BAB I - Hand Out KALKULUS KOMPLEKS

BAB I

SISTEM BILANGAN KOMPLEKS

1. Tujuan Mata Kuliah

1.1 Deskripsi Singkat

Mata kuliah ini merupakan pengantar membahas tentang : Sistem Bilangan

Kompleks, Fungsi dengan Peubah Kompleks sebagai pemetaan dari suatu

bidang kompleks ke bidang kompleks lainnya, Pemetaan Konform yang

sederhana, Pendiferensialan dan Pengintegralan Kompleks.

1.2 Kegunaan Mata Kuliah

Bagi mahasiswa mata kuliah ini dapat berguna untuk mengembangkan

konsep-konsep matematika secara mendalam serta mampu menjelaskan

konsep yang tidak dapat dijelaskan oleh mata kuliah lain, misalnya

menjelaskan bilangan negatif di bawah tanda akar. Juga berguna untuk

menambah wawasan terhadap konsep matematika secara konprehensif.

1.3 Tujuan Instruksional Umum

Pada akhir perkuliahan mahasiswa dapat menjelaskan dan menyelesaikan

soal-soal tentang konsep yang terkait dengan bilangan kompleks.

1.4 Susunan Bahan Ajar

1.5 Petunjuk Bagi Mahasiswa

1) Sebelum mempelajari konsep Sistem Bilangan Kompleks, mahasiswa

sudah memahami konsep bilangan, terutama konsep sistem bilangan real.

2) Sebelum mengikuti perkuliahan, mahasiswa diharuskan membaca dan

mempelajari konsep yang akan dikuliahkan.

3) Ikuti penjelasan dan contoh yang diberikan dosen

4) Setiap tugas atau latihan soal yang diberikan diusahakan kerja sendiri,

dan jika ada masalah atau hal yang belum dimengerti dapat ditanyakan

melalui teman atau dosen.

2. Sistem Bilangan Kompleks

2.1 Pendahuluan

 Deskripsi Singkat

Sistem Bilangan Kompleks merupakan salah satu bab yang dipelajari

dalam mata kuliah analisis kompleks. Pada bagian ini akan dibahas

mengenai; (1) aljabar bilangan kompleks, (2) grafik bilangan kompleks, (3)

bentuk polar, (4) modulus (nilai mutlak), (5) teorema De’Mivre, dan (6)

akar-akar bilangan kompleks.

 Relevansi

Hubungan bab ini dengan materi sebelumnya (mata kuliah yang telah

I, II, III, dan IV, serta terutama mata kuliah analisis real, mahasiswa dapat

menjelaskan dan menyelesaikan soal-soal konsep bilangan kompleks.

 Tujuan Instruksional Khusus

1) Menyelesaikan soal-soal dengan menggunakan operasi-operasi pada

bilangan kompleks

2) Menyajikan bilangan kompleks dalam sistem koordinat kartesius,

polar, dan bentuk eksponen

3) Membuktikan pertaksamaan dalam nilai mutlak bilangan kompleks

4) Mencari akar dan memangkatkan suatu bilangan kompleks.

2.2 Penyajian

A. Aljabar Bilangan Kompleks

Uraian dan Contoh

Definisi 1.1

Bilangan Kompleks adalah suatu pasangan terurut dari dua bilangan real x

dan y yang dinyatakan oleh (x,y). Pernyataan ini merupakan definisi formal

dari bilangan kompleks. Lambang bilangan kompleks kita gunakan huruf z

yang berarti z = (x,y) dimana x bagian real dari z (ditulis Re(z)) dan y bagian

imaginer dari z (ditulis Im(z)).

Khusus pasangan terurut (x,0) diidentifikasikan dengan bilangan real x,

yaitu (x,0) = x dan pasangan terurut (0,y) dinamakan bilangan imaginer sejati.

Selanjutnya diambil lambang I untuk pasangan terurut (0,1), yaitu = (0,1)

Definisi 1.2

Dua bilangan kompleks z1 = (x1, y1) dan z2 = (x2, y2) dikatakan sama, ditulis z1

= z2 jika x1=x2 dan y1= y2. Khususnya z = (x,y) = (0,0) jika dan hanya jika x=0

dan y=0.

