Integral Fungsi Kompleks

4. INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS

4. INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS

Seperti halnya dal

Seperti halnya dalam fungsi riilam fungsi riil, , dalam fungsi kompldalam fungsi kompleks juga dikenal eks juga dikenal istilahistilah integral fungsi kompleks serta sifat-sifatnya. Sifat keanalitikan suatu fungsi dalam integral fungsi kompleks serta sifat-sifatnya. Sifat keanalitikan suatu fungsi dalam suatu lintasan

suatu lintasan tertutup penting tertutup penting dalam perhitungan dalam perhitungan integral. integral. Setelah membaca Setelah membaca BabBab 4, mahasiswa diharapkan dapat :

4, mahasiswa diharapkan dapat : 

 Menghitung integral lintasan kompleks.Menghitung integral lintasan kompleks. 

 MenggMenggunakaunakan n teoreteorema ma aucauchy hy !oursa!oursat t dan rumus dan rumus inteintegral auchygral auchy dalam perhitungan integral

dalam perhitungan integral 

 Menggunakan turunan fungsi analitik untuk menghitung integralMenggunakan turunan fungsi analitik untuk menghitung integral

4.1

4.1 Fungsi

Fungsi Kompleks d!i

Kompleks d!i "

"!i#el Riil

!i#el Riil

Misalkan

Misalkan

 F  F ((t t ))

_{adalah fungs}

_ada

_{lah fungsi}

_{i kom}

_komple

_pleks

_{ks dar}

_dari

_{i "ar}

_"ariab

_iabel

_{el rii}

_riill

t t 

  , ditulis

  , ditulis

seb

sebaga

agaii

 F  F ((t t ))

=

=

uu((t t ))

+

+

ii vv((t t ))

  _de

  _denga

_ngan

_n

uu((t t ))

  dan

  dan

vv((t t ))

  _ad

  _adalah

_{alah fung}

_fungsi

_{si riil.}

_{riil. #ika}

_#ika

))

((t t  u

u

 _dan

 _dan

vv((t t ))

 _{kontinu pada inter"al tertutup}

 _{kontinu pada inter"al tertutup}

aa

≤

≤

t t 

≤

≤

bb

_{, maka}

_{, maka}

∫

∫

bb

=

=

∫

∫

+

+

∫ 

∫ 

a a b b a a b b a a vv t t  dt dt  ii dt  dt  t  t  u u dt  dt  t  t   F   F (( )) (( )) (( ))

..

Sifat-sifat

Sifat-sifat

_{$.$.  F  F  t t  dt dt}  bb

_{( (}

 _{F  F  t t} 

₎₎

_dt dt  a a b b a a

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

 

 

=

=

 

 

 

 



 

 

 

 

_{(( )) ReRe (( ))} Re Re

%.  F  t  dt  b

(

 F  t 

)

dt  a b a

∫ 

∫ 

 

_ 

 

=



 

 

_{( ) Im ( )} Im &. k  F  t  dt  k  b  F  t  dt  a b a

∫ 

∫ 

( )

=

( ) 4.  F  t  dt  a  F  t  dt  b b a

∫ 

∫ 

( )

=

−

( ) '.  F  t  dt  b  F  t  dt  a b a

∫ 

∫ 

_{( )} = _{( )}

Pembuktian sifat-sifat integral di atas menggunakan sifat-sifat integral fungsi riil. Bukti sifat 3 :

∫

b

=

∫ 

+

a b a k  u t  iv t  dt  dt  t   F  k  ( ) [ ( ) ( )]

∫

+

∫ 

=

b a b a k  iv t  dt  dt  t  u k  ( ) ( )

(sifat integral fungsi riil :

∫ 

∫ 

=

b a b a k   f  ( x)dx k    f  ( x)dx

∫ 

∫ 

+

=

b a b a u t  dt  k  iv t  dt  k  ( ) ( )

∫

+

∫ 

=

b a b a iv t  dt  dt  t  u k  ( ) ( )

∫ 

=

b a  F  t  dt  k  ( ) (terbukti). □ Bukti sifat 4 :

∫

b

=

∫

+

∫ 

a b a b a v t  dt  i dt  t  u dt  t   F ( ) ( ) ( )

(sifat integral fungsi riil :

∫ 

∫ 

=

−

a b b a   f  ( x)dx   f  ( x)dx

)

∫

−

∫ 

−

=

a b a b v t  dt  i dt  t  u( ) ( )

∫

+

∫ 

−

=

a b a b v t  dt  i dt  t  u( ) ( )

[

]

∫ 

+

−

=

a b u(t ) i v(t ) dt 

∫ 

−

=

a b  F (t ) dt 

  (terbukti).

