BUKU AJAR FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS

BUKU AJAR

FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS

Dr. Nenden Mutiara Sari, M.Pd.

PENERBIT CV.EUREKA MEDIA AKSARA

BUKU AJAR

FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS

Penulis : Dr. Nenden Mutiara Sari, M.Pd.

Desain Sampul : Eri Setiawan

Tata Letak : Tukaryanto, S.Pd., Gr.

ISBN : 978-623-5896-08-3

Diterbitkan oleh : EUREKA MEDIA AKSARA, DESEMBER 2021 ANGGOTA IKAPI JAWA TENGAH

NO. 225/JTE/2021

Redaksi:

Jalan Banjaran, Desa Banjaran RT 20 RW 10 Kecamatan Bojongsari Kabupaten Purbalingga Telp. 0858-5343-1992 Surel : eurekamediaaksara@gmail.com

Cetakan Pertama : 2021 All right reserved

Hak Cipta dilindungi undang-undang

Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apapun dan dengan cara apapun, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya tanpa seizin tertulis dari penerbit.

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah S.W.T., yang telah mencurahkan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan buku ini. Buku berjudul Fungsi Variabel Kompleks ini ditujukan untuk mahasiswa dan dosen di bidang pendidikan matematika maupun non pendidikan matematika. Buku ini disajikan dengan berbagai contoh soal yang dapat memudahkan pembaca untuk memahami konsep yang tengah dipelajari. Buku ini diharapkan dapat menjadi salah satu buku sumber pada mata kuliah Fungsi Variabel Kompleks, sehingga dapat membantu mahasiswa pendidikan matematika maupun non pendidikan matematika untuk memahami dan mengembangkan konsep yang ada dalam mata kuliah Fungsi Variabel Kompleks.

Penulis mengharapkan saran dan kritik membangun dari semua pemakai buku ini agar ada perbaikan. Akhirnya, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang merasa terlibat dalam penyusunan buku ini.

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... iii

DAFTAR ISI ... iv

BAB 1 BILANGAN KOMPLEKS ... 1

A. Sistem Bilangan Kompleks... 4

B. Operasi Dasar Bilangan Kompleks ... 4

C. Nilai Mutlak dan Sifat-Sifat Nilai Mutlak... 8

D. Geometri Bilangan Kompleks ... 12

E. Latihan Soal ... 27

BAB 2 FUNGSI KOMPLEKS ... 29

A. Definisi Variabel dan Fungsi ... 29

B. Fungsi Elementer ... 32

C. Latihan Soal ... 50

BAB 3 LIMIT DAN KEKONTINUAN PEUBAH KOMPLEKS .. 52

A. Limit Peubah Kompleks ... 52

B. Kekotinuan Peubah Kompleks ... 58

C. Latihan Soal ... 62

BAB 4 PENDIFERENSIAL PEUBAH KOMPLEKS ... 65

A. Definisi Turunan ... 65

B. Persamaan Cauchy-Riemann (C-R) ... 70

C. Fungsi Analitik ... 75

D. Persamaan Laplace dan Fungsi Harmonik ... 79

E. Turunan Fungsi Elementer ... 81

F. Turunan Tingkat Tinggi ... 85

G. Aturan L’Hospital ... 86

H. Turunan Fungsi Implisit ... 88

I. Latihan Soal ... 89

BAB 5 INTEGRAL PEUBAH KOMPLEKS ... 94

A. Integral Garis ... 94

B. Integral Fungsi- Fungsi Khusus ... 105

C. Rumus Integral Cauchy ... 113

D. Laihan Soal ... 116

DAFTAR PUSTAKA ... 123

GLOSARIUM ... 124

TENTANG PENULIS ... 126

BAB

1

Konsep bilangan kompleks muncul pada abad ke-16, yaitu ketika para matematikawan berhadapan dengan masalah perpangkatan suku banyak (polinomial). Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, diperoleh penyelesaian akar-akar dari polinomial yang tidak terdefinsi dalam sistem bilangan real.

Perhatikan persamaan kuadrat berikut : 𝑥²+ 1 = 0

Solusi dari persamaan di atas adalah 𝑥 = √−1. Jelas bahwa 𝑥 = √−1 bukanlah bilangan real, karena tidak ada bilangan real yang kuadratnya sama dengan −1. Secara umum untuk persamaan kuadrat berbentuk 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dengan 𝑎 ≠ 0, tidak akan memiliki solusi ketika nilai dari 𝐷 = 𝑏²− 4𝑎𝑐 < 1.

