soal matematika Pembahasan Integral (Luas Dan Volume)

1.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 _{dan garis x + y = 6 adalah …} satuan luas. a. 54 b. 32 c. 6 5 20 d. 18 e. 3 2 10

Soal Ujian Nasional Tahun 2007

Kurva y = x2 _{dan garis x + y = 6 ( y = 6 – x )}

Substikan nilai y pada y = x2 _{sehingga didapat : 6 – x = x}2 6 – x = x2

x2_{+ x – 6 = 0 ( a = 1, b = 1, c = –6 )}

Untuk mencari luas pada soal diatas lebih mudah jika dikerjakan menggunakan

rumus luas yang menggunakan bantuan diskriminan. ₂ 6a D D L= . D = b2 _{– 4ac = 1}2 _{– 4 (1) (–6) = 1 + 24 = 25} 6 5 20 6 125 6 ) 5 .( 25 1 . 6 25 25 6 2 = 2 = = = = a D D L

2. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.

a.

2_/ 3 b. 3 c. 3 1 5 d. 3 2 6 e. 9

Soal Ujian Nasional Tahun 2006

Untuk soal diatas cari terlebih dahulu titiik potog kedua kurva. y = x2 _{– 4x + 3 dan y = –x}2 _{+ 6x – 5} x2 _{– 4x + 3 = –x}2 _{+ 6x – 5} x2 _{– 4x + 3 + x}2 _{– 6x + 5 = 0} 2x2 _{– 10x + 8 = 0} 2 ( x2 _{– 5x + 4 ) = 0} 2 ( x – 4 ) ( x – 1 ) = 0

x – 4 = 0 atau x – 1 = 0 x = 4 atau x = 1

Untuk menghitung luas kita gunakan aturan : L =

∫

− b a x g x f( ) ( ) dx L =

∫

− + − − − + 3 1 2 2 _{6 5) ( 4 3)} ( x x x x dx =

∫

− + − − + − 3 1 2 2 _{6x 5 x 4x 3 dx} x =

∫

− + − 3 1 2 _{10 8} 2x x dx = 1 3 8 5 3 2_x3 _{+ x}2 _{− x} − = (1) 5(1) 8(1)} 3 2 { )} 3 ( 8 ) 3 ( 5 ) 3 ( 3 2 {₋ 3 ₊ 2 _{− − −} 3 ₊ 2 ₋ = 5 8} 3 2 { } 24 45 18 {− + − − − + − = 5 8 3 2 24 45 18+ − + − + − = 3 2 6

3. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.

a. 2 1 4 b. 6 1 5 c. 6 5 5 d. 6 1 13 e. 6 1 30

Soal Ujian Nasional Tahun 2005 kurikulum 2004

a. 5 b. 3 2 7 c. 8 d. 3 1 9 e. 3 1 10

Soal Ujian Nasional Tahun 2004

Untuk soal diatas cari terlebih dahulu titiik potog kedua kurva. Substitusikan y = 2x pada y = 8 – x2 2x = 8 – x2 x2 _{+ 2x – 8 = 0} ( x + 4 ) ( x – 2 ) = 0 x + 4 = 0 atau x – 2 = 0 x = –4 atau x = 2 L =

∫

− b a x g x f( ) ( ) dx =

∫

− − 2 0 2_{) (2 ) dx} 8 ( x x =

∫

− − 2 0 2 _{2 dx} 8 x x = 0 2 3 1 8_{x− x}3 _−x2 = (0) (0) } 3 1 ) 0 ( 8 { } ) 2 ( ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 8 { ₋ 3 ₋ 2 _{− −} 3 ₋ 2 = 4 3 8 16− − = 3 1 9

5.

