BAB II FUNGSI ANALITIK

BAB II

FUNGSI ANALITIK

Sekarang kita akan mempelajari fungsi dari variabel kompleks dan pengembangannya dalam teori differensial. Sebagai awal dari bab ini kita mulai dari fungsi analitik, yang mana sangat berperan dalam analisis kompleks.

9. FUNGSI DARI SUATU VARIABEL KOMPLEKS

Misalkan S suatu himpunan bilangan kompleks. Suatu fungsi f yang didefinisikan pada S adalah suatu aturan pengaitan setiap z di S dengan tepat satu bilangan kompleks w . Bilangan w disebut nilai dari f di z dan dinotasikan dengan f (z); yaitu w = f(z). Himpunan S disebut daerah definisi dari f.

Tidak selalu tepat untuk menggunakan notasi yang berbeda diantara suatu fungsi yang diberikan dan nilainya. Sebagai contoh, jika f didefinisikan pada setengah bidang Re z>0 yang berarti bahwa persamaan w=

z

1, berhubungan dengan fungsi w=

z 1, atau

secara sederhana fungsi z

1, dimana Re z > 0.

Akan ditegaskan bahwa daerah definisi dan suatu aturan yang dibutuhkan dalam urutan untuk fungsi terdefinisi. Jika daerah definisi tidak disebutkan secara khusus maka kita mengambil himpunan yang paling besar sehingga fungsi tersebut tedefinisi dengan baik. Selanjutnya, jika kita hanya mengatakan dari fungsi

z

1 maka daerah definisinya

adalah himpunan dari semua titik yang tidak nol dalam bidang.

Misalkan bahwa w=u+iv adalah nilai dari suatu fungsi f di z= x+iy , sehingga u+iv

= f(x+iy). Setiap bilangan real u dan v tergantung pada variabel real x dan y, dan dari sini bahwa f(z) dapat diekspresikan dalam bentuk suatu pasangan dari fungsi bernilai real dari variabel x dan y :

(1) f(z)=u(x,y)+iv(x,y).

Jika koordinat polar r dan , sebagai pengganti dari x dan y untuk digunakan , maka u+iv = f(re^i),

dimana w =u+iv dan z = (re^i). Dalam kasus ini , kita tulis

(2) f(z)=u (r,)+iv(r,).

Contoh : Jika f(z)= z², maka f(x+iy)=(x+iy)²= x²–y²+i2xy.

Jadi u (x,y)=x²–y²dan v(x,y)= 2xy.

Jika kita menggunakan koordinat polar, f(re^i)= (re^i)²=r²e^i2=r²cos 2+ir²sin 2.

Akibatnya ,

u(r,) =r²cos2 dan v(r,)=r²sin 2.

Jika, dalam persamaan (1) atau (2), fungsi v adalah selalu sama dengan nol, maka bilangan f(z) adalah selalu real. Sebagai contoh suatu fungsi yang bernilai real dari variabel kompleks adalah

f(z)= z² x² y² i0.

Jika n = 0 atau suatu bilangan bulat positif dan jika a₀, a₁, a₂, …., a_n adalah konstanta kompleks dengan an0, maka fungsi

P(z)=a0+a1z+ a2z²+…+anzⁿ

adalah suatu polinom yang berderajat n. Perlu dicatat bahwa penjumlahan dari sejumlah hingga suku-suku di atas daerah definisinya adalah seluruh bidang z. Pembagian P(z)/Q(z) dari polinom adalah disebut fungsi rasional disetiap titik z dengan Q(z) 0. Polinom dan fungsi rasional merupakan fungsi elementer, tetapi sangat penting dalam kelas fungsi dari suatu variabel kompleks.

Perumuman dari konsep fungsi adalah aturan pengaitan paling banyak satu nilai dari setiap titik z didaerah definisinya. Fungsi bernilai banyak terjadi dalam teori fungsi dari variabel kompleks, demikian juga dalam kasus variabel real. Jika fungsi bernilai banyak dipelajari, harus selalu satu dari nilai yang mungkin setiap titik yang diambil, dalam kesimetrian, dan suatu fungsi (bernilai tunggal) adalah dikonstruksi dari fungsi bernilai banyak. Sebagai contoh, misalkan bahwa z adalah suatu bilangan kompleks tak nol z = re^i.

Kita ketahui dari bahagian 7 bahwa z^1/2mempunyai dua nilai yaitu ^{12 2}

 i

e r

z  , dimana adalah nilai utama (-<) dari arg z. Tetapi, jika kita hanya memilih nilai positif dari

 rdan ditulis f

 

z  re^i2 (r>0, -<<), terlihat bahwa ini merupakan fungsi (bernilai tunggal) f adalah terdefinisi dengan baik pada daerah yang diberikan. Dimana nol adalah hanya mempunyai akar kuadrat nol, kita juga menulis f(0) = 0. Fungsi f adalah terdefinisi dengan baik pada daerah yang terdiri dari seluruh bidang kompleks kecuali sepanjang =

, yakni pada sumbu real negatif.

10. PEMETAAN.

Sifat dari fungsi bernilai real dari variabel real adalah fungsinya selalu dapat digambarkan dengan grafik. Tetapi jika w =f(z), dimana z dan w adalah bilangan kompleks, tidak selalu sederhan digambarkan dengan grafik sebab setiap bilangan z dan w berada dalam bidang yang lebih besar dari pada garis. Salah satu cara bagaimana menggambarkannya adalah dengan mengindikasi setiap pasang titik z = (x,y) yang berhubungan dengan titik w = (u,v).

Disini pada umumnya kita menggambarkan bidang z dan w secara terpisah.

Jika fungsi f dilakukan dengan cara ini, maka selalu dihubungkan dengan pemetaan, atau transformasi. Bayangan dari titik z dalam daerah definisi S adalah titik w = f(z), dan himpunan semua bayangan dari semua titik dalam himpunan T yang termuat dalam S disebut bayangan dari T. Bayangan dari seluruh daerah definisi dari S disebut range dari f.

