Fungsi Variabel Kompleks

(1)

Fungsi Variabel Kompleks

Oleh

FADLI AZIS

(2)

Sistem Penilaian

• UAS

• UTS

• KUIS

• TUGAS

• KEHADIRAN

(3)

Pokok Bahasan

 Bilangan Kompleks

 Fungsi Elementer

 Fungsi Analitik

 Diferensial Fungsi Kompleks

 Integral Fungsi Kompleks

 Teori Integrasi Cauchy

 Deret Pangkat Kompleks

(4)

BILANGAN KOMPLEKS

(5)

Definisi

Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan kompleks sebagai berikut

Bilangan kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan

) , ( x y z 

y z

x

z  Im  Re

Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan nyata.

kita tuliskan

bagian nyata (real part) dari z

bagian khayal (imaginary part) dari z

(6)

Bilangan Nyata

Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya;

bilangan nyata pecahan ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata yang hanya dapat di angankan seperti . Walaupun hanya dapat diangankan, bilangan ini tetap nyata, nilainya adalah 3,14……., dengan

angka desimal yang tak diketahui ujungnya.

Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu sumbu yang disebut sumbu nyata,

| | | | | | | | -2 -1 0 1 2 3 4 5

m

(7)

Tinjaulahsuatu fungsi y  x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

x

tidak ada nilai y yang nyata untuk x negatif

namun untuk x yang negatif dapat didefinisikan suatu bilangan imajiner (khayal)

1 i

  4 1 4 1 4 2

9 1 9 3

81 9

100 10 dst.

i i

       

    

 

(8)

Kita dapat memandang i sebagai sebuah operator; artinya jika i beroperasi pada bilangan nyata 5 misalnya, kita mendapatkan bilangan imajiner i5 dan jika beroperasi pada bilangan nyata b kita mendapatkan

bilangan imajiner ib

Sumbu tegak tegak lurus pada sumbu-nyata untuk memosisikan bilangan imajiner; sumbu ini disebut sumbu imajiner

bidang sekarang dibatasi oleh sumbu nyata (diberi tanda Re) dan sumbu imajiner (diberi tanda Im); dan disebut bidang kompleks

setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-kompleks (x,,y)

dengan x adalah komponen nyata dan y adalah komponen imajiner-nya

(9)

Pernyataan Bilangan Kompleks

satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyata dan komponen imajiner dan dituliskan

z   a ib

bagian nyata

bagian imajiner bilangan kompleks



a Re

Im

ib

 cos



 a





 sin b

(cos sin )

z 

 

i



disebut argumen disebut modulus



 



 



 ^

a z tan ¹ b arg

2

modulus z   a2 b

2 2

(cos sin )

z  a b



i





^z

^{ }^{a ib}

(10)

CONTOH

Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai

1

3 4

z   i

Sudut dengan sumbu nyata adalah

o 1 tan 1(4/3) 53,1

 ^

Pernyataan z₁ dapat kita tuliskan

 

2 2 o o

1

o o

3 4 cos 53,1 sin 53,1 5 cos 53,1 sin 53,1

z i

i

  

 

(11)

CONTOH

Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai



^o ^o



2

10 cos 20 sin 20

z   i

Pernyataan ini dapat kita tuliskan



^o ^o



2

10 cos 20 sin 20

10(0,94 0,34) 9, 4 3, 4)

z i

i i

 

   

(12)

Kesamaan Bilangan Kompleks

2

2 b

a 



 merupakan nilai mutlak Modulus

Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai  yang sama akan tetapi dengan sudut  yang berbeda; atau sebaliknya mempunyai nilai  sama akan tetapi memiliki  yang berbeda.

Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika mereka mempunyai baik  maupun  yang sama besar.

Dengan kata lain, mereka memiliki bagian nyata dan bagian imajiner yang sama besar..

(13)

Negatif dari Bilangan Kompleks

Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalah nilai negative dari kedua komponennya

z a ib      z a ib

Jika maka

z a ib

  

Re Im

a

ib

z a ib

  

o 

180







(14)

CONTOH

o 1 tan 1(6 /4) 56,3

 ^

o o

2 56,3o 180 236,3



Sudut dengan sumbu nyata

z₁ dapat dinyatakan sebagai

 

2 2 o o

1

o o

4 6 cos56,3 sin 56,3 7, 2 cos56,3 sin 56,3

z i

i

  

 

 

o o o o

1

7, 2 cos(56,3 180 ) sin(56,3 180 ) 7, 2 0,55 0,83 3,96 6

z i

i i

    

    

1

4 6

z   i

Jika ^maka

z

₂

 z

₁

  4 i 6

(15)

Konjugat Bilangan Kompleks

Jika z   a ib maka z   a ib

z a ib

  

Re Im





 jb

a

z a ib

  

zzz

(16)

CONTOH:

5 6

z   i

Jika ^maka

z   5 i 6

Sudut dengan sumbu nyata

o 1

( 6 / 5 ) 50 , 2

tan



 ^

2

o

,



50



^

z dapat dinyatakan sebagai

 

2 2 o o

o o

5 6 cos50, 2 sin 50, 2 7,8 cos 50, 2 sin 50, 2

z i

i

  

 



^o ^o



7,8 cos50, 2 sin 50, 2

z

^

  i

z 5 j6

  

Re Im

z 5 i6

  

(17)

CONTOH:

5 6 z   i

Jika ^maka

z   5 i 6

5 6 z   i 

Re Im

5 6 z   i 

5 6

z   i

Jika ^maka

z   5 i 6

z 5 i 6

  

Re Im

z 5 i 6

  

(18)

Operasi-Operasi Aljabar

(19)

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks

Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan

kompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.

Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner.

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

( ) ( )

z z a ib a ib

a a i b b

    

   

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

( ) ( )

z z a ib a ib

a a i b b

    

   

(20)

CONTOH:

1

2 3 dan

2

3 4 s   i s   i

1 2

(2 3) (3 4)

5 7

s s i i

i

    

 

1 2

(2 3) (3 4)

1 1

s s i i

i

    

 

Diketahui

(21)

Perkalian Bilangan Kompleks

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

( )( ) ( )( )

2

z z a ib a ib

a a ib a ib a b b a a ib a b b

  

   

  

Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kita melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan perkalian komponen per komponen

1 1

2 2

( )( )

z z a ib a ib

a iba iba b a b

   

   

 

2 1

z  z

Jika

Perhatikan:

 

2 2

1 1 1

2 2 2 2 2

z z z a ib

a b a b

   

   

(22)

CONTOH: z

₁

  2 i 3 dan z

₂

  3 i 4

1 2

( )( ) (2 3)(3 4) 6 8 9 12 6 17

z z i i

i i i

  

   

 

CONTOH: z

₁

  2 i 3 dan z

₂

   z

₁

2 i 3

1 1

( )( ) (2 3)(2 3) 4 6 6 9 4 9 13

z z i i

i i

  

   

  

 

²

2 2 2

1 1 1

2 3 4 9 13

z z  z     

(23)

Pembagian Bilangan Kompleks

Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu dikalikan dengan 1

2 2

a ib 1 a ib

 



CONTOH:

z

₁

  2 i 3 dan z

₂

  3 i 4

1

2 2

2

2 3 3 4 (6 12) ( 8 9) 18 1

3 4 3 4 3 4 25 25

z i i i

     

    

  

1 1 1 2 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 2 1

2 2

( ) ( )

z a ib a ib

a a b b i b a b a

a b

 

 

 

  

 

(24)

Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar

(25)

Fungsi Eksponensial Kompleks

Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial ex

y 

merupakan fungsi ekponensial nyata;

y memiliki nilai nyata

Jika z adalah bilangan kompleks

z     i

fungsi eksponensial kompleks didefinisikan

( )

(cos sin ) ;

dengan adalah fungsi eksponensial riil`

z i

e e e i

e

  



 





 

Melalui identitas Euler

e

ⁱ^

 cos   i sin 

fungsi exponensial kompleks dapat kita tuliskan

z i

e  e e

^{ }

(26)

Bentuk Polar

Representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah

z   e

i^







 z z

arg

Re Im







z   e

i^

CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e ^i0,5

Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennya z = 0,5 rad

Bentuk sudut sikunya adalah:

10 (cos 0,5 sin 0,5)

10 (0,88 0, 48) 8,8 4,8

z i

i i

 

    _Re

Im

5

ⁱ0,5

z e

 

rad 5 , 0 10

(27)

CONTOH:

Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ i4

5 4

3 |

| z   

²



²



Modulus

Argumen 0,93 rad

3 tan ¹ 4 







z ^

Representasi polar z = 5e ^i0,93

Re Im

5

ⁱ0,93

z e

 

rad 93 , 0

5

(28)

CONTOH:

Misalkan

z   2 i 0

Modulus ^| ^z ^|^^ ^ ⁴^⁰ ^²

Argumen ^ ^^tan^¹



⁰^/^ ²



^^^ tidak bernilai tunggal

Di sini kita harus memilih  =  rad karena komponen imajiner 0 sedangkan komponen nyata 2

Re Im

2

ⁱ

z  e

^

 2



(29)

CONTOH:

Misalkan

z   0 i 2

Modulus

| z |    0  4  2

Argumen ^ ^^tan ^¹



^ ² ^/ ⁰



^^ ^^/ ²

komponen imajiner 0 komponen nyata 2 Representasi polar adalah

2

ⁱ /2

z  e

^ ^

.

Re Im

2 ⁱ /2

z  e^ ^ 2

 i ^

(30)

Manfaat Bentuk Polar

(31)

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks

Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan pembagian.

1 2

1 2 1 2

( )

1 2

( )( )

i i

i

z z e e

e

 

 

^



1

1 2

2

( )

1 1 1

2 2 2

i

i i

z e

z e e

  



 



 



CONTOH:

Misalkan z₁ = 10 e ^i0,5 dan z₂ = 5 e ^i0,4

0,5 0,4 0,9

1 2

10

ⁱ

5

ⁱ

50

ⁱ

z z  e  e  e

0,5 0,1

1

0,4 2

10 2

5

i i

i

z e

z  e  e

(32)

Konjugat Kompleks

argumen konjugat berlawanan dengan argumen bilangan kompleks asalnya

Re Im

 z   e

ⁱ^

z  e

^ⁱ^

 





   

2

1 2 1 2

1 1

2 2

( )( ) | | atau z z z | z | s s

z z z z

z z

 

  

 

  

   

Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugat bilangan kompleks lainnya adalah sebagai berikut

(33)

CONTOH:

0,5 0,4

1

10

ⁱ

dan

2

5

ⁱ

z  e z  e

0,5 0,5

1 1 2 2

10 10 100 25

i i

z z e e

z z

 







^{1 2}



^0,5 ^0,4 ^0,9 ^0,9

0,5 0,4 0,9

10 5 50 50

10 5 50

i i i i

i i i

z z e e e e

e e e



  

   

       

  

0,5

0,1 0,1

1

0,4 2

0,5

0,1 0,4

10 2 50

5

10 2 5

i

i i

z e

e e

z e

e e

e



 



        

       

 

 

Misalkan