□

4.$ Lin%sn

Jika

 g 

 dan h  fungsi bernilai riil dan kontinu dari variabel

t 

 dalam

inter"al

tertutup

a

≤

t 

≤

b

_{, maka himpunan titik-titik di bidang}

 xy

  _dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik  x

 =

 g (t ),  y

=

h(t ), a

≤

t 

≤

b

_{. *leh}

karena itu, himpunan titik-titik dalam bidang kompleks juga dapat

dinyatakan dalam bentuk parametrik.

Denisi

4.1

Kurva di bidang datar merupakan kurva mulus (smooth curve) jhj

kurva tersebut dapat dinyakan dengan dua fungsi bernilai riil β  α ≤ ≤ = = _{g t   y h t  t}   x ( ) , ( ), sedemikian sehingga  g '(t ) dt  dx

₌

  dan h'(t ) dt  dy

₌

dalam interval α ≤ t ≤β _.

Contoh

1

Kurva dengan bentuk parametrik

2 3 0 , sin 2 , cos 2

=

≤

≤

π 

=

t   y t  t 

 x merupakan kurva mulus. □

Jika C  merupakan kurva mulus dengan bentuk parametrik :

β  α 

≤

≤

=

=

 g t   y h t  t   x ( ) , ( ), maka

• titik pada C  yang berpadanan dengan

t 

=α  disebut titik aal C . • titik pada C  yang berpadanan dengan t = β  disebut titik akhir C .

!elanjutnya" C  disebut lintasan ( path) bila C  terdiri dari berhingga banyak kurva mulus" n C  C  C  C = ₁ + ₂ +_+

dengan C 1 ,C 2 ,,C n  merupakan kurva mulus. Pengertian lintasan ini sangat penting dalam integral fungsi kompleks karena berperan sebagai selang pengintegralan dalam integral fungsi riil dari satu variabel.

Catatan :

#. C  disebut lintasan tertutup jika titik akhir C  berhimpit dengan titik aal C .

$. C  disebut lintasan terbuka jika titik akhir C  tidak berhimpit dengan titik aal C .

%. C   disebut lintasan sederhana jika lintasan tidak memotong dirinya sendiri.

&. C  disebut lintasan berganda jika lintasan memotong dirinya sendiri.

Contoh

2

C 1 C 2 3 C  a. 'intasan tertutup 2 C  1 C  C 3 b. 'intasan terbuka

. 'intasan sederhana d. 'intasan berganda

 Teorema

4.1

(

Kurva

 Jordan )

Jika C  lintasan tertutup sederhana di bidang datar" maka bidang datar itu dibagi oleh C  menjadi % bagian" yaitu

#. kurva C .

$. bagian dalam C " ditulis  Int (C )_{" yang merupakan}

himpunan terbuka dan terbatas.

%. bagian luar C " ditulis  Ext (C )" yang merupakan himpunan terbuka dan tidak terbatas.

Kurva C  merupakan batas dari himpunan  Int (C ) _dan )

(C   Ext  .

+

4.& In%eg!l G!is

isalkan kurva mulus C  disajikan dengan  x

 =

 g (t ),  y

=

h(t ),

b t 

a

≤

≤

_.

 g (t ) _dan h(t ) kontinu di a

≤

t 

≤

b

_.

 g '(t ) _dan h'(t ) _kontinu

di a

≤

t 

≤

b

_{. ur"a}

_{C  mempunyai arah dari titik aal}  A( g (a),h(a)) _{ke titik}

akhir  B( g (b),h(b))dan  P ( x, y) suatu fungsi yang terdefinisi di C .

