FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS
Oleh:
Endang Dedy
Sistem Bilangan Kompleks (1)
• Diskusikan!
Perhatikan definisi berikut: ”Bilangan kompleks z adalah suatu bilangan yang didefinisikan
dengan z=x+iy, dan ”.Coba anda
analisis definisi tersebut,apa yang dapat anda katakan? Jelaskan yang mendasari jawaban anda!
R y
x,
i 1Sistem Bilangan Kompleks (2)
DEFINISI:
Bilangan kompleks adalah pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y yang dinyatakan dengan
lambang z=(x,y). Himpunan bilangan kompleks didefinisikan sebagai
a. Pada bilangan kompleks z=(x,y), x=Re(z) dan y=Im(z)
b. Bilangan kompleks z disebut bilangan imajiner murni, bila Re(z)=0
c. jika Re(z)=0 dan Im(z)=1, maka z disebut satuan imajiner yang dilambangkan dengan i=(1,0).
R C z : z (x,y): x,y
Sistem Bilangan Kompleks (3)
DEFINISI:
Diberikan bilangan kompleks zn=(xn,yn), n=1,2.
Operasi pada himpunan bilangan kompleks didefinisikan dengan
(a) z1 = z2 jika dan hanya jika x1 = x2 dan y1 = y2 (b) z1 + z2 = (x1+x2,y1+y2)
(c) z1 - z2 = z1+(-z2)=(x1-x2,y1-y2) (d) kz1 = (kx1,ky1), k konstanta real (e) z1z2 = (x1x2 – y1y2,x1y2+x2y1)
Sistem Bilangan Kompleks (4)
Coba Anda buktikan teorema berikut: ”Sistem bilangan kompleks (C,+,.) merupakan suatu lapangan (field).
Sebelum membicarakan bahwa sistem
bilangan kompleks merupakan perluasan dari sistem bilangan real, coba buktikan terlebih dahulu teorema berikut: “Diberikan himpunan
Jika suatu fungsi yang didefinisikan dengan f(x,y)=(x,0), maka f fungsi bijektif.
. x
(x,0), z
:
z C R
C
0C0
R : f
Sistem Bilangan Kompleks (6)
Berdasarkan kesimpulan di atas, coba Anda tuliskan definisi operasi pada himpunan
bilangan kompleks C.
DEFINISI(Operasi Konjuget):
Diberikan bilangan kompleks . Bilangan kompleks sekawan (konjuget) dari z didefinisikan dengan
.R y
x iy x
z ; ,
iy x
z
Sistem Bilangan Kompleks (7)
Coba anda buktikan teorema berikut:
Diberikan z
1, z
2C . Operasi konjuget pada sistem bilangan kompleks adalah
(a)
__
__
________
z z z
z
1 2 1 2(e) z z
(b) z
1z
2z
1z
2(f) z z Re( z )
2Im( z )
2_
(c)
__
__
____
z z z
z
1 2 1 2(g) z z Re( z )
_
2 (d) z
1/ z
2z
1/ z
2, z
20
__
__
_______
(h) z z i Im( z )
_
2
Geometri bilangan kompleks (2)
Y Sumbu imajiner
. (x,y)=x+iy=z z
arg z X
arg z Sumbu real
Geometri bilangan kompleks (3)
Segmen oz menyatakan bilangan kompleks z=x+iy
Panjang segmen oz menyatakan modulus dari z dan dilambangkan dengan , dan
Untuk sebarang nilai utama argumen z
didefinisikan sebagai nilai tunggal argumen z yang memenuhi hubungan
Nilai tunggal argumen z tersebut dilambangkan dengan Arg z.
z z x
2y
2z arg z
, oz (
__
argumen positif)
real
sumbu
Geometri bilangan kompleks (4)
Buktikan sifat-sifat modulus dari suatu bilangan kompleks berikut ini.
Jika z,w C , maka berlaku
) ( )
(
) ( )
(
) ( )
(
0
, )
( )
(
2 _ 2
_
w z w
z h
w z zw
d
w z w
z g
z z z
z c
w z
w z
f z
w w
z b
w w z w
e z z
z z
a
Akar Bilangan Kompleks (1)
Coba Anda buktika teorea De Moivre :” Jika
maka untuk setiap .
