BAB 2 Fungsi Kompleks-1

BAB 2

FUNGSI KOMPLEKS

Sebelum membahas fungsi kompleks, berikut ini diberikan beberapa konsep dan istilah yang akan banyak digunakan dalam pembahasan selanjutnya.

2.1 Daerah di Bidang Kompleks

Bagian berikut ini kita akan membahas beberapa kurva dan daerah penting dan sejumlah konsep terkait yang akan sering kita gunakan.

Lingkaran C dengan pusat z₀ dan berjari-jari R, C : zz₀ R, merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak R dari z₀.

y

x

Lingkaran satuan, adalah lingkaran berjari-jari satu dan berpusat di titik asal, direprentasikan dengan z 1.

Cakram lingkaran, adalah interior lingkaran C, yaitu zz₀ R, atau lebih tepat disebut cakram lingkaran terbuka dan disebut juga lingkungan dari z₀. Cincin lingkaran terbuka atau anulus terbuka, adalah daerah antara dua lingkaran sepusat dengan jari-jari R1 dan R2, direprentasikan dengan

2 0

1 z z R

R    .

Himpunan titik-titik pada bidang kompleks berarti sembarang koleksi titik-titik pada bidang kompleks.

Sebuah himpunan S dikatakan terbuka jika setiap titik di dalam S mempunyai suatu lingkungan yang seluruhnya terletak di dalam S.

Suatu himpuan S dikatakan terhubung jika sebarang dua titik di dalam himpunan ini dapat dihubungkan dengan suatu garis patah-patah yang terdiri atas terhingga banyaknya ruas garis yang seluruhnya terletak di dalam S.

Domain adalah himpunan terbuka yang terhubungkan.

Komplemen himpunan S adalah himpuan semua titik yang tidak terletak di dalam S.

Titik Batas himpunan S adalah titik yang setiap lingkungannya mengandung titik-titik di dlam S maupun di luar S.

Wilayah atau region adalah sebuah himpunan yang terdiri atas sebuah domain ditambah sebagian atau seluruh titik batasnya.

2.2 Fungsi Kompleks

Perhatikan fungsi f :I C, dengan I merupakan sub himpunan bilangan real dan C himpunan bilangan kompleks. Maka fungsi f ini merupakan fungsi bernilai kompleks. Fungsi ini merupakan bentuk penyederhanaan fungsi yang memetakan sub himpuan bilangan real ke bidang, atau lebih dikenal sebagai fungsi bernilai vektor. Sebagai contoh, diberikan fungsi f(t)costisint,0t2, maka kurva dari fungsi kompleks ini berupa lingkaran satuan, yaitu lingkaran yang berpusat di pusat koordinat dan berjari-jari satu. Jelaskan! Sedangkan fungsi

2 )

(t t it

g   , 1t 1, akan berupa parabola y x2, dari x = – 1 sampai x = 1, seperti gambar berikut.

pada S adalah aturan yang menetapkan setiap z di dalam S dengan tepat satu unsur di C dan dituliskan sebagai

C S

f :  .

zw f(z).

Pada rumus di atas, z adalah bilangan kompleks, jadi S merupakan domain definisi fungsi f dan himpunan yang merupakan seluruh nilai fungsi f disebut sebagai range (jangkauan) dari f. Sedangakn w adalah juga bilangan kompleks, sehingga dapat ditulis sebagai w = u + iv , yang bergantung pada bilangan kompleks z = x + iy. Jadi w dapat ditulis sebagai w f(z)u(x,y)iv(x,y).

f(z)

Domain Range

Dengan demikian fungsi kompleks f(z) ekuivalen dengan pasangan fungsi u(x,y) dan v(x,y)yang keduanya bergantung pada dua peubah x dan y.

Himpunan S disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis Df dan f(z) disebut

nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis Rf,

yaitu himpunan f(z) untuk setiap z anggota S.

