BAB 5 Barisan dan Deret Kompleks

BAB 5

BARISAN DAN DERET KOMPLEKS

Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real.

5.1 Barisan

Barisan merupakan sebuah fungsi dengan domain berupa himpunan bilangan asli N. Sebuah barisan kompleks dapat dipandang sebagai suatu daftar bilangan bilangan yang ditulis dalam suatu urutan tertentu z₁,z₂,...,z_n,..., dimana bilangan z_n disebut suku ke-n.

Barisan biasa dinotasikan dengan {z₁,z₂,...} atau {z_n}. Contoh 1:

     

1

n ni

;

1

 

n ni

z_n .

Konvergensi Barisan

Definisi : Barisan {z_n}dikatakan mempunyai limit A, ditulis z_n A

n



 

lim jika untuk setiap 0 terdapat bilangan bulat positif N sedemikian sehingga



 A

z_n apabila nN

Jika _n

n

z  

lim ada, maka barisan tersebut dikatakan konvergen. Jika tidak, maka dikatakan divergen.

Jika barisan kompleks {z_n}dengan z_n  x_niv_n konvergen ke suatu bilangan kompleks A, maka dua barisan real {x_n} dan {y_n}masing-masing konvergen ke Re A dan Im A dan sebaliknya.

Sifat : Jika {z_n} dan{w_n} barisan yang konvergen, maka

(i). _n

n n n n n

(ii). _n

n n n n n n

w z

w z

    

 ( ) lim .lim

lim .

(iii). ,

lim lim lim

n n

n n n n

n w

z

w z

 

  

  asal nlim n 0

w .

Sifat : Jika _n

nlimz ada, maka limitnya tunggal.

Soal :

1. Apa yang dimaksud dengan barisan, barisan konvergen, barisan divergen? Berikan contoh.

2. Tentukan apakah barisan berikut konvergen atau divergen. Jika konvergen tentukan limitnya,

a.

i n

i n z_n

  

3 b. an (1 i)n 1



 c.

      

n i n

Deret

Misalkan {z_n}adalah barisan bilangan kompleks. Suatu deret tak hingga (untuk selanjutnya disebut deret), dinotasikan dengan



 1

n n

z . Didefinisikan barisan {S_n},

dengan





   

 n

k k n

n z z z z

S

1 2

1 ... . Selanjutnya Sn disebut jumlah parsial dari

deret tersebut.

Definisi: Deret



 1

n n

z dikatakan konvergen ke s , jika barisan jumlah parsial {S_n}

konvergen ke s , yaitu S_n s

n

  

lim . Jika {S_n} divergen maka deret





1

n n

z

Teorema 1 : Jika





1

n n

z konvergen maka lim 0   n

n

z .

Bukti

Misalkan





1

n n

z konvergen ke s, maka S_n s

n 

lim . Perhatikan bahwa

1  

 _{n n}

n S S

z sehingga lim  lim  1 lim  lim 1  0.

       

 zn n Sn Sn n Sn n Sn s s n

Konvers teorema di atas tidak berlaku, jika lim 0   n

n

z , tidak dapat disimpulkan

bahwa





1

n n

z konvergen.

Contoh : lim 0   n

i

n

tetapi deret





1

n n

i

divergen.

Akan ditunjukkan bahwa deret





1

n n

i

divergen. Perhatikan bahwa

2 4 16 ... 16 8 8 8 8 4 4 2 16 ... 9 ... 5 4 3 2 2 3 8 8 8 8 4 4 2 8 7 6 5 4 3 2 2 2 4 4 2 4 3 2 , 2 , 16 8 4 2 1 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i S i i i i i i i i i i i i i i i i i i S i i i i i i i i i i S i i S i S                                                     

Dengan cara sama secara umum diperoleh

2 2

ni i S n   .

Karena S n 

2 jika n, hal ini berarti bahwa {Sn} divergen.