 Teorema

4.2

$. #ika  P ( x, y) kontinu di C " maka

∫ 

C   P ( x, y)dx dan

∫ 

C   P ( x, y)dy ada dan

∫ 

∫ 

=

b a C   P ( x, y)dx  P [ g (t ),h(t )] g '(t )dt 

∫ 

∫ 

= b a C  P ( x, y)dy  P [ g (t ),h(t )]h'(t )dt  %.

∫

 _A B P ( x, y)dx = −

∫ 

 _B A P ( x, y)dx

&. #ika  P ( x,y)dan Q( x, y) kontinu di C " maka

{ }

∫

+

∫

=

∫ 

+

C  P ( x, y)dx C Q( x, y)dx C   P ( x, y)dx Q( x, y)dx

.

+

 Teorema

4.3

#ika  P ( x, y) dan Q( x,y) serta turunan parsial tingkat pertama kontinu pada seluruh daerah tertutup

 R

 yang dibatasi lintasan tertutup C , maka

{

}

dxdy  y  P   x Q dy Q dx  P   R C 

∫∫ 

∫ 













∂

∂

−

∂

∂

=

+

_.

₊

Contoh 3

*entukan integral garis fungsi  M ( x, y) = x+ y sepanjang lintasan C 

 +

 K  dengan

Penyelesaian :

  ($"$) C :  y =0 , 0 ≤ x ≤2

 K 

 K : x = 2 , 0≤ y ≤ 2

Pada kurva C  : dy = 0 _{dan pada kurva}

 _K 

 _:

0

=

dx .   (+"+) C   ($"+)

∫ 

∫ 

∫

∫ 

+ = + = + C   K   K  C C  dx  y  x dx  y  x  M  dx  y  x  M  dx  y  x  M  ) ( ) , ( ) , ( ) , (

∫ 

= 2 0  x dx , $. □

∫ 

∫ 

∫

∫ 

+ = + = +  K   K   K  C C  dy  y  x dy  y  x  M  dy  y  x  M  dy  y  x  M  ) ( ) , ( ) , ( ) , (

∫ 

+

=

2 0 (2  y) dx , . □

4.4 In%eg!l Lin%sn Kompleks

iberikan lintasan C  dalam bentuk parametrik  x

 =

 g (t ),  y

=

h(t )  dengan

b t 

a

≤

≤

_.

 g (t ) _dan h(t ) _{kontinu di} a

≤

t 

≤

b

_.

 g '(t ) _dan h'(t )

kontinu di a

≤

t 

≤

b

_{. #ika}

 z = x+i y

_{, maka titik-titik}

 z 

 _terletak

_{C . /rah}

pada kur"a

C  ( g (a),h(a)) _ke ( g (b),h(b))_{atau dari}  z =α   sampai  z = β 

dengan α 

=

( g (a),h(a)) dan β 

=

( g (b),h(b)).

Denisi

4.2

iberikan fungsi   f  ( z )

=

u( x, y)

+

iv( x, y)  _dengan

u

  _dan

v

fungsi dari

t 

yang kontinu sepotong-potong pada a

≤

t 

≤

b

_.

ntegral fungsi   f  ( z ) sepanjang lintasan C   dengan arah dari

α  =  z   sampai  z = β  _adalah

[

]

{ }

∫

β 

=

∫ 

+

+

α  b a   f   g  t  ih t   g  t  ih t  dt  dz   z    f  ( ) ( ) ( ) '( ) '( )

Sifat-sifat

_#.

_∫

β 

=

−

_∫ 

α  α  β    f    z  dz  dz   z    f  ( ) ( ) $.

∫ 

C  k   f  ( z )dz 

=

k 

∫ 

C    f  ( z )dz  %. [ ]

∫

∫ 

∫ 

+

=

+

C C  C    f  ( z )  g ( z ) dz    f  ( z )dz   g ( z )dz 

Contoh 4

0itung

∫ 

_γ    z ez  dz 

2

 jika

γ  

: garis lurus dari  z ₀ =1 ke  z ₁

=

 2

+

i. Penyelesaian :

1

0 =

 z   z ₁ = 2+i (+"#) ($"#)

Persamaan garis

γ  

 :  y

=

1 _{dan mempunyai bentuk parametrik :}

1 ) ( ) ( = = = = t  h  y t  t   g   x " t 

∈

[0,2] ( &.# ) ari (&.#) diperoleh :

i t  t  h i t   g   z 

=

( )