Bayangan invers dari suatu titik w adalah himpunan semua titik z dalam daerah definisi dari f yang mempunyai pasangan bayangan w. Bayangan invers suatu titik boleh memuat hanya satu titik, beberapa titik, atau tidak sama sekali. Kasus ini terjadi jika w bukan merupakan range dari f.

Bentuk translasi, rotasi, dan pencerminan adalah digunakan untuk menyampaikan karateristik geometri dari pemetaan tertentu. Dalam kasus ini, kadang-kadang tepat untuk digambarkan z dan w dalam bidang yang sama. Sebagai contoh, pemetaan

w = z + 1 = (x+1) + iy,

Dimana z = x + iy, dapat ditentukan melalui suatu translasi dari setiap titik z satu satuan kekanan. Karena i = e^i/2, maka pemetaan

w = iz = 



 



 



 

  exp i  2

r ,

dimana z = re^i, rotasi pada jari-jari vektor untuk setiap bilangan kompleks tak nol terus kekanan sudut titik asal yang berlawanan dengan arah jarum jam; dan pemetaan

w = z =x – iy

adalah transformasi setiap titik z = x + iy kedalam pencermianan terhadap sumbu x.

Informasi umum yang digunakan dalam menggambar bayangan dari suatu kurva dan daerah yang lebih sederhana adalah mengindikasi bayangan titiknya satu persatu.

Dalam contoh berikut, kita ilustrasikan ini dengan transformasi w = z².

Contoh 1. Dari contoh dalam bagian 9, pemetaan w = z² dapat dijelaskan melalui transformasi:

(1) u = x²– y², v = 2xy

dari bidang xy kebidang uv. Bentuk pemetaan ini yang akan digunakan dalam menemukan bayangan dari hyperbola tertentu.

Mudah ditunjukkan bahwa, setiap cabang dari hyperbola x²– y²= c1(c1> 0) adalah pemetaan satu-satu dan pada kegaris vertikal u = c1. Kita mulai dengan mencatat persamaan (1) bagian yang pertama bahwa u = c1jika (x,y) adalah suatu titik yang terletak pada salah satu cabang. Khususnya, jika terletak pada cabang bagian kanan, bagian kedua dari persamaan (1) dapat diketahui bahwa v = 2y y²c₁ . Jadi bayangan dari cabang bahagian kanan dapat dinyatakan dalam bentuk parameter melalui

u = c1, v = 2y y^2c₁



-^y^



;

dan jelas bahwa bayangan dari titik (x,y) pada cabang dipindahkan keseluruh garis melalui jejak (x,y) dengan arah ke atas (lihat gambar 14). Demikian juga, dimana pasangan dari persamaan

u = c1, v = 2y y²c₁



-y



;

melengkapi persamaan parameter untuk bayangan dari cabang bahagian kiri dari hyperbola, bayangan dari titik bergerak turun sepanjang seluruh cabang bahagian kiri adalah terlihat dipindahkan ke atas pada seluruh garis u = c1.

Sebagai latihan, tunjukkan bahwa setiap cabang dari hyperbola 2xy = c2 (c2 > 0) adalah ditransformasi kedalam garis v = c2, melalui indikasi dalam gambar 14. Kasus dimana c₁dan c₂adalah negatif juga disajikan dalam latihan.

Contoh 2. Misalkan kita menggunakan persamaan (1) untuk menunjukkan bahwa bayangan dari sebagian bidang vertikal 0x1, y0, yang ditunjukkan dalam gambar 15, adalah daerah semi parabola tertutup .

Jika 0 < x1<1, titik (x1, y) digerakan ke atas suatu penggal garis vertikal, yang diberi nama L₁ dalam gambar 15, melalui y naik dari y = 0. Bayangan di luar jejak bidang uv menurut persamaan (1), yang dinyatakan dalam bentuk parameter

(2) u = x₁²y² , v = 2x1y (0y<  ).

v=c2>0

0 x

y v

u u=c₁>0

0

Gambar 14. w =z²

Gunakan persamaan yang kedua untuk mensubtitusi y kedalam yang pertama, terlihat bahwa bayangan titik-titik (u,v) harus terletak pada parabola

(3)



1²



2 1

2 4x u x

v   ;

dengan puncak di

 

x1^2,0 dan fokusnya dititik asal. Dimana v adalah naik dengan y melalui v =0, menurut persamaan (2) bagian kedua, terlihat bahwa melalui titik (x1,y) digerakan ke atas melalui L1 dari sumbu x, bayangannya adalah digerakan ke atas melalui sebagian parabola L1’ dari sumbu u. Selanjutnya, jika suatu bilangan x2 lebih besar dari x1, tetapi lebih kecil dari 1, adalah ditentukan, penggal garis L2 mempunyai bayangan L2’ yaitu sebagian parabola dikanan L1’, melalui indikasi dalam gambar 15. Perlu dicatat bahwa bayangan dari penggal garis BA didalam gambar adalah setengah parabola v² = -4(u-1) yang paling atas dan diberi nama dengan B’A’.

Bayangan dari penggal garis CD yang diperoleh dari persamaan (1) bahwa titik (0,y), dimana y0, pada CD ditransformasi kedalam titik (-y²,0) dalam bidang uv. Juga, melalui titik yang digerakan ke atas dari titik asal sepanjang CD, bayangannya digerakan kekiri dari titik asal sepanjang sumbu u. Jadi jelas bahwa penggal garis vertikal di bidang xy, bayangannya adalah parabola dibidang uv yang turun sampai pada penggal garis C’D’.

y

D’ C’ 1 u

A’

L2’ L1’

v

C 1 x

D L1 L2 A

B

Gambar 15. w = z²

Sekarang jelas bahwa bayangan dari semua penggal garis dintara dan didalam CD dan BA adalah merupakan daerah semiparabola tertutup yang dibatasi oleh A’B’C’D’. Juga setiap titik dalam daerah tersebut mempunyai bayangan hanya satu titik didalam bagian tertutup yang dibatasi oleh ABCD. Juga daerah semiparabola adalah merupakan bayangan dari bagian tadi dan merupakan pemetaan yang bersifat satu-satu dan pada antara titik dalam daerah tertutup.

