DIKTAT ANALISA KOMPLEKS. BINTI ANISAUL K, M.Pd.

DIKTAT

ANALISA KOMPLEKS

BINTI ANISAUL K, M.Pd.

BAB I

BILANGAN KOMPLEKS

 Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya yaitu sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk persamaan. Oleh karena itu, perlu suatu jenis bilangan baru yang disebut bilangan kompleks.

 Dengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kita tidak dapat menyelesaikan persamaan x² +1=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru.

Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks.

A. Pengertian Bilangan Kompleks Mengapa perlu bilangan kompleks ?

 x² 10 mempunyai penyelesaian dengan x.

 x² 10  x² 1 tidak mempunyai penyelesaian jika x.

Sehingga perlu mengidentifikasi suatu bilangan sehingga x² 10 mempunyai penyelesaian. Selanjutnya perlu dikembangkan suatu sistem bilangan yaitu bilangan kompleks.

Definisi Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks z :

 merupakan pasangan berurut

 

x,y dengan x , y. Ditulis : z

 

x,y .

 merupakan bilangan yang berbentuk xiy dengan x , y dan i

 

0,1  1.

Ditulis : zxiy.

Jika z

 

x,y xiy maka xRe

 

z = bagian riil z,

yIm

 

z = bagian imajiner z, i = satuan imajiner dan i² 1.

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu 1. _C = himpunan bilangan kompleks

=



^{z z xiy,x,y& i2 1}



^.

2. Jika Re

 

z 0 dan Im

 

z 0maka z dinamakan bilangan imajiner murni.

3. Jika Re

 

z 0 dan Im

 

z 0maka z merupakan bilangan riil.

4. Kesamaan bilangan kompleks.

Misalkan z₁ x₁iy₁ dan z₂  x₂ iy₂. z₁ z₂ jika dan hanya jika x₁ x₂ dan y₁  y₂.

Contoh 1 a. z102i

Re

 

z 10 dan Im

 

z 2. b. zi

Re

 

z 0 dan Im

 

z 1. □□

B. Bidang Kompleks

Bilangan kompleks merupakan pasangan berurut

 

x,y , sehingga secara geometri dapat disajikan sebagai titik

 

^x,y pada bidang kompleks (bidang xy), dengan sumbu x (sumbu riil) dan sumbu y (sumbu imajinair). Selain itu, bilangan kompleks

 

^{x y}

iy x

z    , juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang kompleks dengan titik pangkal pada titik asal dan ujung vektor merupakan titik

 

x,y .

y (sumbu imajinair)

• z(x,y) xiy

O x (sumbu riil) Gambar 1. Bidang kompleks

C. Operasi Aljabar

Operasi aljabar pada bilangan kompleks sesuai dengan operasi aljabar pada bilangan riil.

Operasi Aljabar pada bilangan kompleks

Misalkan z₁  x₁ iy₁ dan z₂ x₂ iy₂.

a. Penjumlahan : z1z2 



x1x2

 

i y1y2



b. Pengurangan : z1z2 



x1x2

 

i y1y2



c. Perkalian :

  



1 2 1 2

 

1 2 2 1



2 2 1 1 2 1

y x y x i y y x x

iy x iy x z z















d. Pembagian :

₂ , ₂ 0

2 2 2

2 1 1 2 2

2 2 2

2 1 2 1 1

2 1 2

1 



 



 

 ^ z

y x

y x y i x y x

y y x z x

z z z

Perlu diperhatikan : 1. z( negatif z ).

Jika z xiy maka zxiy. 2. z^1  1z ( kebalikan z )

Jika z xiy maka ¹ _{2 2 2 2} y x i y y x z x

 

 

 .

Sifat Operasi Aljabar

a. Hukum komutatif

1 2 2

1 z z z

z   

1 2 2

1z z z

z 

b. Hukum asosiatif



z1z2



z3  z1



z2 z3





z₁z₂



z₃  z₁



z₂z₃



c. Hukum distributif



2 3



1 2 1 3

1 z z z z z z

z   

d. Elemen netral dalam penjumlahan ( 000i) z

z z00 

e. Elemen netral dalam perkalian ( 110i) z

z z.11. 

D. Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan

Penyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk mengembangkan konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks.

Definisi modulus (nilai mutlak)

 Modulus (nilai mutlak) z xiy didefinisikan sebagai bilangan riil non negatif x²  y² dan ditulis sebagai

Modulus z = z = x²  y² .

Secara geometri, z menyatakan jarak antara titik

 

^x,y dan titik asal.

Misalkan z₁  x₁ iy₁ dan z₂ x₂ iy₂. Jarak antara z dan ₁ z didefinisikan dengan ₂

  

1 2



²

2 2 1 2

1 z x x y y

z      .

Selanjutnya, persamaan zz₀  R menyatakan bilangan kompleks z yang bersesuaian dengan titik-titik pada lingkaran dengan pusat z dan jari-jari R. ₀

Definisi bilangan kompleks sekawan

 Bilangan kompleks sekawan dari z xiy didefinisikan sebagai bilangan kompleks z  xiy.

Secara geometri, bilangan kompleks sekawan z  xiy dinyatakan dengan titik



x,y



dan merupakan pencerminan titik

 

x,y terhadap sumbu riil.

