LINGKARAN. Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Perhatikan gambar berikut.

LINGKARAN

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu.

Perhatikan gambar berikut.

Titik P disebut pusat, sedangkan Jarak P ke lingkaran dinamakan jari-jari.

Lingkaran merupakan salah satu irisan kerucut.

Maksudnya jika suatu kerucut dipotong oleh bidang datar yang tegak lurus sumbunya maka dihasilkan bidang yang disebut lingkaran

A. Persamaan Lingkaran

1. Persamaan Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan Jari- jari r

P(x,y) •

O

Berdasarkar definisi, Jarak titik O ke P (OP) = r OP = r

r y

x − 0 )

²

+ ( − 0 )

²

=

(

(jika kedua ruas

dikuadratkan didapat)

⇔

⇔⇔

⇔ x² + y² = r²

Jadi Persamaan Lingkaran dengan pusat O(0,0) dengan jari-jari r adalah : x² + y² = r²

• P r

2. Pers Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dengan jari-jari r Perhatikan gambar berikut.

Y

P(x,y) • M(a,b)

O X

Jarak M ke P (MP) = r MP = r

⇔

( x − a )

²

+ ( y − b )

²

= r

⇔

( x − a )

²

+ ( y − b )

²

= r

²

Jadi persamaan Lingkaran dengan pusat M(a,b) dan Jari-jari r adalah

( x − a )

²

+ ( y − b )

²

= r

²

Dari persamaan

( x − a )

²

+ ( y − b )

²

= r

² dapat diuraikan sebagai berikut.

2 2

2

( )

)

( x − a + y − b = r

⇔

x

²

− 2 ax + a

²

+ y

²

− 2 b y + b

²

= r

²

⇔ x² + y ² − 2ax − 2by + a² + b² − r² = 0 (i)

Misalkan A = -2a , B = -2b , dan C = a² + b² – r² maka persamaan (i) menjadi

x² + y² + Ax + By + C = 0

Pusat Lingk M(a,b) menjadi M(−₂¹ A, −₂¹ B) Jari-jari r =

a

²

+ b

²

− C

atau

r = (−₂¹ A)² + (−¹₂B)² −C = ₄¹A²+₄¹B²−C

Jadi Pers Umum Lingkaran : x² + y² + Ax + By + C = 0 pusat M(−¹₂A, −¹₂ B) dan r = ₄¹ A² +₄¹B²−C

Contoh :

Tentukan Pusat dan Jari-jari dari Lingkaran dengan persamaan :

1. x² + y² = 16

2. (x – 2)² + (y – 1)² = 9 3. x² + ( y + 3)² – 25 = 0 4. x² + y² + 4x + 6y + 3 = 0 5. x² + y² – 2x + 4y = 4 Perhatikan

Dari persamaan Lingkaran : x² + y² + Ax + By + C = 0 pusat M(

−

₂¹

A , −

₂¹

B )

dan jar-jari r = ₄¹A²+₄¹B²−C

a. Jika ¹₄ A² + ₄¹B² > C maka pusat riil dan r riil b. Jika ₄¹ A² +₄¹ B² < C maka pusat riil dan r khayal c. Jika ₄¹ A² +₄¹ B² = C maka pusat riil dan r nol.

Lingkaran ini dinamakn lingkaran titik.

Perhatikan dari kasus ke-3 0 ) (

)

(x+¹₂A ² + y + ₂¹B ² =

⇔

⇔⇔

⇔

{ ( y +

₂¹

B ) + i ( x +

₂¹

A ) } { ( y +

₂¹

B ) + i ( x +

¹₂

A ) } = 0

⇔

⇔⇔

⇔ y + ₂¹B = −i(x + ₂¹ A) atau y + ₂¹B = −i(x+₂¹ A) Jadi lingkaran nol, jika pada bidang kompleks berubah menjadi sebuah garis isotroop yang melalui titik pusatnya.

Melalui tiga titik yang tidak kolinier dapat dibuat tepat satu lingkaran.