Contoh 3. Kita kembali pada contoh di bagian 9 bahwa w = z²= r²e^i2

dimana z = re^i. Jika w = e , kita mempunyai^i e = r^{i 2}e^i2; dan akibatnya



 r², =2 + 2n (n = 0, 1, 2, …).

Jelas, bayangan dari setiap titik tak nol z adalah diperoleh dengan mengkuadratkan modulus dari z dan menggandakan nilai dari arg z.

Selidiki bahwa titik z = r0e^ipada lingkaran r = r0adalah ditransformasikan kedalam titik w = r₀²e^i2 pada lingkaran  r₀². Melalui titik pada lingkaran pertama digerakan berlawanan dengan arah jarum jam dari sumbu real positif ke sumbu imajiner positif, bayangannya pada lingkaran kedua dipindahkan berlawanan dengan jarum jam dari sumbu real positif ke sumbu real negatif (lihat gambar 16). Juga, semua nilai positif yang mungkin dari r0 yang dipilih, berhubungan dengan sudut dalam z dan w berada dikuadran pertama dan di atas bidang masing-masing. Transformasi w = z²adalah pemetaan satu-satu dan pada dari kuadran pertama r0, 0/2 dalam bidang z pada setengah bidang





  00,   dari bidang w, melalui indikasi dalam gambar 16. Titik z = 0 adalah jelas dipetakan pada w = 0.

Transformasi w = z² juga memetakan sebagian bidang atas r0, 0/2 pada seluruh bidang w. Bagaimanapun, dalam kasus ini, transformasi adalah bukan satu-satu karena kedua sumbu real negatif dan positif dalam bidang z adalah dipetakan pada sumbu real positif dalam bidang w.

Jika n suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 2, sifat pemetaan dari transformasi w = zⁿ, atau e^i rⁿe^in adalah serupa dengan w = z². Sehingga peta transformasi dari seluruh bidang z pada seluruh bidang w dimana setiap titik taknol dalam bidang w adalah bayangan dari n titik-titik yang berbeda dalam bidang z. Lingkaran r = r0

adalah dipetakan pada lingkaran  r₀ⁿ; dan sektor rr0, 02/n adalah dipetakan pada cakram  r₀ⁿ, tetapi bukan satu-satu.

Latihan

1. Untuk setiap fungsi di bawah ini, tentukan daerah definisinya:

(a).

 

₂

     

₂

1 (d). 1

; (c).

1 ; (b).

1; 1

z z

z f z z z z f

Arg z

z f z

f  

 



 



 

 

2. Tuliskan fungsi f(z) = z³+ z + 1 dalam bentuk f(z) = u(x,y) + iv(x,y).

3. Misalkan f(z) = x²– y²– 2y + i(2x – 2xy), dimana z = x + iy. Gunakan

2 z x z

 dan

2 z

y z untuk mengexpresikan f(z) dalam suku-suku dari z, dan berikan jawaban

yang paling sederhana.

4. Tuliskan fungsi

 

 1,



z0



z z z

f dalam bentuk f(z) = u(r,) + iv(r,).

0 r₀ x

y v

0 r₀² u

Gambar 16. w = z²

 

5. Tunjukkan bahwa setiap cabang dari hyperbola 2xy = c2(c2>0) adalah pemetaan pada garis v = c2dengan transformasi w = z², melalui indikasi dalam gambar 14.

6. Domain x > 0, y > 0, xy < 1 terdiri dari semua titik pada cabang atas hyperbola dari keluarga xy = c, dimana 0 < c < 1. Gunakan hasil pada soal nomor 5 untuk menunjukkan bahwa bayangan dari domain ini di bawah transformasi w = z² adalah sebagian dari bidang horizontal 0 < v <2.

7. Berdasarkan contoh 1 bagian 10, dan soal no. 5 carilah suatu domain dalam bidang z yang mempunyai bayangan di bawah transformasi w = z²adalah domain kuadrat dalam bidang w yang dibatasi oleh garis u = 1, u = 2, v = 1 dan v = 2.

8. Cari dan gambarkan, serta tunjukkan hubungan orientasi, bayangan dari hyperbola x²– y²= c₁(c₁< 0) dan 2xy = c₂(c₂< 0) dibawah transformasi w = z².

9. Tunjukkan, dengan mengindikasi orientasi hubungan, pemetaan w = z²transformasi y = c2( c2> 0) kedalam parabola



2²



2 2

2 4c u c

v   yang semua titik apinya di w =0.

10. Gunakan hasil dalam soal no. 9 untuk menunjukkan bahwa transformasi w = z²adalah pemetaan satu-satu dari bidang ayb di atas sumbu x pada daerah tertutup diantara dua parabola v²= 4u²(u+a²) dan v²= 4u²(u+b²).

11. Bagaimana merubah bentuk dalam contoh 2, bagian 10, bahwa transformasi w = z² memetakan suatu bidang vertikal 0xc, y0 dari sembarang luas pada suatu daerah semi parabola tertutup, melalui gambar 16.b.

12. Modifikasi contoh 2 bahagian 10, untuk menunjukkan bahwa jika w = z², bayangan dari daerah segitiga tertutup dengan garis y =  x dan x = 1 adalah daerah parabola tertutup yang dibatasi pada bahagian kiri dengan -2v2 dari sumbu v dan bahagian kanan dibatasi oleh parabola v² = -4(u-1). Selidiki hubungan titik-titik pada kedua daerah tertutup dan terbatas tersebut melalui gambar 17.

13. Gambar daerah pada sektor r1, 0    /4 yang dipetakan oleh transformasi (a). w = z²; (b). w = z³; (c). w = z⁴.

14. Interprestasi lain dari fungsi w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) adalah suatu lapangan vektor dalam daerah definisi f . Fungsi yang mengaitkan suatu vektor w, dengan komponen- komponen u(x,y) dan v(x,y), kesetiap titik yang didefinisikan. Indikasikan grafik yang dinyatakan dengan lapangan vektor (a). w =iz; (b).

z z .

11. LIMIT

Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi disemua titik z dalam lingkungan penghilangan dari z0. Pernyataan bahwa limit dari f(z) melalui z yang didekati dengan z0 adalah suatu bilangan w0, atau

(1)

 

₀

0

lim f z w

z

z 



mempunyai arti bahwa titik w = f(z) dapat dibuat sembarang dekat dengan w0 jika kita memilih z yang cukup dekat dengan z0 tetapi berbeda dengan z0. Kita sekarang mengekspresikan definisi dari limit dalam bentuk yang tepat digunakan.

