PENGANTAR MATEMATIKA. TOERI, SOAL, DAN PEMBAHASAN
Pengantar Matematika Toeri, Soal, dan Pembahasan PENGANTAR MATEMATIKA
i
RINJANI_STIS
Penyusun : Himpunan Mahasiswa Sekolah Tinggi Ilmu Statistik (STIS) asal Nusa Tenggara Barat . RINJANI STIS Email : rinjanistis@gmail.com Blog : rinjanistis.wordpress.com
ii
RINJANI_STIS
KATA PENGANTAR Segala puji bagi Allah SWT, karena atas berkah dan rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan penulisan buku ini. Terima kasih kami haturkan bagi semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan buku ini. Buku ini disusun dengan harapan dapat bermanfaat bagi pembaca dalam mempelajari matematika. Dalam buku ini akan dibahas berbagau macam soal yang disertai dengan pembahasannya. Buku ini juga memberikan ulasan singkat tentang matematika.
Semoga buku ini bermnfaat bagi semua pihak yang membutuhkan dan sekaligus dapat memberikan kontribusi kecil bagi pengembangan ilmu pengetahuan. Tak ada gading yang tak retak. Maka dari itu buku ini juga masih jauh dari kata sempurna. Kami mohon saran dan kritiknya untuk perbaikan dari buku ini.
JAKARTA, Oktober 2012 Tim Penyusun
iii
RINJANI_STIS
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB I NOTASI SIGMA DAN PRODUCT
1
Notasi Sigma 1
Teorema dan Sifat-Sifat
Notasi Product Teorema dan Sifat-Sifat BAB II
BAB III
BAB IV iv 3 4 5
Soal dan Pembahasan 7
FAKTORIAL, PERMUTASI DAN KOMBINASI 22
Faktorial 22
Permutasi 22
Kombinasi 23
Soal dan Pembahasan 24
TEOREMA BINOMIAL DAN MULTINOMIAL 32
Binomial 32
Identitas dan Segitiga Pascal 33
Rumus Binomial dengan n negative atau pecahan 34
Multinomial 35
Soal dan Pembahasan 37
TEORI HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI 42
Himpunan 42
Definisi Himpunan 42
Penyajian Himpunan 42 RINJANI_STIS
Himpunan Universal dan Kosong 43
Himpunan Bagian (Subset) 43
Himpunan Sama 43
Himpunan yang Ekuivalen 44
Himpunan Saling Lepas 44
Operasi pada Himpunan 44
Jumlah Anggota pada Operasi Himpunan 45
Hukum-Hukun Himpunan 45
Relasi dan Fungsi BAB V
v 46
Deinisi Relasi 46
Domain, Kodomain, Range 46
Definisi dan Fungsi 47
Jenis-Jenis Fungsi 47
Operasi pada Fungsi 47
Komposisi Fungsi 48
Soal dan Pembahasan 49
LIMIT DAN KEKONTINUAN 57
Limit
57 Menyelesaikan Limit 58
Limit-Limit Sepihak 59
Teorema Limit Utama
59
Teorema Substitusi 60
Teorema Apit 60
Limit Fungsi Trigonometri 60
Limit Trigonometri Khusus 60
Limit Tak Berhingga 61
RINJANI_STIS Kekontinuan BAB VI 61
Teorema Kekontinuan 62
Teorema Fungsi Komposit 62
Kekontinuan pada Selang 62
Teorema Nilai Antara 63
Soal dan Pembahasan 64
TURUNAN
65
Definisi Turunan 65
Aturan Pencarian Turunan 65
Turunan Sinus dan Cosinus 66
Hukum Rantai (Chain Rule) 66
Diferensiasi Fungsi Implisit 66
Turunan Ordo yang Lebih Tinggi 68
Soal dan Pembahasan 69
BAB VII APLIKASI TURUNAN 79
Maksimum dan Minimum 79
Kemonotonan dan Kecekungan 79
vi
Kemonotonan Grafik Fungsi 79
Kecekungan dan Titik Balik/Belok 80
Titik Belok 80
Maksimum dan Minimum Lokal 81
Definisi 81
Teorema A 81
Teorema B 82
Soal dan Pembahasan 83
RINJANI_STIS
BAB VIII INTEGRAL TERTENTU BAB IX
93
Definisi 1 93
Definisi 2 94
Teorema Dasar Kalkulus 97
Sifat-Sifat Integral Tertentu 97
Soal dan Pembahasan 99
APLIKASI INTEGRAL TERTENTU 102
Menentukan Luas Daerah 102
Menentukan Luas Daerah diatas Sumbu-x 102
Menentukan Luas Daerah dibawah Sumbu-x 102
Menentukan Luas Daerah yang dibatasi Kurva y=f(x) dan terletak di sumbu-x 103 Menentukan Luas Daerah yang terletak diantara dua Kurva 103 Menentukan Volume Benda Putar
104
Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x 104
Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y 104
Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x 105 Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y 105 Metode Kulit Tabung
Soal dan Pembahasan vii
105 106
RINJANI_STIS
NOTASI SIGMA DAN PRODUCT Dalam matematika dikenal banyak simbol yang digunakan untuk menyederhanakan penulisan persamaan matematika. Dua simbol yang sering digunakan adalah notasi sigma (Σ) untuk menyederhanakan penjumlahan dan notasi product (Π) untuk
menyederhanakan perkalian.
1. NOTASI SIGMA (Σ)
Untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita tuliskan sebagai ∑
Penulisan penjumlahan seperti di atas akan lebih sederhana jika dituliskan ke dalam bentuk notasi penjumlahan. Notasi ini dikenal dengan notasi sigma (Σ) yang berasal dari huruf Yunani. Dimana Σ disebut dengan Tanda Penjumlahan, (i). Sebagai tanda penjumlahan yang menyatakan batas-batas penjumlah, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda Σ dan berakhir dengan bilangan yang berada diatas tanda tersebut. Sehingga, ∑
∑ 1
∑
dan, untuk n m,
∑ () ( )
Jika semua c dalam ∑ (
) ( ) ( )
mempunyai nilai sama, katakan c, maka
∑ Suku n
Sebagai suatu hasil, kita terima perjanjian
∑
Khususnya, ( )
∑
∑(
) ( )
Lambang yang dipakai untuk indeks tidak menjadi masalah. Sehingga, variabel i, j, k disebut
"dummy variable" karena variabelnya bisa diubah-ubah menjadi simbol lainnya. Simbol ini hanya berfungsi untuk iterasi (pengulangan) saja.