Misalkan titik tersebut adalah P(a,b), Q (c,d) dan R (e,f)

Persamaannya dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut

1. Memisalkan persamaan lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 kemudian titik yang diketahui disubstitusikan sehingga didapat tiga persamaan.

Karena ada tiga variabel dan tiga pers maka dapat ditentukan nilai A, B dan C

2. Dengan menggunakan diterminan matriks berikut.

y² + y² x y 1 a² + b² a b 1

= 0 c² + d² c d 1

e² + f² e f 1

B. Persamaan Garis singgung Lingkaran

1. Persamaan Garis singgung Lingkaran di titik (x₁, y₁) pada Lingkaran.

a. Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r

P(x1, y1) •

Misalkan pers garis tsb bergradien m Gradien garis OP adalah

1 1

x

y . Karena garis tersebut tegak lurus garis OP maka m =

1 1

y

− x

Pers garis melalui (x₁, y₁) gradien

1 1

y

− x adalah

y – y₁ =

1 1

y

− x ( x – x₁)

⇔⇔

⇔⇔ y y₁ – y₁ ² = - x x₁ + x₁²

⇔

⇔

⇔

⇔ y y₁ + x x₁ = x₁² + y₁² (P pd Lingk shg x12

+ y12

=r²)

⇔⇔

⇔⇔ y y₁ + x x₁ = r²

Jadi pers garis singgung Lingk dgn pusat O(0,0) jari-jari r dititik P(x₁, y₁) yang terletak pada lingk adalah y y₁ + x x₁ = r²

b. Lingkaran dengan pusat M(a,b) jari-jari r

P(x₁, y₁)

• M(a,b)

Jika pusat sumbu koordinat digeser ke M(a,b), berarti titik P(x1, y1) dipandang dari sumbu yang baru adalah P’(x1’, y1’) dengan x1 = x1’ + a dan y1 = y1’ + b

Berdasarkan dari bahasan sebelumnya, persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (0,0) jari-jari r di titik P’(x₁’, y1’) yang terletak pada lingkaran adalah y’ y1’ + x’ x1’ = r²

Selanjutnya jika pusatnya dikembalikan pada O(0,0) maka menjadi

(y – b)(y1 – b) + (x – a) (x1 – a) = r²

Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a,b)

jari-jari r di titik P(x1, y1) yang terletak pada lingkaran adalah (y – b)(y1 – b) + (x – a) (x1 – a) = r²

Selanjutnya jika pusatnya M(−₂¹A, −₂¹ B) dan jar-jari r = C

B A²+₄^{1 2}−

4

1 maka persamaan garis singgunnya menjadi (y – b)(y1 – b) + (x – a) (x1 – a) = r²

⇔

⇔⇔

⇔ (y + ₂¹B) (y₁ + ₂¹B) + (x + A₂¹ ) (x₁ +¹₂A) = ₄¹A² +¹₄B²− C

⇔⇔⇔

⇔ yy₁+¹₂B(y+y₁) + ₄¹B² + xx₁ + ¹₂A(x+ x₁) +₄¹ A²=₄¹A² +₄¹B²−C

⇔

⇔⇔

⇔ yy₁+₂¹B(y+y₁) + xx₁ + ₂¹A(x+ x₁) + C = 0

Jadi pers garis singgung lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 di titik P(x1, y1) yang terletak pada lingkaran adalah

yy1+¹₂B(y+y1) + xx1 + ₂¹ A(x+ x1) + C = 0

2. Persamaan Garis singgung Lingkaran bergradien m.

a. Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r

y = mx + n

Misalkan Persamaan garis tersebut y = mx + n.