Definisi 1.3

Jika z1 = (x1, y1) dan z2 = (x2, y2) adalah bilangan kompleks, maka jumlah dan

hasil kali dari z1 dan z2 masing-masing adalah bilangan kompleks z1 + z2 dan

z1 z2 yang diperoleh dari aturan berikut :

z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 , y1 + y2)

z1 z2 = (x1, y1) (x2, y2) = (x1 x2 - y1y2, x1y2 + x2y1)

Teorema 1.1

Himpunan bilangan kompleks C memenuhi sifat-sifat lapangan, yakni :

1) z1 + z2 C dan z1 z2 C,  z1, z2 C

2) z1 + z2 = z2 + z1 dan z1 z2 = z2 z1,  z1, z2  C

3) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) dan (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3),  z1, z2, z3 C

4) z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3,  z1, z2, z3  C

5) Ada 0 = (0,0)  C, sehingga z + 0 = z,  z C

6) Ada 1 = (1,0)  0, 1C, sehingga z . 1 = z,  z  C

7)  z = (x,y)  C,  -z = (-x, -y)  C,  z + (-z) = 0

8)  z = (x,y)  C,  z-1 = (_x2 _y2 x

 , x2 y2 y

 

Bukti Teorema 1.1 dapat dilakukan sendiri dengan berpedoman pada definisi

1.2 dan 1.3

Pada bagian berikut anda akan diperkenalkan pada penulisan lain dari

bilangan kompleks z = (x,y). Dengan identifikasi x = (x,0) dan I = (0,1) dapat

diuraikan sebagai berikut :

(0,y) = (0,1)(y,0) = iy ………..(1)

z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = x + (0,y) ……….(2)

Dari (1) dan (2) dapat diperoleh : z = x + iy

Demikian pula i2 _{= i x i = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1, karena itu bilangan kompleks}

x = (x,y) dapat ditulis dalam bentuk z = x + iy, dimana x dan y bilangan real

dan i satuan imaginer dengan i2 _{= -1}

Contoh 1 :

Jika z = (x,y) dan 1 =(1,0), maka z x 1 = (x,y) x (1,0) = (x, iy)(1 + i0) = x + iy = z

Jika z = (x,y) dan z-1 _{= (}

2 2 _y x

x

 , x2 y2

y

 

), maka

zz-1 _{= (x + iy) (}

2 2 _y x

x

 , x2 y2

y

 

i)

= 2 2 2 2

y x

y x

 

+ _x2 _y2 xy yx

 

i = 1 + 0i = 1

Diberikan z1 = 2 – 3i dan z2 = -5 + i, tentukan bilangan kompleks :

Jika z = (x,y) = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari

z (ditulis z = ( x, -y) = x – iy

Contoh 3

Jika z1 = 3 + 4i dan z2 = -2 – 5i, maka kompleks sekawan dari z1 dan z2 adalah z1

= 3 – 4i dan z2 = -2 + 5i

Teorema 1.2

1. Jika z bilangan kompleks, maka :

(a) z = z

(b) z + z = 2 Re(z)

(c) z – z = 2i Im(z)

(d) zz = (Re(z))2 + (Im(z))2

(a) z1z2 = z1 + z2

(b) z1z2 = z1 – z2

(c) z1z2 = z1 z2

(d) ( )

2 1

z z

=

2 1

z z

; z2 0

Bukti

Misalkan z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + y2, maka

z1z2 = (x1iy1)(x2iy2)= (x1x2)(y1y2)i= (x1 + x2) – i(y1 + y2)

= (x1 - iy1) + (x2 - iy2) = z1 + z2

Latihan 1

1. Ubahlah bilangan kompleks berikut menjadi bentuk x + iy a. (5 – 2i) + (2 + 3i) b. (2 - i) – (6 – 3i) c. (2 + 3i)(-2 – 3i) d. 6i/(6 – 5i) e. i2_{, i}3_{, i}4_{, i}5_{, …, i}10 _{f. (1 + i) / (1 – i)}

g. {i/(1-i)} + {(1-i)/i}

2. Jika z = -1 – I, buktikan z2 _{+ 2z + 2 = 0}

3. Cari bilangan kompleks z = x + iy yang memenuhi : a. z-1 _{= z b.}

z = -z

4. Buktikan untuk setiap bilangan kompleks z berlaku :

a. Re(z) = ₂1 (z + z) b. Im(z) =

2 1

i(z - z )

5. Buktikan z1z2 + z1 z2 = 2 Re(z1z2 )

BAB II

FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN

Fungsi kompleks definisinya identik dengan fungsi real satu peubah y =

f(x). Namun ada penggantian lambang peubah bebas x oleh z dan peubah tak

bebas y oleh w. Dengan demikian, maka fungsi kompleks tersebut dapat ditulis

sebagai w = f(z), dimana z pada himpunan di bidang kompleks.