Jika lim 0   n

n

z atau _n

n

z  

lim tidak ada maka





1

n n

z divergen. Contoh:

Tunjukkan bahwa





 



1 2 2

5 3

n n i

i n

divergen

Penyelesaian. Perhatikan bahwa 0

3 1 3

1 lim 5

3 lim lim

5 2

2

    

  

  

 



n i n i n

n n

n _{n i}

i n

z .

Jadi menurut uji divergensi deret





 



1 2 2

5 3

n n i

i n

divergen.

Teorema 2: Jika



 1

n n

z dan





1

n n

w konvergen, maka





1

n n

kz (k bilangan kompleks),



 

 1

) (

n

n n w

z , dan



 

 1

n

n n w

z juga konvergen dan berlaku :

(i).





  

 

1

1 n

n n

n k z

kz .

(ii).







 

  



 



1 1

1

) (

n n

n n

n

n

n w z w

z .

(iii).







 

  



 



1 1

1

) (

n n

n n

n

n

n w z w

z .

Soal :

1. a. Apakah yang dimaksud dengan deret ? b. Jelaskan apa artinya z i

n

n 10 2

1

 







.

c. Apa yang dimaksud dengan deret konvergen? Deret divergen? Berikan masing-masing contohnya.

3. Tinjau deret





1 !

n n i

n

a. Tentukan jumlah parsial ke-1,2,3,dan 4. Perkirakan rumus untuk Sn.

b. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan perkiraan jawaban (a). c. Tunjukkan bahwa deret tersebut konvergen, dan temukan jumlahnya.

5.2 Uji Konvergensi Deret

Uji Banding Misalkan



 1

n n

z dan





1

n n

w adalah deret dengan suku positif.

(i). Jika





1

n n

w konvergen dan z_nw_n,n, maka





1

n n

z juga konvergen.

(ii). Jika





1

n n

w divergen dan z_n w_n,n, maka





1

n n

z juga divergen.

Contoh. Tentukan apakah deret





15 2 2 1

3

n n n

konvergen aau divergen ?

Penyelesaian. Perhatikan bahwa untuk n yang besar, suku yang dominan adalah

2

5n pada penyebut. Oleh karena itu dapat diambil deret





15 2 3

n n

sebagai

pembanding deret di atas. Kita punyai

2

2 ₅

3 1 2 5

3

n n

n

 

 . Dalam uji banding,

n

z =

1 2 5

3

2_{ n}

n

dan w_n=

2 5

3

n

. Selanjutnya perhatikan bahwa





15 2 3

n n

=





1 2

1 5 3

n n

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa deret





15 2 2 1

3

n n n

konvergen.

Uji Deret Berganti Tanda Jika deret berganti tanda







 _{   }

 1

3 2 1 1

... )

1 ( n

n n

z z z

z , z_n 0 memenuhi :

(i). z_n1z_n,n (ii). lim 0

  n

n

z

maka deret tersebut konvergen.

Contoh: Deret







 

1

1

1

n

n

n ) (

konvergen, karena memenuhi

(i). z_n1z_n,n sebab

n n

1 1 1

 

(ii). lim  lim 1 0   

 zn n n

n

.

Uji Rasio

(i). Jika lim 1  1,



 z L

z

n n

n maka deret



 1

n n

z konvergen

(ii). Jika lim 1  1,



 z L

z

n n

n atau lim ,

1 _  

 _n

n

n z

z

maka deret





1

n n

z divergen.

Contoh: Deret





  1

3

2 1

n n

n n

)

Perhatikan:

n n

n n

n n

2 ) 1 (

2 ) 1 ( ) 1 (

3 1

3 1

 

  _

= _{1 3}

3

2 2

) 1 (

n

n n

n



 =

3

1 2 1

       

n n

= 2 1

Soal.

1. Jika





1

n n

z dan





1

n n

w konvergen, tunjukkan





1

n n nw

z juga konvergen? 2. Tentukan apakah deret berikut konvergen

a.





   1

2 1

1 4

) ( n

n

n i

b.