Sebagai contoh carilah solusi dari persamaan kuadrat 𝑥²+ 2𝑥 + 8 = 0 dengan menggunakan rumus 𝑎𝑏𝑐. Jelas persamaan tersebut tidak memiliki solusi dalam sistem bilangan real.

Agar setiap persamaan kuadrat memiliki solusi, maka sistem bilangan yang memuat akar negatif yang telah dijelaskan di atas. Perhatikan kembali solusi dari persamaan persamaan kuadrat diatas. Solusi-solusi tersebut mengandung akar bilangan negatif, jelas akar dari suatu bilangan negatif bukanlah bilangan real.

Setiap bilangan yang bukan bilangan real termasuk dalam komplemen bilangan real (𝑅^𝑐).

Untuk mempermudah penulisan, matematikawan abad 18 G.W Leibniz memperkenalkan bilangan 𝑖²= −1. Jadi √−9 =

√9√−1 = ±3𝑖. Bilangan tersebut disebut bilangan imajiner. Jadi

BILANGAN

KOMPLEKS

BAB

2

A. Definisi Variabel dan Fungsi

Misalkan 𝑧 adalah sembarang anggota dari suatu himpunan bilangan kompleks, maka 𝑧 disebut suatu variabel kompleks. Pemetaan 𝑓 dari himpunan 𝑧 ke himpunan w yang memasangkan setiap anggota 𝑧 ke satu anggota w disebut fungsi. 𝑧 disebut daerah domain (daerah asal) dan 𝑤 disebut daerah kodomain (daerah hasil). 𝑓(𝑧) dinamakan peta/bayangan dari 𝑧 oleh 𝑓. Domain dari 𝑓 dilambangkan dengan 𝐷𝑓, sedangkan Range dari 𝑓, dinyatakan dengan 𝑅𝑓.

Andaikan 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑧 ∈ ℂ, Sedangkan 𝑤 juga adalah bilangan kompleks yang dapat dituliskan sebagai 𝑤 = 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑎, 𝑏) + 𝑖𝑣(𝑎, 𝑏). Secara geometris, fungsi 𝑓 merupakan transformasi yang memetakan titik di bidang−𝑧 ke bidang−𝑤.

Dengan demikian, fungsi kompleks dapat dipandang sebagai fungsi dari 𝑅² ke 𝑅² yang memetakan (𝑎, 𝑏) menjadi (𝑢, 𝑣).

Akibatnya, apabila 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃), maka 𝑤 = 𝑢(𝑟, 𝜃) + 𝑖𝑣(𝑟, 𝜃).

Contoh Soal 2.1

Tulislah 𝑤 = 𝑧², dalam bentuk 𝑢 dan 𝑣.

Jawaban Soal 2.1:

Misalkan bilangan kompleks 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 maka 𝑤 = (a + 𝑖𝑏)² = 𝑎² − 𝑏²+ 2𝑎𝑏𝑖, dengan demikian fungsi 𝑢 = 𝑢(𝑎, 𝑏) = 𝑎²− 𝑏² dan 𝑣 = 𝑣(𝑎, 𝑏) = 2𝑎𝑏. Atau:

Jika 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝛼 maka:

FUNGSI

VARIABEL

KOMPLEKS

BAB

3

A. Limit Peubah Kompleks 1. Pengertian Limit

Suatu fungsi f(z) terdefinisi atau mempunyai limit 𝐿 untuk 𝑧 mendekati 𝑧0, kecuali pada 𝑧 = 𝑧0 dituliskan sebagai limz→z0f(z) = 𝐿. Jika nilai f(z) mendekati 𝐿 untuk setiap z mendekati 𝒛_𝟎, maka untuk setiap bilangan real positif sangat kecil 𝜀 dapat ditemukan bilangan real positif sangat kecil 𝛿 yang bergantung pada 𝜀 sedemikian rupa sehingga untuk setiap 𝑧 ≠ 𝑧0 di dalam lengkungan 0<|𝑧 − 𝑧0| < 𝛿 kecuali pada 𝑧 = 𝑧0, diperoleh |f(z) - L| < 𝜀.