Definisi 2.1.1

Misalkan D himpunan titik pada bidang z. Fungsi kompleks f adalah suatu

aturan yang memasangkan titik z anggota D dengan satu dan hanya satu titik

w pada bidang w, yaitu (z,w) fungsi tersebut ditulis w = f(z).

Himpunan D disebut domain dari f, dinyatakan oleh Df dan f(z) disebut range dari f dinyatakan oleh Rf, yaitu himpunan f(z) untuk setiap z anggota D.

Contoh 1:

a. w = z2 _{+ 10z c. w =}

z + iz - z-2

b. w = z-1 _{d. w = 1/(z}2_{+1) ; z = x + iy}

Contoh 1a yaitu fungsi dengan domain seluruhnya di bidang z

Contoh 1b dan 1c yaitu fungsi dengan semua titik pada bidang z, kecuali di z

= 0

Contoh 1d yaitu fungsi dengan domain semua tiitk pada bidang z, kecuali di z

=  i

Fungsi komposisi didefinisikan : Misalkan diketahui fungsi f dengan

domain Df dan fungsi g dengan domain Dg, jika Rf  Dg  , maka ada fungsi

Contoh 2 :

f(z) = z + i dan g(z) = z2 _{– z + 1 + i}

Jika Rf  Dg , maka g(f(z)) = g(2z + i)

= (2z + i)2 _{– (2z + i) + 1 + i}

= (4z2 _{+ (-2 + 4i)z}

Jika Rg  Df , maka f(g(z)) = f(z2 – z + 1 + i)

= 2(z2 _{– z + 1 + i) + i}

= 2z2 _{– 22z + 22 + 3i}

2.2 Limit

Diketahui daerah D pada bidang z dan titik zo terletak di dalam D atau

pada batas D. Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada D, kecuali mungkin di z0.

Apabila titik z bergerak mendekati z0 melalui setiap lingkungan sebarang K dan

nilai f(z) bergerak mendekati suatu nilai tertentu yaitu w0, maka dikatakan limit

f(z) adalah untuk z menuju z0 ditulis : l i m z  zo f(z) = w0

Definisi 2.2.1

Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D kecuali mungkin di z0.

(titik z0 di dalam D dan pada batas D) limit dari f(z) adalah w0 untuk z menuju z0,

jika untuk setiap   0, terdapat   0, sedemikian hingga f(z) – w0  ,

apabila 0z – z0  , ditulis ; l i m z  zo f(z) = w0

l i m z  zo f(z) = w0  0,  0  0 z – z0f(z) – w0

Catatan perlu diperhatikan :

1) Titik z0 tidak perlu termasuk domain fungsi f

2) Peubah z menuju z0 melalui sebarang lingkungan K, artinya z menuju z0 dari

segala arah.

3) Apabila z menuju z0 melalui dua lingkungan yang berbeda saja,

mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tidak

ada untuk z menuju z0.

Contoh 3 :

Buktikan l i m z  zo f(z) = z0 , jika f(z) = z

Bukti :

Akan ditunjukkan  0,  0  z – z0z – z0

Jelas ada  = , apabila z – z0, maka z – z0, berarti l i m z  zo f(z) =

z0

Teorema 2.1

Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju z0, maka nilai limitnya tunggal.

Bukti :

Andaikan f mempunyai dua nilai limit yakti w1 dan w2 dengan w1 w2.

Berarti l i m z  zo f(z) = w1 dan l i m z  zo f(z) = w2

Ambil bilangan positif  = ½ w1 – w2

f(z) – w1 dan f(z) – w2

Jika 0  z – z0  

Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, diperoleh ;

w1 – w2 = w1 – f(z) + f(z) – w2

w1 – f(z) + f(z) – w2

  +  = ½ w1 – w2 + ½ w1 – w2

w1 – w2

Terakhir diperoleh w1 – w2  w1 – w2 . Hal ini tidak mungkin, berarti

pengandaian salah. Jadi limit f harus tunggal.

Teorema 2.2

Misalkan z = (x,y) = x + iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D. Titik z0 = (x0, y0) = x0 + iy0 di dalam D atau pada batas D

Maka

l i m z  zo f(z) = x0 + iy0 jika dan hanya jika berlaku

l i m u(x,y) = x0 dan l i m v(x,y) = y0

(x,y)  (x0,y0) (x,y)  (x0,y0)

Buktinya akan dibahas dalam bentuk diskusi dan pemecahannya.

