0
4. INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS
Seperti halnya dalam fungsi riil, dalam fungsi kompleks juga dikenal istilah integral fungsi kompleks serta sifat-sifatnya. Sifat keanalitikan suatu fungsi dalam suatu lintasan tertutup penting dalam perhitungan integral. Setelah membaca Bab 4, mahasiswa diharapkan dapat :
Menghitung integral lintasan kompleks.
Menggunakan teorema Cauchy Goursat dan rumus integral Cauchy dalam perhitungan integral
Menggunakan turunan fungsi analitik untuk menghitung integral
4.1 Fungsi Kompleks dari Variabel Riil
Misalkan
F
(t
)
adalah fungsi kompleks dari variabel riil t , ditulis
sebagai
F
(
t
)
u
(
t
)
i
v
(
t
)
dengan
u
(t
)
dan
v
(t
)
adalah fungsi riil. Jika
u
(t
)
dan
v
(t
)
kontinu pada interval tertutup
a
t
b
, maka
b
a b a b av
t
dt
i
dt
t
u
dt
t
F
(
)
(
)
(
)
.
Sifat-sifat
1.F
t
dt
b
F
t
dt
a b a
(
)
Re
(
)
Re
2.F
t
dt
b
F
t
dt
a b a
(
)
Im
(
)
Im
3.k
F
t
dt
k
bF
t
dt
a b a
(
)
(
)
4.F
t
dt
aF
t
dt
b b a
(
)
(
)
5.F
t
dt
bF
t
dt
a b a
(
)
(
)
Pembuktian sifat-sifat integral di atas menggunakan sifat-sifat integral fungsi riil. Bukti sifat 3 :
b
a b ak
u
t
i
v
t
dt
dt
t
F
k
(
)
[
(
)
(
)]
b
a b ak
i
v
t
dt
dt
t
u
k
(
)
(
)
(sifat integral fungsi riil :
b a b ak
f
(
x
)
dx
k
f
(
x
)
dx
b a b au
t
dt
k
i
v
t
dt
k
(
)
(
)
1
b
a b ai
v
t
dt
dt
t
u
k
(
)
(
)
b aF
t
dt
k
(
)
(terbukti). □ Bukti sifat 4 :
b
a b a b av
t
dt
i
dt
t
u
dt
t
F
(
)
(
)
(
)
(sifat integral fungsi riil :
a b b af
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
)
a
b a bv
t
dt
i
dt
t
u
(
)
(
)
a
b a bv
t
dt
i
dt
t
u
(
)
(
)
a
bu
(
t
)
i
v
(
t
)
dt
a bF )
(
t
dt
(terbukti).
□4.2 Lintasan
Jika g dan h fungsi bernilai riil dan kontinu dari variabel
t
dalaminterval
tertutup
a
t
b
, maka himpunan titik-titik di bidang
xy dapat dinyatakandalam bentuk parametrik
x
g
(t
)
,y
h
(t
)
,a
t
b
. Oleh karena itu,
himpunan titik-titik dalam bidang kompleks juga dapat dinyatakan dalam
bentuk parametrik.
Definisi 4.1
Kurva di bidang datar merupakan kurva mulus (smooth curve) jhj kurva tersebut dapat dinyakan dengan dua fungsi bernilai riil
x
g
(
t
)
,
y
h
(
t
),
t
sedemikian sehingga g' t( )dt
dx dan h' t( )
dt
dy ada dan kontinu dalam interval
t
.Contoh 1
Kurva dengan bentuk parametrik2 3 0 , sin 2 , cos 2
t y t tx merupakan kurva mulus. □
Jika C merupakan kurva mulus dengan bentuk parametrik :
g
t
y
h
t
t
x
(
)
,
(
),
maka titik pada C yang berpadanan dengan
t
disebut titik awal C. titik pada C yang berpadanan dengant
disebut titik akhir C.Selanjutnya, C disebut lintasan (path) bila C terdiri dari berhingga banyak kurva mulus,
2
nC
C
C
C
1
2
dengan
C
1,
C
2,
,
C
n merupakan kurva mulus. Pengertian lintasan ini sangat penting dalam integral fungsi kompleks karena berperan sebagai selang pengintegralan dalam integral fungsi riil dari satu variabel.Catatan :
1. C disebut lintasan tertutup jika titik akhir C berhimpit dengan titik awal C. 2. C disebut lintasan terbuka jika titik akhir C tidak berhimpit dengan titik awal C. 3. C disebut lintasan sederhana jika lintasan tidak memotong dirinya sendiri. 4. C disebut lintasan berganda jika lintasan memotong dirinya sendiri.