Contoh 2 a. 34i  3² (4)² 5.

b. z33i 2 menyatakan lingkaran dengan pusat z₀ 



3,3



dan jari-jari R2.

c. Jika z34i maka z 34i. □□

Sifat Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan

a. z₁z₂  z₁ z₂ b. ^Re

 

^{z  Re}

 

^{z  z}

c. Im

 

z  Im

 

z  z d.

2 1 2

1

z z z

z 

e. zz f. z  z

g. z₁z₂  z₁z₂ h. z₁z₂ z₁ z₂ i. z₁z₂ z₁ z₂ j.

2 1 2 1

z z z z 



 





k.

 

Re z2z

z   ,

 

i z z z

Im  2 l. zz z ²

m. Pertidaksamaan Segitiga : z₁z₂  z₁  z₂ n. z₁z₂  z₁  z₂

o. z₁z₂  z₁  z₂

p. z₁z₂ z_n  z₁  z₂  z_n .

E. Bentuk Kutub Bentuk kutub bilangan kompleks

Bilangan kompleks zxiy dapat disajikan dalam koordinat kutub

 

r, . Misalkan xrcos dan yrsin maka

iy x

z   dapat dinyatakan dalam bentuk kutub

 









 cis r

i r

r i r

z









 cos sin cos sin

dengan

r = modulus (nilai mutlak) z = z = x² y² .

 = argumen dari z = argz = , x0

x tg y

arc .

y • z = x+ iy r

θ

x

Nilai argumen dari z (arg z) tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan 2 (sesuai dengan kuadran dimana titik z berada). Sedangkan, nilai utama (principal value) dari

z

arg ditulis Arg z dengan   Argz adalah tunggal.

Jelas, argz  Argz2n , n0,1,2,. Perlu diperhatikan bahwa :

 





 cis r

i r

z





 cos sin

 

 













 cis r

i r

z cos sin



 z

arg argz

Operasi aljabar bentuk kutub dan sifat argumen

Misalkan z1r1



cos1i sin1



dan z2 r2



cos2i sin2



dengan r₁  z₁ ,r₂  z₂ ,argz₁ ₁,argz₂ ₂. a. Perkalian

 



1 2



2 1

2 1 2 1 2 1

















cis z z

cis r r z z

argz₁z₂ argz₁argz₂.

b. Pembagian



z₂ 0



  

1 2



2 1 2 1 2 1 2

1     cis 

z cis z

r r z

z .

_{1 2}

2

1 arg arg

arg z z

z

z   .

c. Invers sebarang bilangan kompleks i e r

z  yaitu ^   cis

 



r z ₁ 1z 1

.

z

z arg

arg1  .

Contoh 3 Diketahui

i i z i







 

1

) 3 1 ( ) 1

( . Tentukan bentuk kutub dari z dan z.

Penyelesaian :

Menggunakan sifat argumen diperoleh :



 







 



  



 2 6

4 3 3 2 4

4 2 3

3) 2 ( 4) 2

(    







cis cis

cis cis cis

z .



 



 

2 6 cis

z . □□

Selain dalam bentuk umum z xiy dan bentuk kutub zr



cosisin



, bilangan kompleks z juga dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen.

Bentuk eksponen

Bentuk eksponen bilangan kompleks z xiy yaitu i

e r

z

dengan   

sin

cos i

ei   dinamakan rumus Euler.

Operasi aljabar bentuk eksponen

Misalkan _{1 1} i¹ e r

z  dan _{2 2} i² e r

z  .

a. Perkalian

( _{1 2})

2 1 2 1 2 1 2 1







  

 i

e r i r

i e e r r z z

b. Pembagian

^{( 1 2)}

2 1 2

1  i  

r e r z z

c. Invers sebarang bilangan kompleks i e r

z  yaitu

i

r e z^₁ 1z 1 

Bentuk pangkat

Misalkan i e r

z , maka menggunakan aturan pangkat seperti pada bilangan riil diperoleh

 in ne n r ei n r

z ( )  , n0,1,2,

Rumus Moivre

Jika r 1, maka bentuk pangkat di atas menjadi  in n e

ei

zn ( )  , atau  in

n e ei ) 

( , n0, 1,2,. Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk(cos isin)n cosnisinn yang disebut Rumus Moivre .

F. Bentuk Akar Bentuk

akar

Misalkan zr cis, akar pangkat n dari bilangan kompleks z

dituliszⁿ 1

atau n z . Jika diberikan bilangan kompleks z 0 dan n

bilangan bulat positif, maka diperoleh n buah akar untuk zⁿ 1

yaitu



 

 

 n

i k n n r k

zk    2 

2 sin

cos , k 0,1,2,,(n1).

Secara geometri, n buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n beraturan pada suatu lingkaran dengan pusat titik O dan jari-jari n r .

Contoh 4

Tentukan semua akar dari 38i dan gambarkan akar-akar tersebut dalam bidang kompleks.

Penyelesaian :

Misalkan z8i, maka r  z 8 dan

2 0

8 

 arctg  ,















  

 

 



 3

2 2 3 sin

2 2 3 8 cos

3 8

 

 

k i

k k i

z , k 0,1,2.

Sehingga diperoleh

i i

i

z  

   

















  





 ) 3

sin( 6 6)

( cos 3 2

sin 2 3

cos 2 0 3 8



 



.

i i

z ) 2

sin(2 2)

( cos

1 2 

 

  

.

i i

z  

 

 ) 3

6 sin(7 6 )

(7 cos 2 2



 .

y 2 z ₁

x . □□

z ₂ z ₀

Ringkasan

Bilangan kompleks z xiy mempunyai bentuk kutub zr cis , dan bentuk eksponen i

e r

z , dengan  argz.