DEFINISI (Akar):
Diberikan . Akar pangkat n dari w ditulis didefinisikan sebagai bilangan kompleks z
sehingga berlaku
sin cos
z
dengan r i
z C
n i
n
r n cos sin z
n n Z
C w
, z
w
n 1. n
, n
, w
z
nN dan 2
Akar Bilangan Kompleks (2)
a. Hitunglah i
1/3b. Berdasarkan penyelesaikan yang anda kerjakan, simpulkan bagimana cara
menyelesaikan akar bilangan kompleks.
Nyatakan kesimpulan tersebut dalam bentuk
teorema, kemudian buktikan !
FUNGSI KOMPLEKS [1]
DEFINISI (Fungsi bernilai tunggal):
Diberikan himpunan Fungsi kompleks bernilai tunggal adalah suatu aturan yang
memasangkan setiap z A dengan tepat satu w B yang dinotasikan dengan w = f(z).
Berdasarkan definisi diatas, tuliskan domain dan range fungsi f, kemudian berikan contoh fungsi bernilai
tunggal.
Sekarang bandingkan apakah definisi berikut
bertentangan dengan definisi fungsi bernilai tunggal?
Berika penjelasan secukupnya.
B dan
.
A C C
B A
: f
FUNGSI KOMPLEKS [2]
DEFINISI ( Fungsi Bernilai Banyak ):
Diberikan himpunan A C dan B C. Fungsi kompleks bernilai banyak f:A B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap z A dengan paling sedikit satu w B dan terdapat z A yang dipasangkan dengan paling sedikit dua w B.
Diberikan himpunan A C dan B C. Fungsi f dan g didefinisikan dengan w = f(z),z A dan s=g(z), z B.
Tulisakan operasi dari fungsi f dan g padaD=A B.
FUNGSI KOMPLEKS [3]
Diberikan f : Df Rf dan g : Dg Rg adalah fungsi kompleks. Tuliskan definisi fungsi komposisi dari f dan g. Kemudian definisikan domain dan range
fungsi komposisi g o f.
Diskusikan!
Diberikan fungsi f(z) = 3z+i dan g(z) = z2+z+1–i a. Tentukan (f + g)(z)
b. Selidiki apakah fungsi g o f terdefinisi dan tuliskan aturan fungsinya.
FUNGSI KOMPLEKS [4]
Diberikan A C dan B C. Fungsi f dan g
didefinisikan dengan w = f(z) , z A dan s=g(z) , z B. Tuliskan Operasi dari fungsi f dan g pada D = A B
Diberikan f : Df Rf dan g : Dg Rg adalah fungsi kompleks. Syarat apakah yang harus dipenuhi agar fungsi komposisi f dan g terdefinisi. Kemudian
tuliskan persamaan fungsi komposisi f dan g, domain dan range gof
Diskuskan!
Diberikan fungsi f(z) = 3z+i dan g(z) = z2+z+1–i a. Tentukan ( f + g ) (z)
b. Selidiki apakah fungsi g o f terdefinisi dan tuliskan aturan fungsinya.
FUNGSI EKSPONEN
Fungsi yang berbentuk disebut fungsi eksponen.
DEFINISI:
Untuk bilangan kompleks z = x + iy didefinisikan ez = ex(cos y + i sin y).
Gunakan definisi di atas untuk membuktikan teorema berikut: Jika z,w C, maka
C z , e ) z (
f z
(a) ez 0 (d) ez ez (b) ez+w =ez.ew (e) w
z w
z
e e e
(c)ez ez 2 i (f) Jika z=x+iy , maka ez ex dan Arg(ez)=y
FUNGSI TRIGONOMETRI [1]
DEFINISI: Untuk bilangan kompleks z didefinisikan
2
2
i e z e
sin )
b (
e z e
cos )
a (
iz iz
iz iz
cos tan sin
)
( z
z z c
z z f
z z e
z z z
d
sin csc 1
) (
cos sec 1
) (
sin cot cos
) (
FUNGSI TRIGONOMETRI [2]
Berdasarkan definisi di atas buktikan Teorema berikut:
Jika z,w C, maka berlaku
1 cos
sin )
(
cos )
cos(
) (
sin )
sin(
) (
,
jika hanya
dan jika
0 cos
) (
,
jika hanya
dan jika
0 sin
) (
2 2
2
z z
e
z z
d
z z
c
k k
z z
b
k k
z z
a
Z
Z
FUNGSI TRIGONOMETRI [3]
iy x
z y x
z k
iy x
z y x
z j
iy x
z y x
i y x
z i
iy x
z y x
i y x
z h
w z
w z
w z
g
w z
w z
w z
f
, sinh
cos cos
) (
, sinh
sin sin
) (