2
RINJANI_STIS
Teorema dan Sifat-sifat Andaikan { + dan { } menyatakan dua barisan dan suatu
konstanta. Maka : ∑
∑
Bukti : ∑ (
)
∑(
)
∑
∑
∑ Bukti :
∑
∑ 3
∑
RINJANI_STIS
∑(
)
∑
∑ (
∑ ) (
∑
∑
*
∑
2. NOTASI PRODUCT ( )(
) ( ) ( )(
+ ) )
Untuk perkalian pada suku yang banyak, penulisannya dapat disederhanakan dengan menggunakan notasi perkalian atau notasi product yang disimbolkan dengan
.
∏ 4
RINJANI_STIS
∏ Suku n
Teorema dan Sifat-sifat
∏
∏
∏
Dimana k adalah konstanta. Bukti : (
∏ )(
)(
( )(
∏(
) ( )(
∏(
∏ 5 ) )(
( ) ) ) ( ) ( )
∏
∏
∏ )
∏
RINJANI_STIS )
∏(
∏
Bukti : ∏(
) ( )(
)(
( )( )( )
∏(
)(
( )( )(
) (∏
) )(
( ) ( ) ) )
Di mana c adalah konstanta. Bukti : ∏(
)
( ) ( (∏
6 ) ( ) ( ) (( ) ( )(
) ( )) )
RINJANI_STIS
SOAL DAN PEMBAHASAN 1.
Hitunglah ∑ (
)
Jawab : ∑(
2.
)
∑
∑
∑
∑
( )
Hitunglah ∑ (
)
Jawab : ∑(
)
∑ ( 3.
∑ )
Hitunglah ∑ Jawab : ∑ 7
RINJANI_STIS Hitunglah ∑ 4. Jawab : ∑ 5.
Tentukan notasi dari Jawab : ∑ (
6.
)
Tentukan notasi dari Jawab : ∑
Jika ∑ 7.
dan ∑
. Hitunglah ∑ (
) Jawab : ∑(
)
∑
∑ ( 8 )
∑
∑
∑
∑ ( )
RINJANI_STIS Jika ∑
8.
dan ∑
. Hitunglah ∑ (
. Hitunglah ∑ (
)
Jawab : ∑(
)
∑
∑
∑ (
∑ ) Jika ∑ 9.
dan ∑ ). Jawab : ∑(
)
∑
∑
∑ (
∑
∑ ) ( )
∑ ( )
Tentukan nilai n yang memenuhi, jika ∑ 10.
( )
Jawab : ∑
∑(
9 )
∑(
∑
)
RINJANI_STIS
∑(
) (
∑( ( ( ) ) ) ) ( )(
) n=6 11.
Hitunglah ∑ Jawab : ∑ 12.
( )
Hitunglah ∑ Jawab : ∑ 13.
( )(
)
Hitunglah ∑
Jawab : ∑ 10
( )(
)
RINJANI_STIS Hitunglah ∑ 14.
( )
Jawab : ∑ (
)
∑( ( 15.
) )
∑ (
∑ )
Cari suatu rumus untuk ∑ (
)(
)
Jawab : ∑(
)(
)
∑(
)
∑
∑ ( )(
∑ ) , ) - ( 16.
( )
Tuliskan notasi sigma untuk 2 + 4 + 6 + ... + 10.
Jawab : 2 + 4 + 6 + ... + 10 = ∑ 17.
Tuliskan notasi sigma untuk 1 -3 + 5 – 7 + 9.
Jawab : 1−3+5–7+9=∑
11 ( ) ( )
RINJANI_STIS 18.
Tentukan nilai dari ∑
( )
Jawab : ∑(
)
∑(
) ( ∑
∑ ) . ( 19.
∑(
)
Tentukan nilai dari ∑ )
( ∑ / ( ( ) ( ) ) )
Jawab : ∑(
)
∑ (
20.
)
Tentukan nilai dari ∑ Jawab : ∑(
)
∑(
)
∑
∑ ( 12 )(
) ( )
RINJANI_STIS 21.
Tentukan nilai dari ∑ (
)
Jawab : ∑(
)
∑(
)
∑ 22.
∑
∑
Tentukan nilai dari ∑ Jawab : ∑
23.
Tentukan nilai dari ∑
Jawab : Batas indeksnya bisa diubah-ubah. Kita akan mengubah batas bawah indeks k mulai dari 1.
Sehingga ∑
∑ ( ) atau . Maka,
∑
∑ 13
RINJANI_STIS 24.
Hitunglah ∑ Jawab : ∑
∑ ( 25.
∑ )(
)
Hitunglah ∑ Jawab : ∑
26.
∑
∑
Hitunglah ∑ Jawab : ∑ 14
∑
∑
RINJANI_STIS 27.
Hitunglah ∑ Jawab ∑ (
∑ ( ( 28.
) )((
( )(
) )( ( ) ) ) )
Hitunglah ∑
. /
Jawab : ∑(
)
∑
∑
∑ ( ( 29.
( ) ) )
Tunjukkan bahwa : 1.2 + 2.3 + ... + n (n+1) = (
)(
)
Jawab : ( ∑(
15 ) )
RINJANI_STIS
∑
∑ ( )(
) (
)(
) ( )(
( )( ( ) ( ) ) ) )(
)
Hitunglah ∑ 30.
( . /
Jawab : ∑ .
31.
/ .
Hitunglah ∑ /
. / ( .
/ . / )
Jawab : ∑(
16 ) ( ) ( ) ( )
RINJANI_STIS 32.
Hitunglah ∑ .
( ) /
Jawab : ∑(
33.