BAB II

FUNGSI KOMPLEKS

A. DEFINISI

Pada analisis kompleks, yang perlu di perhatikan adalah fungsi kompleks yang dapat diturunkan pada domain tertentu. Pertama-tama akan di definisikan dahulu bahwa : S adalah himpunan bilangan kompleks, dan fungsi f dan S adalah aturan yang menetapkan setiap z di dalam S suatu bilangan kompleks w, disebut sebagai nilai fungsi f di z, di tulis sebagai :

Pada rumus diatas, z merupakan peubah kompleks. Jadi, S merupakan domain dari definisi fungsi f. oleh karena itu, himpunan yang merupakan seluruh nilai fungsi f disebut sebagai jangkauan (range) dari f . sedangkan w adalah bilangan komplek juga, sehingga dapat dituliskan sebagai : , dengan u merupakan bagian nyata (real) dan v merupakan bagian imajiner. Jadi, w bergantung pada

Pada rumus di atas menunjukkan bahwa fungsi kompleks ekuivalen dengan pasangan fungsi dan yang keduanya bergantung pada dua peubah x dan y.

Domain (asal) fungsi Domain (hasil) fungsi

Contoh :

1) Tuliskan dalam bentuk u dan v!

Jawab :

Misalkan , maka fungsi

Jadi, dan

2) Jika maka

Berarti, dan

B. OPERASI PADA FUNGSI KOMPLEKS

Operasi pada fungsi menyangkut operasi pada penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian didefinisikan sebagai berikut:

a) b) c) d)

Masing masing dengan syarat dan untuk (d) ditambahkan syarat

Contoh:

Diberikan fungsi Maka diperoleh:

a) b)

c)

d)

masing-masing pernyataan a, b, dan c dengan syarat dan untuk pernyataan d dengan syarat

C. FUNGSI ELEMENTER

1. FUNGSI EKSPONENESIAL

Sebelum mengetahui lebih lanjut disini kita definisikn fungsi eksponensial dapat ditulis

( 1 )

Dimana rumus sebslumnya ( 2 )

Dan gunakan untuk mendapatkan radians. Dari sini didapat definisi bahwa mengurangi ke fungsi eksponensial yang biasa dalam kalkulus dimana ; dan beberapa penjelasan di kalkulus, sering ditulis untuk .

Catatan bahwa pada saat suku ke – positif akar dari adalah untuk menentukan dimana , pernyataan ( 1 ) menceritakan bahwa fungsi eksponensial komplek adalah juga. dimana . Kecuali untuk penjelasan ( bagian 8 ) bahwa biasanya mengharuskan untuk menggantikan seperti kumpulan dari suku ke – akar dari .

Sesuai dengan definisi ( 1 ), ; dan titik – titik keluar di bagian 13, definisi ini mengingatkan dari penyebab sifat

adalah merupakan perluasan dari sifat di kalkulus,

( 3 ) dan

Maka

Tetapi dan keduanya real, dan kita mengetahuinya dari bagian 7, bahwa

Dari sini

; Dan didapat

The right – hand terakhir karena dari pernyataan . sifat ( 3 ) tidak dapat di tegakkan.

Bagaimana melihat sifat ( 3 ) memungkinkan untuk menulis , atau

( 4 )

Dari sini dinyatakan fakta bahwa , ini mengikuti bahwa .

Ada suatu bilangan dari sifat sebelumnya bahwa yang diharapkan. Sesuai dengan contoh 1 bagian 21, untuk contoh,

( 5 )

Masing – masing dimana pada bidang . Catatan bahwa perbedaan dari untuk semua menceritakan bahwa adalah seluruhnya ( bagian 23 ). Itu benar juga bahwa

( 6 ) untuk sembarang bilangan komplek

Ini jelas ditulis pada definisi ( 1 ) di bentuk

dimana dan

Yang mana menceritakan bahwa

( 7 ) dan

Pernyataan ( 6 ) maka mengikuti pengamatan dari bagian adalah selalu positif.

Sementara sifat dari ini, bagaimanapun, tidak diharapkan. Untuk contoh, dimisalkan

dan

Kita tentukan bahwa adalah berkala, dengan teory periode imajiner : ( 8 )

Menurut contoh illustrasi lainnya sifat dari bahwa tidak mempunyai . yaitu , saat tidak pernah negative, maka nilai dari ada.

Contoh. Carilah semua nilai z yang memenuhi ( 9 )

Untuk menentukan , kita tulis persamaan ( 9 ) . Maka dari bagian 8 mengenai persamaan dua bilangan komplek adalah sama dalam bilangan eksponensial ,jadi

dan

Jadi , dan diperoleh

( 10 ) .

