4. INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS - Integral Fungsi Kompleks

4. INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS

Seperti halnya dalam fungsi riil, dalam fungsi kompleks juga dikenal istilah integral fungsi kompleks serta sifat-sifatnya. Sifat keanalitikan suatu fungsi dalam suatu lintasan tertutup penting dalam perhitungan integral. Setelah membaca Bab 4, mahasiswa diharapkan dapat :

 Menghitung integral lintasan kompleks.

 Menggunakan teorema Cauchy Goursat dan rumus integral Cauchy dalam perhitungan integral

 Menggunakan turunan fungsi analitik untuk menghitung integral

4.1 Fungsi Kompleks dari Variabel Riil

Misalkan

F(t)

adalah fungsi kompleks dari variabel riil

t

, ditulis

sebagai

F(t) u(t)i v(t)

dengan

u(t)

dan

v(t)

adalah fungsi riil. Jika

) (t

u

dan

v(t)

kontinu pada interval tertutup

a  t b

, maka



_ab F(t) dt 



_ab u(t) dt  i



_ab v(t) dt

.

Sifat-sifat

_1. F t dt b



F t



dt a

b

a







  



 _{( ) Re ( )}

2. F t dt b



F t



dt a

b

a







  



 _{( ) Im ( )}

Im

3. k F t dt k b F t dt

a b

a





( )  ( )

4. F t dt a F t dt

b b

a





( )   ( )

5. F t dt b F t dt

a b

a





( )  ( )

Pembuktian sifat-sifat integral di atas menggunakan sifat-sifat integral fungsi riil.

Bukti sifat 3 :



_ab k F(t) dt 



_ab k[u(t)iv(t)] dt





_ab ku(t)dt 



_ab k iv(t)dt

(sifat integral fungsi riil :





_ab k f(x)dx k _ab f(x)dx

k



_ab u(t)dtk



_ab iv(t)dt







b 





a

b

a iv t dt

dt t u

k ( ) ( )





b

a F t dt

k ( ) (terbukti). □

Bukti sifat 4 :



b 







a

b

a

b

a v t dt i

dt t u dt

t

F( ) ( ) ( )

(sifat integral fungsi riil :





_ab f(x)dx  _ba f(x)dx

)





_ba u(t) dt i



_ba v(t) dt

 





a 





b

a

b v t dt

i dt t

u( ) ( )







a









b u(t) i v(t) dt

 



_ba F(t) dt

(terbukti).

□

4.2 Lintasan

Jika g _dan h _{fungsi bernilai riil dan kontinu dari variabel} t dalam interval tertutup a  t b, maka himpunan titik-titik di bidang xy dapat dinyatakan

dalam bentuk parametrik xg(t), yh(t), a  t b. Oleh karena itu,

himpunan titik-titik dalam bidang kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik.

Definisi

4.1

Kurva di bidang datar merupakan kurva mulus (smooth curve) jhj kurva tersebut dapat dinyakan dengan dua fungsi bernilai riil

xg(t) , yh(t),  t 

sedemikian sehingga g'(t)

dt dx

 dan h'(t)

dt dy

 ada dan kontinu

Contoh

1

Kurva dengan bentuk parametrik

2 3 0

, sin 2 , cos

2    

 t y t t

x merupakan kurva mulus. □

Jika C merupakan kurva mulus dengan bentuk parametrik :

    

g t y h t t

x ( ) , ( ),

maka

 titik pada C yang berpadanan dengan t  disebut titik awal C .

 titik pada C yang berpadanan dengan t  _{disebut titik akhir} C .

Selanjutnya, C disebut lintasan (path) bila C terdiri dari berhingga banyak kurva mulus,

n

C C

C

C  ₁ ₂

dengan C1,C2,,Cn merupakan kurva mulus. Pengertian lintasan ini sangat

penting dalam integral fungsi kompleks karena berperan sebagai selang pengintegralan dalam integral fungsi riil dari satu variabel.

Catatan :

1. C disebut lintasan tertutup jika titik akhir C berhimpit dengan titik awal C.

2. C disebut lintasan terbuka jika titik akhir C tidak berhimpit dengan titik awal C .

3. C disebut lintasan sederhana jika lintasan tidak memotong dirinya sendiri.

4. C disebut lintasan berganda jika lintasan memotong dirinya sendiri.

Contoh

2

1

C C2

C3

a. Lintasan tertutup

C2 1

C C3

b. Lintasan terbuka

c. Lintasan sederhana d. Lintasan berganda

4.1

(

Kurva

Jordan )

1. kurva C .

