1 6b b5

Jadi, nilai dari a dan b berturut-turut adalah 1 dan 5.

24. Dinda, Annisa, dan Fitri mengumpulkan uang. Annisa 25 % lebih banyak dari pada Dinda. Fitri 20 % kurang dari pada Dinda. Fitri p % kurang dari pada Annisa. Carilah nilai p .



Solusi:

Misalnya uang Annisa = A rupiah, uang Dinda = D rupiah, dan uang Fitri = F rupiah, maka: AD25%D1,25D…. (1) F D20%D0,8D…. (2) F A p A pA          100 1 % …. (3)

Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh:

D pA        100 100 8 , 0 …. (4)

Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh: 0,8D p 1,25D 100 100          25 , 1 100 8 , 0 100 p  p100 64 p36

16 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 Jadi, nilai padalah 36.

25. Jikax 2 2  2 2 . Carilah nilai dari _{384x }2 _x8_.



Solusi: _384x2 _x8 _x2



_384x6



x2 = 2 + 2+ 2  2+ 2 (2 2)(2 2) = 4 + 2 2 x6 =

 

_x2 3_{= 64 + 3(16)}

 

_{2 2 + 3(4)(8) +16 2 = 160 + 112 2.} 8 2 384x x =



4 2 2





224 112 2



= 224



2  2





2  2



= 448 Jadi, nilai dari _{384x }2 _x8_{adalah 448.}

26. Hitunglah 1002 – 992 + 982 – 972 +….+ 22  12.



Solusi:

Perhatikan pola berikut. 22 – 12 = 3 = 1 + 2. 42 – 32 = 7 = 3 + 4. 62 – 52 = 11= 5 + 6.

Sehingga dapat disimpulkan bentuk deret

1002 – 992 + 982 – 972 +….+22 - 12 = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 97 + 98 + 99 + 100 5050 2 ) 1 100 ( 100   

Jadi, hasil dari 1002 – 992 + 982 – 972 +….+ 22 – 12 adalah 5050. 27. Temukan angka terakhir dari bilangan n1!2!3!...1989!



Solusi:

Angka terakhir !n adalah 0 untuk n5, sedangkan 1!2!3!4!1262433 memiliki angka terakhir 3.

Jadi, angka terakhir dari bilangan n1!2!3!...1989!adalah 0 + 3 = 3. 28. Carilah nilai x dari 3 _x 1_x2 _3 _x 1_x2 _3_.



Solusi: 3 _x 1_x2 _3 _x 1_x2 _3







_      _{    }        _{1 x}2 ₃3 _{x 1 x}2 _{x 1 x}2 3 _{x 1 x}2 3 _{x 1 x}2 x _x 1_x2 _27 2_x33 _x2 



1_x2



 

3 27

17 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 2_x93 _x2 _1_x2 _27 2x927 2 x 36 x18 29. Diberikan bahwa 1 3 x

x , berapakah nilai dari 7 1₇

x x  ?



Solusi:

1 3 x x 1 9 2         x x 2 _2_ 1_{2 }9 x x 2 _ 1_{2 }7 x x Diberikan n _n n x x a   1 , maka ₁   1 3 x x a , 2 1₂ 7 2    x x a , dan 1 ₁ 1 1 1 1 1 1     _{  }        _        n _n n n n n x x x x x x x x 3a_n a_n1 a_n1 a_n1 3a_n a_n1 Dengan demikian, a₃ 3a₂ a₁ 37318 a₄ 3a₃ a₂318747 a₅ 3a₄ a₃34718123 a₆ 3a₅ a₄312347322 a₇ 3a₆ a₅3322123843 Jadi, nilai dari 7 1₇

x

x  adalah 843.

30. Hasil kali dua akar (dari empat akar) persamaan _x4 _18_x3_kx2 _200_x1984_0

adalah 32. Tentukan nilai k.



Solusi:

Misalnya akar-akar persamaan _x4 _18_x3 _kx2 _200_x1984 _0_adalah

1 x , x2, x3, dan x4, maka 32 2 1x  x 1984 1 1984 4 3 2 1     a e x x x x

18 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 62 32 1984 2 1 4 3 2 1 4 3 _     x x x x x x x x

Sehingga untuk suatu bilangan p dan q: 1984 200 18 3 2 4 _{ x kx  x} x _



_x2 _{ px}32



_x2 _qx62



1984 32 32 62 62 2 3 2 2 3 4 _{       } x qx x px pqx px x qx 1984 ) 32 62 ( ) 30 ( ) ( 3 2 4 _{      } x p q x pq x p q x 18   q p  p 18q k pq 30 200 32 62p q q p 18  62p q32 200 62(18q)32q200 111662q32q200  q94 1316 q14 14  q  p 18q18144 30 4 14 30 86 14 4              k k pq q p Jadi, nilai k adalah 86.

TIPS:

1. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat (pangkat dua) 0 2 _bxc ax , maka: a b x x₁ ₂  dan a c x x_{1 2} 

2. Jika x1, x2, dan x3 adalah akar-akar persamaan kubik (pangkat tiga)

0 2 3 _{bx cxd } ax , maka: a b x x x₁ ₂  ₃  , a c x x x x x x_{1 2}  _{2 3}  _{1 3}  , dan a d x x x_{1 2 3} 

3. Jika x1, x2, x3, dan x4 adalah akar-akar persamaan pangkat empat

0 2 3 4 _{bx cx dxe} ax , maka: a b x x x x₁ ₂  ₃  ₄  , a c x x x x x x x x x x x x_{1 2}  _{1 3}  _{1 4}  _{2 3}  _{2 4}  _{3 4}  , a d x x x x x x x x x x x x_{1 2 3}  _{1 2 4}  _{1 3 4}  _{2 3 4}  a e x x x x_{1 2 3 4} 