Pernyataan (1) mempunyai arti bahwa, untuk setiap bilangan >0, terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga

(2) f

 

z w₀  asalkan0 z-z₀ .

Secara geometri definisi ini mengatakan bahwa, untuk setiap lingkungan- ww₀  dari w0, terdapat suatu lingkungan penghilangan- dari z₀, 0 zz₀  sedemikian sehingga untuk setiap z dalam lingkungan tersebut mempunyai suatu bayangan w dalam lingkungan

 (lihat gambar 18). Perlu dicatat bahwa, meskipun semua titik dalam lingkungan penghilangan 0 z-z₀  tidak perlu semua bayangannya keseluruh lingkungan





w₀

w . Jika f suatu fungsi konstan yang bernilai w0, maka bayangan dari z selalu merupakan pusat dari lingkungan. Sebagai catatan, sekali kita mendapatkan suatu , maka kita dapat mengganti dengan dengan setiap bilangan positif yang lebih kecil dari , misalnya/2.

Definisi (2) menyatakan bahwa f terdefinisi disemua titik dalam suatu lingkungan penghilangan z₀. Sehingga lingkungan penghilangan selalu ada jika z₀ adalah suatu titik interior dari suatu daerah dimana f terdefinisi. Kita dapat memperluas definisi dari limit

 w0

w

0 u

y v

0 x

z0 z

Gamabar 18

dalam kasus dimana z0 adalah titik batas dari daerah yang memungkin bahwa persamaan (2) yang pertama dipenuhi dengan hanya titik z terletak dikedua daerah dan domain







 ₀

0 z z .

Contoh 1. Tunjukkan bahwa jika f(z) = iz/2 dalam cakram buka z 1, maka

 

₂

lim1 ⁱ

z f z 

 .

Titik z = 1 terletak pada batas dari daerah definisi f. Akan diselidiki bahwa jika z dalam daerah z 1,

 

z ^₂^{i  iz}₂ ^₂^{i  z}₂^1

f .

Juga, untuk setiap z dan suatu bilangan positif,

 

z ₂ⁱ  asalakan0 z-12

f .

Jadi syarat persamaan (2) dipenuhi oleh titik-titik dalam daerah z 1 jika  sama dengan 2 atau bilangan positif yang lebih kecil (lihat gambar 19).

Dalam pendahuluan konsep tentang limit pada paragraph pertama bagian ini, kita dapatkan suatu sifat bahwa, jika suatu limit dari suatu fungsi f(z) ada disuatu titik z0, maka limitnya itu adalah tunggal. Untuk membuktikan sufat ini, kita memisalkan bahwa

 

dan lim

 

.

lim _{0 1}

0 0

w z f w

z f

z z z

z  



 Maka, untuk setiap bilangan  positif,

terdapat bilangan positif0dan1sehingga

 

z  w₀  asalkan 0 z-z₀ ₀ f

dan

 

z  w₁  asalkan 0 z-z₀ ₁

f .

Jadi, jika 0 zz₀  , dimana  menyatakan bilangan yang paling kecil antara ₀ dan

₁, maka

 



f z w₀







f

 

z w₁



 f

 

z w₀  f

 

z w₁ 2

Hal ini menunjukkan bahwa, w₁ w₀ 2. Tetapi w₁w₀ adalah suatu konstanta non negatif , dan dapat dipilih sembarang yang paling kecil. Jadi w₁-w0= 0, atau w1= w0.

Jika z₀adalah suatu titik interior dari daerah definisi f, dan limit dari persamaan (1) ada, persamaan (2) yang pertama harus berlaku untuk setiap titik dalam lingkungan penghilangan 0 z-z₀ . Jadi simbol zz₀ mengakibatkan bahwa z adalah dapat mendekati z0 dalam sembarang arah, tanpa dari suatu arah yang khusus. Contoh berikut menggunakan cara ini.

Contoh 2. Jika

 

z z z

f  , maka

(4) f

 

z

z 0

lim

tidak ada. Jika limitnya ada, maka kita dapat menemukan limitnya dengan memisalkan titik z = (x,y) mendekati titik asal dari berbagai arah. Tetapi jika z = (x,0) adalah titik tak nol pada sumbu real,

 

1

00 



  i x

i z x

f ;

dan jika z = (0,y) adalah titik tak nol pada sumbu imajiner,

 

1

0

0 



  iy z iy

f .

Jadi, dengan memisalkan z mendekati titik asal sepanjang sumbu real, kita peroleh limitnya adalah 1. Pada hal lain, didekati sepanjang sumbu imajiner diperoleh limitnya sama dengan –1. Dari ketunggalan limit, kita simpulkan bahwa limit pada persamaan (4.1) tidak ada.

12. TEOREMA-TEOREMA PADA LIMIT

Teorema 1. Misalkan bahwa f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0= x0+ iy0, dan w0= u0+ iv0. Maka

(1)

 

₀

lim0 f z w

z 



jika dan hanya jika

(2)    

 

₀

,

, lim ,

0 0

u y x

y u

x y

x 

 dan

   

 

₀

,

, lim ,

0 0

v y x

y v

x y

x 

 .

Untuk membuktikan teorema di atas, kita asumsikan bahwa limit pada (2) benar dan akan dibuktikan limit pada (1). Limit pada persamaan (2) bagian 11 diketahui bahwa, untuk setiap positif terdapat bilangan positif ₁dan₂sehingga

(3) uu₀ ^₂ asalkan 0



x-x₀

 

²  yy₀



² ₁ dan

(4) vv₀ ^₂ asalkan 0



x-x₀

 

²  yy₀



² ₂.

Misalkan menyatakan bilangan yang paling kecil antara ₁dan₂. Karena



uiv

 

 u₀ iv₀

 

 uu₀

 

ivv₀



 uu₀ vv₀ dan

    

0

 

0

   

0 0



2 0 2

0 y y x x i y y x iy x iy

x-x           .

Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh



uiv

 

 u₀ iv₀



 ^₂^₂  asalkan





 

 





 _{0 0}

0 x iy x iy .

Jadi, limit pada (1) benar.

Misalkan sekarang mulai mengasumsikan bahwa limit (1) benar. Dengan asumsi ini kita ketahui bahwa, untuk setiap bilangan positif, terdapat bilangan positif  sehingga (5)



uiv

 

 u₀ iv₀



 asalkan

(6) 0



xiy

 

 x₀ iy₀



 .

Tetapi



₀

 

₀

   

_{0 0}



0 u u iv v u iv u iv

u

u        



0

 

0

   

0 0



0 u u i v v u iv u iv

v

v         .

dan



xiy

 

 x₀iy₀

 

 xx₀

 

i yy₀







x-x₀

 

²  yy₀



² . Jadi dari sini persamaan (5) dan (6) memberikan bahwa



  



u₀ dan v v₀

u asalkan





 

 





 _{0 0}

0 x iy x iy .

Ini menunjukkan bahwa limit (2) telah dibuktikan, dan bukti teorema telah lengkap.

Teorema 2. Misalkan bahwa

(7)

   

_o

z o z

z

z f z w F z W



₀ dan lim₀

lim maka

(8)

     

o o

z

z f z F z w W

lim

0

,

(9)

     

_{o o}

z

zlim f z F z w W

0

 

dan, jika W0 0, maka

(10)

 

lim

 

0 o

o z

z W

w z F

z f 



 





 .

Teorema ini dapat dibuktikan secara langsung dengan menggunakan definisi limit dari fungsi bernilai kompleks. Tetapi dengan teorema 1, pembuktian lebih mudah.

Sebagai contoh, kita buktikan (9), dan kita tulis

     

z u x,y iv x,y, F

 

z U

 

x,y iV

 

x,y

f     ,

z0= x0+ iy0, w0= u0+ iv0, W0= U0+ iV0.

Maka dari hipotesis persamaan (7) limit (x,y) mendekati (x0,y0) dari fungsi u, v, U, dan V ada dan mempunyai limit u0, v0, U0, dan V0 masing-masing. Jadi komponen real dan

imajinernya dari perkalian f(z)F(z) = (uU – vV) + i(vU + uV) mempunyai limit u0U0 – v0V0 dan v0U0 + u0V0, masing-masing, dengan (x,y) mendekati (x0,y0). Jadi dengan menggunakan teorema 1, f(z)F(z) mempunyai limit (u0U0– v0V0) + i( v0U0+ u0V0) dengan z mendekati z0; dan ini sama dengan w0W0. Sifat (9) buktinya telah diberikan, dan untuk sifat (8) dan (10) dapat dibuktikan dengan cara serupa.

Sebagai akibat dari teorema 1 adalah c

c

z

z 

₀

lim

untuk setiap konstanta kompleks c = a + bi dan setiap z0. Juga,

0

0

limz z

z

z 

 ;

dan dari sifat (9) dan induksi matematika, bahwa

n n z

z z z₀

0

lim 

 (n = 1, 2, …).

Juga, dalam sifat (8) dan (9), limit dari suatu polinom P(z) = a0+ a1z + a2z²+ …+ anzⁿ

Dengan z mendekati z0adalah nilai dari polinom dititik z0, yakni :

(11)

   

₀

0

limP z P z

z

z 

 .

Selain itu sifat dari limit adalah

(12) Jika

 

0

 

0

0 0

lim maka ,

lim f z w f z w

z z z

z  



 .

Sifat ini mudah dibuktikan dengan menggunakan definisi dari limit dan kenyataan bahwa (lihat bagian 4)

 

z w₀ f

 

z w₀

f   

13. LIMIT DITITIK TAK HINGGA

Terkadang cukup baik untuk memasukkan titik di ketakhinggaan dalam bidang kompleks, yang dinotasikan dengan  , dan menggunakan limit yang memuatnya. Bidang kompleks bersama-sama dengan titik takhingga ini disebut bidang kompleks perluasan.

Untuk memvisualisasi titik diketakhinggaan, salah satu yang dapat dipikirkan dari bidang

kompleks misalnya perputaran suatu titik mengelilingi suatu permukaan bola menurut garis katulistiwa dengan pusat titik z = 0 (gambar 20). Setiap titik z di bidang mempunyai hubungan dengan tepat satu titik P pada permukaan bola. Titik P ditentukan oleh garis yang melalui titik z dan kutub utara N dari bola dengan permukaannya. Dengan cara demikian, setiap titik P pada permukaan bola, yang lainnya pada kutub utara N, terdapat hubungan dengan tepat satu titik z di bidang. Dengan memisalkan titik N dari bola yang berhubungan dengan titik tak hingga, diperoleh korespondensi satu-satu antara titik-titik pada bola dan titik-titik pada bidang kompleks perluasan. Bola tersebut dikenal sebagai bola Riemann, dan hubungannya disebut proyeksi stereografik.

Perhatikan bagian luar dari lingkaran satuan yang berpusat pada titik asal bidang kompleks yang berhubungan dengan belahan bumi bagian atas di mana katulistiwa dan titik N dihilangkan. Selanjutnya, untuk setiap bilangan positif kecil , titik-titik tersebut di bidang kompleks di luar lingkaran |z| = 1/ berhubungan dengan titik-titik pada bola dekat ke N. Kita sebut himpunan ini |z| > 1/ suatu lingkungan , atau lingkungan dari  .

Perlu disepakati bahwa, berkenaan dengan titik z, kita artikan suatu titik di bidang hingga. Selanjutnya, jika titik diketakhinggaan dipertimbangkan, maka akan dijelaskan secara khusus.

Artinya sekarang kita siap memberikan pernyataan

0 P

z N

Gambar 20

) 0

( lim

0

w z f

z

z 



jika salah satu z0 atau w0, atau mungkin keduanya diganti dengan titik takhingga. Dalam definisi limit pada bagian 11, kita mengganti lingkungan dari z₀dan w₀dengan lingkungan dari  .