2. bagian dalam C, ditulis Int(C), yang merupakan himpunan terbuka dan terbatas.

3. bagian luar C, ditulis Ext(C), yang merupakan himpunan terbuka dan tidak terbatas.

Kurva C merupakan batas dari himpunan Int(C) dan

) (C Ext .

□

4.3 Integral Garis

Misalkan kurva mulus C disajikan dengan xg(t), yh(t),

b t

a  

.

g(t) dan h(t) kontinu di a  t b

.

g'(t) dan h'(t) kontinu

di a  t b

. Kurva

C mempunyai arah dari titik awal A(g(a),h(a)) ke titik

akhir B(g(b),h(b))dan P(x,y)suatu fungsi yang terdefinisi di C .

Teorema

4.2

1.

Jika

) , (x y

P kontinu di C, maka



C P(x,y)dx dan



C P(x,y)dy ada dan



_C P(x,y)dx 



_ab P[g(t),h(t)]g'(t)dt



_C P(x,y)dy 



_ab P[g(t),h(t)]h'(t)dt 2.



_ABP(x,y)dx 



_BAP(x,y)dx

3.

Jika P(x, y)_dan Q(x, y) _{kontinu di} C , maka







_C P(x,y)dx



_C Q(x,y)dx



_C P(x,y)dxQ(x,y)dx .

□

Teorema

4.3

Jika P(x,y)dan Q(x,y) serta turunan parsial tingkat pertama kontinu pada seluruh daerah tertutup R yang dibatasi lintasan tertutup C , maka





dxdy

y P x Q dy

Q dx P

R

C







  

 

     

 .

□

Contoh 3

Tentukan integral garis fungsi M(x,y)xy sepanjang lintasan CK dengan

C : garis dari (0,0) ke (2,0) dan K : garis dari (2,0) ke (2,2).

Penyelesaian :

(2,2) C: y0 , 0x2

K K : x2 , 0y 2

Pada kurva C : dy0 _{dan pada kurva K :}

0



(0,0) C (2,0)









 

 



C

K K

C C

dx y x

dx y x M dx

y x M dx

y x M

) (

) , ( )

, ( )

, (





₀2 x dx = 2. □









 

 



K

K K

C C

dy y x

dy y x M dy

y x M dy

y x M

) (

) , ( )

, ( )

, (





₀2 (2y) dx = 6. □

4.4 Integral Lintasan Kompleks

Diberikan lintasan C dalam bentuk parametrik xg(t), yh(t) dengan

b t

a  

.

g(t) dan h(t) kontinu di a  t b

.

g'(t) dan h'(t)

kontinu di a  t b

. Jika

zxiy

, maka titik-titik

z

terletak

C. Arah

pada kurva

C (g(a),h(a)) ke (g(b),h(b))atau dari z



sampai z dengan  (g(a),h(a)) dan  (g(b),h(b)).

Definisi

4.2

Diberikan fungsi f(z)u(x,y)iv(x,y) dengan u dan v fungsi dari t yang kontinu sepotong-potong pada a  t b

.

Integral fungsi f(z) sepanjang lintasan C dengan arah dari





z sampai z _adalah



 







 







b

a f g t ih t g t ih t dt

dz z

f( ) ( ) ( ) '( ) '( )

Sifat-sifat

1.



 







 f z dz dz

z

f( ) ( )

2.



_C k f(z)dz k



_C f(z)dz

3.











_C f(z)g(z) dz _C f(z)dz _C g(z)dz

Contoh 4

Hitung



_ zez2 dz

jika  : garis lurus dari z0 1 ke z1 2i.

Penyelesaian :

1

0 

z z1 2i (0,1) (2,1)

Persamaan garis  _: y 1 _{dan mempunyai bentuk parametrik :}

1 ) (

) (

 

 

t h y

t t g x

Dari (4.1) diperoleh :

i t t h i t g

z ( ) ( ) 

dz



g'(t)ih'(t)



dt 1.dt

Karena 2

) (_{z ze}z

f  maka f



g(t) ih(t)



f(t i) (t i)e(ti)2 

  

 .