Contoh 2
C
1C
2C
3 a. Lintasan tertutupC
2 1C
C
3 b. Lintasan terbukac. Lintasan sederhana d. Lintasan berganda
Teorema 4.1
( Kurva Jordan )
Jika C lintasan tertutup sederhana di bidang datar, maka bidang datar itu dibagi oleh C menjadi 3 bagian, yaitu
1. kurva C.
2. bagian dalam C, ditulis
Int
(C
)
, yang merupakan himpunan terbuka dan terbatas.3. bagian luar C, ditulis
Ext
(C
)
, yang merupakan himpunan terbuka dan tidak terbatas.Kurva
C
merupakan batas dari himpunanInt
(C
)
danExt
(C
)
.□
4.3 Integral Garis
Misalkan kurva mulus C disajikan dengan
x
g
(t
)
,y
h
(t
)
,a
t
b
.
)
(t
g
danh
(t
)
kontinu dia
t
b
.
g
' t
(
)
danh
' t
(
)
kontinu dia
t
b
. Kurva
C
mempunyai arah dari titik awalA
(
g
(
a
),
h
(
a
))
ke titik akhirB
(
g
(
b
),
h
(
b
))
dan)
,
(
x
y
3
Teorema 4.2
1. JikaP
(
x
,
y
)
kontinu diC
, maka
C P(x,y)dx dan
C P(x,y)dy ada dan
b a CP
(
x
,
y
)
dx
P
[
g
(
t
),
h
(
t
)
]
g
'
(
t
)
dt
b a CP
(
x
,
y
)
dy
P
[
g
(
t
),
h
(
t
)
]
h
'
(
t
)
dt
2.
B
A A BP
x
y
dx
dx
y
x
P
(
,
)
(
,
)
3. Jika
P
(
x
,
y
)
danQ
(
x
,
y
)
kontinu diC
, maka
C P(x,y)dx C Q(x,y)dx C P(x,y)dx Q(x,y)dx .
□
Teorema 4.3
JikaP
(
x
,
y
)
danQ
(
x
,
y
)
serta turunan parsial tingkat pertama kontinu pada seluruh daerah tertutup R yang dibatasi lintasantertutup C, maka
dx
dy
y
P
x
Q
dy
Q
dx
P
R C
.□
Contoh 3
Tentukan integral garis fungsi
M
(
x
,
y
)
x
y
sepanjang lintasan C K denganC : garis dari (0,0) ke (2,0) dan K : garis dari (2,0) ke (2,2). Penyelesaian :
(2,2)
C
:
y
0
,
0
x
2
KK
:
x
2
,
0
y
2
Pada kurva C :
dy
0
dan pada kurva K :0 dx . (0,0) C (2,0)
C K K C Cdx
y
x
dx
y
x
M
dx
y
x
M
dx
y
x
M
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2 0x
dx
= 2. □
K K K C Cdy
y
x
dy
y
x
M
dy
y
x
M
dy
y
x
M
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
0(
2
y
)
dx
= 6. □4
4.4 Integral Lintasan Kompleks
Diberikan lintasan C dalam bentuk parametrik
x
g
(t
)
,y
h
(t
)
denganb
t
a
.
g
(t
)
danh
(t
)
kontinu dia
t
b
.
g
' t
(
)
danh
' t
(
)
kontinu dib
t
a
. Jika
z
x
i
y
, maka titik-titik z terletak C
. Arahpada kurva C
))
(
),
(
(
g
a
h
a
ke(
g
(
b
),
h
(
b
))
atau dariz
sampaiz
dengan
(
g
(
a
),
h
(
a
))
dan
(
g
(
b
),
h
(
b
))
.Definisi 4.2
Diberikan fungsif
(
z
)
u
(
x
,
y
)
i
v
(
x
,
y
)
denganu
danv
fungsi darit
yang kontinu sepotong-potong padaa
t
b
.
Integral fungsif
(z
)
sepanjang lintasan C dengan arah dariz
sampaiz
adalah
b af
g
t
i
h
t
g
t
i
h
t
dt
dz
z
f
(
)
(
)
(
)
'
(
)
'
(
)
Sifat-sifat
1.
f
z
dz
dz
z
f
(
)
(
)
2.
C C k f(z)dz k f(z)dz 3.