, sinh sin
cosh cos
cos )
(
, sinh cos
cosh sin
sin )
(
sin sin
cos cos
) cos(
) (
sin cos
cos sin
) sin(
) (
2 2 2
2 2 2
FUNGSI HIPERBOLIK [1]
DEFINISI :
Untuk variabel kompleks z didefinisikan fungsi hiperbolik
z cosh
z z sinh
tanh )
c (
e e
z cosh )
b (
e e
z sinh )
a (
z z
z z
2 1 2 1
FUNGSI HIPERBOLIK [2]
DEFINISI :
Untuk variabel kompleks z didefinisikan fungsi hiperbolik
z z csh f
z z e
z z z
d
sinh ) 1
(
cosh sec 1
) (
sinh coth cosh
)
(
FUNGSI HIPERBOLIK [3]
Berdasarkan definisi di atas, buktikan Teorema berikut:
Jika z,w C, maka berlaku sifat-sifat
z z
f
z z
e
z z
d
z h z
c
z h z
b
z z
a
tanh )
tanh(
) (
cosh )
cosh(
) (
sinh )
sinh(
) (
csc 1
coth )
(
sec tanh
1 )
(
1 sinh
cosh )
(
2 2
2 2
2 2
FUNGSI HIPERBOLIK [4]
w z
w z
w z
h
w z
w z
w z
g
sinh sinh
cosh cosh
) cosh(
) (
sinh cosh
cosh sinh
) sinh(
) (
iy x
z , y sin x sinh i
y cos x
cosh z
cosh )
j (
iy x
z , y sin x cosh i
y cos x
sinh z
sinh )
i (
iy x
z , y sin x
cosh z
cosh )
l (
iy x
z , y sin x
sinh z
sinh )
k (
2 2 2
2 2 2
Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [1]
DEFINISI :
Diberikan zo C, r R,dengan r>0.
(a) N(zo,r)={z C: z – zo < r} disebut lingkungan r dari zo
(b) N*(zo,r)={z C:0< z – zo < r} disebut lingkungan r dari zo tanpa zo
Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [2]
DEFINISI :
Diberikan himpunan A C.
a. Titik p C disebut titik dalam himpunan A, jika
terdapat bilangan r>0, sehingga berlaku N(p,r) A . b. Himpunan titik dalam A didefinisikan dengan
A0 = {p C: p titik dalam himpunan A}.
c. Titik p C disebut titik luar himpunan A, jika terdapat bilangan r>0, sehingga berlaku N(p,r) AC .
d. A disebut himpunan terbuka jika berlaku A0=A, yaitu setiap z A merupakan titik dalam himpunan A .
Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [3]
DEFINISI :
Diberikan himpunan A C.
a. Titik p C disebut titik limit himpunan A, jika untuk setiap bilangan r>0 berlaku N(p,r) A – {p} . b. Himpunan titik limit A didefinisikan dengan
A’ = { p C: p titik limit himpunan A }
c. A disebut himpunan tertutup, jika berlaku A’ A.
d. Titik p C disebut titik terasing (terpencil) himpunan A, jika dan p bukan titik limit A, yaitu terdapat
bilangan r>0 sehingga berlaku N(p,r) A= .
Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [4]
DEFINISI:
Diberikan himpunan A C.
a. Titik p C disebut titik batas himpunan A, jika untuk setiap bilangan r>0 berlaku N(p,r) A dan N(p,r) Ac .
b. Himpunan titik batas A didefinisikan dengan (A) = {p: p titik batas himpunan A}
c. Interior himpunan A didefinisikan dengan Int(A) = {z: z titik dalam A}
d. Eksterior himpunan A didefinisikan dengan Eks(A) ={z: z titik luar A}
e. Penutup himpunan A didefinisikan dengan )
A ( A
A A
A
Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [5]
Definisi :
Diberikan himpunan A C
a. Himpunan A dikatakan terhubung (connected), jika setiap z1,z2 A dapat dihubungkan oleh suatu
lengkungan kontinu C yang seluruhnya terkandung di A
b. Himpunan A dikatakan daerah (domain) di C, jika A adalah suatu himpunan terbuka dan terhubung di C.
Region adalah suatu daerah dengan atau tanpa titik batasnya.
Catatan:
Daerah seringkali disebut region terbuka sedangkan suatu daerah beserta titik batasnya disebut region tertutup.