Sebagai contoh awal, perhatikan penerapan definisi limit yang kita kenal dalam Kalkulus berikut ini.

lim𝑥→2𝑥²= 4, jika ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 ⟹ |𝑥²− 4| < 𝜀 Ambil |𝑥²− 4|= |(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)| < |𝑥 − 2||𝑥 + 2|< 𝛿|𝑥 + 2|

< 𝛿|(𝑥 − 2) + 4|; pilih nilai minimum (1.𝛿)

< 𝛿|1 + 4| = 5𝛿 < 5.^𝜀₅= 𝜀

Contoh Soal 3.1

a. Jika 𝑓(𝑧) = 𝑧², buktikan bahwa limz→z0f(z) = 𝑧02 . b. Tentukan limz→z0f(z), jika f(z) = {𝑧²; 𝑧 ≠ 𝑧0

0; 𝑧 = 𝑧0

Jawaban Contoh Soal 3.1:

a. Berdasarkan definisi limit limz→z0f(z) = 𝑧02 jika,

∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 ∋ 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿 maka |𝑧²− 𝑧₀²| < 𝜀

LIMIT DAN

KEKONTINUAN

PEUBAH KOMPLEKS

BAB

4

A. Definisi Turunan

Pemahaman yang baik tentang limit dan kekontinuan sebagaimana telah dibahas pada bab III menjadi dasar untuk mempelajari konsep turunan fungsi atau peubah kompleks.

Definisi 4.1

Misalkan fungsi f terdefinisi pada z0, maka derivatif atau turunan dari f di z0 didefinisikan sebagai 𝑓^′(𝑧0) = lim∆𝑧→0𝑓(𝑧₀+∆𝑧)−𝑓(𝑧₀)

∆𝑧 .

Fungsi f dapat diturunkan di z0, jika ∆𝑧 = 𝑧 − z0 atau 𝑧 = z0+ ∆𝑧, sehingga bentuk lain dari definisi 5.1 dapat dituliskan sebagai: 𝑓^′(𝑧0) = lim𝑧→𝑧₀𝑓(𝑧)−𝑓(𝑧0)

𝑧−𝑧0 . Jika 𝑓^′(𝑧0) ada maka dikatakan bahwa fungsi f mempunyai turunan (differensiable) di 𝑧₀. Representasi/simbol lain dari 𝑓^′(𝑧₀) adalah ^𝑑𝑓_𝑑𝑧 di 𝑧₀.

Contoh Soal 4.1

Tentukan turunan dari fungsi berikut:

a. 𝑓(𝑧) = sin 𝑧 b. 𝑓(𝑧) = 𝐼𝑛𝑧 c. 𝑓(𝑧) = 3²+ 2𝑧 + 1 Jawaban Soal 4.1:

a. Dengan menggunakan definisi turunan:

𝑓^′(𝑧0) = lim∆𝑧→0𝑓(𝑧 + ∆𝑧) − 𝑓(𝑧0)

∆𝑧

= lim∆𝑧→0𝑠𝑖𝑛(𝑧+∆𝑧)−𝑠𝑖𝑛(𝑧0)

∆𝑧 = lim∆𝑧→02 cos(^{2𝑧+∆𝑧}₂ ) sin(^∆𝑧₂)

∆𝑧

PENDIFERENSIALAN

PEUBAH KOMPLEKS

BAB

5

A. Integral Garis

Definisi integral fungsi kompleks adalah sama dengan definisi integral fungsi real, yaitu dengan mengganti interval pengintegralan dengan suatu lintasan atau lengkungan.

Misalkan fungsi f(z) kontinu disetiap titik pada kurva C. Bagi kurva C atas Z1. Z2. Z3… Zn−1… Zn yang dipilih dari sebarang titik pada sepanjang kurva atau lintasan C dari a = Z0 sampai dengan b = Zn. Pada setiap busur Z1 dan Z2 , busur Z2 dan Z3 , ... dan busur Zk−1 dan Zk pilih masing- masing titik tengah ₁, ₂, ₃, … … … , _k sebagaimana ditampilkan pada gambar 5.1

Gambar 5.1 Lintasan Kurva C

Susunlah jumlah luasan persegi panjang sebagai berikut:

Sn= 𝑓(_n)(Z1− Z0) + 𝑓(_n)(Z2− Z1) + ⋯ + 𝑓(_n)(Zn− Zn−1) S_n= ∑^𝑛 𝑓(_k)(Zk− Z_k−1),

𝑘=1

INTEGRAL

PEUBAH

KOMPLEKS

DAFTAR PUSTAKA

Kadir. 2015. Fungsi Peubah Kompleks. Jakarta: Uin Jakarta Press Huybrechts, D. 2005. Complex Geometry an Introduction. Berlin:

Springer.

