Fungsi Variabel Kompleks
Indikator Pencapaian Hasil Belajar
Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam :
1. Menyatakan fungsi variabel kompleks dalam bentuk f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 2. Menentukan daerah asal dari suatu fungsi variabel kompleks
3. Menyatakan fungsi variabel kompleks dalam bentuk f(z)=u(r,)+iv(r,) Materi Ajar
Misal S himpunan bilangan kompleks. Suatu fungsi f didefinisikan pada S adalah aturan yang mengaitkan setiap bilangan kompleks z di S dengan suatu bilangan kompleks w . Bilangan w disebut nilai dari f pada z dan dinyatakan dengan f(z), yakni w = f(z). Himpunan S disebut daerah asal definisi dari f .
Perlu diperhatikan daerah asal definisi dan aturan pengaitan untuk melihat suatu fungsi terdefinisi dengan baik. Jika daerah asal definisi tidak disebutkan, maka yang dimaksud adalah himpunan terbesar yang mungkin menjadi daerah asal.
Contoh 1 :
Jika f didefinisikan pada himpunan semua z , z0 dengan persamaan
w= , hal ini 1z biasa disebut dengan fungsi
w 1z
= atau secara sederhana disebut fungsi 1 . z
Misal w=u+iv adalah nilai dari f pada z =x+iy, sehingga
Setiap bilangan riil u dan v tergantung pada variabel x dan y, dan selanjutnya )
(z
f dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut bilangan riil x dan y (1) Jika koordinat polar r dan digunakan , maka
dengan w=u+iv dan z =rei. Dalam hal ini kita tulis
(2)
Contoh 2 :
Jika f(z)= z2 maka sehingga
Jika koordinat polar digunakan
konsekuensinya
Dari (1) dan (2) , jika v selalu bernilai nol maka nilai f adalah fungsi bernilai riil, yakni f adalah fungsi bernilai riil dari variabel kompleks.
Contoh 3 :
Berikut ini adalah fungsi bernilai riil yang digunakan untuk mengilustrasi beberapa konsep penting nantinya
Jika n bilangan bulat positif dan jika a0,a1,...,an adalah konstanta kompleks dengan an 0, maka fungsi
adalah polinomial berderajat n. Catat bahwa penjumlahan tersebut memiliki berhingga suku dan domain definisinya adalah seluruh bidang- z . Hasil bagi polinomial
) (
) (
z Q
z P
disebut fungsi rasional dan Q(z)0. Fungsi polinomial dan rasional adalah kelompok fungsi variabel kompleks yang elementer.
Generalisasi dari konsep fungsi adalah aturan yang mengaitkan lebih dari satu nilai untuk suatu titik dari z pada daerah asal definisi, fungsi yang demikian diistilahkan dengan fungsi bernilai banyak.
Contoh 4 :
Misal z menyatakan bilangan kompleks tak nol. Kita tahu bahwa z1/2 memiliki dua nilai
dengan r = z dan ( − ) adalah nilai utama dari argz. Tapi jika kita memilih nilai positif dari r, dan menuliskan
(3) fungsi bernilai tunggal (3) terdefinisi dengan baik pada himpunan dari semua bilangan kompleks tak nol pada bidang kompleks. Karena nol hanya mungkin akar dari bilangan kompleks nol, kita juga dapat menuliskan f(0)=0. Fungsi f dengan demikian terdefinisi dengan baik pada seluruh bidang kompleks.