Dipotongkan pada lingkaran x² + y² = r² sehingga didapat persamaan :

x² + (mx + n )² = r²

⇔

⇔

⇔

⇔ x² + m² x² + 2 mn x ² + n² – r² = 0

⇔⇔

⇔⇔ ( 1 + m² ) x² + 2 mn x + n² – r² = 0

Persamaan Kuadrat dalam x sehingga syarat memotong pada satu titik D=0

Didapat : 4 m² n² – 4 (1 + m²)(n² – r²) = 0

⇔⇔⇔⇔ 4 m² n² – 4 n² - 4 m²n² + 4 r² + 4m² n² = 0 ⇔⇔⇔⇔ – 4 n² + 4 r² + 4m² r² = 0

⇔ n² = r² + m² r²

⇔ n = ±r m² +1

Jadi persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² yang bergradien m adalah

y = mx

± r m

²

+ 1

b. Lingkaran dengan pusat M(a,b) dengan jari-jari r Perhatikan gambar 5. Geser pusat sumbu

koordinat ke M(a,b) sehingga didapat sumbu yang baru X’ dan Y’

Y Y’

• (a,b) X’

X

Sehingga persamaan lingkaran pada sumbu yang baru adalah x’² + y’² = r²

Pers garis singgung bergradien m pada lingkaran x’² + y’² = r² adalah y’ = mx’ ±r m² + 1 (i)

Perhatikan hub titik pd sumbu lama dan baru x’ = x – a dan y’ = y – b (ii)

Dari (i) dan (ii) didpt (y – b) = m(x – a) ±r m² +1 Jadi persamaan garis singgung lingkaran

2 2

2 ( )

)

(x − a + y − b = r yang bergradien m adalah (y – b) = m(x – a)

± r m

²

+ 1

Selanjutnya jika persamaan lingkaran dinyatakan dalam bentuk

x² + y² + Ax + By + C = 0, persamamaan garis singgung bergradien m adalah

(y + ¹₂B) = m (x + ¹₂A) ±±±± ₄^{1 A2}+₄^1B2−^C m² +1 atau (y + ¹₂B) = m (x + ¹₂A) ±±±± ⁽ ₄¹A²+¹₄B²−C⁾⁽m² +¹⁾

3. Persamaan garis singgung dari titik (x₁, y₁) yang terletak di luar lingkaran

a. Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r

• P(x1, y1)

Misalkan persamaan garis melalui P memotong lingkaran pada Q(a,b)

Pers garis singgung di titik Q adalah yb + xa = r² Garis tsb melalui P shg dipenuhi y₁b + x₁a = r² ...(i) Titik Q pada lingkaran sehingga a² + b² = r² ... (ii) Dari (i) dan (ii) dapat ditentukan nilai a dan b.

a² +

2 1

1 2

)

( r

y ax

r − =

0 )

1

(

₁

2 1

2

1

a − x a + r − y =

y

Pers terakhir merupakan pers kuadrat dalam a.

Shg didpt dua nilai a, kemudian disubstitusikan ke (i) atau (ii) didapat nilai b

Persamaan garis singgungnya adalah persamaan garis melalui titik (a,b) dan (x₁, y₁).

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 4 dari titik (3,6)

4. Garis Kutub

a. Persamaan garis kutub lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r dari titik P(x₁, y₁)

Perhatikan gb berikut.

Dari titik P dibuat garis singgung lingkaran n₁dan n₂. Garis singgung tersebut memotong Lingkaran di Q dan R. Garis k yang melalui Q dan R dinamakan garis kutub.

P(x1,y1) n1

n2 k

Titik Q (a,b) dan R (c,d).

Gradien garis k adlh m₁ =

a c

b d

−

−

Gradien garis melalui O dan P adalah m₂ =

1 1

x y

Pers garis singgung melalui (a,b) adalah ax + by = r² Garis tersebut melalui (x₁,y₁) maka ax₁ + by₁ = r² ….. (1) Pers garis melalui Q(a,b) gradien

1 1

y

− x adalah y – b =

1 1

y

− x (x – a) atau yy₁ – by₁ = -xx₁ + ax₁ atau yy₁ + xx₁ = by₁ + ax₁ ( dari (1))