( ) ) (
) ( )
Tulislah 1 + 2 + (
)
dalam notasi sigma dengan batas bawah *J=0
**J = 1
***J = 2 Jawab : *∑ 34.
** ∑ Hitunglah (
) ( (
*** ∑ ) )
Jawab : ∏(
35.
( )
Hitunglah )(
)
( ) ( ( ))
Jawab : ∏(
17 ) ( )(
) ( )
RINJANI_STIS 36.
Hitunglah Jawab : ∏ 37.
(
Hitunglah )
Jawab ∏(
38.
) ( ) (
(
Hitunglah )
( ) )
Jawab : ∏(
39.
) ( )(
Hitunglah )
( ) ( )
Jawab : ∏( ) 40.
Hitunglah (
)
Jawab : ∏(
18 ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
RINJANI_STIS 41.
Hitunglah (∑
) ( ) )
Jawab : ∏ (∑ )
∏(
( 42.
∏ )
Hitunglah [(∑
) ]
Jawab : ∏ [(∑
)
] ,( 43.
Hitunglah
∏[(
) ] ) - ,(
) - [∑
]
Jawab : ∏ [∑ , 44.
] , - , - , -
Hitunglah Jawab : ∏ ( 45. 19
∏
∏
∏ )(
Tuliskan notasi dari ) ((
( ) )
)
RINJANI_STIS Jawab : ( 46.
)
∏ ( )
Tuliskan notasi dari Jawab : ∏
Tuliskan notasi dari . 47.
/ . / . / . / . /
Jawab : ( ) ( ) ( ) ( 48.
Jabarkan rumus ∑ ) (
)
∏
Jawab : ( )
∑,(
) ( ) -
∑(
)
∑
∑
∑
∑ 20
RINJANI_STIS Jabarkan rumus ∑ 49. Jawab :
( )
∑,(
) ( ) -
∑(
∑
∑ )
∑
∑ ( )
∑
∑ ( 21 )(
)
∑
RINJANI_STIS
FAKTORIAL, PERMUTASI, DAN KOMBINASI
1. FAKTORIAL Faktorial merupakan perkalian bilangan dengan bilangan berurutan dari bilangan n, terus mengecil sampai bilangan 1. Faktorial dinotasikan dengan tanda !. 7! = 7x6x5x4x3x2x1 n! = n!
= nx(n-1)! 1! = 1 0! = 1 Untuk n yang sangat besar pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling: √
Kaidah dasar menghitung : 1)
Kaidah Perkalian : percobaan 1 dan 2 = pxq 2)
Kaidah Penjumlahan : percobaan 1 atau 2 = p+q
2. PERMUTASI Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula dengan memperhatikan urutan.
22
RINJANI_STIS
Permutasi-r dari n objek adalah jumlah kemungkinan urutan r buah objek yang dipilih dari n buah objek, dengan r ≤ n dapat dinotasikan dengan P(n,r).
Permutasi Siklis Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah : (n-1)!
Permutasi benda berlainan Banyaknya permutasi yang berlainan dari benda n benda bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua,..., nk berjenis ke k adalah :
Permutasi dengan Perulangan ( )
3. KOMBINASI Kombinasi adalah pengelompokan suatu unsur dari kelompoknya dengan pilihan dari unsur yang tersedia tanpa memperhatikan urutannya. Kombinasi dinotasikan dengan C(n,r). (
( )
Kombinasi dengan Perulangan ( 23
) )
RINJANI_STIS
SOAL DAN PEMBAHASAN 1.
Hitunglah
! Jawab : 2.
Buktikan 0! = 1
Jawab : (n+1)! = n! (n+1) (0+1)! = 0! (0+1) 0! = 1 ( 3.
Sederhanakanlah (
) )
Jawab : ( ( ) )
4.
( )( )( ( ) ) ( )
Tulislah 45 dalam bentuk notasi faktorial!
Jawab : 5.
Dalam suatu perlombaan nyanyi, ke-8 orang yang masuk ke final
terdiri atas 3 pelajar dan 5 mahasiswa. Carilah banyaknya kemungkinan urutan hasil perlombaan untuk : a)
keseluruhan masuk final b)
ke 3 pemenang pertama Jawab : a) b) 24
8! = 40320 =(
)
= =336 RINJANI_STIS 6.
Lima stiker akan ditempel secara berderet pada tempat yang
disediakan .Jika di antara kelima stiker tersebut satu stiker selalu menempati posisi tengah , maka banyak cara menempel ? Jawab : Misalkan kelima stiker itu adalah A,B,C,D,E. Misalkan stiker yang di tengah adalah stiker C. Maka hanya ada satu kemungkinan untuk posisi di tengah. Kemudian, posisi yang lain ditempati oleh A,B,D, dan E. Banyak susunannya adalah 4⋅3⋅1⋅2⋅1=4!=24. 7.
Terdapat 2 orang Amerika, 3 orang Indonesia, dan 4 orang China, yg duduk berjajar pada 9 kursi kosong. Tentukan : a.
banyaknya formasi duduk b.
banyaknya formasi jika 3 orang Indonesia harus selalu berdampingan Jawab : a.
= 362880 b.
x 8.
Tersedia 6 huruf a,b,c,d,e,f. Berapa jumlah pengurutan 3 huruf jika
= 30240 a)
tidak ada huruf yang diulang b)
boleh ada huruf yang berulang c)
tidak boleh ada huruf yang berulang tapi huruf e harus ada Jawab : a)
=(
)
= =120 b) c)
Karena huruf “e” harus ada maka satu kemungkinan dari 3 huruf sudah terisi 5x4x1 = 20 Huruf “e”
bisa berada diketiga tempat yang disediakan maka banyak kemungkinan keseluruhan adalah 20x3=60
25
RINJANI_STIS 9.
Rani akan membuat gelang yang berisi pernak-pernik. Misal
terdapat 5 jenis pernik besar dan 5 jenis pernik kecil. Pada setiap gelang diisi kelima jenis pernik besar dan diantara pernik besar terdapat lima pernik kecil. Maka rani akan mendapat sejumlah gelang yang beraneka warna. Banyak gelang yang bisa dibuat rani? Jawab : Perhatikan bahwa pernak-pernik itu disusun melingkar dengan susunan selang-seling antara pernik besar dan pernik kecil. Banyaknya cara menyusun pernik besar adalah (5−1)!. Banyaknya cara menyusun pernik kecil adalah (5−1)!. Sehingga, banyaknya cara menyusun pernak-pernik itu adalah
(5−1)!×(5−1)!=(4!)2=576. 10.