Sehingga,









 ₀2 ( ) ( )2 1

2

dt e

i t dz

e

z z t i



t i e t i dt







 ₀2 ( ) ( )2 (gunakan subtitusi : u(ti))



3 4 1



2

1   

 e i e . □

4.5 Pengintegralan Cauchy

Teorema 4.4

( Teorema

Cauchy)

Jika f(z) analitik dan f'(z) kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C , maka



_C f(z)dz 0_.

□

C

f(z) analitik dan f'(z)kontinu

Contoh 4

Misalkan diberikan C sebarang lintasan tertutup dalam bidang kompleks.

1. _{f(z) z}2





C z dz 0

2

.

□ 2. f(z)1





C dz 0

.

□

Teorema 4.5

( Teorema

Cauchy-Goursat)

Jika f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C , maka



_C f(z)dz 0_.

□

C

f(z) analitik

Contoh 5

Diketahui C : z 1_{. Hitunglah}



_C f(z)dz _jika

3 1 ) (

 

z z

f _.

Penyelesaian :

2

) 3 (

1 )

( '

  

z z

f _, f(z) tidak analitik di z3 dan z 3terletak di luar

C . Oleh karena itu, f(z) analitik di dalam dan pada lintasan C,

sehingga 0

) 3 (

1

 



C _z dz . □

Teorema 4.6

(Bentuk lain

Jika fungsi f(z)

analitik di seluruh domain terhubung

sederhana

D

, maka untuk setiap lintasan tertutup

C

di dalam

D

, berlaku





Teorema

Cauchy

Goursat )

Teorema 4.7

(Teorema

Cauchy

Goursat

yang

diperluas)

Diberikan suatu lintasan tertutup C , sedangkan n

C C

C1, 2,, adalah lintasan-lintasan tertutup yang

terletak di interior C sedemikian sehingga C1,C2,,Cn tidak saling berpotongan. Jika fungsi f(z)analitik di dalam daerah tertutup yang terdiri dari titik-titik pada C dan titik-titik di dalam C, kecuali titik-titik interior C1,C2,,Cn , maka











 



C C C Cn

dz z f dz

z f dz

z f dz

z f

1 2

) ( )

( )

( )

(  _.

□

C

C1 f(z) tidak analitik

f(z) analitik

Contoh 6

Hitung





C _z dz

) 3

( , jika C: z2 2.

Penyelesaian :

3 1 ) (

 

z z

f _{tidak analitik di} z3 yang berada di dalam interior C. Dibuat lintasan tertutup C1 di dalam C berpusat di z 3 yaitu

2 1 3 :

1 z 

C . Diperoleh _{z e}it

2 1 3

 , 0t 2 dan dz ₂1 eit dt.

Menurut Teorema Cauchy Goursat yang diperluas,





 



C C _z

dz z

dz

1 ( 3) )

3 (





2

0 2 1 2 1

t i t i

e dt e i

i



₀2 dt

2i. □

4.6 Integral Tak Tentu dan Integral Tentu

Jika fungsi f _{analitik di dalam domain terhubung sederhana D, maka}



 _zz f d

z F

0 ) ( )

(   mempunyai turunan untuk setiap titik

z

di dalam D dengan )

( ) (

' z f z

F  , asalkan lintasan pengintegralan dari z0 ke

z

seluruhnya terletak di

Teorema

4.8

Jika



dan  _{di dalam D}

, maka



  

 f(z)dz F() F()

. □

D



f(z)

analitik



Contoh 7

i i i z dz z i

i 2 2

2 2 1 2 ₂          





.

(Karena f(z)zmerupakan fungsi utuh, maka dapat dibuat sebarang domain terhubung sederhana D yang memuat lintasan pengintegralan dari zi ke

i

z2 ). □

4.7 Rumus Integral Cauchy

Teorema

4.9

(Rumus

Integral

Cauchy )

Jika f(z)

analitik di dalam dan pada lintasan tertutup

C

dan

z0

sebarang titik di dalam

C

, maka





_

C _{z z} dz

z f i z f 0 0 ) ( 2 1 ) ( 

atau

( ) 2 . ( ₀)

0 z f i dz z z z f

C _  



. □

C

z0

f(z)

analitik

Turunan

Fungsi

Analitik



_ 

C _{z z} dz

z f i z f ₂ 0

0 _{( )}

) ( 2 1 ) ( '   ) ( ' . 2 ) ( ) ( 0 2 0 z f i dz z z z f

C _  





_



C _{z z} dz

1.