2. Fungsi Trigonometri

Persamaan (sec.6) menjelaskan bahwa x

i x

e^ix cos  sin dan e^ix cosxisinx Pada setiap bilangan real x, dan dari persamaan ini diperoleh

x i e

e^ix  ^ix 2 sin dan e^ix e^ix 2cosx Sehingga,

i e x e

ix ix

sin 2

 

 dan

cos 2

ix

ix e

x e

 



Definisi diatas yang mendasari pendefinisian sinus itu dan fugsi cosinus dari suatu variabel kompleks z seperti berikut :

(1) i

e z e

iz iz

sin 2

 

 ,

cos 2

iz

iz e

z e

 



Fungsi itu adalah keseluruhan saat menggabungkan garis-garis lurus (latihan 3, bagian.24) dari keseluruhan fungsi e^iz dan e^iz. Diketahui turunannya dari fugsi eksponensial itu, ditemukan dari pertanyaan (1) bahwa

(2) sinz cosz, dz

d  cosz sinz.

dz

d 

Itu adalah mudah dengan melihat dari defenisi (1) bahwa (3) sin(z)sinz dan cos(z)cosz

Dan suatu variasi identitas yang lain dari trigonometri adalah benar pada variabel kompleks.

Contoh. Tunjukkan bahwa

(4) 2sinz₁cosz₂ sin(z₁z₂)sin(z₁z₂),

Gunakan defenisi (1) dan baik dari fungsi ekspoesial, pertama ditulis 2 )

2 )(

( 2 cos sin 2

2 2 1 1 2

1

iz iz iz

iz e e

i e z e

z



 

 

Kemudian dilakukan perkalian untuk menghilangkan di sebelah kanan

i e e

i e

e^{i z z i z z i z z i z iz} 2 ( 2

) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1

(         

Atau

);

sin(

)

sin(z₁z₂  z₁z₂

Dan identik (4) yang tidak bisa dipungkiri

Idetik (4) dipelajari pada identitas (lihat latihan 3 dan 4) (5) sin(z₁z₂)sinz₁cosz₂cosz₁sinz₂,

(6) cos(z₁z₂)cosz₁cosz₂ sinz₁sinz₂, Dan dari persamaan diatas ditujukkan bahwa (7) sin²zcos²z 1,

(8)sin2z2sinzcosz, cos2z cos² zsin² z,

(9) ) cos ,

sin(z2  z

. cos 2)

sin(z  z

Ketika y adalah suatu bilangan rill, pertama dapat digiakan defenisi (1) dan fungsi hiperbola

sinh 2

y

y e

y e

 

 dan

cosh 2

y

y e

y e

 

 Pada kalkulus dituliskan

(10) sin(iy)isinhy dan cos(iy)coshy

Merupakan rill dan bagian imajiner dari sin z dan cos z kemudian diperlihatkan dengan mudah degan menulis z₁  x dan z₂ iy pada identitas (5) dan (6):

(11) sinz sinxcoshyicosxsinhy, (12) coszcosxcoshyisinxsinhy, Dimana z xiy.

Suatu bilangan dibutuhkan benar dari sin z dan cos z dengan mendekati dari ekspresi (11) dan (12).sifat berkala dari fungsi itu, sebagai contoh, adalah jelas :

(13) sin(z2)sinz, sin(z)sinz, (14) cos(z2)cosz, cos(z)cosz. Juga (lihat latihan 9)

(15) sinz² sin² xsinh² y, (16)

Karena tak terbatas, ini benar dari dua persamaan dan adalah tidak berbatas pada bidang kompleks, di mana nilai mutlak dari dan adalah kecil atau sama dengan semua nilai pada .(lihat definisi dari batas pada akhir bagian 17).

Nilai nol pada sebuah fungsi merupakan nilai dari sedemikian sehingga .karen a merupakan fungsi sinus biasa dalam kalkulus di mana adalah real, diketahui bahwa nilai real semuaqnya bernilai nol pada . Untuk menunjukkan bahwa tidak ada nilai nol yang lain, diasumsikan bahwa

dan caranya mengikuti dari persamaan (15) bahwa

Jadi,

Dengan jelas, dimana dan , sehingga

(17) jika dan hanya jika

Karena

Berdasarkan identitas (9) yang ke 2

(18) jika dan hanya jika

Jadi, ini merupakan keadaan yang sebenarnya dengan , nilai nol pada semuanya real.

Empat fungsi trigonometri lainnya menegaskan hubungan dari fungsi sinus dan cosinus dengan hubungan-hubungan:

(19)

(20)

Selidiki bahwa persamaan dan adalah analitik di mana-mana kecuali pada keistimewaan (bagian 23)

Di mana nilai nol pada . Demikian juga, dan mempunyai keistimewaan pada nol dari , yakni

Dengan menurunkan persamaan sebelah kanan (19) dan (20), didapatkan rumus turunan

(21) (22)

Kadangkala tiap fungsi trigonometri ditegaskan dengan persamaan (19) dan (20) ikut dijelaskan dari persamaan (13) dan (14). Untuk contoh:

(23)

Pemetaan properties dari transformasi adalah sangat penting untuk aplikasi selanjutnya. Saat belajar memilih properties cukup dengan membaca bagian 89 (chap 8), di mana pemetaan tersebut didiskusikan.