 



1 !

) 2 1 ( n

n

n i

c.



 



1

2

)! 2 (

) 3 ( n

n

n i

d.





1 2

1

n ( n)!

e.







   

 

 

1 2 2 1

n n

i n

f.





1 2

n n

i n

5.3 Deret Pangkat

Deret pangkat adalah deret yang berbentuk ₂ 2 ...

0

1

0  









z a z a a z a

n n n

dengan z adalah suatu peubah dan a_n adalah koefisien dari deret tersebut.

Lebih umum, deret yang berbentuk

... ) ( ) ( )

( _{2 0} 2

0

0 1 0

0      









z z a z z a a z

z a

n

n n

Disebut deret pangkat dalam(zz₀) atau deret pangkat dengan pusat z₀ atau deret pangkat di sekitar z₀.

Teorema

Untuk suatu deret pangkat







 0

0)

( n

n n z z

a terdapat tiga kemungkinan : (i). Deret tersebut konvergen hanya untuk z = z₀.

(ii). Deret tersebut konvergen untuk semua z.

(iii).Terdapat suatu bilangan positif R sedemikian sehigga deret tersebut konvergen jika zz₀ R dan divergen jika zz₀  R.

Bukti

Bilangan R pada kasus (iii) disebut jari-jari konvergensi deret pangkat. Dengan demikian kasus (i) memiliki jari-jari konvergensi R = 0, dan dan pada kasus (ii) R = . Sedangkan zz₀  R disebut Lingkaran konvergensi deret pangkat tersebut. Jari-jari konvergensi deret pangkat dapat ditentukan dengan uji rasio.

Contoh:

Tentukan jari-jari dan daerah konvergensi deret





0  2

) 1 (

3 n

n n

n z

Misalkan 2 ) 1 ( 3   n a n

n , maka deret akan konvergen jika

1 3 ) 2 ( ) 1 ( 3 lim ) 2 ( ) 1 ( 3 lim ) 1 ( 3 ) 2 ( 3 lim lim 2 2 2 2 2 2 1

1 _{ }

                   _n n n n n n a a n n n n n n n n .

Jadi deret itu konvergen jika

3 1



z daan divergen jika

3 1



z . Jadi jari-jari

konvergensi deret ini adalah

3 1

 R .

Teorema

Jika deret pangkat



   0 0) ( n n n z z

a mempunyai jari-jari konvergensi R > 0, maka fungsi f yang didefinisikan oleh

       ( ) ( ) ... )

(z a₀ a₁ z z₀ a₂ z z₀ 2

f



   0 0) ( n n n z z

a

dapat diturunkan di dalam lingkaran konvergensi zz₀ R dan

(i)



     1 1 0) ( ) ( ' n n n z z

na z

f atau





               0 0 0

0) [ ( ) ]

( n n n n n

n a z z

dz d z z a dz d

(ii)





      0 1 0 1 ) ( ) ( n n n n z z a dz z

f atau

 



               0 0 0

0) ( )

( n n n n n

n z z dz a z z dz

a .

Dengan jari-jari konvergensi pada (i) dan (ii) adalah R.

Contoh:

Tentukan deret pangkat dari f(z)ln(1z) dan jari-jari konvergensinya. Penyelesaian



        

 2 3 ... , 1

gunakan ekspansi







 

0

0 0

) (

) ( !

) ( )

(

m

m m

z z m

z f z

f dengan z0 = 0

Jari-jari konvergensinya R = 1.

Soal.

1. Tentukan jari-jari dan lingkaran konvergensi deret berikut a.



 0 !

n n

n z

b.







  

1

1 2

)! 1 2 (

) 1 ( n

n n

n z

c.





 

1

) 2 (

n n

n

n i z

d.





 



0 ( 3)

) 3 ( 2 n

n n

n z

2. Misalkan deret





0

n n nz

b konvergen untuk z 2. Apa yang dapat anda

katakan tentang deret



 

  0

1

1 n

n n _z

n b