Pernyataan

 



 f z

z

zlim₀ , mempunyai arti bahwa untuk setiap bilangan  positif, terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga

(1) f

 

z ^1_ asalkan 0^ z-z₀ ^.

Jadi, titik w = f(z) terletak dalam lingkungan- w ¹_ dari  asalkan z terletak dalam lingkungan penghilangan dari z₀, 0 z-z₀ . Pernyataan pada persamaan (1) dapat ditulis

 

z ^{  asalkan 0 z-z0 } f1 0

, dari sini terlihat bahwa

(2)

 



 f z

z

zlim₀ jika dan hanya jika

 

⁰

lim 1

0

^z f z 

z .

Contoh 1.

3 0 lim 1 1

lim 3

1 1

 

 

 









 iz

karena z z

iz

z z

Selanjutnya,

 

₀

lim f z w

z 





mempunyai arti bahwa, untuk setiap  positif, terdapat suatu bilangan positif  sedemikian sehingga

(3) f

 

z ^w₀ ^ asalkan z ^_¹.

Dengan mengganti z pada persamaan (3) dengan 1/z , maka diperoleh













 



 w asalkan z-0

f 1z ₀

. Ini berarti bahwa,

(4) lim f

 

z w₀

z 



 jika dan hanya jika ₀

0

lim 1 w

f z

z 



 







Contoh 2. Berdasarkan pernyataan pada persamaan (4),

   

1 ²

lim 2 1 / 1

/ lim 2 1 2

lim 2 



 



 











 z

iz z

i karena z

z i z

0 z 0

z

z .

Terakhir, pernyataan

 





 f z

zlim

mempunyai arti bahwa untuk setiap bilangan  positif, terdapat bilangan positif  sedemikian sehingga

(5) f

 

z ^1_ asalkan z ^1_.

Jika z diganti dengan 1/z, pernyataan ini dapat ditulis dalam bentuk

 

^{  asalkan 0 z-0 }

f1_z 0

1 ;

jadi,

(6)

 





 f z

zlim jika dan hanya jika ^{zlim0 f1}

 

¹_z ^0.

Contoh 3.

   

lim2 ⁰ 1

1 lim

, 1

1 lim 2

3 3 2 0

1 2 0

3

3

2 



 



 

 









 z

z karena z

z z

z z z z z

14. KEKONTINUAN

Suatu fungsi f adalah kontinu di titik z0jika memenuhi ketiga syarat berikut : (1)

0

lim

zz f(z) ada

(2) f(z0) ada (3)

0

lim

zz f(z) = f(z0)

Pernyataan pada persamaan (3) jelas memuat pernyataan pada persamaan (1) dan (2), karena secara implisit keberadaan nilai dari setiap sisi adalah sama. Pernyataan pada persamaan (3) mengatakan bahwa, untuk setiap bilangan  positif, terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga

(4) f

   

z  f z₀  asalkan zz₀ .

Suatu fungsi dari variabel kompleks dikatakan kontinu dalam daerah R jika fungsi tersebut kontinu disetiap titik dalam R.

Jika dua fungsi f, g adalah kontinu di suatu titik, maka f + g dan f.g juga kontinu di suatu titik; demikian juga f/g kontinu di suatu titik asalkan g tidak nol. Hal ini merupakan akibat dari teorema 2 bagian 12.

Berdasarkan definisi pada persamaan (4) diperoleh bahwa komposisi dari fungsi- fungsi kontinu adalah kontinu. Untuk menunjukkan ini, kita misalkan w = f(z) adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada setiap z dalam lingkungan dari titik z0; dan misalkan pula g(w) suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi memuat bayangan (lihat bagian 10) dari lingkungan z0. Sekarang, anggaplah f kontinu di z0 dan g kontinu di titik w0= f(z0). Dari kekontinuan g di titik w0, kita ketahui bahwa, untuk setiap bilangan  positif, terdapat bilangan positif  sedemikian sehingga



f

 

z



g



f

 

z



 asalkan f

   

z  f z 

g _{0 0} .

tetapi, berhubungan dengan  , terdapat suatu bilangan positif  sedemikian sehingga ketaksamaan kedua dipenuhi asalkan zz₀ . Ini berarti, bahwa kekontinuan dari g[f(z)] di z0telah dibuktikan.

Berdasarkan definisi pada persamaan (4) dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa jika suatu fungsi f(z) adalah kontinu dan tidak nol disuatu z₀, maka f(z)0 untuk setiap z

dalam suatu lingkungan dari z0. Untuk itu, jika f(z0)  0 dan bilangan positif  

2 z0

 f

 ,

maka berdasarkan ketaksamaan (4) terdapat suatu bilangan positif sedemikian sehingga

   

z ^ f z ^{ f z} asalkan z-z₀ ^

f _{0 2}⁰ .

Jika terdapat suatu titik z dalam lingkungan z-z₀  sehingga f(z) = 0, maka kontradiksi dengan f

 

z₀  ^{f }₂^z0 .

Dari teorema 1, bagian 12, diperoleh bahwa suatu fungsi f dari variabel kompleks adalah kontinu di titik z0= (x0,y0) jika dan hanya jika fungsi komponen u dan v kontinu di titik z0= (x0,y0).

Contoh. Fungsi

 

^z



^{x y}



^{xy i}



^{x y}



^xy

f cos ² ² cosh2  sin ²  ² sinh2

adalah kontinu dimana-mana dalam bidang kompleks, karena komponen real dan imajiner dari f adalah kontinu disetiap titik (x,y). Kekontinuan dari fungsi-fungsi komponen adalah akibat dari kekontinuan dari polinom dalam x dan y melalui kekontinuan dari fungsi trigonometri dan hiperbolik.