Latihan :
1. Untuk setiap fungsi berikut, deskripsikan daerah asal definisinya
2. Tulis fungsi f(z)= z3 +z+1 dalam bentuk f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
3. Misal f(z)=x2 −y2 −2y+i(2x−2xy) dengan z =x+iy, tuliskan f(z) dalam suku-suku dari z . Saran : gunakan
4. Tulis
z z z
f 1
)
( = + dalam bentuk f(z)=u(r,)+iv(r,)
Limit dan Kekontinuan
Indikator Pencapaian Hasil Belajar
Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam :
1. Membuktikan limit suatu fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi limit ( − )
2. Menghitung limit suatu fungsi di suatu titik dengan menggunakan teorema limit 3. Menghitung limit di ketakhinggaan
4. Memeriksa kekontinuan suatu fungsi Materi Ajar
Misal fungsi f didefinisikan pada semua titik z dalam suatu lingkungan yang dihapuskan dari z0. Pernyataan limit dari f(z) jika z mendekati z0 adalah w0, ditulis
(1)
secara intuisi berarti w = f(z) dapat dibuat sebarang dekat dengan w0 jika dipilih z yang dekat tapi berbeda dengan z0. Selanjutnya kita akan membuat definisi persis dari limit.
Pernyataan (1) berarti bahwa untuk setiap bilangan positif , terdapat bilangan positif sedemikian sehingga
(2)
Secara geometris, definisi ini mengatakan bahwa , untuk setiap lingkungan- dari w0,
−w0
w , terdapat lingkungan- dari z0 yang dihapuskan ,0 z−z0 , sedemikian sehingga setiap titik z di dalam lingkungan- tersebut memiliki bayangan
w yang terletak dalam lingkungan- .
Gambar 1
Catat bahwa meski semua titik pada lingkungan dari z0 yang dapat dihapuskan
−
0
0 z z ditinjau, bayangannya tidak harus mengisi semua lingkungan
−w0
w . Jika f memiliki nilai konstan w0, maka bayangan z selalu berupa pusat jika
dari lingkungan- . Catat juga bahwa ketika ditemukan, ini dapat digantikan dengan sebarang bilangan positif yang lebih kecil misalnya /2.
Dapat ditunjukkan bahwa jika limit suatu fungsi f ada pada satu titik z0, maka limitnya tersebut tunggal, yakni jika
maka
Definisi (2) mengharuskan f terdefinisi pada setiap titik dari lingkungan z0 yang dapat dihapuskan. Lingkungan yang demikian akan selalu ada jika z0 adalah titik interior dari daerah dimana f didefinisikan. Kita dapat memperluas definisi limit untuk kasus di mana z0 adalah titik batas dengan menyepakati bahwa (2) dipenuhi hanya oleh titik-titik z yang terletak pada daerah dan lingkungan yang dihapuskan.
Contoh 1 :
Kita akan menunjukkan bahwa jika ) 2
( iz
z
f = pada cakram buka z 1, maka
(3) titik 1 terletak pada batas dari daerah asal definisi dari f . Perhatikan bahwa jika
z pada daerah z 1, maka
Sehingga, untuk sebarang z pada daerah z 1 dan sebarang bilangan positif ,
syarat (2) dipenuhi oleh titik-titik pada daerah z 1 jika sama dengan 2 atau sebarang bilangan positif yang lebih kecil.
Jika z0 adalah titik dalam dari daerah asal definisi dari f , dan limit (1) ada, maka (2) akan dipenuhi oleh semua titik pada lingkungan yang dapat dihapuskan
−
0
0 z z . Simbol z →z0 berarti z dibolehkan mendekati z0 dalam sebarang cara, tidak berdasarkan arah yang khusus. Contoh berikut menjelaskan hal tersebut.
jika dan
Contoh 2 : Jika
(4) limit
(5)
tidak ada. Jika limitnya ada, hal itu dapat ditunjukkan untuk titik-titik yang mendekati titik asal dengan sebarang cara. Tetapi jika z =(x,0)adalah titik tak nol pada sumbu riil
dan jika z =(0,y)adalah titik tak nol pada sumbu imajiner
Jadi, dengan meninjau z mendekati titik asal sepanjang sumbu riil, kita dapat melihat bahwa limitnya adalah 1. Di sisi lain jika pendekatan dilakukan sepanjang sumbu imajiner, diperoleh limit -1. Karena limit tunggal , maka (5) kita simbolkan tidak ada.
