Integral Kompleks
(Bagian Kesatu)
Supama
Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA
Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id
Outline
1 Fungsi Bernilai Kompleks
2 Lintasan atau Kontur
Terlebih dahulu akan diperkenalkan derivatif dan integral tertentu fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan pada suatu daerah definisi di dalam sistem bilangan real <.
Diberikan fungsi bernilai kompleks w (t) = u(t) + iv (t) dengan t variabel real.
Turunan w , ditulis w0(t) atau dw (t)dt didefinisikan sebagai w0(t) = u0(t) + iv0(t)
Fungsi bernilai kompleks
Dari definisi tersebut, dapat diturunkan sifat-sifat derivatif fungsi bernilai kompleks. Theorem Jika dw1(t) dt dan dw2(t) dt ada, maka d (w1(t)+w2(t)) dt dan d (w1(t) + w2(t)) dt = dw1(t) dt + dw2(t) dt
Theorem
Diberikan fungsi bernilai kompleks w (t) = u(t) + iv (t). Jika w0(t) ada, maka untuk sebarang z0∈ C, d (z0dtw (t)) ada dan
d (z0w (t)) dt =z0 dw (t) dt . Theorem Untuk sebarang z0∈ C,d (e z0t) dt ada dan d (ez0t) dt =z0e z0t.
Fungsi bernilai kompleks
Perlu diperhatikan, meskipun turunan fungsi bernilai kompleks diturunkan dari definisi fungsi bernilai real, namun ternyata tidak semua sifat yang berlaku untuk turunan fungsi bernilai real bisa dibawa ke fungsi bernilai kompleks.
Sebagai contoh, diperhatikan fungsi
w (t) = eit, 0 ≤ t ≤ 2π (1) Fungsi tersebut kontinu pada [0, 2π], mempunyai turunan w0(t) = ieit pada (0, 2π), dan w (0) = w (2π). Akan tetapi w0(t) 6= 0 untuk semua 0 < t < 2π. Jadi, di sini tidak berlaku Teorema Nilai Rata-rata, khususnya Teorema Rolle.
Diberikan w (t) = u(t) + iv (t), t ∈ [a, b].
Integral tak tentu dari w (t) pada [a, b] adalah fungsi W (t) yang terdefinisi pada [a, b] sehingga W0(t) = w (t) untuk setiap t ∈ [a, b].
Mudah ditunjukkan bahwa apabila W (t) dan H(t) keduanya merupakan integral tak tentu dari w (t) pada [a, b], maka W (t) − H(t) merupakan fungsi konstan pada [a, b].
Jadi, sebagaimana berlaku pada fungsi bernilai real, jika U(t) dan V (t) masing-masing adalah suatu antiderivatif (integral tak tentu) dari u(t) dan v (t) pada [a, b], maka inetgral tak tentu dari w (t) pada [a, b] adalah
W (t) = Z
w (t) = U(t) + iV (t) + K , (2) dengan K sebarang konstanta kompleks.
Fungsi bernilai kompleks
Untuk sebarang fungsi w (t), t ∈ [ab], integral tertentu w pada [a, b] didefinisikan sebagai
Z b a w (t)dt = Z b a u(t)dt + i Z b a v (t)dt (3) asalkan integral di ruas kanan keduanya ada.
Jadi, Re{ Z b a w (t)dt} = Z b a Re(w (t))dt dan (4) Im{ Z b a w (t)dt} = Z b a Im(w (t))dt (5)
Selanjutnya mudah ditunjukkan sifat-sifat integral tertentu sebagaimana diberikan dalam teorema berikut.
Theorem
JikaRb
a w (t)dt dan
Rb
a h(t)dt keduanya ada dan c ∈ C sebarang
konstanta kompleks, maka (i) Rb a(w (t) + h(t))dt = Rb a w (t)dt + Rb a h(t)dt, (ii) Rb a cw (t)dt = c Rb a w (t)dt, dan (iii) Rabw (t)dt =Rc a w (t)dt + Rb c w (t)dt untuk setiap a < c < b.
Seperti halnya di dalam kalkulus, untuk integral fungsi bernilai kompleks juga berlaku teorema fundamental integral.
Contoh
Example
TentukanR1
0(2t − 3it 2)dt.
Penyelesaian: KarenaR (2t − 3it2)dt = t2− it3+K , maka
Z 1
0
Theorem
Jika w (t) terintegral pada [a, b], maka |w (t)| terintegral pada [a, b] dan | Z b a w (t)dt| ≤ Z b a |w (t)|dt (6)
Integral tak wajar fungsi bernilai kompleks didefinisikan sejalan dengan definisi integral tak wajar fungsi bernilai real
Lintasan atau Kontur
Seperti telah diketahui, integral fungsi bernilai real dengan variabel real didefinisikan pada suatu interval di mana fungsi tersebut terdefinisi.
Hal itu tak bisa dilakukan untuk fungsi bernilai kompleks dengan variabel kompleks, mengingat di dalam C tidak dikenal adanya urutan sebagaimana di R.
Mengingat hal itu, integral fungsi kompleks dengan variabel kompleks akan didefinisikan pada suatu kurva di dalam bidang datar.
Pada bagian ini, akan dibicarakan keluarga kurva-kurva di dalam bidang datar yang nantinya akan digunakan untuk mendefinisikan integral fungsi bernilai kompleks dengan variabel kompleks.
Diberikan fungsi-fungsi kontinu g dan h yang terdefinisi pada [a, b].
Himpunan semua titik z = (x , y ) di dalam bidang kompleks sehingga
x = g(t) dan y = h(t), t ∈ [a, b] disebut arc atau kurva.