Jika f(x) = ( x – 2 )2 _{– 4 dan g(x) = –f (x) , maka luas daerah yang dibatasi} oleh kurva f dan g adalah … satuan luas.

a. 3 2 10 b. 3 1 21 c. 3 2 22

d. 3 2 42 e. 3 1 45

Soal Ujian Nasional Tahun 2003 f(x) = ( x – 2 )2 _{– 4}

= x2 _{– 4x + 4 – 4}

= x2 _{– 4x ( terbuka keatas )} –f(x) = 4x – x 2 _{( terbuka kebawah )}

Note : Untuk mengetahui bentuk sebuah kurva dapat dilihat pada koefisien x2_, jika positif maka kurva terbuka keatas, dan jika negatif terbuka kebawah.

Batas atas dan bawah didapat dari akar – akar x2 _{– 4x.} x2 _{– 4x = 0} x ( x – 4 ) = 0 x = 0 atau x – 4 = 0 x = 0 atau x = 4 L =

∫

− b a x g x f( ) ( ) dx =

∫

− − − 4 0 2 2_{) ( 4 ) dx} 4 ( x x x x =

∫

− − + 4 0 2 2 _{4 dx} 4x x x x =

∫

− 4 0 2 _dx 2 8x x = 0 4 3 2 4_x2 _{− x}3 _{= (0) }} 3 2 ) 0 ( 4 { } ) 4 ( 3 2 ) 4 ( 4 { 2 ₋ 3 ₋ 2 ₋ 3 = 3 128 64 − = 3 1 21 3 128 64− =

6.

Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y = x2 _{dikuadran I, garis x + y = 2,} dan garis y = 4 adalah …satuan luas

a. 6 1 4 b. 5 c. 6 d. 6 1 6 e. 2 1 7

Soal Ujian Nasional Tahun 2002

Luas Daerah yang dicari adalah yang berwarna merah dan biru, sengaja diberi warna berbeda ( karena memiliki batas yang berbeda ) agar lebih jelas dalam mencari perhitungan

Luas 1 ( daerah berwarna merah ) Fungsi ke – 1 yaitu y = f(x) = 4 Fungsi ke – 2 yaitu y = f(x) = –x + 2 Luas 1 ( daerah berwarna biru ) Fungsi ke – 1 yaitu y = f(x) = 4 Fungsi ke – 2 yaitu y = f(x) = x2

Dari gambar batas antara luas 1 ( merah) dengan luas 2 ( biru ) adalah 1. Ini bisa didapat dari perpotongan antara fungsi y = x2 _{dan y = –x + 2}

x2 _{= –x + 2} x2 _{+ x – 2 = 0} ( x + 2 ) ( x – 1 ) = 0 x + 2 = 0 atau x – 1 = 0 x = –2 atau x = 1 L1 =

∫

− b a x g x f( ) ( ) dx =

∫

− − + 1 0 dx ) 2 ( 4 x =

∫

+ − 1 0 dx 2 4 x =

∫

+ 1 0 dx 2 x = 0 1 2 1 2_{x+ x}2 = 2(1) + ½ (1) = 2+– ½ = 2½ L2 =

∫

− b a x g x f( ) ( ) dx =

∫

− 2 1 2 _dx 4 x = 1 2 3 1 4_{x− x}3

( batas atas 2 diperoleh dari perpotongan y = 4 dan y = x2 ₎ = (1) } 3 1 ) 1 ( 4 { } ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 4 { ₋ 3 _{− −} 3

= 3 2 1 3 7 4 3 1 4 3 8 8 3 1 4 3 8 8 = − − + = − =      − −       − L = L1 + L2 = 6 1 4 3 2 1 2 1 2 + =

7.

Luas daerah yang dibatasi oleh y = x3 _{– 1, sumbu x , x = –1 , dan x = 2} adalah … satuan luas.

a. 4 3 b. 2 c. 4 3 2 d. 4 1 3 e. 4 3 4

Soal Ujian Nasional Tahun 2000

L = L1 + L2

L1 =

∫

− − − 1 1 3 _{1 dx} x

=

₄1 4 1₁ − + − x x

=

( 1) ( 1)} 4 1 { )} 1 ( ) 1 ( 4 1 {₋ 4 _{+ − − −} 4 _{+ −}

₌

₁ 4 1 1 4 1 _{+ + +} −

= 2

L2 =

∫

− 2 1 3 _{1 dx} x

=

1_4x4 _−x12

=

=

(1) (1)} 4 1 { )} 2 ( ) 2 ( 4 1 { 4 _{− −} 4 ₋

₌

₁ 4 1 2 4− − +

=

4 3 2

L =

4 3 4 4 3 2 2+ =

Materi pokok : Volume Benda Putar

8.

Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = – x2 _{+ 4 dan y = – 2x} + 4 diputar 3600 _{mengelilingi sumbu y adalah … satuan volume.}

a.

8

π

b. π

2 13

c.

4

π

d. π 3 8 e. π 4 5

Soal Ujian Nasional Tahun 2007

Cat : Gambar diatas kemudian diputar 3600 _{terhadap sumbu y( kasih masukkan} ya, kalau anda tahu cara menggambar kurva dengan putaran 3600 ₎

Dari gambar sebenarya terlihat titik potong kedua kurva. Kalau melalui perhitungan didapat dari :

y = – x2 _{+ 4} y = – 2x + 4

Substitusikan nilai y, didapat : – 2x + 4 + x2 _{– 4 = 0}

x2 _{– 2x = 0} x ( x – 2 ) = 0 x = 0 atau x = 2

Untuk nilai y, substitusikan nilai x pada y = – 2x + 4 x = 0 y = – 2(0) + 4 = 4

x = 2 y = – 2(2) + 4 = 0

Karena beda diputar terhadap sumbu y, maka terlebih dahulu rubah fungsi y = f(x) menjadi x = f(y). y = – x2 _{+ 4 y = – 2x + 4} y – 4 = – x2 _{y – 4 = – 2x} 4 – y = x2 _{2 – ½ y = x} x = 4−y V =

∫

− b a y g y f 2( ) 2( ) dx π =

∫

− − − 4 0 2 2 _{) dy} 2 1 2 ( ) 4 ( y y π

=

∫

− − − + 4 0 2_{) dy} 4 1 2 4 ( ) 4 ( y y y π =

∫

− + 4 0 2 _{y dy} 4 1 y π = π 0 4 2 1 12 1 _y3 _{+ y}2 − = π π π 3 8 ) 8 3 16 ( } ) 4 ( 2 1 ) 4 ( 12 1 {₋ 3 ₊ 2 _{= − + =}

9.

Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x2 _{+ 1 dan y =} x + 3, diputar mengelilingi sumbu x adalah …satuan volum.

a. π 5 67 b. π 5 107 c. π 5 117 d. π 5 133 e. π 5 183

Soal Ujian Nasional Tahun 2006

Dari gambar sebenarya terlihat titik potong kedua kurva. Kalau melalui perhitungan didapat dari :

y = x2 _{+ 1} y = x + 3

Substitusikan nilai y, didapat : x2 _{+ 1 = x + 3} x2 _{+ 1 – x – 3 = 0} x2 _{– x – 2 = 0} ( x – 2 ) ( x + 1 ) = 0 x = 2 atau x = – 1 V =

∫

− b a x g x f 2( ) 2( ) dx

π

=

∫

− + − + 2 1 2 2 2 _{( 1) dx} ) 3 (x x

π

=

∫

− + + − + + 2 1 2 4 2 _{6 9) ( 2 1) dx} (x x x x π =

∫

− − − − + + 2 1 2 4 2 _{6x 9 x 2x 1) dx} x

π

=

∫

− + + − − 2 1 2 4 _{x 6x 8 dx} x

π

= 1 2 ) 8 3 3 1 5 1 ( 5 3 2 − + + − − x x x x π = ( 1) 3( 1) 8( 1)) 3 1 ) 1 ( 5 1 ( ) 2 ( 8 ) 2 ( 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 5 1 (₋ 5 ₋ 3 ₊ 2 _{+ − − −} 5 _{− −} 3 _{+ −} 2 _{+ −} π = 3 8) 3 1 5 1 ( ) 16 12 3 8 5 32 (− − + + − + + − π = 33) 3 9 5 33 (− − + π = 30) 5 33 (− + π = 30) 5 3 6 (− + π = π 5 2 23 = π 5 117

10.

Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y =

2 1

2x

, garis y = 1₂ x dan garis x = 4 diputar 3600 terhadap sumbu x adalah ….satuan volume. a. π 3 1 23 b. π 3 2 24 c. π 3 2 26 d. π 3 1 27 e. π 3 2 27

Soal Ujian Nasional Tahun 2005

11.

Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 _{dan x + y – 2 = 0, diputar mengelilingi} sumbu x sejauh 3600_{. Volume benda putar yang terjadi adalah …satuan volum.}

a. π 3 2 15 b. π 5 2 15 c. π 5 3 14

d. π 5 2 14 e. π 5 3 10

Soal Ujian Nasional Tahun 2004

y = x2 _{dan x + y – 2 = 0 ( y = 2 – x )}

Substitusi kedua persamaan untuk mendapat titik potongnya. x2 _{= 2– x} x2 _{+ x – 2 = 0} ( x + 2 ) ( x – 1 ) = 0 x = – 2 atau x = 1 V =

∫

− b a x g x f 2( ) 2( ) dx

π

=

∫

− − − 1 2 2 2 2 _{( ) dx} ) 2 ( x x

π

=

∫

− − + − 1 2 4 2 _dx 4 4 x x x

π

= ) 1₂ 5 1 3 1 2 4 ( 2 3 5 − − + − x x x x π = ( 2) )} 5 1 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 4 ( ) ) 1 ( 5 1 ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 4 {( ₋ 2 ₊ 3 ₋ 5 _{− − − −} 2 _{+ −} 3 _{− −} 5 π = )} 5 32 3 8 8 8 ( ) 5 1 3 1 2 4 {( − + − − − − − + π = ) 5 32 3 8 16 5 1 3 1 2 ( + − + + − π = )π 5 3 6 21 ( − = π 5 2 14

12.

Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x

2

+ 1, x = 1 , sumbu x, dan sumbu y diputar 360

0

_{mengelilingi sumbu x}

a. π 15 12 b. 2

π

c. π 15 27 d. π 15 47 e. 4

π

Soal Ujian Nasional Tahun 2003

V =

∫

− b a x g x f 2( ) 2( ) dx π V =

∫

+ − 1 0 2 2 2 _{1) (0) dx} 2 ( x π V =

∫

+ + 1 0 2 4 _{4 1 dx} 4x x π = ₀1 3 4 5 4 5 3       _{x + x +x} π =       _{+ (1) +1} 3 4 ) 1 ( 5 4 5 3 π = π π π 15 47 15 15 20 12 1 3 4 5 4 ₌       + + =       _{+ +}

13.

Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y

= 9 – x

2

_{dan y = 5 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360}

0

_{adalah ….}

a. 4

π

b. π 3 16 c. 8

π

d. 16

π

e. π 3 92

Soal Ujian Nasional Tahun 2002

14.

Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y

= x

2

_{– 1 dan sumbu x dari x=1, x = –1, diputar mengelilingi sumbu x}

sejauh 360

0

_{adalah ….}

a. π 15 4 b. π 15 8 c. π 15 16

d. π 15 24 e. π 15 32

Soal Ujian Nasional Tahun 2001

15.

Volume benda putar yang terjadi bila daerah pada kuadran pertama

yang dibatasi oleh kurva

4 1

2

x

y= −

, sumbu x, sumbu y diputar

mengelilingi sumbu x adalah … satuan volume.

a. π 15 52 b. π 12 16 c. π 15 16 d.

π

e. π 15 12

Soal Ujian Nasional Tahun 2000

Kalau cara yang saya sampaikan masih ada yang belum jelas anda dapat mengirimkan pertanyaan

melalui email ke :

matematika3sma@gmail.com

atau YM

matematika3sma@yahoo.com