3. Fungsi Hiperboliks

Fungsi hiperbolik sinus dan hiperbolik kosinus dari suatu variabel kompleks didifinisikan sebagai dengan suatu variabel riil ; yaitu

(1)

Karena dan adalah fungsi lengkap, berdasarkan dari definisi ( 1) dan adalah fungsi lengkap. Sedemikian sehingga,

(2)

Karena cara yang digunakan oleh fungsi eksponensial ada pada definisi ( 1) dan dari definisi ( Bagian 33), maka

Dari dan , fungsi hiperbolik sinus dan fungsi kosinus saling berhubungan dengan fungsi trigonometri, sehingga

(3) (4)

Beberapa dari persamaan yang sering digunakan yang selalu menyertakan fungsi hiperbolik sinus dan fungsi kosinus yaitu

(5) (6) (7) (8) Dan (9) (10) (11) (12)

dimana . Ketika persamaan ini mengikuti secara langsung dari definisi ( 1), dengan mudah diperoleh dari hubungan persamaan trigonometri, dengan bantuan dari persamaan (3) dan (4).

contoh

Untuk menggambarkan cara dari pembuktian yang tepat, misalkan dengan menggunakan persamaan (11). Berdasarkan persamaan (4), . Yaitu

(13)

Dimana . Dari persamaan (15), pada bagian 33, kita ketahui bahwa

dan ini memungkinkan kita untuk menuliskan persamaan (13) ke dalam bentuk persamaan (11).

Maksud dari dan mengikuti hubungan persamaan (4) bahwa dan adalah periodik dengan periode . Persamaan (4) juga menyatakan bahwa

(14) jika dan hanya jika

dan

(15) jika dan hanya jika

Fungsi hiperbolik tangen dari didefinisikan oleh persamaan (16)

dan analitik di setiap daerah di mana . Fungsi dan

adalah kebalikan dari dan . Secara langsung mengikuti rumus turunan, yang mana sama dengan yang ditetapkan pada Kalkulus dari fungsi yang bersesuaian dengan variabel riil :

(17) (18)

BAB III

TRANSFORMASI ELEMENTER

Pada bab ini akan membicarakan arti geometri fungsi kompleks. Suatu fungsi dapat dipikirkan sebagai suatu proses bahwa sebagian dari bidang Z dipetakan ke bagian bidang W. Hal ini menjelaskan istilah pemetaan dan transformasi sebagai nama lain untuk suatu fungsi f memetakan z₀ ke w dengan ₀ w adalah peta ₀ z₀ dibawah f dan z0 adalah prapeta dari w . Keadaan seperti ini yang mendasari pembahasan ₀ mengenai transformasi elementer.

A. Transformasi Kebalikan

Transformasi kebalikan asalah transformasi yang berbentuk . Untuk mencari peta oleh transformasi dilakukan dengan cara sebagai berikut. Jika

diperoleh:

Dengan demikian transformasi kebalikan memetakan suatu titik pada bidang-Z dengan modulus sama dengan dan argumennya menjadi suatu titik pada bidang W dengan modulus sama dengan dn argumennya

Selanjutnya akan ditentukan peta dari garis lurus dan lingkaran di oleh transformasi kebalikan Adapun prosesnya sebagai berikut.

1. Misalkan persamaan garis lurus di adalah dan tak bersama- sama nol ditransformasikan oleh Namakan dan

maka :

Sehingga diperoleh :

dan

Jika dan dinyatakan dalam dan maka :

Sehingga diperoleh :

dan

Jadi peta garis lurus di oleh transformasi adalah :

Jika maka petanya berupa garis lurus. Tetapi jika petanya berupa suatu lingkaran.

Seperti pada gambar di bawah ini:

2. Misalkan persamaan lingkaran di adalah ditransformasikan oleh diperoleh:

Jika maka petanya berupa garis lurus. Tetapi jika petanya berupa suatu lingkaran.

Contoh:

Tentukan peta dari garis oleh transformasi Penyelesaiaan:

Jadi garis pada bidang-Z dipetakan oleh ke bidang-W menjadi lingkaran dengan pusat dan jari-jari .

Contoh:

Tentukan peta dari lingkaran oleh transformasi Penyelesaiaan:

Jadi lingkaran di bidang-Z dipetakan oleh ke bidang-W menjadi garis .

B. Transformasi Bilinear

Definisi : Jika a, b, c, dan d konstanta kompleks maka : w = f(z) = , untuk ad – bc 0, dinamakan

Transformasi bilinear

Kita asumsikan c 0 guna menghindari persamaan bilinear berubah menjadi persamaan linnear. Analog dengan transformasi kebalikan, maka transformasi bilinear juga memetakan garis dan lingkarang menjadi garis atau lingkaran.

Pemetaan bilinear w = f(z) = = merupakan komposisi dari fungsi-fungsi berikut :

k(z) = cz + d, h(z) = , g(z) = z

Jadi, transformasi bilinear merupakan gabungan dari transformasi linear diikuti dengan transformasi kebalikan dan dilanjutkan dengan transformasi linear sekali lagi.

Teorema 3.3.1:

Jika sebarang titik pada bidang-Z dan

sebarang titik pada bidang-W, maka terdapat fungsi transformasi bilinear yang memetakan dengan j = 1, 2, 3 adalah :

Bukti :

dengan ad –bc 0

(TERBUKTI) Contoh Soal

1) Carilah transformasi bilinear dari titik ke titik

Penyelesaian :

Dengan menggunakan teorema 3.3.1 :

Jadi, transformasi bilinear yang memetakan adalah :

2) Tentukan peta I(z) > 0 oleh transformasi bilinear Penyelesaian:

y

x I(z) >

0

Digeser 1

y

x I(z) >

1

Jadi, diperoleh lingkaran dengan pusat dan r =

Diperbesar 2 kali

v

u

v

u

Digeser 2

v

u v

u Diputar

Berikut ini diberikan cara lain untuk menentukan hasil transformasi oleh w = Nyatakan z dalam w, sehingga w =

Jadi peta dari I(z) > 0 oleh transformasi w = adalah : I(z) > 0

BAB IV

FUNGSI ANALITIK

A. Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks Definisi :

Diberikan dengan

a. disebut lingkungan dari

b. disebut lingkungan dari tanpa

Definisi:

Diberikan himpunan .

a. Titik disebut titik dalam himpunan A, jika terdapat bilangan

sehingga berlaku .

b. Himpunan titik dalam A didefinisikan dengan .

c. Titik disebut titik luar himpunan A, jika terdapat bilangan , sehingga berlaku

d. A disebut himpunan terbuka jika berlaku , yaitu setiap merupakan titik dalam himpunan A.