Berbagai sifat fungsi kontinu dari variabel kompleks dapat diturunkan melalui hubungan dari fungsi kontinu bernilai real dengan dua peubah real. Sebagai contoh, fungsi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) yang kontinu dalam daerah R adalah tertutup dan terbatas. Fungsi



u

 

x,y



²



v

 

x,y



² adalah kontinu di R dan mencapai nilai maksimum dimana-mana dalam R. Jadi, f adalah terbatas pada R dan f

 

z mencapai nilai maksimum dimana-mana dalam R. Atau secara tepatnya f dikatakan terbatas dalam R, jika terdapat bilangan real non negatif M sehingga

(5) f

 

z M untuksetiapzdalamR

Hasil lain yang dapat diturunkan dari hubungan fungsi bernilai real dari dua variabel real, bahwa fungsi f yang kontinu dalam suatu daerah R yang tertutup dan terbatas

adalah kontinu seragam. Yaitu, suatu nilai dari, tidak tergantung dari z₀, jadi dapat dipilih

 sehingga syarat pada persamaan (14.4) adalah dipenuhi untuk setiap titik z₀dalam R.

LATIHAN

1. Misalkan a, b, c dan z0 menyatakan suatu konstanta kompleks. Gunakan definisi limit pada persamaan (2) bagian 11 untuk membuktikan bahwa

(a). ^{c c;}

 

^b



^{az b}



^{az b}



^{a 0}

  

^{; c}



^{z c}



^{z c}

z z z

z z

z        







2 0 2

0

0 0

0

lim . lim

. lim

 

d z z ;

 

e z z ;

z z z

z 0 0

0 0

lim . Re

Re lim

.  





         

.

z g z

; iy x z i 1 y 2x i x f

z z i

z

0 lim

. lim

.

2

1 ₀













 





2. Misalkan n suatu bilangan bulat positif dan misalkan pula P(z) dan Q(z) adalah polinom, dengan Q(z0)  0. Gunakan teorema 2 bagian 12, untuk menentukan limit berikut ini

         

 

z Q

z c P

z b iz

; z

, a

z z i

z z z

z ₀ ⁿ ; . lim₀

1 lim 1 . 0

lim .

3 1 0





 

 

3. Gunakan sifat (9) bagian 12 dari limit dan induksi matematika untuk menunjukkan

bahwa ^{n n}

z

z z z₀

0

lim 

 dimana n suatu bilangan bulat positif.

4. Tunjukkan bahwa

2 0

lim 



 





 z z

z tidak ada. Kerjakan soal ini dengan memisalkan titik tak nol z = (x,0) dan z = (x,x) mendekati nol.

5. Buktikan pernyataan pada persamaan (8) bagian 12 teorema 2, gunakan (a). Teorema 1 bagian 12, dan sifat limit fungsi bernilai real dari dua variabel real; (b). Definisi (2) bagian 11 dari limit.

6. Misalkan zzz₀ dan tunjukkan bahwa

 

₀

0

lim f z w

z

z 

 jika dan hanya jika



₀



₀

0

lim f z z w

z





 



7. Tunjukkan bahwa lim

   

0 lim

 

0

0 0



 

 f z g z jika f z

z z z

z dan jika terdapat suatu

bilangan positif M sedemikian sehingga g

 

z M untuk setiap z dalam suatu lingkungan dari z0.

8. Buktikan sifat (12) bagian 12 dari limit.

9. Dengan menggunakan sifat (2), (4) dan (6) bagian 13 dari limit, tunjukkan bahwa

     

   





 

 

  ^{ }



 1

lim 1 . 1

lim 1 .

; 4 1 lim 4 .

2 1 3

2 2

z c z

; z

b z

a z

z z

z

10. Gunakan sifat (2), (4) dan (6) bagian 13 dari limit untuk menunjukkan bahwa jika

  

ad-bc 0



d cz

b z az

T 



  , maka

(a).

 

^

T z

z

lim jika c = 0.

 

b .lim T

 

z dan lim T

 

z

dc

c z a z





 



.  jika c 0.

11. Gunakan definisi (1) dan (3) bagian 13 dari limit di ketakhinggaan untuk menunjukkan

bahwa 1 0

1 lim lim

0





 

 dan z

z z

z

12. Pandang suatu fungsi f yang didefinisikan pada bidang perluasaan dengan persamaan

 





















z jika 0

0 z jika

0 z jika z

f

1z

. Tunjukkan bahwa f kontinu dimana-mana dalam bidang

perluasan.

13. Tunjukkan bahwa limit di titik tak hingga adalah tunggal.

14. Tunjukkan bahwa himpunan S adalah tak terbatas (bagian 8) jika dan hanya jika setiap lingkungan dari titik tak hingga memuat paling sedikit sati titik di S.

15. TURUNAN

Misalkan f suatu fungsi dengan daerah definisinya memuat lingkungan dari suatu titik z0. Turunan dari f di z0, ditulis f 

 

z₀ , adalah didefinisikan dengan

(1)

     

0 0 0

0

lim z z

z f z z f

f

z

z 

 

  ,

asalkan limitnya ada. Fungsi f dikatakan terdiferensiabel di z0jika turunannya di z0ada.

Dengan mengubah z pada persamaan (1) dalam bentuk variabel kompleks yang baru

 z = z – z0, maka kita dapat menuliskan definisi di atas menjadi

(2)

     

z z f z z z f

f

z 





 

  

0 0

0 lim0

Sebagai catatan, karena f terdefinisi pada suatu lingkungan dari z0, bilangan f



z₀z



adalah selalu terdefinisi untuk  yang cukup kecil (lihat gambar 21).z

Jika pada persamaan (2) dari definisi turunan, kita akan mengganti z0dengan z dan kita misalkan bilangan



z z

  

f z f

w  



menyatakan perubahan nilai dari f yang berkaitan dengan perubahan  pada titik dimana fz dihitung. Maka, jika kita menulis ^dw_dz untuk f 

 

z , persamaan (2) menjadi

 

0 x

y

z

z0

z z₀

Gambar 21

(3) z w dz

dw

z 

 



lim0 .

Contoh 1. Misalkan bahwa f(z) = z². Disetiap titik z,

  

z z



z

z z z z z

w

z z

z

2 2

lim lim

lim

0 2

2 0

0   







 















 ,

karena 2zzadalah suatu polinom dalam  . Jadiz z atau f

 

z z dz

dw 2  2 .

Contoh 2. Pandang suatu fungsi f

 

z  z². Jadi,

   

z z z z z z

z z z z z z z

z z z z w



 





 









 







 



 ^{2 2}

.