Dari 100.000 buah bilangan bulat positif pertama, berapa banyak
bilangan yang mengandung tepat 1 buah angka 3, 1 buah angka 4, dan 1 buah angka 5? Jawab : Bilangan 100.000 tidak memenuhi, jadi hanya ada 5 digit yang harus dipenuhi
Ada 5 cara untuk menempatkan angka 5, sisa tempat kosong tinggal 4
Ada 4 cara untuk menempatkan angka 4, sisa tempat kosong tinggal 3
Ada 3 cara untuk menempatkan angka 3, sisa tempat kosong tinggal 2
Selain angka, 3, 4, dan 5 boleh diisi berulang. Jadi untuk kedua tempat yang masih kosong dapat diisi masing-masing dengan 7 angka
Banyak bilangan yang dapat dibentuk sesuai dengan aturan tersebut adalah 5.4.3.7.7 = 2940 26
RINJANI_STIS 11.
Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata
“CONGRESS” sedemikian sehingga dua buah huruf “S” tidak terletak berdampingan. Jawab : String tersebut tersusun atas 8 buah huruf, dan terjadi pengulangan dua kali untuk salah satu hurufnya
(huruf “S”) Jika kedua huruf “S” boleh sembarang letaknya (tidak ada aturan khusus untuk huruf
“S”), maka jumlah string berbeda yang dapat dibentuk adalah: 8!
8.7.6.5.4.3.2!
2!
2!
= 8.7.6.5.4.3 = 20160
Jika kedua huruf “S” harus berdampingan, maka jumlah string berbeda yang terjadi adalah sama dengan permutasi dari 7 huruf dari 7 huruf yang tersedia, dimana tidak ada karakter yang berulang yaitu: P(7,7) =
7! (7 7)!
7! 0!
7! 1
= 7.6.5.4.3.2 = 5040
Jadi jumlah string berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf tersebut apabila dua huruf “S”
tidak boleh berdampingan adalah: 20160 – 5040 = 15120 macam 12.
Suatu pohon Natal dihias dengan 9 bola lampu yang dirangkai seri.
Ada berapa cara menyusun 9 bola lampu itu bila 3 diantaranya berwarna merah, 4 kuning, dan 2 biru? Jawab : Soal di atas merupakan permutasi benda berlainan jenis = 13.
=1260 cara Jika huruf-huruf pada kata "BOROBUDUR" dipertukarkan, berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat diperoleh? 27
RINJANI_STIS
Jawab : Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali, huruf O diulang 2 kali, huruf R diulang 2 kali, dan huruf U diulang 2 kali. Banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh diberikan oleh rumus berikut:
14.
Dalam berapa carakah 6 orang dapat diantrikan masuk ke bis? Bila
3 orang tertentu bertahan harus saling menyusul satu sama lain, ada berapa banyak cara yang mungkin? Bila 2 orang tertentu tidak mau saling menyusul langsung, berapa banyak cara yang mungkin? Jawab : a)
6! = 720 b)
3!x4! = 144 (3! merupakan banyak cara 3 orang tersebut diurutkan sedangkan 4! merupakan
banyak cara 6 orang mengantri dimana 3 orang dianggap sebagai 1 kelompok (jadi ada 4 kelompok)) c)
Banyak cara antrian semuanya = 720 Banyak cara jika 2 orang mau saling menyusul langsung = 2!x5! = 240 Jadi banyak cara jika 2 orang tidak mau saling menyusul langsung = 720 – 240 = 480 15.
C(n,4) = 35. Tentukan nilai n2!
Jawab : C(n,4) = 35
= ( ) ( )(
)( ( )(
) )
35 x 4! = n(n-1)(n-2)(n-3) 35 x 24 = n4 – 6n3 + 11n2 – 6 28 RINJANI_STIS
n4 – 6n3 + 11n2 – 846 = 0 n=7 n2 = 49 16.
Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Informatika Angkatan 2002,
berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga: a.
mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya;
b.
mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya;
c.
mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi B tidak;
d.
mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi A tidak;
e.
mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya;
f.
setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B termasuk di dalamnya.
Jawab : a.
C(9, 4) = 126 cara.
b.
C(9, 5) = 126 cara.
c.
C(8, 4) = 70 cara.
d.
C(8, 4) = 70 cara.
e.
C(8, 3) = 56 cara.
17.
Ada 5 orang mahasiswa jurusan Informatika dan 7 orang
mahasiswa jurusan Elektro. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika:
29 a.
tidak ada batasan jurusan
b.
semua anggota panitia harus dari jurusan Matematika c.
semua anggota panitia harus dari jurusan Informatika d.
semua anggota panitia harus dari jurusan yang sama e.
2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili RINJANI_STIS
Jawab : a.
C(12,4) = 495 b.
C(5,4)xC(7,0) = 5 c.
C(7,4)xC(5,0) = 35 d.
C(5,4)xC(7,0) + C(7,4)xC(5,0) = 5+35 = 40 e.
C(5,2)xC(7,2) = 210 18.
Berapa banyak cara membentuk sebuah panitia beranggotakan 5
orang yang dipilih dari 7 orang pria dan 5 orang wanita jika di dalam panitia tersebut paling sedikit beranggotakan 2 orang wanita? Jawab: Jika mengandung 2 orang wanita = C(7,3) x C(5,2) = 350 cara Jika mengandung 3 orang wanita = C(7,2) x C(5,3) = 210 cara Jika mengandung 4 orang wanita
= C(7,1) x C(5,4) = 35 cara Jika semuanya wanita = C(7,0) x C(5,5) = 1 Total semuanya = 596 cara 19.
Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra
dan 3 putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan banyaknya cara menyeleksi
karyawan! Jawab : Pelamar putra = 9 dan pelamar putri = 6 Banyak cara menyeleksi = C(9,5) x C(6,3) = 2520 20.
