Kalkulus 1
Fungsi dan Grafik FungsiAtina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Fungsi
DefinisiSuatufungsif adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objekx dalam satu himpunan, yang disebutdomain, dengan sebuah nilai f(x) dari himpunan kedua. Himpunan dari semua nilai yang diperoleh disebut sebagairange
Bayangkan suatu mesin dengan input berupa nilaix dan menghasilkan output bernamaf(x). Setiap nilai input
berhubungan dengansebuah nilai output. Namun, dapat juga terjadi beberapa input yang berbeda yang memberikan output yang sama.
Notasi Fungsi
Fungsi dapat dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst. Apabilaf merupakan fungsi dari himpunanAke himpunan B, maka dituliskan:
Sumber: http://3.bp.blogspot.com/
A disebutdomain atau daerah definisi, dinotasikan Df
Natural Domain
Ketika domain dalam suatu fungsi tidak disebutkan secara spesifik, maka kita mengasumsikan bahwa domainnya adalah himpunan terbesar dari bilangan real di mana fungsi tersebut terdefinisi. Daerah definisi ini disbeutnatural domain.
Contoh 1
Tentukan natural domain dari a. f(x) = x+21
b. f(x) = √ 1 9−x2 c. f(x) =qx2x−1
Penyelesaian
a. Df ={x∈R:x6=−2}=R− {−2}
b. Untuk menghindari hasil akar di bagian penyebut bernilai negatif dan nol, maka
p
9−x2>0 (3−x)(3 +x)>0
Diperoleh
c. Karena suatu akar ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka: r x x2−1 ≥0 x x2−1 ≥0 Diperoleh D ={x∈ :−1< x≤0ataux >1}= (−1,0]∪(1,∞)
Contoh 2
MisalkanV(x, d) menyatakan volume batang yang berbentuk silindris dengan panjangx dan diameter d.
Tentukan
a. Formula untuk V(x, d) b. Domain dan range dari V
Penyelesaian
a. V(x, d) =x·π d22
= πxd42
b. Karena panjang dan diameter batang harus positif, maka domainnya adalah seluruh pasangan (x, d) di manax >0dan
d >0;Df ={x, d∈R:x >0, d >0}. Semua volume positif adalah daerah hasil (range) yang mungkin, maka
Rf = (0,∞).
Fungsi Genap
Jikaf(−x) =f(x) untuk semuax. Contoh:
Misalkanf(x) =x2−2, maka
Fungsi Ganjil
Jikaf(−x) =−f(x)untuk semuax. Contoh:
Misalkanf(x) =x3−2x, maka
Operasi pada Fungsi
Diberikan skalar realα dan fungsi-fungsi f dan g, maka 1 (f±g)(x) =f(x)±g(x) 2 (αf)(x) =αf(x) 3 (f·g)(x) =f(x)·g(x) 4 f g (x) = fg((xx)), asalkan g(x)6= 0
Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domainf dan domaing, kecuali fg,Df
g
Contoh 3
Jikaf dang masing-masing:
f(x) =√x−1ataug(x) = 1
x+ 5
Penyelesaian
(f+g)(x) =√x−1 +x+51 (f−g)(x) =√x−1− 1 x+5 (f·g)(x) =√x−1· 1 x+5 (f /g)(x) =√x−1·(x+ 5)KarenaDf = [1,∞) danDg =R− {−5}, makaf +g,f −g,
Latihan 1
1. Tentukan natural domain dari
a. f(x) = x24−−xx−26 b. f(x) =√2x+ 3
2. Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut adalah fungsi genap atau ganjil atau bukan keduanya
a. f(x) = x2x−1 b. f(x) = 3x−√2
Fungsi Invers
Diberikan fungsif :X →Y. Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasig dariY keX, dinotasikang=f−1(y).
Contoh 4
Tentukaf−1 jika diketahui f(x) = 1− x−1 3x+2.
Penyelesaian
y=f(x) = 1− x−1 3x+ 2 ⇔ 1−y= x−1 3x+ 2 ⇔ (1−y)(3x+ 2) =x−1 ⇔ 3x−3xy−2y+ 2 =x−1 ⇔ 2x−3xy = 2y−3 ⇔ x=f−1(y) = 2y−3 2−3yFungsi Komposisi
Definisi
Fungsi komposisi darif dang, ditulis f◦g, didefinisikan sebagai:
(f◦g)(x) =f(g(x))
Contoh 5
Misalkanf(x) = x−32 dang(x) =√x. Kita mempunyai
(f ◦g)(x) =f(g(x)) =f(√x) = √ x−3 2 (g◦f)(x) =g(f(x)) =g x−3 2 = r x−3 2
Grafik Fungsi
Untuk menggambarkan grafik fungsi secara manual, kita dapat melakukan tiga langkah berikut:
1 Dapatkan koordinat dari beberapa titik yang memenuhi persamaan/fungsi
2 Gambarkan titik-titik tersebut di sumbu koordinat 3 Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva halus
Rumus Jarak
Rumus Jarak
Jarak di antara titik-titikP(x1, y1) danQ(x2, y2) diberikan oleh
Contoh 6
Tentukan jarak antara titikP(−2,5)dan Q(4,−1). Solusi:
Grafik Garis Lurus
Grafik garis lurus berasal dari fungsi dengan bentuk
y=mx+c
di manax adalah variabel kontrol,y adalah variabel yang diobservasi, danm serta cadalah konstanta.