+

( )

=

+

{

 g  t  ih t 

}

dt  dt  dz 

=

'( )

+

'( )

=

1. Karena   f  ( z )= z ez 2 maka

[

]

( )2 ) ( ) ( ) ( ) (t  ih t    f  t  i t  i e t  i  g    f  

+

=

+

=

+

+ .   !ehingga"

∫ 

∫ 

₌

2

₊

+ 0 ) ( 1 ) ( 2 2 dt  e i t  dz  e  z   z  t  i γ   dt  e i t  t  i

∫ 

₊

+

=

2 0 ) ( 2 ) ( _{(gunakan subtitusi :} u

=

(t 

+

i))

[

3 4 1

]

2 1 +

₋

−

=

_e i _e  . □

4.' Pengin%eg!ln (u)*+

 Teorema 4.4

( Teorema

Cauch)

#ika   f  ( z )  analitik dan   f  '(z )   kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C , maka

∫ 

_C   f  ( z )dz 

=

0_.

₊

C 

) ( z 

  f    analitik dan   f  '(z ) kontinu

Contoh 4

isalkan diberikan C sebarang lintasan tertutup dalam bidang kompleks.  #.   f  ( z ) = z 2

∫ 

_C   z 2 dz 

=

0

.

□  $.   f  ( z ) =1

∫ 

_C  dz = 0

_.

_□

 Teorema 4.!

( Teorema

Cauch-"oursat)

#ika   f  ( z ) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C , maka

∫ 

_C   f  ( z )dz 

=

0.

+

C  ) ( z    f    analitik

Contoh !

iketahui C :  z  =1_{. /itunglah}

∫ 

C    f  ( z )dz  jika 3 1 ) (

−

=

 z   z    f   . 0enyelesaian :

2 ) 3 ( 1 ) ( '

−

−

=

 z   z 

  f   _,   f  ( z )  _{tidak analitik di  z} 

=

_{3  dan  z} 

=

_{3terletak di luar}

C . *leh karena itu,   f  ( z ) analitik di dalam dan pada lintasan C ,

sehingga 0 ) 3 ( 1

₌

−

∫ 

dz   z  C  . □

 Teorema 4.#

($entu% &ain

 Teorema

Cauch

"oursat )

#ika fungsi   f  ( z )

  analitik di seluruh domain terhubung

sederhana

 D

, maka untuk setiap lintasan tertutup

C 

di dalam

 D

, berlaku

∫ 

C    f  ( z )dz 

=

0

. +

 Teorema 4.'

(Teorema

Cauch

"oursat

an

dier&uas)

iberikan suatu lintasan tertutup C , sedangkan

n

C  C 

C 1 , 2 ,, adalah lintasan-lintasan tertutup yang

terletak di interior C  sedemikian sehingga C 1 ,C 2 ,,C n

tidak saling berpotongan. #ika fungsi   f  ( z )analitik di dalam

daerah tertutup yang terdiri dari titik-titik pada C  dan

titik-titik di dalam C , kecuali titik-titik interior C 1 ,C 2 ,,C n

, maka

∫

=

∫

+

∫

+

+

∫

 

C C C Cn   dz   z    f   dz   z    f   dz   z    f   dz   z    f   1 2 ) ( ) ( ) ( ) (  .

+

C  1 C    f  ( z ) tidak analitik ) ( z    f    analitik

Contoh #

/itung

∫ 

_C 

₋

 z  dz  ) 3 (  , jika C :  z − 2 = 2. Pen+elesin , 3 1 ) (

−

=

 z   z 

  f   tidak analitik di  z 

=

3 yang berada di dalam interior C .

ibuat lintasan tertutup C ₁ di dalam C  berpusat di  z 

=

3  yaitu

2 1 3 : 1  z 

−

=

C  . iperoleh  z  eit  2 1 3

 +

=

_, 0

≤

 t 

≤

2π    dan dz  eit  dt  2 1

=

_.