Gambar 2
Meski definisi (2) dapat digunakan untuk membuktikan apakah suatu titik w0 adalah suatu limit, hingga tidak ada suatu cara yang langsung dapat digunakan untuk menghitung limit. Teorema limit yang akan dibicarakan berikut ini, akan membantu kita menghitung limit.
Limit pada fungsi variabel kompleks, berkaitan dengan limit dari fungsi dua peubah bernilai riil. Karena limit dari fungsi dua peubah riil sudah kita pelajari, maka kita tidak akan membahas tentang definisi dan sifat-sifatnya.
Teorema 1 : Misal bahwa maka
(6) dan
jika dan hanya jika
(7)
Teorema 2 :
Misal
(8) maka
(9) (10) dan jika W0 0
(11) Dengan menggunakan definisi dapat ditunjukkan
dengan z0 dan c sebarang bilangan kompleks ( pembuktiannya diserahkan pada pembaca ), dan berdasarkan (10) dan induksi matematika, diperoleh
sehingga berdasarkan sifat (9) dan (10) , limit dari polinomial
jika z mendekati z0 adalah
(12)
Terkadang diperlukan memasukkan pada kompleks titik di ketakhinggaan dinotasikan dengan , dan menggunakan limit yang melibatkannya. Bidang kompleks yang dilengkapi dengan titik ini disebut bidang kompleks yang diperluas. Untuk memvisualisasi titik di ketakhinggan kita dapat membayangkan bidang kompleks melalui bidang ekuator dari bola satuan dengan pusat z =0. Untuk setiap titik z pada bidang, terdapat tepat satu titik P pada permukaan bola yang berkaitan. Titik P ditentukan dengan memotongkan garis yang melalui titik z dan titik kutub utara
N pada permukaan bola. Dengan cara yang sama, setiap titik P pada permukaan bola, selain titik kutub utara N , berkaitan dengan tepat satu titik z pada bidang.
dan
dan
dan
Gambar 3
Dengan menganggap titik N pada permukaan bola berkaitan dengan titik di ketakhinggaan, kita memperoleh korespondensi satu-satu antara titik-titik pada permukaan bola dengan titik-titik pada bidang yang diperluas. Bola tersebut dinamakan bola Riemann dan pengaitannya disebut proyeksi stereografi.
Perhatikan bahwa eksterior dari lingkaran satuan dengan pusat titik asal bidang kompleks berkaitan dengan separuh bagian atas permukaan bola dengan titik N dihapus. Lebih jauh setiap bilangan positif , titik-titik pada bidang kompleks yang merupakan eksterior dari lingkaran
= 1
z berkaitan dengan titik-titik pada permukaan bola yang dekat dengan N . Kita kemudian menyebut himpunan
1
z sebagai lingkungan- atau lingkugan dari .
Kita sepakati terlebih dahulu, bahwa jika kita menyebut titik z , maka yang kita maksud adalah titik pada bidang hingga. Jika titik di ketakhinggaan ditinjau, maka akan disebutkan secara khusus tentang hal tersebut.
Selanjutnya kita dapat memberi makna pernyataan
jika z0 atau w0, atau mungkin keduanya, diganti dengan titik diketakhinggaan. Dalam definisi limit, secara sederhana kita mengganti lingkungan yang bersesuaian dengan z0 dan w0, dengan lingkungan dari . Bukti dari teorema berikut menjelaskan hal tersebut.
Teorema 3 :
Jika z0 dan w0 adalah titik-titik pada bidang- z dan bidang- w , maka
(13)
dan
jhj
(14) lebih lanjut
(15)
Contoh 3 : Perhatikan bahwa
Suatu fungsi dikatakan kontinu pada suatu titik z0 jika ketiga syarat berikut dipenuhi
(16) (17) (18)
Perhatikan bahwa pernyataan (18) sebenarnya secara implisit memuat pernyataan (16) dan (17). Pernyataan (18) berarti bahwa , untuk setiap bilangan positif terdapat bilangan positif sedemikian sehingga
(19) Suatu fungsi kompleks kontinu pada suatu daerah R, jika fungsi tersebut kontinu pada setiap titik di R.