Contoh 1 :

a) w = z + 1 – i b) w = 4 + 2i c) w = z2– 5z d) f(z) =

iy x

z   w f(z)u(x,y)iv(x,y)

1 2

3

 

Contoh 1(a),1(b),1(c) adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z. Sedangkan contoh 1(d) adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z , kecuali z = .

Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikan menjadi w = u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real x dan y.

Apabila z = r(cos + i sin), maka w = u(r, ) + iv(r, ).

Contoh 2: Tuliskan f(z) = 2z2– i dalam bentuk u dan v ! Penyelesaian.

Misal z = x + iy, maka fungsi w = f(z) = 2z2– i = 2(x + iy )2– i

= 2(x2+2xyi-y2) – i = 2(x2-y2) + i(2xy-1). Jadi u = 2(x2-y2) dan v = 2xy-1.

Contoh 3. Jika z = r(cos + i sin), tentukan u dan v jika f(z) = z2 + i Penyelesaian.

f(z) = z2 + i

= [r (cos+i sin)]2 + i

= r2[cos2 - sin2 + 2isin cos] + i = r2 (cos2 - sin2) + r2i sin2 + i = r2 (cos2 - sin2) +(1+r2sin2)i

berarti u = r2(cos2 - sin2) dan v = 1+r2sin2) .

2.2.1 Komposisi Fungsi

Diberikan fungsi f(z) dengan domain Df dan fungsi g(z) dengan domain Dg.

2 1

Tidak berlaku hukum komutatif pada (g f ) (z) dan (f g)(z). Contoh 4. Misal f(z) = 3z – i dan g(z) = z2 + z –1 + i, maka

‣ Jika Rf Dg,

maka (g f) (z) = g (f (z)) = g(3z – i)

= (3z – i)2 + (3z – i) –1 + i = 9z2 – 6iz – 1 + 3z – i – 1 + i = 9z2 – 3z – 2 – 6iz

‣ Jika Rg Df,

maka (f g) (z) = f (g (z)) = f(z2 + z –1 + i) = 3z2 + 3z – 3 + 3i – i

Karena 9z2 – 3z – 2 – 6iz ≠ 3z2 + 3z – 3 + 3i – i.

Jadi (g f) (z)  (f g)(z) atau (g f)  (f g) (tidak komutatif).

2.2.2. Interpretasi Geometris

Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota domain ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w = u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, z pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan (z,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w = f(z). Caranya dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan

f _g

f g

(transformasi) dari titik di bidang Z ke titik di bidang W dengan aturan f. Untuk suatu titik z maka f(z) disebut peta dari z.

Contoh 5. Diketahui fungsi w = 2z – 1 + i. Untuk setiap variabel bebas z = x + iy didapat nilai w = (2x – 1) + (2y + 1)i. Misalnya untuk z1 = 1 + i , dan z2 = 2 – 3i , berturut-turut diperoleh : w1 = 1 + 3i , dan w2 = 3 – 5i. Gambar dari z1,z2, w1 , dan w2 dapat dilihat pad gambar berikut.

Contoh 6. Diketahui fungsi w = z2.

Dengan menggunakan z = r (cos + i sin), maka diperoleh w = z2= r2 (cos2 + i sin2).

Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang Z, maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r2. Daerah 0  arg z  dipetakan menjadi daerah

0  arg w  2.

Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini.

X U

1

z

2

z

1

w

2

w

O O

Z bidang

W bidang

1 1

2

3



1 3

3

5



Y

2.3 Limit dan kekontinuan

2.3.1 Limit Fungsi

Pengertian limit dan kekontinuan fungsi kompleks secara esensi sama dengan pengertian limit dan kekontinuan fungsi real.

y y

x x

Suatu fungsi f(z) dikatakan mempunyai limit l untuk z mendekati z₀ jika untuk sebarang  > 0 terdapat bilangan positif  sehingga untuk 0 zz₀  berlaku f(z)l  dan ditulis sebagai

l z f

z

z ( )

lim 0

.