Limit Fungsi Kompleks [1]
DEFINISI :
Diberikan suatu fungsi f yang terdefinisi pada daerah D C dan z0 D’.
a. jika dan hanya jika untuk setiap
bilangan >0 terdapat bilangan >0 sehingga jika 0< z-zo < , z D berlaku f(z)-L <
b. jika dan hanya jika untuk setiap
lingkungan N(L, ) terdapat lingkungan terhapuskan N*(z0, ) sehingga jika z N*(z0, ) D berlaku
f(z) N(L, ).
L )
z ( f lim
z
z 0
L ) z ( f lim
z
z 0
Limit Fungsi Kompleks [2]
Buktikan bahwa:
a. b.
TEOREMA :
Diberikan fungsi kompleks f terdefinisi pada daerah D C dengan zo D’ dan L,M C.
a. jika dan , maka L = M
b. jika dan hanya jika terdapat bilangan k>0 dan bilangan >0 sehingga berlaku
2 2
1
i limiz
z lim( x iy ) i
i
z 2 2 4
2
L )
z ( f lim
zo
z lim f ( z ) M
zo
L z
) z ( f lim
zo
z
D )
, z ( N z
iap untuk set k
) z (
f * o
Limit Fungsi Kompleks [3]
TEOREMA:
Diberikan fungsi kompleks f dan g yang terdefinisi
pada daerah D=Df Dg C dengan zo D’. Jika maka
a.
b.
c.
d.
, )
( lim
) ( lim
0 0
M z
g dan
L z
f
z z z
z
M L z
g z
f
z z
)]
( )
( [ lim
0
C k
kL z
kf
z z
, )
( lim
0
LM z
g z f
z z
)]
( ).
( [ lim
0
0 M ) ,
( ) lim (
0 M
L z
g z f
z z
Limit Fungsi Kompleks [4]
TEOREMA :
1. Diberikan fungsi kompleks f yang terdefinisi pada daerah D C dengan zo D’.
a.
b.
2. Diberikan fungsi f, g, dan h didefinisikan pada daerah D=Df Dg C dan zo D’. Jika
untuk setiap z N*(zo, ) D, dan , maka
L z
f maka
L L z f jika
z
) ( lim
0 ,
) ( lim
o
0 z z
z
0 lim
0 lim
0
0 z z
z f( z ) jika dan hanya jika f ( z )
z
) z ( h ) z ( g )
z ( f
L )
z ( f lim
z
z 0
L )
z ( h limz
z 0 lim g( z) L
z
z 0
Limit Fungsi Kompleks [5]
TEOREMA :
1. Diberikan f(z)=u(x,y)+iv(x,y) terdefinisi pada daerah D C dan zo=a+ib D’.
jika dan hanya jika dan
2. Diberikan f(z)=u(x,y)+iv(x,y) terdefinisi pada daerah D C dan zo=a+ib D’.
Jika selalu ada dengan nilai L untuk sepanjang kurva S D dan zo suatu titik limit S.
iB A z
f
z z
) ( lim
0
A y
x u
b a y
x
) , ( lim
) , ( ) , (
B y
x v
b a y
x
) , ( lim
) , ( ) , (
) z ( f lim maka
, L ) z ( f
limz z z
z 0 0
zo
z
Limit Fungsi Kompleks [6]
Diskusikan !
1. Diketahui f(z)=
1
2 2
2
2 y
ix y
x
xy . Selidiki apakah lim f( z)
z 0 ada.
2. Buktikan bahwa 0
2 4 2
2 2 2
0 )
y x
xyi y
x y ( x
limz
Selidikilah apakah
1
2 1 y x lim z
i
z ada?
Kekontinuan Fungsi Kompleks [1]
DEFINISI :
a. Diberikan fungsi kompleks f terdefinisi pada
region D C yang memuat zo dengan zo suatu titik limit dari D. Fungsi f dikatakan kontinu di zo jika
b. Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C yang memuat z0 . Fungsi f dikatakan kontinu di zo jika untuk setiap bilangan >0 terdapat
bilangan >0 sehingga jika berlaku
c. Fungsi f dikatakan kontinu pada region D C jika f kontinu di setiap titik pada D
) ( ) (
lim 0
0
z f z f
z z
D z , z
z 0
) z ( f ) z (
f 0
Kekontinuan Fungsi Kompleks [2]
Diskusikan bukti teorema berikut:
a. Diberikan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) terdefinisi pada region D C yang memuat zo= a + ib. Fungsi f
kontinu di zo jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) kontinu di (a,b).
b. Diberikan fungsi f dan g terdefinisi pada region
D C dan zo D dan k suatu konstanta kompleks.