Definisi :

Diberikan himpunan

a. Titik disebut titik limit himpunan A, jika untuk setiap bilangan berlaku .

b.Himpunan titik limit A didefinisikan dengan A’ = p titik limit himpunan A } c. A disebut himpunan tertutup, jika berlaku

d. Titik disebut titik terasing (terpencil) himpunan A, jika dan p bukan titik limit A yaitu

terdapat bilangan sehingga berlaku

Definisi:

Diberikan himpunan .

a. Titik disebut titik batas himpunan A, jika untuk setiap bilangan berlaku

b. Himpunan titik batas A didefinisikan dengan

c. Interior himpunan A didefinisikan dengan Int(A) = {z: z titik dalam A}

d. Eksterior himpunan A didefinisikan dengan Eks(A) ={z: z titik luar A}

e. Penutup himpunan A didefinisikan dengan

Definisi :

Diberikan himpunan

a. Himpunan A dikatakan terhubung (connected), jika setiap dapat

dihubungkan oleh suatu lengkungan kontinu C yang seluruhnya terkandung di A b. Himpunan A dikatakan daerah (domain) di C, jika A adalah suatu himpunan terbuka

dan terhubung di C. Region adalah suatu daerah dengan atau tanpa titik batasnya.

Catatan:

Daerah seringkali disebut region terbuka sedangkan suatu daerah beserta titik batasnya disebut region tertutup.

Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks

Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda telah memahami operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-sifatnya.

1. Lingkungan/persekitaran

a. Persekitaran adalah himpunan semua titik z yang

terletak di dalam lingkaran yang berpusat di ,berjari-jari r, . Ditulis zo

b. Persekitaran tanpa zo adalah himpunan semua titik zo yang terletak di dalam

lingkaran yang berpusat di zo , berjari-jari . Ditulis

2. Komplemen

Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis S^c,merupakan himpunan semua titik pada bidang Z yang tidak termasuk di S.

3. Titik limit

Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap zo maka zo Jika zo zo bukan titik limit, maka zo disebut titik terasing.

4. Titik batas

Titik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap zo memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S.

5. Batas dari himpunan S

adalah himpunan semua titik batas dari S.

6. Interior dan Eksterior

Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(zo,) sehingga N(zo,)  S.

Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.

7. Himpunan Terbuka

Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S.

8. Himpunan Tertutup

Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitnya.

9. Himpunan Terhubung

Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S.

10. Daerah domain

Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah domain.

11. Daerah Tertutup

Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya.

12. Penutup dari himpunan S

adalah himpunan S digabung dengan titik limitnya.

B. Limit Fungsi Kompleks

Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit untuk mendekati titik , dapat dituliskan sebagai :

Jika nilai dekat ke untuk semua dekat ke untuk setiap bilangan nyata positif , dapat ditemukan bilangan nyata positif sedemikian rupa sehingga untuk semua

di dalam cakram ( disk ) yaitu ; didapatkan :

Untuk setiap didalam cakram , nilai terletak dalam cakram.

Secara umum definisi limit dalam kompleks sama dengan definisi limit pada bilangan riil dalam kalkulus. Kalau pada bilangan riil bila x mendekati x0 hanya mendekati sepanjang garis riil sedangkan pada bilangan kompleks bila z mendekati z0

akan mendekati dari semua arah dalam bidang kompleks.

Definisi Limit lim ( ) ₀

0

w z f

z

z 

 dibaca “limit f(z) untuk z menuju z0 sama dengan w0

“, dan didefinisikan sebagai berikut:





       





 ( ) 0 0 0 0 0

lim

0

z z w

z f

z

z berlaku





 ₀ ) (z w

f .

Definisi :

Diberikan suatu fungsi f yang terdefinisi pada daerah .

a. jika dan hanya jika untuk setiap bilangan terdapat bilangan

sehingga jika berlaku

b. jika dan hanya jika untuk setiap lingkungan terdapat

lingkungan terhapuskan sehingga jika berlaku

.

Buktikan bahwa : a.

b.

Teorema :

Deberikan fugsi kompleks f terdefinisi pada daerah dengan dan .

a. Jika

b. jika dan hanya jika terdapat bilangan k

Teorema :

Diberikan fungsi kompleks f dan g yang terdefinisi pada daerah

dengan Jika dan

maka a.

b.

c.

d.

Teorema :

1. Diberikan fungsi kompleks f yang terdefinisi pada daerah dengan

a. jika dan hanya jika

b. Jika maka

2. Diberikan fungsi didefinisikan pada daerah

jika untuk

setiap , dan , maka

Teorema:

1. Diberikan terdefinisi pada daerah dan

jika dan hanya jika dan

2. Diberikan terdefinisi pada daerah dan

Jika selalu ada dengan nilai L untuk

sepanjang kurva dan suatu titik limit S.