 2

Z bidang

W bidang

r

2

r

 z

. z0 f(z)

. l

Perlu diperhatikan bahwa :

1. Titik zo adalah titik limit domain fungsi f.

2. Titik z menuju zo melalui sebarang lengkungan K, artinya z menuju zo dari segala arah.

3. Apabila z menuju zo melalui dua lengkungan yang berbeda, mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk z mendekati zo.

Contoh 7. Buktikan bahwa :

5

Misalkan diberikan bilangan  > 0, kita akan mencari  > 0 sedemikian, sehingga:

  

Lihat bagian sebelah kanan (konsekuen) Dari persamaan kanan diperoleh:

2



Terbukti 5

2

2.3.2 Teorema Limit Teorema 1 :

Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka nilai limitnya tunggal. Bukti:

Misal limitnya w1 dan w2, maka

Misalkan fungsi f dan g limitnya ada.

1. lim (f(z) + g(z)) = a + b (untuk z → zo) 2. lim (f(z) . g(z)) = a . b (untuk z → zo) 3. lim (f(z) / g(z)) = a / b (untuk z → zo)

Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut ! Contoh 8. Hitunglah :

Penyelesaian.

Penyelesaian.

Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang garis y = 0, maka 0

Karena dari dua arah nilainya berbeda, maka terbukti lim ( ) 0 f z

z tidak ada.

2.3.3 Kekontinuan Fungsi Definisi :

Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang Z dan titik zo terletak pada interior D, fungsi f(z) dikatakan kontinu di zo jika untuk z menuju zo,

maka lim f(z) = f(zo).

) titik pada daerah R tersebut.

Teorema 4 :

Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y), f(z) terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan zo = xo+ i yo titik di dalam R, maka fungsi f(z) kontinu di zo jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) masing-masing kontinu di (xo,yo).

Teorema 5 :

Andaikan f(z) dan g(z) kontinu di zo, maka masing-masing fungsi : 1. f(z) + g(z)

Contoh 11. Dimanakah fungsi

2

Perhatikan bahwa g(z) diskontinu di z = 1 dan z = 2. Jadi g(z) kontinu di daerah



z z 2



.

2.4. Turunan

Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan zo  D. Jika diketahui bahwa nilai

o

lim ada, maka nilai limit ini dinamakan turunan atau derivatif fungsi f di titik zo.

Dinotasikan : f

’

(zo)

Jika f

’

(zo) ada, maka f dikatakan terdiferensial atau differensiable di zo. Dengan kata lain :

Jika f terdiferensial di semua titik anggota D, maka f dikaakan terdifferensial pada D.

Contoh 12

Buktikan f(z) = z2 terdiferensiasi pada ℂ Penyelesaian

Teorema 6

Jika f fungsi kompleks dan f '(zo) ada, maka f kontinu di zo. Bukti :

Diketahui f '(zo) ada

Akan dibuktikan f kontinu di zo. Perhatikan bahwa untuk setiap zz0 berlaku

sehingga diperoleh

0

Sebaliknya belum tentu benar. Artinya, suatu fungsi kontinu disuatu titik tetapi ia tidak terdiferensial di titik tersebut.

Contoh 13

Buktikan f(z) = | z|2 kontinu di seluruh bidang kompleks tetapi terdifferensial hanya di z = 0.

Bukti :

0 lim

| | lim 0

) 0 ( ) ( lim ) 0 ( '

0 2 0

0    

 

 

 _z

z z z

z z

f z f f

z z

z

Jadi f terdiferensial di z = 0. Untuk menunjukkan bahwa f terdiferensial

hanya di z = 0, maka harus ditunjukkan f tidak terdiferensial di setiap z 0. Hal

ini ditunjukkan pada Contoh 14 di bagian sesudah ini.

2.5 Syarat Chauchy-Riemann

Syarat yang diperlukan agar fungsi f terdiferensial di zo = xo + i yo adalah syarat Chauchy-Riemann, yang menghubungkan derivatif-derivatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f.