Hitung





C _z

dz

3 dengan C : z2 2. Penyelesaian :

Diambil : f(z) 1 ( f(z) analitik di dalam dan pada C ) z0 3 di dalam C .

f(z₀) f(3)1

Menggunakan rumus integral Cauchy, diperoleh i i

z f i z

dz

C _3 2 . ( 0)2 .12



. □

2.

Hitung





C _{z z} dz

2

3 _{( 2)} dengan C : z3 2.

Penyelesaian :

Diambil : ( ) 1₃

z z

f  ( f(z) analitik di dalam dan pada C )

z0 2 di dalam C .

'( ) 3₄

z z

f   f'(z0) f'(2)₁₆3 .

Menggunakan turunan fungsi analitik, diperoleh

i i

z f i z

z dz

C 

 

8 3 ) 16

3 .( 1 2 ) ( . ! 1 2 ) 2

( 2 0

3    





. □

4.8 Teorema Morera dan Teorema Lionville

Teorema

4.10

(Teorema

Morera)

Jika f(z) kontinu dalam domain terhubung D dan untuk setiap lintasan tertutup C _dalam D berlaku





C f(z) dz 0, maka f(z) analitik di seluruh D.

□

Teorema

4.11

(Teorema

Lionville)

Jika f(z) analitik dan f(z) _{terbatas di seluruh bidang}

kompleks, maka f(z) adalah suatu fungsi konstan.

□

4.9 Teorema Modulus Maksimum

Jika f(z) analitik dan M nilai maksimum dari f(z) _untuk

z

_{di dalam}

daerah D



z: zz0 r



, dan jika f(z0) M , maka f(z) konstan di seluruh

daerah D. Akibatnya, jika f(z) analitik dan tidak konstan pada D, maka

M z

f( 0) 

.

Prinsip

Modulus

Maksimum

Jika fungsi tak konstan f(z) analitik di z0, maka di setiap

kitar dari z0, terdapat titik

z

dan f(z0)  f(z) .

Teorema

4.12

(Teorema

Modulus

Jika f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C, dan f(z) tidak konstan, maka f(z)

Maksimum)

Teorema

4.13

(Ketaksama

an Cauchy)

Jika f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C : zz0  r, dan f(z) terbatas pada C ,

C z M z

f( )  ,   _maka



, 2 , 1 , 0 , ! )

( ₀  n

r M n z

f n _n

□

.

Ringkasan

Soal-soal

1. Hitung



_ zez2 dz

jika  : kurva _{y x}2 _{dari 0} 0 

z _ke z1 1i.

2. Hitung



C f(z)dz jika

3

) (z z

f  dengan C: setengan lingkaran z 2

dari z 2i ke z 2i .

3. Hitung integral fungsi f(z) sepanjang lintasan tertutup C berikut :

a. ₂

) 4

( ) (

i z

e z z

f

z





 , C : z 1 _{(counterclockwise).}

b.

) 4 ( ) 1 ( )

( _{2 2}

2

 



z z

e z

f

z

, C : _{ellips x}2 _4_y2 _4 _{(counterclockwise).}

c. _{( 1)}2

cos ) 3 ( ) (

   

z

z z

Ln z

f _, C : _{segiempat dengan titik-titik sudut z2}

dan z 2i (counterclockwise).

d. 2

3

) 1 (

3 2 ) (

i z z

z z

f

 



 , C : _{terdiri dari} z 2 (counterclockwise) dan

z 1 _{(clockwiswe).}

e. _{(2 1)}2

sin ) 1 ( ) (

  

z z z z

f _, C : zi 2 (counterclockwise).

f. ₂

) 2 ( ) (

2

i z z

e z

f

z



 , C : _{segiempat dengan titik-titik sudut} z 33i

(counterclockwise) dan z 1 _{(clockwiswe).}

g. ₃

3

) (

sin )

(

i z

z z

z f

 

 , C : _{segitiga dengan titik-titik sudut} z2, z2i