Ada 10 soal di dalam ujian akhir Matematika Diskrit. Berapa
banyak cara pemberian nilai (bilangan bulat) pada setiap soal jika jumlah nilai keseluruhan soal adalah 100 dan setiap soal mempunyai nilai paling sedikit 5. Jawab dalam notasi kombinasi. (contoh soal kombinasi dengan perulangan)
30
RINJANI_STIS
Jawab : Andaikan kita tidak menghitung lagi nilai minimal masing-masing soal 5 x 10 = 50 100 – 50
= 50 Jadi sekarang ada nilai sejumlah 50 yang harus didistribusikan ke 10 soal n = 10, r = 50, maka banyak cara pemberian nilai adalah: C(10+50-1, 50) = C(59, 50) = 21. Berapa banyak solusi
bilangan bulat dari x1 + x2 + x3 = 11 jika x1 > 1, x2 4, dan x3 = 1. (contoh soal kombinasi dengan perulangan) Jawab : Nilai x3 = 1, maka x1 + x2 = 10 Nilai x1 minimum 2, sisa yang belum dibagikan
= 10 – 2 = 8 Nilai x2 maksimum 4
Jika nilai x2 ≥ 0 (x2 minimum 0), maka ada 8 nilai lagi yang harus didistribusikan ke x1 dan x2 n = 2, r = 8 C(2 + 8 – 1, 8) = C(9, 8) = 9
Jika nilai x2 ≥ 5 (x2 minimum 5), maka ada 8 – 5 = 3 nilai lagi yang harus didistribusikan ke x1 dan x2 n = 2, r = 3 C(2 + 3 – 1, 3) = C(4, 3) = 4
Jadi jika x2 4, jumlah solusi bilangan bulat yang mungkin adalah 9 – 4 = 5 kemungkinan 31
RINJANI_STIS
TEOREMA BINOMIAL DAN MULTINOMIAL 1.
BINOMIAL
Rumus Binomial untuk n bilangan positif: ( a+b )n = ( ) ( a+b )n = ∑ (
) ( )
( ) ( )
Dengan koefisien binomial: . / (
)
Contoh: 1. Ekspansikan ( a+b )5! Jawab: ( a+b )5= ∑ =( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
= a5 + 5a4b + 10a3b + 10a2b3 + 5ab4 + b5 2.
Jabarkan ( 3x – 2 )3!
Jawab: Misal: a = 3x b = -2 ( a+b )3 = ( ) ( )
( ) ( )
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = 3x3 + 3(3x)2(-2) + 3(3x)(-2)2 + (-2)3 = 3x3 + 27x2(-2) + 9x.4 – 8 = 3x3 – 54x2 + 36x -8 32
RINJANI_STIS
Untuk menentukan suku yang memuat pangkat tertentu dari suatu persamaan ( x+y )n terlebih dahulu diubah ke dalam bentuk suku umum ( )
, di mana i merupakan pangkat dari suku yang dicari.
Contoh: 1.
Tentukan suku yang memuat x10 dari ( 2x2-y3 )8 ! Jawab: Suku umum: ( )(
)
=( )
=( ) ( ( ( ) ) )
= = -1792x10y9 Untuk mencari nilai i: x16-2i = x10 16-2i = 10 2i = 6 i=3 Jadi suku yang memuat x10 adalah -1792x10y9.
Identitas & Segitiga Pascal ( )
. / . /
n & k bilangan bulat positif 33
RINJANI_STIS Bukti: (
) . ( / ) ) ( . / (
) (
=(
) ( ) ( (
=(
) ( ) ) ) ( ) ) ) (
=(
( ( )(
(
=( = ) ) ) ) ( )
( terbukti ) )
Rumus Binomial dengan n negative atau pecahan (
( ) ( )(
) ( ) ( )(
) ( )(
)( ) ( )
Contoh: 1.
Ekspansikan (2 - 3x)4 sampai 4 suku!
Jawab: ( )
( 34 ( ( ) )(
)(
)( ) ( )( ) ( )
) )
RINJANI_STIS
2.
MULTINOMIAL
Suku umum dari multinomial (a1+a2+a3+…+ai)n untuk n positif adalah: ( )
Contoh: Carilah suku yang memuat x11 dan y4 dari (2x3-3xy2+z2)6! Jawab: ( )(
) ( ) ( )
Mencari nilai a:
Mencari nilai b:
x3a .xb = x11 y2b = y4 3a+b = 11 2b = 4 3a+2 = 11 b=2
a=3 Mencari nilai c: a+b+c = 6 3+2+c = 6 c=1 Jadi suku yang memuat x11 dan y4 adalah: ( )(
= ( )(
)( ) )
= 4320 x11y4z2 35
RINJANI_STIS
Suku umum dari (a+b+c+d+…)n untun n negative atau pecahan adalah: ( )(
)(
) ( )
Di mana i merupakan bilangan bulat positif 36
RINJANI_STIS
SOAL DAN PEMBAHASAN 1.
Ekspansikan (a+b)6 ! Jawab: (
) ( ) ( ) 2.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ekspansikan (x-2y)5 ! Jawab: (
) ( ) ( 3.
( ) ) ( ) ( )(
( ) ( ) ( ) ( ( ) ) )
Berapakah suku keenam dari ekspansi ( ) !
Jawab: ( )
( )(
( )(
) . / ( ).
( ).
/ ( ) / ( )
= 126(16x2)(- )
) ( ).
/ ( ) ( ).
/ ( )
Suku keenamnya adalah: ( ) . / (
)
= 37
RINJANI_STIS
Berapakah koefisien suku yang mengandung x14 dari ekspansi 4.
(x+2x3)10! Jawab: Suku umum: ( ) (
=( ) ( ) )
= 45x84x6 =180x14 Cara mencari nilai i: x10-i x3i= x14 10-i+3i = 14 2i = 4 i=2 Jadi koefisien x14 adalah 180. Ekspansikan empat suku pertama dari (3a-2b)-2!
5.
Jawab: (
( ) ( )(
6.