Teorema 7 (Syarat Chauchy-Riemann)

Jika f(z) = u(x, y) + i v(x, y) terdifferensial di zo = xo + i yo, maka u(x, y) dan v(x, y) mempunyai derivatif parsial pertama di (xo, yo) dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauchy–Riemann

x v y

u dan y v x u

      

   

derivatif f di zo dapat dinyatakan dengan

) , ( ) , ( ) (

' z₀ u x₀ y₀ iv x₀ y₀

f  _x  _x

Jika persamaan C-R tidak dipenuhi di (xo, yo) maka

f(z) = u(x, y) + i v(x, y) tidak terdiferensial di zo = xo + i yo

Contoh 14

Buktikan f(z) = | z|2 tidak terdifferensiasi di z  0

Bukti :

Diperoleh Persamaan Cauchy–Riemann

Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan dan bukan menjadi syarat cukup.

Contoh 15

Diketahui fungsi f dirumuskan dengan f(z) = _{2 2} 3 tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-R

1

Jadi persamaan Cauchy – Riemann telah dipenuhi, tetapi

)

 tidak ada, sehingga f tidak terdifferensial di 0 meskipun

persamaan C-R dipenuhi di (0,0).

vy(x,y) = excos y

Perhatikan bahwa u_x,u_y,v_x,v_yada dan kontinu di setiap (x,y)  ℂ.

Dan dipenuhi persamaan C-R :

ux = vy dan uy = -vx dipenuhi di  (x,y) ℂ, dan ada persekitaran dimana keenam

fungsi kontinu dan C-R dipenuhi di (x,y).Jadi f’(z) ada  z  ℂ dan f ’(z) = ux(x, y) + i vx(x, y) = ex cos y + i ex sin y.

Syarat C-R Pada Koordinat Kutub

Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) dapat diilustrasikan dalam koordinat kartesius maka dengan menggunakan hubungan x = r cos  dan y = r sin  , diperoleh z = r cos  + i sin  , sehingga f(z) = u(r, ) + i v(r, ) dalam sistem koordinat kutub.

Teoreama 8.

Jika f(z) = u(r, ) + i v(r, ) terdiferensial dan kontinu pada suatu kitar (ro,

o) dan jika dalam kitar tersebut

ur, u, vr, v ada dan kontinu di (ro, o) dan dipenuhi Persamaan C-R yaitu: v_

r

u_r 1 dan 1u , r 0 r

v_{r } .

maka f’(z) ada di z = zo dan f’(z) = (cos o – i sin o) [ur(ro, o) + i vr(ro, o)].

Contoh 17.

Diketahui f(z) = z -3, tentukan f’(z) dalam bentuk kootdinat kutub. Penyelesaian.

f(z) = z -3 = r -3 (cos 3 - i sin 3), maka :

u = r -3 cos 3 , sehingga ur = -3r-4 cos 3 dan u = -3r -3 sin 3, v = -r -3 sin 3 , sehingga

vr = 3r -4 sin 3 dan v = -3r-3 cos 3

keenam fungsi ini kontinu dan syarat C-R dipenuhi untuk semua z  0 Jadi f(z) = z -3 terdiferensial untuk z  0

f’(z) = (cos – i sin ) (-3r-4 cos 3 + i 3r-4 sin 3) = cis(-) (-3r-4) cis(-3)

= -3r-4 cis(-4).

Aturan Pendiferensialan

Jika f(z), g(z) dan h(z) adalah fungsi- fungsi kompleks serta f’(z), g’(z) dan h’(z) ada, maka berlaku rumus-rumus :





3x2 = 3y2  y =  x dan uy = – vx = 0

persamaan C – R dipenuhi dan kontinu di garis y =  x berarti f ’(z) ada hanya di y =  x.

Jadi f(z) tidak analitik dimanapun karena untuk setiap titik anggota ℂ tidak ada persekitaran sehingga f mempunyai turunan di setiap titik anggota persekitaran tersebut.