Teorema 2.3

Misalkan fungsi f dan F limitnya ada di z0

l i m f(z) = w0 dan l i m F(z) = t0

z  z0 z  z0

Maka :

1). l i m {f(z) + F(z)} = w0 + t0

2). l i m {f(z) F(z)} = w0 t0

z  z0

3). l i m f(z) / F(z) = w0 / t0, t0 0

z  z0

2.3 Kekontinuan

Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang z dan titik z0 terletak pada

interior D. Fungsi f(z) dikatakan kontinu di z0 apabila

l i m f(z) = f(z0)

z  z0

Teorema 3.1

Jika 1. f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

2. f(z) = terdefinisi disetiap titik pada daerah R

3. z0 = x0 + iy0 titik di dalam R

maka fungsi f(z) kontinu jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) masing-masing

kontinu di (x0, y0).

Latihan 2

1. Tentukan nilai fungsi dari :

b. f(z) = (z+1)/(z-1) ; di z = -i

c. f(z) = z 2 _{– (Re(z))}2 _{; di z =3 + i}

2. Jika z = x + iy, nyatakan fungsi berikut dalam bentuk u(x,y) + iv(x,y) dan u(r,)

+ iv(r,).

a. f(z) = z2 _{+ 3z}

b. f(z) = iz + Im(1/z)

c. f(z) = 2 + i

3. Pada masing-masing soal berikut ada dua titik z dari suatu fungsi w = f(z).

a. z1 = -2i; z2 = 1 + i; w = z – 2i

b. z1 = 2 + 2i; z2 = 3i; w = iz

BAB III

TURUNAN DAN FUNGSI ANALITIK

3.1 Turunan

Definisi 3.1

Jika f(z) bernilai tunggal dalam suatu daerah R di bidang z, maka turunan

fungsi f(z) didefinisikan sebagai

f’(z) = ₀



h Limit

h z f h z

f(  ) ( ) ₍₁₎

nilai limitnya ada dan tunggal serta kontinu di h  0

3.2 Fungsi Analitik

Definisi 3.2

Jika turunan f’(z) ada di semua titik z dari suatu daerah R, maka f(z)

dikatakan analitik dalam R. Fungsi f(z) dikatakan analitik di suatu titik z0 jika

terdapat suatu lingkungan z z0   sehingga f’(z) ada di setiap titik

pada lingkungan tersebut

Contoh 1 :

f(z) analitik di z0 maka f(z) kontinu di z0 , dan berikan contoh kebalikannya

tidak selalu berlaku benar.

Jawab :

f(z) analitik di z0 maka berlaku :

f(z0 + h) – f(z0) =

h z f h z

f( 0 ) ( 0)_{. h dimana h =}

0

Akibatnya f(z) = z tidak analitik dimana-mana dan hal ini menunjukkan

bahwa fungsi yang kontinu tidak perlu memiliki turunan atau tidak perlu

3.3 Persamaan Cauchy Riemann

Syarat perlu agar w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu daerah R

adalah u dan v memenuhi persamaan Cauchy Riemann

y

jika turunan parsial (2) kontinu dalam R, maka persamaan Cauchy Riemann

adalah syarat cukup agar f(z) analitik dalam R.

Fungsi u(x,y) dan v(x,y) seringkali dinamakan fungsi sekawan. Jika salah

satu dari f(u) atau f(v) diberikan maka kita dapat menentukan yang lainnya

dalam bentuk penjumlahan sebarang, sehingga bentuk u + iv = f(z) analitik.

Contoh 2

(a) syarat perlu, dan

(b) syarat cukup agar w analitik.

Jawaban :

(a) Syarat perlu agar f(z) analitik, maka limit

0

Kasus 1 : y = 0, x  0

asalkan turunan parsialnya ada.

Kasus 2 : x = 0, y  0

sekarang f(z) tidak mungkin analitik, kecuali dua limit ini sama. Jadi suatu

syarat perlu agar f(z) analitik adalah :

x

maka kita mempunyai :

=

menurut persamaan Chauchy Riemann maka dapat ditulis sebagai :

w

sehingga turunannya ada dan

tunggal, yaitu f(z) analitik dalam R

2. Untuk setiap fungsi berikut ini, tentukan titik singularnya yaitu titik dimana

fungsinya tidak analitik. Tentukan pula turunan di semua titik lainnya.

a. _zz _i

 b. 2 5

2 3 2

 



z z

z

3. Buktikan bahwa jika w = f(z) = u + iv analitik dalam suatu daerah R, maka

dz dw

= w_x

 

= i _w_y

4. Tunjukkan bahwa fungsi x2 _{+ iy}2 _{tidak analitik dimana-mana. Bandingkan hal}

ini dengan kenyataan bahwa persamaan Chauchy Riemann dipenuhi di x=0,