⇔⇔⇔

⇔ yy₁ + xx₁ = r²

Jadi pers garis kutub dari (x₁,y₁) adalah yy₁ + xx₁ = r²

B. Hubungan dua Lingkaran

1. Dua Lingkaran berpotongan tegak lurus

L1 : x² + y² + A1 x + B1 y + C1 = 0 L₂ : x² + y² + A₂ x + B₂ y + C₂ = 0

Berpotongan tegaklurus maka (M₁M₂)² = r₁² + r₂² M1(- ½ A1, - ½ B1) dan M2(- ½ A2, - ½ B2)

r1 = ₄¹A₁²+₄¹B₁²−C₁ dan r2 = ₄¹A₂²+₄¹B₂²−C₂

(- ½ A₁+½A₂)²+(-½B₁ + ½ B₂)² =₄¹A₁² +₄¹B₁²−C₁ + ₄¹A₂²+₄¹B₂²−C₂ - ½ A₁A₂ - ½ B₁B₂ = -C₁-C₂

⇔ -½ A1A₂ + ½ B₁B₂ = C_{1 +} C₂

2. Dua lingkaran yang saling berpotongan dan salah satu membagi lingkaran yang lain sama besar

L1 : x² + y² + A1 x + B1 y + C1 = 0 L2 : x² + y² + A2 x + B2 y + C2 = 0

L1 membagi L2 menjadi 2 sama besar, maka (M1M2)² = r12

- r22

Catatan :

Sudut potong dua lingkaran adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis singgung yang ditarik dari pusat.

C Garis Kuasa

1. Kuasa ttitik pada Lingkaran

Kuasa titik (x1, y1) terletak diluar lingkaran maka kuasanya merupakan kuadratnya jarak titik tersebut ke titik singgung lingkaran dari garis singgung yang dibuat dari titik tersebut pada lingkaran.

A

D M C B(x1,y1) E

F

M pusat lingkaran L : x² + y² + Ax + By + C = 0 Ingat dalam geometri berlaku :

[BA]² = [BE] [BF] = [BC] [BD]

Hasil kali ini kuasa titik B terhadap lingkaran L [BC] [BD] = [BM – r] [ BM + r ]

= [BM]² – r²

= (x1 + ½ A)² + (y1 + ½ B)² –( ₄¹A² +₄¹B²−C ) = x12

+ y12

+ Ax + By + C

Jadi kuasa titik B(x₁,y₁) thdp lingkaran L adalah x₁² + y₁² + Ax + By + C 2. garis Kuasa.

Garis Kuasa adalah tempat kedudukan titik-titik yang memiliki kuasa sama terhadap dua linkaran.

Misalkan diketahui lingkaran : L₁ : x² + y² + A₁ x + B₁ y + C₁ = 0 L2 : x² + y² + A2 x + B2 y + C2 = 0

Misalkan titik (x₁, y₁) memiki kuasa sama terhadap L₁ dan L₂ maka dipenuhi : x12

+ y1 2

+ A1 x1 + B1 y1 + C1 = x2 2

+ y22

+ A2 x2 + B2 y2 + C2

atau (A1 - A2) x1 + (B1 - B2) y1 + C1 - C2 = 0

Jelas tempat kedudukan tersebut berupa garis lurus yang melalui (x1, y1) Sehingga kalau dijalankan didapat :

(A1 - A2) x + (B1 - B2) y + C1 - C2 = 0 Gradien garis tersebut adalah

2 1

2 1

B B

A A

−

− −

Gradien perpusatan adalah

2 2 1 2 1 1

2 2 1 2 1 1

A A

B B

+

− +

−

Terlihat bahwa perkalian gradienya adalah -1 sehingga garis tersebut tegak lurus dengan perpusatan.

Soal

1. Tentukan persamaan lingkaran yang titik pusatnya terletak pada garis 2x – y = 0 dan menyinggung sumbu y

2. Jika dari titik (2, -1) terhadap lingkaran (x + 3)² + (y – 2)² = 9 maka tentukan persamaan garis yang menghubungkan kedua titik singgungnya.

3. Diketahui lingkaran L1