c dikenal dengan namainterceptdi mana grafik
melewati/memotong sumbu-y. Untuk mendapatkan nilaic, kita dapat menghitung y ketika x= 0
m disebut sebagai gradiendan menggambarkan seberapa curam garis tersebut. Nilaim dapat diperoleh dengan:
m= ∆y ∆x =
y2−y1
Contoh 7
Ketikax bertambah dari 1 ke 3, kita mempunyai penambahany
yaitu dari 1 ke 5, sehingga
∆x= 3−1 = 2 ∆y= 5−1 = 4
Maka gradiennya adalahm= ∆∆yx = 42 = 2. Intercept c adalah ketika grafik memotong sumbu-y, dapat dilihat bahwa c=−1.
Contoh 8
Grafik Fungsi Polinomial
Fungsi polinomial berderajatn mempunyai persamaan
f(x) =Pn(x) =a0+a1x+a2x2+. . .+anxn
dengannbilangan bulat non-negatif, a0, a1, . . . , an
bilangan-bilangan real, danan6= 0. Untuk membuat grafik fungsi
polinomial, maka dapat dilakukan hal-hal berikut
1 Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu-xdan sumbu-y 2 Ambil beberapa titik, masukkan ke dalam fungsi, dan
Contoh 9
Gambarkan grafik fungsiy=x2−3 Solusi:
Titik potong terhadap sumbu-x (y = 0)
0 =x2−3
0 = (x−√3)(x+√3)
x=√3, x=−√3
diperoleh pasangan titik (−√3,0)dan(√3,0). Titik potong terhadap sumbu-y (x= 0)
Contoh 10
Gambarkan grafik f(x) = 2x, jika0≤x <1 2 x, jika1≤x <4 3, jikax≥4Latihan 2
1. Tentukan fungsi invers darif(x) = 3x2−1x . 2. Misalkan f(x) =√x2−1dang(x) = 2
x. Tentukan a. (f◦g)(x)
b. (g◦f)(x)
3. IMUNISASI Misalkan selama program suatu negara untuk memberikan imunisasi pada populasi penduduk untuk melawan suatu virus influenza tertentu, lembaga-lembaga pelayanan kesehatan menghitung bahwa biaya untuk menyuntik x%populasi penduduk mendekati suatu fungsi
C(x) = 200−150xx juta dolar.
a. Tentukan natural domain dariC.
b. Untuk nilaixyang mana agar fungsi C(x)dapat diinterpretasikan dalam kehidupan nyata?
c. Berapa biaya yang dibutuhkan untuk menyuntik50% pertama dari populasi?
d. Berapa biaya yang dibutuhkan untuk menyuntik50% kedua dari populasi?
e. Berapa persentase populasi yang disuntik ketika biaya yang dihabiskan adalah sebesar 37.5 juta dolar?
4. ALIRAN DARAH Para ahli biologi menemukan bahwa kecepatan darah di arteri merupakan suatu fungsi jarak darah dari pusat arteri. Berdasarkan hukumPoiseuille, kecepatan darah (dalamcm/s) yang berjarakr cm dari pusat arteri dapat dituliskan dalam suatu fungsi S(r) =C(R2−r2), di mana C adalah suatu konstanta dan R adalah jari-jari arteri. Misalkan untuk suatu arteri tertentu, C= 1.76×105 dan
R= 1.2×10−2 cm.
a. Hitunglah kecepatan darah pada pusat arteri.
b. Hitunglah kecepatan darah pada saat berada di tengah-tengah antara dinding arteri dengan pusat arteri.
5. POLUSI UDARAEmisi timbal adalah penyebab utama polusi udara. Dengan menggunakan data yang telah dikumpulkan oleh Agen Perlindungan Lingkungan AS pada tahun 1990, dapat ditunjukkan bahwa formula
N(t) =−35t2+ 299t+ 3,347
merupakan estimasi jumlah total emisi timbal N (dalam ribuan ton) terjadi di AS ttahun setelah tahun 1990.
a. Sketsakan grafik fungsi polusiN(t)
b. Perkirakan seberapa banyak emisi timbal pada tahun 1995 menggunakan formula tersebut (jumlah aktualnya adalah sekitar 3,924 ribu ton).