Jika dua fungsi kontinu pada suatu titik, jumlah dan hasil kalinya juga kontinu pada titik tersebut, pembagiannya juga kontinu pada titik-titik di mana penyebutnya tidak nol. Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa polinomial kontinu pada seluruh bidang kompleks.
Teorema 4 :
Komposisi dari fungsi-fungsi kontinu adalah kontinu jhj
jhj
karena
karena
karena
ada
ada
jika
Untuk membantu memahami teorema di atas, anda dapat memperhatikan gambar berikut.
Gambar 4
Teorema 5 :
Jika suatu fungsi kontinu dan nilainya tak nol pada suatu titik, maka terdapat suatu lingkungan di mana f(z)0 pada seluruh titik z di lingkungan tersebut.
Kekontinuan dari fungsi
(20) memiliki hubungan yang erat dengan kekontinuan u(x,y)dan v(x,y). Terlihat bahwa dengan menggunakan teorema 1, kita dapat membuat pernyataan bahwa fungsi f kontinu pada suatu titik z =0 (x0,y0) jika dan hanya jika u(x,y)dan v(x,y) kontinu pada (x0,y0). Untuk mengilustrasikan bagaimana pernyataan tersebut digunakan, misal fungsi f kontinu pada daerah R yang tutup dan terbatas. Maka u(x,y)dan v(x,y) kontinu di R sehingga fungsi bernilai riil
juga kontinu di Rdan mencapai nilai maksimum di R. Ini berarti f(z) mencapai nilai maksimum di suatu titik pada R. Atau secara lebih tepat, kita mengatakan terdapat bilangan riil tak negatif M sedemikian sehingga
(21) dimana pada suatu titik z di R, diperoleh kesamaan.
untuk semua z di R
Latihan :
1. Gunakan definisi limit untuk membuktikan bahwa
2. Misal a,bdan c menyatakan suatu bilangan kompleks. Gunakan definisi limit untuk menunjukkan
3. Misal n bilangan bulat positif dan misal P(z) dan Q(z) polinomial dengan 0
) (z
Q . Gunakan teorema 2 untuk mencari limit yang berikut
4. Gunakan induksi matematika dan sifat (10) untuk menunjukkan
dengan n bilangan bulat positif ( n=1,2,...) 5. Tunjukkan bahwa limit dari fungsi
tidak ada jika z mendekati 0. Tunjukkan hal ini dengan memilih lintasan berupa titik-titik taknol z =(x,0)dan z =(x,x) mendekati titik asal ( perhatikan bahwa kita tidak bisa menunjukkan dengan memilih titik-titik z =(x,0) dan z =(0,y) seperti pada contoh 2 )
6. Buktikan pernyatan (9) pada teorema 2 menggunakan :
a. Teorema 1 dan sifat limit pada fungsi dua peubah bernilai riil b. Menggunakan definisi limit
7. Gunakan definisi limit untuk membuktikan :
Saran : perhatikan bagaimana ketidaksamaan z1z2 z1 − z2 membolehkan kita untuk menuliskan f(z) − w0 f(z)−w0
maka
8. Tulis z =z−z0 dan tunjukkan bahwa
9. Tunjukkan bahwa
dan jika terdapat bilangan positif M sedemikian sehingga g(z) M untuk semua z dalam suatu lingkungan dari z0.
10. Gunakan teorema 3 untuk menunjukkan
11. Dengan menggunakan teorema 3, tunjukkan bahwa jika
12. Tunjukkan bahwa limit yang melibatkan titik di ketakhinggaan adalah tunggal 13. Tunjukkan bahwa suatu himpunan S adalah tidak terbatas jika dan hanya jika
setiap lingkungan dari titik diketakhinggaan memuat paling tidak satu titik di dalam S
jhj
jika