)(
)(
) ( ( ) )(
) ( ) ( )(
)(
) ( ) )
Ekspansikan empat suku pertama dari ( ) !
Jawab: ( 38
) ( ) . / . /(
)
RINJANI_STIS 7.
Carilah koefisien x2 y3 z4 dari persamaan (ax-by+cz)9!
Jawab: ( )(
) ( ) ( )
Mencari nilai d:
Mencari nilai e:
xd = x2 ye = y3 d=2 e=3
Mencari nilai f: zf = z4 f=4 suku yang memuat x2 y3 z4 adalah: ( )(
) ( ) ( )
Jadi koefisiennya adalah: ( 8.
)
Carilah koefisien a3b3c dari persamaan (2a+b+3c)7!
Jawab: ( 39 )(
) ( ) ( )
Mencari nilai d:
Mencari nilai e:
ad = a3 be = b3 d=3
e=3 RINJANI_STIS
Mencari nilai f: cf = c f=1 suku yang memuat a3b3c adalah: ( )(
) ( ) ( )
Jadi koefisiennya adalah: ( ) 9.
Cari koefisien x3 dari persamaan (1-3x-2x2+6x3) ! Jawab: . /.
/ ( ) ( ) (
) ( )
Jadi koefisiennya adalah: ( ) 40
( )(
)(
)(
) . /.
/.
/ ( )
RINJANI_STIS 10. (
√ ) (
√ )
Jawab: =(( ) (( ) ( ) ( ) √
41 (√ ) ( ) (√ ) ( √ ) ( ) ( √ )
√
( ) (√ ) ( ) ( √ ) (√ ) ( )(√ ) ) ( )( √ ) ) (√ ) RINJANI_STIS
TEORI HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI 1.
HIMPUNAN Definisi Himpunan Himpunan : Suatu kumpulan/gugusan dari sejumlah obyek (kumpulan obyek yang berbeda). Secara umum himpunan dilambangkan A, B, C, ... Z (huruf capital) Obyek dilambangkan a, b, c, ... z (disebut juga anggota, elemen, atau unsur) Notasi :
- p A p anggota A - A B A himpunan bagian/subset dari B - A B A proper subset dari B - A
= B himpunan A sama dengan B - ingkaran/bukan anggota
Anggota himpunan ditulis di dalam kurung kurawal {} Banyak anggota himpunan A: n(A) Penyajian Himpunan Mendaftar semua anggota menuliskan setiap anggota dalam kurung kurawal misal A = {1,2,3,4,5} Notasi pembentuk himpunanmenuliskan sifat-sifat yang ada pada semua anggota misal B = {x R | 0 < x < 6}
42
RINJANI_STIS
Diagram Venn:
Himpunan Universal dan Kosong Himpunan universal (semesta): himpunan semua obyek yang dibicarakan Notasi: S atau U Himpunan kosong: himpunan yang tidak mempunyai anggota Notasi:
atau { } Contoh U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } A = {0,1,2,3,4} B = {5,6,7,8,9 } C = {0,1,2,3,4 } Ø={} Himpunan Bagian (Subset) A himpunan bagian dari B jika dan hanya jika setiap anggota A adalah anggota B. Notasi: A B aA, aB A dan A A, A adalah himpunan bagian tak sebenarnya dari A. Jika A B tetapi A B, maka A adalah himpunan bagian sebenarnya dari B. Untuk himpunan yang mempunyai n anggota, banyak himpunan bagiannya adalah 2n. Himpunan Sama Himpunan A sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A adalah anggota B dan setiap anggota B adalah anggota A. 43
RINJANI_STIS
Notasi: A = B aA, aB dan bB, bA atau A = B A B dan B A Himpunan yang Ekivalen
Himpunan A ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika banyak anggota A sama dengan banyak anggota B. Notasi: A B n(A) = n(B) Himpunan Saling Lepas Dua himpunan
dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki anggota yang sama. Notasi: A B Operasi pada Himpunan Gabungan (Union) A B = {x | x A atau x B}
Irisan (Intersection) A B = {x | x A dan x B}
Selisih A – B = {x | x A tetapi x B}
Komplemen AC = {x | x U tetapi x A} = U – A 44
RINJANI_STIS
Jumlah Anggota pada Operasi Himpunan Pada himpunan A dan B n( A B) n( A) n( B) n(
A B) Pada himpunan A, B, dan C n( A B C ) n( A) n( B) n(C ) n( A B) n( A C )
n( B C ) n ( A B C )
Pada himpunan A, B, C, dan D n( A B C D) n( A) n( B) n(C ) n( D) n( A B) n( A C ) n( A D) n( B C ) n( B D) n(C D) n( A B C ) n( A B D ) n( A C D ) n(
B C D ) n( A B C D )
Hukum-Hukum Himpunan Idempoten AUA=A A∩A=A
Komutatif AUB=BUA A∩B=B∩A
Asosiatif (A U B) U C = A U (B U C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Distributif A U (B ∩ C) = (A U B)
∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) Hukum Identitas AUØ=A A∩U=A
Hukum null/dominasi A∩Ø=Ø AUU= U
Hukum komplemen A U AC = U, A ∩ AC = Ø, UC = Ø, ØC = U 45
RINJANI_STIS
Hukum Involusi (AC)C = A Hukum De Morgan (A U B)C = AC ∩ BC 2.