Dalam bentuk yang lebih formal, dikatakan bahwa :

, untuk , adalah jika dan hanya jika, diberikan sembarang , dapat ditemukan suatu sedemikian sehingga bia titik adalah anggota yang terletak didalam , maka di dalam .

Contoh 1

Perhatikan fungsi identitas

Untuk sembarang titik jelaslah bahwa, untuk , , karena jadi

bila , .

Contoh 2

Penyelesian :

.

Karena dan bila , substitusi langsung menghasilkan untuk limit yang diberikan

Conth 3

Contoh 4

Tunjukkan bahwa jika maka untuk tidak ada.

Penyelesaian :

Kita buat sepanjang sumbu nyata

Dengan membuat sepanjang garis kita peroleh :

Contoh 5

Misalkan , 1

) 2

( iz z  z

f . Buktikan

) 2 ( lim

1

z i f

z 

 .

Bukti:

Ambil ε > 0 sebarang. Pilih  2  z1  berlaku

 

 _{ }

 



 

 

 







2 2 2 2

1

2 1 1 2

1 2

) 1 ( 2 2 ) 2

(

z

z z

z i i i iz z i

f

Jadi untuk setiap z dan  positif berlaku   ) 2

( i

z

f bila

 2 1

0 z  , lihat gambar 2.

Sehingga menurut definisi limit terbukti

) 2 ( lim

1

z i f

z 

 .

Contoh 6 1.

Misalkan

z z z

f( ) . Buktikan lim ( )

0 f z

z tidak ada.

Bukti:

Akan ditunjukkan nilai limit dengan lintasan yang berbeda.

 Pendekatan sepanjang sb-x positif, dalam hal ini y = 0.

1 1 0 lim .

0 lim . lim

) ( lim

0 )

0 , ( )

0 , 0 ( ) , (

0  



 



 





 xy x x

z x i

i x iy

x iy z x

f .

 Pendekatan sepanjang sb-y positif, dalam hal ini x = 0.

1 1 . lim

0 . lim0 lim

) ( lim

0 )

, 0 ( )

0 , 0 ( ) , (

0   



 



 





 xy y y

z iy

y i iy

x iy z x

f .

 Pendekatan sepanjang garis y = x.

i i i

x i x x

i x

x i x iy

x iy z x

f

x x

x x

z 

 



 



 



 







 1

1 ) 1 (

) 1 lim ( .

lim . lim

) ( lim

0 0

) 0 , 0 ( ) , (

0 .

Karena pendekatan sepanjang arah yang berbeda menghasilkan nilai yang tidak sama maka lim ( )

0 f z

z tidak ada.

Teorema1 Andaikan f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + iy0 , ω0 = u0 + iv0 maka

) 0 ( ) , 0 (

) ( ) ,

0 ( lim ( , ) lim ( , )

) ( lim

, 0 0 0

, 0 0

v y x v dan

u y x u z

f

y x y x y

x y z x

z    



  

Bukti:

)

( Misalkan ₀

) ( ) , 0 (

) ( ) ,

( lim ( , ) lim ( , )

, 0 0 0

, 0

v y x v dan

u y x u

y x y x y

x y

x  



 , artinya

2 2 0 2

0 0

1 2 0 2

0 0

2 1

) (

) ( 0 2,

) (

) ( 0 2, ,

0

 

 











































y y x

x v

v

y y x

x u

u

Pilih  min(₁,₂). Karena

(uiv)(u₀iv₀)  (uu₀)i(vv₀)  uu₀  vv₀ dan

(xx₀)² (yy₀)²  (xx₀)i(yy₀)  (xiy)(x₀ iy₀)

maka   











 ) ( ) 2 2

(u iv u₀ iv₀ bila











 ( ) ( )

0 x iy x₀ iy₀ .

Jadi lim ( ) ₀

0



 f z 

z

z .

()Misalkan lim ( ) ₀

0



 f z 

z

z , artinya





       

 0 (u iv) (u₀ iv₀) bila0 (xiy)(x₀ iy₀) . Perhatikan bahwa

) (

) ( ) ( ) (

) (

) ( ) ( ) (

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0

iv u iv u v

v i u u v v

iv u iv u v

v i u u u u





































dan

2 0 2

0 0

0 0

0 ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

(xiy  x iy  xx i yy  xx  yy Sehingga uu₀  dan vv₀  bila











 ( ₀)² ( ₀)²

0 x x y y .

Jadi ₀

) ( ) , 0 (

) ( ) , (

) , ( lim )

, ( lim

0 , 0 0

, 0

v y x v dan

u y x u

y x y x y

x y x



 

 .

Teorema2 Andaikan f z A g z B

z z z

z  



 ( ) ,lim ( ) lim

0 0

maka





f z g z



A B

z

z   

 ( ) ( ) lim

0

.

 f z g z AB

z

z 

 ( ) ( ) lim

0

.

 B

A z g

z f

z

z 

 ( ) ) lim (

0

.

Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga

Kadang-kadang suatu bidang kompleks memuat titik di tak hingga.Bidang kompleks yang memuat titik tersebut disebut bidang kompleks yang diperluas.