C C C f(z) g(z) dz f(z)dz g(z)dzContoh 4
Hitung
z
e
dz
z2 jika
: garis lurus dari1
0
z
kez
1 2
i
. Penyelesaian :1
0
z
z
1 2
i
(0,1) (2,1)Persamaan garis
:y
1
dan mempunyai bentuk parametrik :1
)
(
)
(
t
h
y
t
t
g
x
,t
[
0
,
2
]
( 4.1 ) Dari (4.1) diperoleh :i
t
t
h
i
t
g
z
(
)
(
)
dz
g
'
(
t
)
i
h
'
(
t
)
dt
1
.
dt
Karenaf
(
z
)
z
e
z2makaf
g
(
t
)
i
h
(
t
)
f
(
t
i
)
(
t
i
)
e
(ti)2. Sehingga,
2
0 ) (1
)
(
2 2dt
e
i
t
dz
e
z
z t i
2t
i
e
tidt
0 ) ( 2)
(
(gunakan subtitusi :u
(
t
i
)
)5
3 4 1
2 1 e i e . □4.5 Pengintegralan Cauchy
Teorema 4.4
( Teorema Cauchy)
Jika
f
(z
)
analitik danf
' z
(
)
kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C, maka
C f(z)dz 0.
□
C
f
(z
)
analitik danf
' z
(
)
kontinuContoh 4
Misalkan diberikan Csebarang lintasan tertutup dalam bidang kompleks. 1.
f
(
z
)
z
2
C z dz 0 2.
□ 2.f
(
z
)
1
C dz 0.
□Teorema 4.5
( Teorema
Cauchy-Goursat)
Jika
f
(z
)
analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C, maka
C f(z)dz 0.□
Cf
(z
)
analitikContoh 5
DiketahuiC
:
z
1
. Hitunglah
C f(z)dz jika 3 1 ) ( z z f . Penyelesaian : 2)
3
(
1
)
(
'
z
z
f
,f
(z
)
tidak analitik di z3 dan z3terletak di luar C.Oleh karena itu,
f
(z
)
analitik di dalam dan pada lintasan C, sehingga0
)
3
(
1
dz
z
C . □Teorema 4.6
(Bentuk lain
Teorema Cauchy
Goursat )
Jika fungsi
f
(z
)
analitik di seluruh domain terhubung
sederhana
D, maka untuk setiap lintasan tertutup
Cdi
dalam
D, berlaku
C f(z)dz 0
. □
Teorema 4.7
(Teorema Cauchy
Diberikan suatu lintasan tertutup C, sedangkan
n
C
C
6
Goursat yang
diperluas)
di interior C sedemikian sehingga
C
1,
C
2,
,
C
n tidak saling berpotongan. Jika fungsif
(z
)
analitik di dalam daerah tertutup yang terdiri dari titik-titik pada C dan titik-titik didalam C, kecuali titik-titik interior
C
1,
C
2,
,
C
n, maka
C C C Cn dz z f dz z f dz z f dz z f 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( .□
CC
1f
(z
)
tidak analitikf
(z
)
analitikContoh 6
Hitung
Cz
dz
)
3
(
, jikaC
:
z
2
2
. Penyelesaian : 3 1 ) ( z zf tidak analitik di z3 yang berada di dalam interior C.
Dibuat lintasan tertutup
C
1 di dalam C berpusat di z 3 yaitu 2 1 3 : 1 z C . Diperoleh it e z 2 1 3 , 0 t2
dan dz eitdt 2 1 .Menurut Teorema Cauchy Goursat yang diperluas,
C Cz
dz
z
dz
1(
3
)
)
3
(
2 0 2 1 2 1 t i t ie
dt
e
i
2 0dt
i
2
i
. □4.6 Integral Tak Tentu dan Integral Tentu
Jika fungsi
f
analitik di dalam domain terhubung sederhana D, maka
z zf
d
z
F
0)
(
)
(
mempunyai turunan untuk setiap titikz
di dalam D dengan)
(
)
(
'
z
f
z
F
, asalkan lintasan pengintegralan dariz
0 kez
seluruhnya terletak didalam D. Jadi
F
(z
)
juga analitik di dalam D.Teorema 4.8
Jika
dan
di dalam D, maka
7
D
f
(z
)
analitik
Contoh 7
i
i
i
z
dz
z
i i2
2
2
2
1
2 2
.
(Karena
f
(
z
)
z
merupakan fungsi utuh, maka dapat dibuat sebarang domain terhubung sederhana D yang memuat lintasan pengintegralan dari z i kei
z 2 ). □
4.7 Rumus Integral Cauchy
Teorema 4.9
(Rumus
Integral
Cauchy )
Jika
f
(z
)
analitik di dalam dan pada lintasan tertutup
Cdan
0
z sebarang titik di dalam
C, maka
Cz
z
dz
z
f
i
z
f
0 0)
(
2
1
)
(
atau
(
)
2
.
(
0)
0z
f
i
dz
z
z
z
f
C
. □
C
z
0f
(z
)
analitik
Turunan
Fungsi
Analitik
Cz
z
dz
z
f
i
z
f
2 0 0)
(
)
(
2
1
)
(
'
(
)
2
.