(A ∩ B)C = AC U BC
RELASI dan FUNGSI Definisi Relasi Relasi adalah suatu aturan yang menghubungkan anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan lain Contoh relasi
Domain, Kodomain, Range
Relasi dari A ke B: faktor dari Domain (daerah asal) = A = {2,3,4,7} Kodomain (daerah kawan)
= B = {1,2,3,4,5,6} Range (daerah hasil) = himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan
anggota A = {2,3,4,6} Range B 46 RINJANI_STIS
Definisi Fungsi Fungsi adalah relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota suatu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan lain.
f:AB x f(x) Fungsi: xA, yB y = f(x) x variabel bebas, y bergantung pada x berdasarkan aturan tertentu Jenis-Jenis Fungsi Fungsi konstan, fungsi polinomial, fungsi rasional Fungsi genap, f(–x) = f(x) x grafik fungsi simetris terhadap sumbu y Fungsi ganjil, f(–x) = –f(x) x grafik fungsi simetris terhadap titik asal Fungsi nilai mutlak, Ingat definisi nilai mutlak Fungsi floor, x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan x. Operasi pada Fungsi Dua fungsi dapat ditambahkan, dikurangi, dikali, atau dibagi Misal terdapat 2 fungsi, f dan g Domain f + g, f – g, f g adalah irisan domain f dan g 47
RINJANI_STIS
Domain f/g adalah irisan domain f dan g dengan g 0 Komposisi Fungsi Misal f : A → B dan g : B
→ C, maka h : A → C disebut fungsi komposisi, dilambangkan dengan g ο f. f g
x f(x) g(f(x)) h (g ο f)(x) = g(f(x)) (f ο g)(x) = f(g(x)) Domain f ο g adalah x yang merupakan domain g dimana g(x) adalah domain f.
48
RINJANI_STIS
SOAL DAN PEMBAHASAN 1.
Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan- himpunan bagian A serta B jika: U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan: (a) A – B
(d) A U B (g) U – (A U B) (b) B – A (e) A ∩ BC (h) A ∩ (A U B) (c) A ∩ B (f) B ∩ (AC)C (i) A U (A ∩ B)
Jawab: a.
{2,5}
b.
{1,4,8}
c.
{3,7}
d.
{1,2,3,4,5,7,8}
e.
{2,5}
f.
{3,7} huk. Involusi g.
{6}
h.
{2,3,5,7}
i.
{2,3,5,7}
2.
Berapa banyak bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 3 atau 5?
Jawab: Seperti yang telah kita ketahui bahwa bilangan bulat adalah semua bilangan dari -∞ sampai dengan ∞. Jadi A={3,6,9,12,15,…99} himpunan yang habis dibagi 3 (kelipatannya)
49
RINJANI_STIS
B={5,10,15,20,…100} himpunan yang habis dibagi 5 (kelipatannya) U= {1,2,3,4,5,…100}
himpunan semesta Karena yang diminta adalah bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 3 atau 5 A B = {x | x A atau x B}
3.
Dari 120 mahasiswa, 100 orang mengambil paling sedikit satu mata kuliah pilihan, yaitu QC (quality kontrol), LP (linear programming), dan RA (regression analysis). Diketahui: 65 orang mengambil QC, 45 orang mengambil LP, 42 orang mengambil RA, 20 orang mengambil QC dan LP, 25 orang
mengambil QC dan RA, dan 15 orang mengambil LP dan RA. Berapa mahasiswa yang mengambil 3 mata kuliah sekaligus?
Dik: U = 120 (himpunan semesta) ≥ 1 mata kuliah = 100 QC= 65 LP=45
QC+LP=20 QC+RA=25
RA=42 LP+RA=15
Dit: Banyaknya orang yang mengambil 3 mata kuliah? Misalkan dengan X=QC+LP+RA Jawab:
QC=65 LP=45 RA=42
QC=65 - (45-X) LP=45- (35-X) RA=42- (40-X) QC=20+X LP=10+X RA=2+X
Ada 100 orang yang mengambil paling sedikit 1 mata kuliah ada 20 org ygan tidak mengambil mata kuliah apapun. U
=(20+X) + (10+X) + (2+X) + (20-X) + (25-X) + (15- X) + X +20 120
=92+X+20 120
=112+X
120-112= X X=8 50 RINJANI_STIS
4.
Sebuah kelompok penelitian membagi penelitian dalam 4 bidang. Dari 100 orang anggota kelompok, 30 orang meneliti bidang 1, 20 orang bidang 2, bidang 3 dan 4 masing-masing 25 orang. Ada 10 orang masing-masing meneliti 2 bidang. Sebanyak 5 orang masingmasing meneliti 3 bidang. Ada 2 orang yang meneliti keempat bidang. Berapa orang yang berpartisipasi dalam penelitian? Berapa orang yang meneliti bidang 1 saja?
Dik: U = 100 (himpunan semesta) X = 10 (meneliti 2 bidang) masing2x A = 30 (meneliti bidang 1) Y = 5 (meneliti 3 bidang) masing2x B = 20 (meneliti bidang 2) Z = 2 (meneliti 4 bidang) masing2x C = 25 (meneliti bidang 3) D = 25 (meneliti bidang 4) Dit:Banyaknya orang yang berpartisipasi dalam penelitian? Banyaknya org yg meneliti bidang 1 saja? Jawab: untuk menghitung banyaknya orang yang berpartisipasi dalam penelitian, bisa dilihat dari diagram venn yang digambar,
jawabannya ialah 62 orang. untuk
menemukan banyaknya orang yang meneliti bidang 1 saja, juga
bisa dilihat dari diagram venn yang digambar, jawabannya ialah 15 orang.
51
RINJANI_STIS 5.
P adalah himpunan bilangan genap yang kurang dari 25. a. Sebutkan anggota-anggota dari P dalam tanda kurung kurawal. b. Nyatakan P dengan notasi pembentuk himpunan. c. Tentukan n(P).
Jawab: a. P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24} b. P = {x|x<25, x bilangan genap} c. n (P) =12. 6.
Diantara himpunan-himpunan berikut, manakah yang merupakan himpunan kosong? a. himpunan bilangan genap di antara 6 dan 8. b. himpunan bilangan prima diantara 13 dan 19. c. himpunan bilangan cacah yanh kurang dari 0. d. himpunan nama bulan yang berjumlah 32 hari.
Jawab: a. Himpunan bilangan genap diantara 6 dan 8. Urutan bilangan genap = 2,4,6,8,10,...
Diantara 6 dan 8 tidak terdapat bilangan genap melainkan angka7 yaitu bilangan ganjil. Jadi himpunan tersebut adalah himpunan kosong. b. Himpunan bilangan prima diantara 13 dan 19.
Urutan bilangan antara 13 dan 19. Urutan bilangan antara 13 dan 19 adalah 14,15,16,17,18. Angka 17 merupakan bilangan prima. Jadi,himpunan bilangan prima diantara 13 dan 19 adalah{17}, bukan himpunan kosong.