Menurut 1eorema auchy !oursat yang diperluas,

∫

=

∫ 

₋

−

C C   _z  dz   z  dz  1 ( 3) ) 3 (

∫ 

=

2π  0 2 1 2 1 t  i t  i

e

dt 

e

i

∫ 

=

2π  0 dt  i i π   2 = _{. □}

4.- In%eg!l Tk Ten%u dn In%eg!l Ten%u

#ika fungsi   f  _{analitik di dalam domain terhubung sederhana}

 _D

_{, maka}

∫ 

=

z   z    f   d   z   F  0 ) ( )

( ξ  ξ  mempunyai turunan untuk setiap titik

 z 

 di dalam

 D

 dengan

) ( ) (

'  z    f   z 

 F  = , asalkan lintasan pengintegralan dari  z 0 ke

 z 

 seluruhnya terletak di dalam

 D

. #adi  F ( z ) juga analitik di dalam

 D

.

 Teorema 4.*

Jika α   _{dan β  di dalam}

 _D

_{, maka}

∫ 

β 

=

−

α    f  ( z )dz   F (β ) F (α )

. +

 D

α    _f  ( z )

 _analitik

β 

Contoh '

i i i  z  dz   z  i i 2 2 2 2 1 2 ₂

+

=

+









=

∫ 

+ .

(Karena   f  ( z )

=

 z _{merupakan fungsi utuh" maka dapat dibuat sebarang domain} terhubung sederhana

 D

yang memuat lintasan pengintegralan dari

 z 

=

i

_ke

i

 z 

=

 2

+

). □

4. Rumus In%eg!l (u)*+

 Teorema

4.+

(,umus

ntera&

Cauch )

#ika   f  ( z )

  analitik di dalam dan pada lintasan tertutup

C 

dan

 z 0

 sebarang titik di dalam

C 

, maka

∫ 

₋

=

C   _{z   z}  dz   z    f   i  z    f   0 0 ) ( 2 1 ) ( π 

atau

) ( . 2 ) ( 0 0  z    f   i dz   z   z   z    f   C 

−

=

π 

∫ 

. +

C  0  z    f  ( z )

 _analitik

 Turunan

unsi

/na&iti%

∫ 

₋

=

C   _{z   z}  dz   z    f   i  z    f   ₂ 0 0 ) ( ) ( 2 1 ) ( ' π  

⇒

) ( ' . 2 ) ( ) ( 0 2 0  z    f   i dz   z   z   z    f   C  π  

=

−

∫ 

∫ 

₋

=

C   _{z   z}  dz   z    f   i  z    f   ₃ 0 0 ) ( ) ( 2 ! 2 ) ( ' ' π   ⇒ ) ( ' ' . ! 2 2 ) ( ) ( 0 3 0  z    f   i dz   z   z   z    f   C  π  

=

−

∫ 



∫ 

₋

+

=

C  n n dz   z   z   z    f   i n  z    f   ₁ 0 0 ) ( ) ( 2 ! ) ( π   ⇒ ) ( . ! 2 ) ( ) ( 0 1 0  z    f   n i dz   z   z   z    f   n C  n

π 

=

−

∫ 

+

Contoh *

#. 0itung

∫ 

−

C   _z  dz  3  dengan : 2 2 = −  z  C  _. Penyelesaian :

iambil :   f  ( z ) =1 ₍   f  ( z ) _{analitik di dalam dan pada C )}

3 0

=

 z   di dalam C . 1 ) 3 ( ) ( z ₀ = f   =   f  

enggunakan rumus integral 1auhy" diperoleh

i i  z    f   i  z  dz  C 

−

₃

=

2π  . ( 0)

=

2π  .1

=

2π 

∫ 

. □ $. 0itung

∫ 

_C 

₋

 z   z  dz  2 3 ) 2 (  dengan C :  z −3 = 2. Penyelesaian : iambil : ( ) 1₃  z   z 

 f  =  (   f  ( z ) analitik di dalam dan pada C )

2 0 =  z   di dalam C . 4 3 ) ( '  z   z    f  

=

−

⇒ 16 3 ) 2 ( ' ) ( '  z ₀

=

f  

=

−

  f   .

enggunakan turunan fungsi analitik" diperoleh

i i  z    f   i  z   z  dz  C  π  π  π  8 3 ) 16 3 .( 1 2 ) ( . ! 1 2 ) 2 ( 2 0 3

₋

=

=

−

=

−

∫ 

. □

4./ Teo!em Mo!e! dn Teo!em Lion0ille

 Teorema

4.10

(Teorema

orera)

#ika   f  ( z )  kontinu dalam domain terhubung

 D

  dan untuk setiap lintasan tertutup C   dalam

 D

  berlaku

∫ 

=

C   f  ( z ) dz  0, maka   f  ( z ) analitik di seluruh

 D

.