'
(
)
)
(
0 2 0z
f
i
dz
z
z
z
f
C
Cz
z
dz
z
f
i
z
f
3 0 0)
(
)
(
2
!
2
)
(
''
2
!
.
''
(
)
2
)
(
)
(
0 3 0z
f
i
dz
z
z
z
f
C
C n ndz
z
z
z
f
i
n
z
f
1 0 0)
(
)
(
2
!
)
(
!
.
(
)
2
)
(
)
(
0 1 0z
f
n
i
dz
z
z
z
f
n C n
Contoh 8
1. Hitung
C z dz 3 denganC
:
z
2
2
. Penyelesaian :Diambil :
f
(
z
)
1
(f
(z
)
analitik di dalam dan pada C)z
0
3
di dalam C.8
f
(
z
0)
f
(
3
)
1
Menggunakan rumus integral Cauchy, diperoleh
i i z f i z dz C 32
. ( 0)2
.12
. □ 2. Hitung
Cz
z
dz
2 3)
2
(
denganC
:
z
3
2
. Penyelesaian : Diambil : ( ) 13 z zf (
f
(z
)
analitik di dalam dan pada C)z
0
2
di dalam C. '( ) 34 z z f
16 3 ) 2 ( ' ) ( ' z0 f f .Menggunakan turunan fungsi analitik, diperoleh
i
i
z
f
i
z
z
dz
C
8
3
)
16
3
.(
1
2
)
(
.
!
1
2
)
2
(
2 0 3
. □4.8 Teorema Morera dan Teorema Lionville
Teorema 4.10
(Teorema Morera)
Jika
f
(z
)
kontinu dalam domain terhubung D dan untuksetiap lintasan tertutup C dalam D berlaku
C f(z) dz 0, maka
f
(z
)
analitik di seluruh D.□
Teorema 4.11
(Teorema
Lionville)
Jika
f
(z
)
analitik danf
(z
)
terbatas di seluruh bidang kompleks, makaf
(z
)
adalah suatu fungsi konstan.□
4.9 Teorema Modulus Maksimum
Jika
f
(z
)
analitik dan M nilai maksimum darif
(z
)
untukz
di dalam daerahD
z
:
z
z
0
r
, dan jikaf
(
z
0)
M
, makaf
(z
)
konstan di seluruh daerah D. Akibatnya, jikaf
(z
)
analitik dan tidak konstan pada D, makaM
z
f
(
0)
.Prinsip Modulus
Maksimum
Jika fungsi tak konstan
f
(z
)
analitik diz
0, maka di setiapkitar dari
z
0, terdapat titikz
danf
(
z
0)
f
(
z
)
.Teorema 4.12
(Teorema
Modulus
Maksimum)
Jika
f
(z
)
analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C, danf
(z
)
tidak konstan, makaf
(z
)
mencapai nilai maksimum di suatu titik pada C, yaitu pada perbatasan daerah itu dan tidak di titik interior.□
9
Teorema 4.13
(Ketaksamaan
Cauchy)
Jika
f
(z
)
analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhanaC
:
z
z
0
r
, danf
(z
)
terbatas pada C,C
z
M
z
f
(
)
,
maka ( 0) ! ,n0,1,2, r M n z fn n□
.Ringkasan
Sifat keanalitikan fungsi kompleks di dalam dan pada suatu lintasan tertutup merupakan hal yang harus diperhatikan dalam perhitungan integral fungsi kompleks.
10
Soal-soal
1. Hitung
z
e
dz
z2
jika
: kurvay
x
2 dariz
0
0
kez
11
i
. 2. Hitung
C f(z)dz jika
3
)
(
z
z
f
dengan C: setengan lingkaranz
2
darii
z2 ke z2i .
3. Hitung integral fungsi
f
(z
)
sepanjang lintasan tertutup C berikut :a. 2
)
4
(
)
(
i
z
e
z
z
f
z
,C
:
z
1
(counterclockwise). b.)
4
(
)
1
(
)
(
2 2 2
z
z
e
z
f
z ,C
:
ellipsx
2 y
4
2
4
(counterclockwise). c. 2)
1
(
cos
)
3
(
)
(
z
z
z
Ln
z
f
,C
:
segiempat dengan titik-titik sudut z 2 danz
2
i
(counterclockwise). d. 2 3)
1
(
3
2
)
(
i
z
z
z
z
f
,C
:
terdiri dariz
2
(counterclockwise) dan
z
1
(clockwiswe). e. 2)
1
2
(
sin
)
1
(
)
(
z
z
z
z
f
,C
:
z
i
2
(counterclockwise). f. 2 ) 2 ( ) ( 2 i z z e z f z ,
C
:
segiempat dengan titik-titik sudutz
3
3
i
(counterclockwise) dan
z
1
(clockwiswe).g. 3 3