Lubab, A. 2005. Fungsi Kompleks. Surabaya: IAIN Sunan Ampel Surabaya.

Marsitin, R. 2017. Fungsi Kompleks. Malang: Yayasan Edelweis.

Murray, R. S. 1991. Peubah Kompleks dengan Pengenalan Pemetaan Konvormal dan Penerapannya. Jakarta: Erlangga.

GLOSARIUM

B

Bilangan Imajiner himpunan bilangan yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan real negatif.

Bilangan Kompleks himpunan bilangan yang terdiri atas bilangan real dan imajiner.

D

Domain himpunan yang terbuka dan terhubung.

F

Fungsi Analitik fungsi yang memiliki turunan di setiap titik pada himpunan.

Fungsi Harmonik fungsi dua variable yang turunan parsial pertama dan keduanya kontinu serta memenuhi persamaan Laplace

Fungsi Kontinu fungsi yang limitnya sama dengan nilai fungsinya.

Fungsi Penuh fungsi yang analitik di setiap titik pada bidang kompleks.

H

Himpunan Terbuka himpunan yang tidak memuat satupun titik batas atau himpunan yang setiap anggoanya merupakan titik dalam.

Himpunan Terhubung himpunan yang setiap dua elemennya dapat dihubungkan oleh garis poligon yang terdiri dari sejumlah hingga segmen garis yang terhubung yang terletak pada himpunan tersebut.

Himpunan Tertutup himpunan yang memuat semua titik batas atau himpunan yang komplemennya terbuka.

K

Kompleks Sekawan bilangan kompleks yang diperoleh dari hasil pencerminan terhadap sumbu real.

M

Modulus jarak antara titik yang merepresentasikan bilangan kompleks ke titik asal.

N

Nilai Utama suatu nilai yang berada pada selang −𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋.

P

Pemetaan Konformal pemetaan yang setiap titik domainnya analitik dan nilai pemetaannya tidak sama dengan nol.

Persekitaran himpunan titik-titik yang berada pada posisi kurang dari radius tertentu.

S

Sumbu imajiner sumbu-y pada koordinat cartesius.

Sumbu Real sumbu-x pada koordinat kartesius.

T

Titik Batas titik yang bukan titik eksterior maupun titik interior.

Titik Eksterior titik yang beberapa persekitarannya tidak satupun memuat titik-titik pada himpunan.

Titik Interior titik yang beberapa persekitarannya hanya memuat titik-titik pada himpunan

Titik Singular titik yang tidak analitik namun analitik pada persekitaran.

TENTANG PENULIS

Dr. Nenden Mutiara Sari, M.Pd adalah dosen Universitas Pasundan. Lahir di Cimahi, Jawa Barat 18 Juli 1988. Ia menyelesaikan Sarjana (S-1) Pendidikan Matematika dari Universitas Pasundan (2010). Magister (S-2) Pendidikan Matematika diselesaikannya di Universitas Pendidikan Indonesia (2013) dan Doktor (S-3) bidang Pendidikan Matematika dari Universitas Pendidikan Indonesia (2018). Disamping sebagai dosen tetap di Universitas Pasundan Bandung, ia juga mengajar sebagai dosen tidak tetap di Universitas Muhammadiyah Sukabumi sebagai dosen tidak tetap dengan mengampu mata kuliah Fungsi Variabel Kompleks.

Selain mengajar, ia juga aktif menjadi reviewer baik itu sebagai reviewer jurnal nasional dan internasional. Jurnal-jurnal tersebut adalah sebagai berikut: Jurnal Inomatika Universitas Muhammadiyah Bangka Belitung (terindeks sinta 3), Jurnal Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika Instritut Pendidikan Indonesia (terindeks sinta 3), International Journal of Instruction (terindeks scopus Q-2).