+

 Teorema

4.11

(Teorema

ionvi&&e)

Jika   f  ( z ) analitik dan   f  ( z ) _{terbatas di seluruh bidang}

4. Teo!em Modulus Mksimum

Jika   f  ( z ) _{analitik dan  M  nilai maksimum dari}   f  ( z )  _untuk

 z 

 _{di dalam} daerah  D =

{

 z :  z − z ₀ ≤r 

}

_{" dan jika}   f  ( z 0) = M  " maka   f  ( z ) konstan di seluruh

daerah

 D

. /kibatnya" jika   f  ( z ) analitik dan tidak konstan pada

 D

" maka

 M   z    f  ( 0) < .

rinsi

odu&us

a%simum

#ika fungsi tak konstan   f  ( z ) analitik di  z 0, maka di setiap

kitar dari  z 0, terdapat titik

 z 

 dan   f  ( z 0) <   f  (z ) .

 Teorema

4.12

(Teorema

odu&us

a%simum)

#ika   f  ( z ) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C " dan   f  ( z ) _{tidak konstan" maka}   f  ( z ) menapai nilai maksimum di suatu titik pada C " yaitu pada perbatasan daerah itu dan tidak di titik interior.

+

 Teorema

4.13

(Keta%samaa

n Cauch)

#ika   f  ( z ) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C :  z − z ₀ = r _{" dan}   f  ( z ) _{terbatas pada C "}

C   z   M   z    f  ( ) ≤ , ∀ ∈   _maka  , 2 , 1 , 0 , ! ) ( ₀

≤

n

=

r   M  n  z    f  n _n

+

.

,in%asan

!ifat keanalitikan fungsi kompleks  di dalam dan pada suatu lintasan tertutup

merupakan hal yang harus diperhatikan dalam perhitungan integral fungsi

Sol2sol

#. 0itung

∫ 

_γ   z ez 2 dz  _jika

γ  

_{: kurva} 2

 x

 y =  dari  z ₀ =0 _ke  z ₁

=

1

+

i. $. 0itung

∫ 

_C    f  ( z )dz  _jika 3

) ( z  z 

  f  

=

 dengan C : setengan lingkaran  z  = 2

dari  z 

=

−

2i ke  z 

=

2i .

%. 0itung integral fungsi   f  ( z ) _{sepanjang lintasan tertutup C  berikut :}

a. ₂ ) 4 ( ) ( i  z  e  z   z    f    z  π 

+

=

_" C :  z  =1 _{(counterclockwise).} b. ) 4 ( ) 1 ( ) ( _{2 2} 2

+

−

=

 z   z  e  z    f    z  " C : ellips  x2 +4y2 = 4 (counterclockwise). . 2 ) 1 ( cos ) 3 ( ) (

+

+

+

=

 z   z   z   Ln  z 

  f   _" C : segiempat dengan titik-titik sudut  z 

=

±

2

dan  z 

=

±

2i (counterclockwise). d. ₂ 3 ) 1 ( 3 2 ) ( i  z   z   z   z    f  

−

−

−

=

 _" C : _{terdiri dari}  z  = 2 _{(counterclockwise) dan}

1 =  z  (clockwiswe). e. 2 ) 1 2 ( sin ) 1 ( ) (

−

+

=

 z   z   z   z    f   _" C :  z −i = 2 _{(counterclockwise).} f. ₂ ) 2 ( ) ( 2 i  z   z  e  z    f    z 

−

=

_" C  : _{segiempat dengan titik-titik sudut}  z 

=

±

3

±

3i

(counterclockwise) dan  z  =1 (clockwiswe).

g. ₃ 3 ) ( sin ) ( i  z   z   z   z    f   − +

=  _" C  : _{segitiga dengan titik-titik sudut}  z 

=

±

2 ,  z 

=

2i