52
RINJANI_STIS
c. Himpunan bilangan cacah yang kurang dari 0. Bilangan cacah yang terkecil adalah 0. Tidak ada bilangan cacah yang kurang dari 0. Jadi, himpunan bilangan cacah yang kurang dari 0 merupakan
himpunan kosong. d. Himpunan nama bulan yang berjumlah hari 32. Jumlah hari dalam sebulan adalah 28,28,30, atau 31. Tidak ada bulan yang memiliki jumlah hari 32.Jadi, himpunan nama bulan yang berjumlah 32 hari merupakan himpunan kosong. 7.
Diketahui P = {a,b,c,d,e}. Tentukan himpunan bagian dari P yang memiliki: a. 2 anggota b. 3 anggota c. 4 anggota
Jawab: a. Himpuanan bagian yang terdiri atas 2 anggota:
{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e}. Himpunan bagian yang memiliki 2 anggota ada 10 buah. b. Himpunan bagian yang terdiri dari 3 anggota:
{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,c,d},{a,c,e},{a,d,e},{b,c,d},{b,c,e},{b,d, e},{c,d,e}. Himpunan bagian yang memiliki 3 anggota ada 10 buah. c. Himpunan bagian yang terdiri dari 4 anggota:
{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},{a,c,d,e},{b,c,d,e} Himpunan bagian yang memiliki 4 anggota ada 5 buah. 8.
Misal f(x) = 1 – x2 , tentukan f(1), f(–5), f(2x), f(1+h) 53
RINJANI_STIS
Jawab: f(1) = 1 – (1)2 = 0 f(-5) = 1 – (-5)2 = -24 f(2x) = 1- (2x)2 =1 – 4x2 f(1+h) = 1 – (1+h)2 =1 – (1+2h+h2) = -h2-2h 9.
Diketahui bahwa f
1 x x 2x , x3 , x3
dan g x x 1 , x1 3 , x1 Tentukan a. f(–4) b. f(4)
c. f(t2+5) d. g(0) e. g(–1) f. g(–3)
Jawab: a. f(-4) = 1/x = -1/x b. f(4) = 2x = 8 c. f(t2+ 5) = 2x = 2 (t2+ 5) = 2t2+ 10 d. g(0) = √
=1
e. g(-1) = √
=0
f. g(-3) = 3 10. Tentukan domain dan range dari fungsi berikut a. f x x 2 b. f x x2 9 x 3 x2 1 d. f x 2 x 1
c. f x 1 x 3 e. f x 5 3 cos 2 x Jawab:
54
a. D= {x |x R}
R={f(x)| f(x) ≥ 0, f(x) R}
b. D={x |x > 3, x ≠ 3, x R}
R={f(x) | f(x) ≠ 0, f(x) R}
c. D= {x | x > 0, x ≠ √ , x R}
R={f(x) | f(x) > 0, f(x) R}
d. D={ x | x R}
R={f(x) | f(x) > 0, f(x) R}
e. D={x | x R}
R={f(x) | f(x) > 0, f(x) R} RINJANI_STIS
11. Bentuk berikut merupakan fungsi atau tidak? a. f x x 3 1 c. xy y x 1, x 1
b. x 2 y 1 d. x 2 y 2 1
Jawab: a. Fungsi b. Fungsi c. Fungsi d. Tidak 12. Tentukan fungsi berikut genap, ganjil atau tidak keduanya x3 8 x b. g x x 2 1
a. f x
c. h x 625 x 4 d. f t t 3
Jawab: a. Fungsi ganjil b. Fungsi ganjil c. Fungsi genap d. Fungsi nilai mutlak (tidak keduanya) 13.
Misal f x x 7 dan g x 2 , x
tentukan
a. f + g, f – g, f g, f2, f/g b. g f dan domainnya c. f g dan domainnya d. g(f(9)) dan f(g(1)) 55
RINJANI_STIS
Jawab: a. f + g = √ f–g=√ f×g=√ f /g=√ b. g o f = g (f(x)) =
√
D={x | x ≥ 0, x ≠ -7, x R} c. f o g = f(g(x)) = √ D={x | x > 0, x ≠ 0, x R} 14. Tentukan f(g(x)) dan g(f(x)) dari a. f x x3 dan g x
1 x 1 dan g x x b. f x x 2 1 x 3
Jawab: a. f(g(x)) = ( g(f(x)) =
√
= 1/x
√
b. f(g(x)) = ( g(f(x)) = 56
)3 = 1/x ) (
=( = ) ( ) )
RINJANI_STIS
LIMIT DAN KONTINUITAS 1.
LIMIT Limit fungsi di satu titik dan limit fungsi di tak hingga merupakan
konsep dasar dalam kalkulus diferensial dan integral yang digunakan secara intensif. Konsep esensial dan strategis dalam kalkulus seperti, turunan, integral tentu, dan integral tak wajar dikonstruksi dengan menggunakan konsep ini. Untuk dapat memahami konsep limit fungsi diperlukan pengetahuan tentang nilai mutlak sebagai ukuran jarak pada garis bilangan,
pertaksamaan sebagai ukuran kedekatan dan berbagai sifat tentang fungsi real sebagai obyeknya.
. -
Dari grafik tersebut, jika x cukup dekat tapi berbeda dengan a maka nilai f(x) mendekati L. ( )=L -
Ditulis : -
Dibaca: limit f(x) untuk x di sekitar a adalah L.
-
( ) = L berarti bahwa untuk tiap ε > 0 yang diberikan (betapun kecilnya), terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian sehingga | ( )
| | 57
asalkan bahwa |
| ( )
|
|
; yakni,
|
RINJANI_STIS Contoh : (
) = -1
Penyelesaian : Ambil ε < 0, pilih δ > 0 ϶ |
|
|(
) ( )|
Pandang pertidaksamaan di sebelah kanan |(
)
|
=|
|
=| ( )|
= | ||
| tulis |
|
Pilih δ, yaitu δ = Bukti resmi : | Ambil ε > 0, pilih δ = , maka |(
)
|=|
|=| ( =2|
Jadi, (
|