Secara umum, suatu kurva atau arc C dapat pula dirumuskan sebagai
z = z(t) = x (t) + iy (t), a ≤ t ≤ b
Lintasan atau Kontur
Kurva C disebut kurva sederhana jika C tidak memotong dirinya sendiri, yaitu apabila z(t1) 6=z(t2)untuk setiap
t16= t2.
Jika kurva C sederhana kecuali pada kedua ujungnya (z(a) = z(b)), maka C dinamakan kurva tertutup sederhana atau kurva Jordan.
Example Poligonal z = t ,0 ≤ t ≤ 1 1 + it ,0 ≤ t ≤ 1 adalah kurva sederhana.
Example
Lingkaran z = 2eit, 0 ≤ θ ≤ 2π adalah kurva tertutup sederhana.
Lintasan atau Kontur
Diberikan kurva z = x (t) + iy (t), a ≤ t ≤ b dengan x0(t) dan y0(t) keduanya ada pada [a, b].
Kurva z = x (t) + iy (t), a ≤ t ≤ b sehingga x0(t) dan y0(t) keduanya ada pada [a, b] disebut kurva diferensiabel. Turunan dari z(t) adalah
z0(t) = x0(t) + y0(t)
Selanjutnya, karena x0(t) dan y0(t) terintegral pada [a, b], maka demikian pula dengan |z0(t)| dan
Z b a |z0(t)|dt = Z b a q (x0(t))2+ (y0(t))2, (7)
Suatu kurva z = z(t), a ≤ t ≤ b, dikatakan mulus (smooth) jika z0(t) ada untuk setiap t ∈ [a, b] dan bernilai tidak nol pada (a, b).
Sejumlah berhingga kurva mulus sehingga ujung suatu kurva bertautan dengan ujung kurva berikutnya disebut kontur (contour).
Suatu kontur C disebut kontur tertutup sederhana jika titik awal dan titik akhir C sama atau berimpit.
Integral Kontur
Pada bagian ini akan dibicarakan integral fungsi bernilai kompleks yang terdefinisi untuk variabel kompleks.
Integral tersebut didefinisikan di sepanjang suatu kontur C, mulai dari z = z1sampai z = z2di bidang kompleks.
Jadi, integral yang dimaksud sesungguhnya merupakan integral garis. Nilai integral tergantung tidak hanya pada fungsi f , namun juga pada kontur C.
Diberikan fungsi kompleks f dan kontur C dari z1ke z2di
dalam bidang kompleks.
Integral lintasan f pada C ditulis dengan notasiR
Cf (z)dz.
Secara umum, nilai integral ini selain bergantung pada f juga bergantung pada lintasan C.
Apabila nilai integral tidak bergantung pada C, maka dituliskan
Z z2 z1
Diberikan kontur C dengan representasi z = z(t), a ≤ t ≤ b
yang memanjang dari z1=z(a) sampai dengan z2=z(b).
Untuk sebarang fungsi f (z) yang kontinu
sepotong-sepotong pada C, yaitu apabila f (z) kontinu pada C kecuali di sebanyak berhingga titik pada C, integral kontur f sepanjang kontur C didefinisikan sebagai
Z C f (z)dz = Z b a f (z(t))z0(t)dt (8) Untuk sebarang kontur C dengan representasi
z = z(t), a ≤ t ≤ b
kontur −C didefinisikan sebagai suatu kontur yang
memuat titik sebagaimana titik-titik pada C namun dengan arah yang berlawanan, dari z2sampai z1.
Selanjutnya, dapat ditunjukkan beberapa teorema berikut.
Theorem
Diberikan kontur C dengan representasi z = z(t), a ≤ t ≤ b
yang memanjang dari z1=z(a) sampai dengan z2=z(b). Jika
f (z) sebarang fungsi yang kontinu sepotong-sepotong pada C, maka Z −C f (z)dz = − Z C f (z)dz
Integral Kontur
Theorem
Diberikan kontur C yang terdiri atas kontur C1dari z1sampai z2
dan kontur C2dari z2sampai z3. Kontur C yang demikian biasa
ditulis sebagai C = C1+C2. Jika f kontinu sepotong-sepotong
pada C, maka Z C f (z)dz = Z C1 f (z)dz + Z C2 f (z)dz
Theorem
Jika f dan g keduanya kontinu sepotong-sepotong pada suatu kontur C dan z0sebarang konstanta kompleks, maka
Z C (f (z) + g(z))dz = Z C f (z)dz + Z C g(z)dz dan Z C z0f (z)dz = z0 Z C f (z)dz
Contoh
Example
Jika C adalah kontur yang terdiri atas penggal garis C1dari
z = 0 sampai z = 1 dan penggal C2dari z = 1 sampai z = i,
maka hitunglah Z
C
Theorem
Diberikan fungsi kompleks f yang kontinu sepotong-sepotong pada suatu kontur C. Jika terdapat M > 0 sehingga |f (z)| ≤ M untuk setiap z ∈ C, maka
| Z
C
f (z)dz| ≤ ML
dengan L menyatakan panjang kontur atau lintasan C.
Integral Kontur Example
Jika C adalah kontur berbentuk setengah lingkaran z = 4eiθ dari z = 4 sampai z = −4, maka tunjukkan bahwa
| Z C z z + 1dz| ≤ 16π 3
Bukti: Mudah dimengerti bahwa panjang kontur C adalah L = 4π. Selanjutnya, karena untuk semua z ∈ C berlaku
| z z + 1| ≤ |z| |z| − 1 = 4 3, maka | Z C z z + 1dz| ≤ ( 4 3)(4π) = 16π 3 .