Teorema 3 Jika z0 dan w0 titik-titik pada bidang z dan w, maka

1) 0

) ( lim 1 )

( lim

0 0





 

 f z jhj f z

z z z

z

2) ₀

0 0

lim 1 )

(

lim w

f z jhj

w z

f z

z 



 



 







3) 0

) / 1 ( lim 1 )

(

lim  0 





 f z jhj f z

z z

Bukti:

1) Misalkan 

 ( ) lim

0

z f

z

z , artinya

 

 0  ( )  ¹

 f z bila 0 <

|z – z0| < δ ...………..(#).

Akan dibuktikan 0

) ( lim 1

0

^z f z 

z .

Titik w = f(z) berada di suatu lingkungan-ε ,yaitu |w| > 1/ε dari ∞ bila z ada di lingkungan 0 < |z – z0| < δ dari z0.

Sehingga persamaan (#) dapat ditulis menjadi





0 ) ( 1

z

f bila 0 < |z – z0| < δ.

Jadi 0

) ( lim 1

0

^z f z 

z .

2) Misalkan lim f(z) w₀

z 



 ,

artinya  0  f(z)w₀  bila |z| >1/δ...(*).

Akan dibuktikan ₀

0

lim 1 w

f z

z 



 





 .

Pada persamaan (*) rubah z dengan 1/z, maka akan diperoleh









 





0

1 w

f z bila 0 < |z – 0| < δ.

Jadi ₀

0

lim 1 w

f z

z 



 





 .

3) Misalkan 



 ( ) lim f z

z ,

artinya

 

 0  ( )  ¹

 f z bila |z| > 1/δ ………....(**).

Akan dibuktikan 0

) / 1 ( lim 1

0 

 f z

z .

Pada persamaan (**) rubah z dengan 1/z, maka akan diperoleh





0 ) / 1 (

1 z

f bila 0 < |z – 0| < δ.

Jadi 0

) / 1 ( lim 1

0 

 f z

z .

C. KEKONTINUAN Definisi Kontinu

Misalkan terdefinisi dan bernilai tunggal dalam suatu lingkungan dari

dan juga pada (yaitu lingkungan dari ). Fungsi dikatakan kontinu di jika lim ( ) ( ₀)

0

z f z

z f

z 



Perhatikan bahwa ini mengakibatkan tiga syarat yang harus dipenuhi . Fungsi f(z) dikatakan kontinu di jika

 lim ( )

0

z

z f

z ada

 f(z0) ada

 lim ( ) ( ₀)

0

z f z

z f

z 



Pernyataan pada persamaan (3) jelas memuat pernyataan pada persamaan (1) dan (2), karena secara implisit keberadaan nilai dari setiap sisi adalah sama. Pernyataan padapersamaan (3) mengatakan bahwa, untuk setiap bilangan positif, terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga

Dengan kata lain f(z) kontinu di z = z0 jika





      





 ( ) ( 0) 0 0 0

lim

0

z z z

f z

z f

z berlaku f(z) f(z₀) 

Fungi kompleks f(z) dikatakan kontinu pada region D jika f(z) kontinu pada tiap titik z dalam D. Misalkan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) kontinu di z0 = x0 + iy0 ,

u(x,y) dan v(x,y) kontinu di (x0,y0)

 lim ( , ) ( , ) lim ( , ) ( ₀, ₀)

) ( ) , 0 (

) 0 ( ) ,

( _{0, 0 0, 0}

y x v y x v dan

y x u y x u

y x y x y

x y

x  





Sifat-sifat fungsi kontinu

1) Fungsi konstan kontinu pada bidang kompleks 2) Jika f dan g kontinu pada daerah D maka

a) f+g kontinu

b) f-g kontinu c) f.g kontinu

d) f/g kontinu kecuali di z₀D sehingga g(z0) = 0 Contoh

1. Bila didefinisikan sebagai:

Periksalah apakah kontinu di Jawab:

Telah diketahui bahwa sedangkan sehingga

untuk kontinu di

2. Bila , untuk apakah kontinu di dan

di Jawab:

Brapapun nilai didefinisikan , tidak mungkin kontinu di sebab tidak ada. Sekarang akan kita periksa terlebih dahulu

apakah ada.

Jadi akan kontinu di asalkan

D. TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS Definisi Turunan

Semua fungsi yang analitik pasti dapat diturunkan (diferensiabel), tetapi tidak berlaku sebaliknya, bahwa fungsi yang diferensiabel menunjukkan analitisitas.

Definisi turunan fungsi kompleks sama seperti turunan pada fungsi real : Turunan fungsi f di z0, ditulis dengan f(z₀) didefinisikan sebagai berikut:

Defnisi Keterdiferensialan: Misalkan adalah fungsi kompleks dengan daerah asal (domain) , dan . Fungsi dikatakan terdi- ferensialkan / dapat diturunkan / memiliki turunan di jika

z z f z z z f

f z 





 

 

) ( ) lim (

)

( ^{0 0}

0 0 jika limitnya ada.

Notasi untuk turunan f di z adalah ( ) f(z) dz z d

f  . Dengan .

Jika nilai limit tersebut ada, maka nilai limit tersebut dinotasikan sebagai

dan disebut sebagai turunan di . Jika terdiferensialkan di setiap titik pada suatu himpunan maka diperoleh sehingga dapat dide_nisikan fungsi baru yang disebut fungsi turunan dari yaitu

Dengan Contoh:

1. Jika maka secara umum , diperoleh

Sehingga diperoleh fungsi turunan dari adalah

2. Jika dan maka