Sifat sifat fungsi analitik

Misalnya f dan g analitik pada D, maka : 1. f  g merupakan fungsi analitik 2. fg merupakan fungsi analitik

3. f / g merupakan fungsi analitik dengan g  0 4. h = g ∘ f merupakan fungsi analitik

5. berlaku aturan L’hospital yaitu :

0 ) ( ' 0 ) ( dengan ,

) ( '

) ( ' ) (

) ( lim

0

 



 _{g z} g z g z

z f z g

z f

z z

2.7. Titik Singular Definisi

Titik z1 disebut titik singular dari f jika f tidak analitik di z1 tetapi untuk setiap persekitaran dari z1 memuat paling sedikit satu titik dimana f analitik.

Jenis kesingularan f(z) atau titik singular antara lain:

1. Titik singular terisolasi

Titik zo dinamakan titik singular terisolasi dari f(z) jika terdapat   0 demikian sehingga lingkaran | z – zo | =  hanya melingkari titik singular lainnya. Jika  seperti itu tidak ada, maka z = zo disebut titik singular tidak terisolasi.

Titik z = zo disebut titik pole tingkat n, jika berlaku lim( 0) ( ) 0 0

  

 z z f z A

n

z

z

Jika n = 1, zo disebut sebagai titik pole sederhana.

3. Titik Cabang

Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular.

4. Titik Singular dapat dihapuskan

Titik singular zo disebut titik singular dapat dihapuskan dari f(z) jika

0 lim



z f(z) ada.

5. Titik Singular Essensial

Titik singular z = zo yang tidak memenuhi syarat titik singular pole, titik cabang atau titik singular yang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial.

6. Titik Singular tak hingga

Jika f(z) mempunyai titik singular di z = , maka sama dengan menyatakan f(1/w) mempunyai titik singular di w = 0.

Contoh 19

1. g(z) = ₂ ) 1 (

1



z berarti titik z = i adalah titik pole tingkat 2 dari g(z). 2. h(z) = | z |2 tidak merupakan titik singular

3. k(z) = ln (z2 + z – 2) maka titik cabang adalah z1 = 1 dan z2 = –2 karena (z2 + z – 2) = (z – 1) (z + 2) = 0.

2.9 Fungsi Harmonik

vxx + vyy = 0.

Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial Laplace dalam 2 dimensi.

0 2 2 2 2

     

y f x

f

,

u dan v dimana f(z) = u(x, y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain maka f(z) dikatakan harmonik pada domain tersebut.

Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analitik dalam suatu domain dinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain itu.

Contoh 20

Diberikan u(x, y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v yang harmonik konjugat dengan u = 4xy3– 4x3y, (x, y)  ℂ

Penyelesaian:

Misal konjugatnya adalah v(x, y). Jadi f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analitik pada ℂ sedemikian sehingga berlaku C – R ux = vy dan uy = – vx .

ux = 4y3– 12x2y , vy = 4y3– 12x2y

uy= 12xy2– 4x3, v = y4– 6x2y2 + g(x)

karena vx= –uy maka –12xy2 + g'(x) = –12xy2 + 4x3 sehingga g'(x) = 4x3 diperoleh g(x) = x4 + C

Jadi v = y4– 6x2y2 + x4 + C.

Soal latihan:

1. Nyatakan hubungan/ implikasi antara fungsi seluruh (entire), fungsi analitik, fungsi diferensiabel, dan fungsi kontinu.

2. Diberikan f(z) xyixy.

a. Apakah f merupakan fungsi seluruh.

c. Jika tidak analitik di suatu titik, apakah ada titik yang menyebabkan fungsi f terdiferensial di titik tersebut. 3. Diberikan u(x,y)2xx3kxy2

a. Tentukan k agar u(x,y)merupakan fungsi harmonik b. Tentukan fungsi analitik f(x,y)u(x,y)i(x,y).