Jika limit dari z w



 ada, maka kita memisalkan titik z



x,y



mendekati titik asal

dalam bidang  dalam berbagai arah. Khususnya, jika zz  mendekati titik asal sepanjang horizontal melalui titik



x,0



pada sumbu real (gambar 22), maka kita dapatkan zz. Jadi jika limit dari

z w



 ada, kita peroleh z . Selanjutnya, jika zz  mendekati titik asal

sepanjang vertikal melalui titik-titik



0,y



pada sumbu imajiner, juga diperoleh z

z

 , dan limitnya harus sama dengan z asalkan limitnya ada. Karena limit suatuz fungsi adalah tunggal, maka diperoleh bahwa z =z z , atau z = 0, asalkanz

dz dw ada.

y

(0, y )

(0,0)



x,0



x Gambar 22

Jadi dz

dw ada hanya dititik z = 0.

Contoh 2 menunjukkan bahwa suatu fungsi dapat terdiferensialkan di suatu titik tertentu tetapi tidak dalam lingkungan titik itu. Karena bagian real dan imajiner dari

 

z z²

f  adalah

(4) (x,y) = x²+ y² dan v(x,y) = 0,

hal ini menunjukkan bahwa komponen real dan imajiner dari fungsi bernilai kompleks adalah mempunyai turunan parsial yang kontinu dari setiap pasang titik, tetapi fungsi tersebut tidak terdiferensial.

Fungsi f

 

z  z² adalah kontinu disetiap titik dalam bidang karena komponen (4) adalah kontinu disetiap titik. Jadi kekontinuan dari suatu fungsi di suatu titik tidak mengakibatkan fungsi tersebut mempunyai turunan di titik itu. Tetapi keberadaan turunan suatu fungsi di suatu titik mengakibatkan fungsi kontinu disuatu titik tersebut. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita asumsikan bahwa f 

 

z₀ ada dan kita tulis

   

 

lim

   

lim

   

.0 0

lim _{0 0}

0 0 0

0 0

0

 



 

 

  

 z z f z

z z

z f z z f

f z f

z z z

z z

z

dari sini diperoleh bahwa

   

₀

0

lim f z f z

z

z 



Ini menunjukkan bahwa f kontinu di z0(lihat bagian 14).

16. RUMUS DIFFERENSIAL

Definisi turunan dalam bagian 15 adalah serupa dengan turunan dari fungsi bernilai real dari suatu variabel real. Kenyataan ini, dijadikan dasar untuk memberikan rumus differensial yang diturunkan dari definisi, bersama-sama dengan teorema-teorema pada limit, dengan cara yang sama digunakan dalam kalkulus. Dalam rumus ini, turunan dari

fungsi f di suatu titik z adalah dinotasikan dengan salah satu f

 

z f

 

z dz

d   , tergantung

pada mana notasi ini digunakan.

Misalkan c suatu konstanta kompleks, dan f suatu fungsi yang mempunyai turunan di suatu titik z. Maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa

(1)



cf

 

z



cf

 

z

dz z d

dz c d

dz

d 0, 1,   .

Juga, jika n bilangan bulat positif, (2) zⁿ nz^n1

dz

d .

Rumus ini juga benar untuk n suatu bilangan bulat negatif, asalkan z 0.

Jika turunan dari dua fungsi f dan F ada di suatu titik z (3)



f

 

z F

 

z



f

 

z F

 

z

dz

d     

(4)



f

   

z F z

    

f z F z f

   

z F z dz

d     ;

dan, jika F(z) 0,

(5)

 

         



F

 

z



²

z F z f z f z F z F

z f dz

d   





 





Penurunan rumus (4) diperoleh dengan cara merubah f(z)F(z) menjadi



z z

 

F z z

    

f z F z f

  

z



F z z



F

 

z

 

f



z z

  

f z

 

F z z



f          

Jika kedua sisi dibagi dengan  dan kita misalkan zz  menuju nol, maka rumus di atas menunjukkan turunan ^f

   

^{z F z .}

Terdapat juga aturan rantai untuk differensial fungsi komposisi. Misalkan bahwa f mempunyai turunan di z0 dan g mempunyai turunan di f(z0). Maka fungsi F[z] = g[f(z)]

mempunyai turunan di z0, dan

(6) F

 

z₀ g



f

 

z₀

  

f z₀ .

Jika kita tulis w = f(z) dan W = F(z), juga W = F(z), dari aturan rantai

dz dw dw dW

dW dz .

Contoh. Untuk mencari turunan dari (2z²+ i)⁵, kita tulis w = 2z²+ i dan W = w⁵. Maka



^{2z2 i}



^{5 5w44z 20z}



^{2z2 i}



⁴

dz

d     .

Kita mulai membuktikan rumus (6), pilih titik z0 sehingga f 

 

z₀ ada. Tulis w0 = f(z₀) dan juga asumsikan bahwa g 

 

w₀ ada. Maka terdapat suatu lingkungan ww₀  dari w₀ sehingga, untuk setiap titik w dalam lingkungan, kita mendefinisikan suatu fungsi

 yang mempunyai nilai 

 

w₀ =0 dan

(7)

     

g

 

w jikaw w₀ w

w w g w

w g   



 

 ₀

0

0 .

Sebagai catatan bahwa, dari definisi turunan

(8) lim

 

0

0



  w

w

w .

Jadi  adalah kontinu di w₀.

Selanjutnya dari persamaan (7) diperoleh

(9) g

   

w ^g w₀ ^



g^

 

w₀ ^

 

w



w^w₀

 

w-w₀ ^



adalah benar jika w = w0; karena f 

 

z₀ ada maka f kontinu di z0. Kita dapat memilih bilangan positif  sedemikian sehingga titik f(z) terletak dalam lingkungan  ww₀  dari w₀ jika z terletak dalam lingkungan  zz₀  dari z₀. Jadi dengan menggati variabel w dalam (9) dengan f(z) jika z suatu titik dalam lingkungan zz₀ . Dengan substitusi w0= f(z0), persamaan (9) diperoleh

(10)

   

_^

   

^



^

   

^

        

_^



^{0 z-z}₀ ^



z z

z f z z f f z

f z g

z

z f g z f g

0 0 0

0

0 ,

dimana z z₀.