Jika f dan g kontinu di zo, maka fungsi f + g, kf, dan fg semuanya kontinu di zo. Sedangkan fungsi f/g kontinu di zo asalkan g(zo) 0.
Kekontinuan Fungsi Kompleks [3]
c. Jika fungsi kompleks f kontinu di zo dan fungsi g kontinu f(zo), maka fungsi komposisi g o f kontinu di zo.
d. Fungsi polinom f kontinu pada seluruh bidang kompleks.
e. Fungsi rasional (h dan g fungsi polinom) kontinu pada C – {z C: g(z) = 0}
) z ( g
) z ( ) h
z ( f
Turunan Fungsi Kompleks [1]
DEFINISI :
a. Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C dan zo D. Turunan fungsi f di zo didefinisikan dengan
jika limit ini ada.
b. Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C.
Turunan fungsi f pada D didefinisikan dengan
jika limit ini ada.
0 0 0
0 z z
) z ( f ) z ( lim f )
z (
f z z
'
z
z f z
z f
z
) ( )
lim ( 0 0
0
z
z f z z z f
f
z
) ( ) lim (
) (
0 '
z w
z f w f
z w
) ( ) lim (
Turunan Fungsi Kompleks [2]
Diskusikan bukti teorema berikut:
Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C dan zo D. Jika f ’(zo) ada, maka f kontinu di zo. Perlihatkan bahwa kontinu di seluruh
bidang kompleks, tetapi f hanya dapat diturunkan di z = 0.
Diberikan fungsi f dan g dapat diturunkan pada
region D C, tuliskan turunan fungsi f + g, f – g, kf (k konstanta ) dan fg pada D.
z 2
) z ( f
Turunan Fungsi Kompleks [3]
Buktikan teorema berikut:
Diberikan fungsi f yang dapat ditunkan pada C.
a. Jika f(z) = k untuk setiap z C dengan k suatu konstanta, maka f ’(z) = 0
b. Jika f(z) = z untuk setiap z C, maka f ’(z) = 1
c. Jika f(z) = zn untuk setiap z C, n N, maka f ’(z) = nzn-1
d. Jika f(z) = aozn + a1zn-1 + …+ an-1z + an untuk setiap z C, n N, maka
f ’(z) = aonzn-1 + a1(n-1)zn-2 + …+ an-1
e. Jika f(z) = zn untuk setiap z C, n Z, maka f ’(z) = nzn-1
Persamaan Cauchy Reimann [1]
Buktikan teorema berikut:
a. Diberikan terdefinisi pada region D C dan zo=xo+iyo D. Jika maka
sehingga persamaan Cauchy Reimann berlaku yaitu
, ada )
z ( f ' o
) y , x y( i u ) y , x y( ) v
y , x x( i v ) y , x x( ) u
z (
f ' o o o o o o o o o
) y , x x( ) v
y , x y ( dan u )
y , x y( ) v
y , x x ( u
o o o
o o
o o
o
Persamaan Cauchy Reimann [2]
b. Diberikan terdefinisi pada region D C dan zo=x
o+iy
oD. Jika
(1) fungsi u(x,y), v(x,y), ux(x,y), uy(x,y), vx(x,y),dan vy(x,y) semuanya kontinu di titik zo= (xo,yo)
(2) Memenuhi persamaan Cauchy Reimann
ux(xo,yo) = vy(xo,yo) dan uy(xo,yo) = - vx(xo,yo) maka f’(zo) ada dan
f ’(zo) = ux(xo,yo)+i vx(xo,yo) = vy(xo,yo)-i uy(xo,yo)
) y , x ( iv )
y , x ( u )
z
(
f
Persamaan Cauchy Reimann [3]
Diskusikan !
1. Diberikan fungsi f dengan aturan
Perlihatkan bahwa f ’(0) ada tetapi tak kontinu di (0,0).
) 0 , 0 ( )
, ( , 0
) 0 , 0 ( )
, ( 1 , ) sin
(
2
y x
y x x
z x f
Persamaan Cauchy Reimann [4]
2. Diberikan fungsi f dengan aturan
Tunjukkan bahwa persamaan C–R dipenuhi di z = 0, tetapi f ’(0) tidak ada.
0
0
0 z
, z
2z , ) z
z
(
f
Persamaan Cauchy Reimann [5]
3. Selidiki dimanakah fungsi berikut dapat diturunkan, kemudian tentukan fungsi turunannya.
a. f(z) = x2 – iy2 b. f(z) =
c. f(z) =
