Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

2

Sudaryatno Sudirham

Darpublic

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik

BAB 7

Gabungan Fungsi Sinus

7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus

Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb. Peristiwa-peristiwa itu merupakan fungsi waktu, sehingga kita akan melihatnya dengan menggunakan waktu sebagai peubah bebas, dengan simbol t, satuan detik.

Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus yang terjadi setiap detik disebut frekuensi siklus, dengan simbol f , dengan satuan Hertz (1 Hz = 1 siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T0 maka

0 0

1

T

f = (7.1) Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumnya, kita menggunakan jumlah radian untuk menyatakan sudut. Karena satu siklus perubahan sudut bersesuaian dengan perubahan sebesar 2π radian, maka f siklus per detik bersesuaian dengan 2πf radian per detik. Jadi di samping frekuensi siklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan satuan

radian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut

(ω), dan juga dengan perioda (T0), adalah

0 0 2 2 T f = π π = ω (7.2) Suatu fungsi cosinus yang memiliki amplitudo (nilai puncak) A dituliskan sebagai       π = ω = 0 2 cos cos T t A t A y (7.3)

Catatan: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit catatan

yang perlu dicermati. Di bab sebelum ini kita menyatakan fungsi sinus

y =

sin(x

)

atau fungsi cosinus y =cos(x) dengan x sebagai peubah bebas dengan satuan radian. Pada (7.3) kita menyatakan fungsi cosinus y= cosωt dengan t sebagai peubah bebas dengan satuan detik. Faktor ω-lah yang membuat satuan detik menjadi radian; ω disebut frekuensi susut, satuan rad/detik.

7-2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral Gb.7.1. memperlihatkan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kita geser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendapatkan fungsi sinus. Gb.7.2.       π = ω =       π − ω = 0 2 sin sin 2 cos T t A t A t A y (7.4) Gb.7.1. Fungsi cosinus _      π = ω = 0 2 cos cos T t A t A y Gb.7.2. Fungsi sinus       π − ω =       π = ω = 2 cos 2 sin sin 0 t A T t A t A y

Pergeseran fungsi cosinus sebesar Ts diperlihatkan pada Gb.7.3.

Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalah

(

)

_      π ₋ π = − ω = 0 0 2 2 cos cos T T T t A T t A y _s s T0 -A 0 A 0 t y T0 -A 0 A 0 t y

Gb.7.3. Fungsi cosinus tergeser

Kita perhatikan bahwa puncak pertama fungsi cosinus menunjukkan

pergeseran. Pada Gb.7.1. pergeseran adalah nol. Pada Gb.7.3. pergeseran

adalah Ts . Pada Gb.7.2. pergeseran adalah π/2 yang kemudian menjadi

kurva fungsi sinus. Jadi akan sangat mudah menuliskan persamaan suatu fungsi sinusoidal sembarang, yaitu dengan menuliskannya dalam bentuk cosinus, dengan memasukkan pergeseran yang terjadi yaitu yang ditunjukkan oleh posisi puncak yang pertama.

Untuk selanjutnya, peristiwa-peristiwa yang berubah secara sinusoidal kita nyatakan dengan menggunakan fungsi cosinus, yang dianggap sebagai bentuk normal

Perhatikanlah bahwa Ts adalah pergeseran waktu dalam detik, sehingga

fungsi sinusoidal dengan pergeseran Ts kita tuliskan (Gb.7.3)

(

t T_s

)

A

y= cosω −

yang dapat pula kita tuliskan

(

t Ts

)

A

y= cosω −ω

Pada penulisan terakhir ini, ωTs mempunyai satuan radian, sama dengan

satuan ωt. Selanjutnya 0 2 T T T_s= π s ω = ϕ (7.5) disebut sudut fasa dari fungsi cosinus dan menunjukkan posisi puncak

pertama dari fungsi cosinus. Fungsi cosinus dengan sudut fasa ϕ kita

tuliskan

(

ω −ϕ

)

= t y cos (7.6) T0 -A 0 A 0 _t y Ts

7-4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral Jika ϕ = π/2 maka kita mempunyai fungsi sinus. Jadi untuk mengubah fungsi sinus ke dalam format normal (menggunakan fungsi cosinus) kita menambahkan pergeseran sebesar π/2 pada fungsi cosinus.

7.2. Kombinasi Fungsi Sinus.

Dalam tinjauan selanjutnya, jika disebut fungsi sinus, yang dimaksudkan adalah fungsi sinus yang dinyatakan dalam bentuk normal, yaitu cosinus. Fungsi sinus adalah fungsi periodik. Fungsi-fungsi periodik lain yang bukan sinus, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari fungsi-fungsi sinus. Atau dengan kata lain suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi

jumlah dari beberapa komponen sinus, yang memiliki amplitudo, sudut fasa, dan frekuensi yang berlainan satu sama lain. Dalam penguraian itu,

fungsi akan terdiri dari komponen-komponen yang berupa komponen

searah (nilai rata-rata dari fungsi), komponen sinus dengan frekuensi dasar f0 , dan harmonisa yang memiliki frekuensi harmonisa nf0 .

Sebaliknya dapat juga dikatakan bahwa jumlah dari beberapa fungsi

sinus yang memiliki amplitudo, frekuensi, serta sudut fasa yang berlainan, akan membentuk fungsi periodik, walaupun bukan berbentuk sinus. Gb.7.4. memperlihatkan beberapa bentuk fungsi periodik; bentuk

fungsi-fungsi periodik ini tergantung macam komponen sinus yang menyusunnya.

Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan kelipatan bulat n dari frekuensi dasar f0. Frekuensi f0 kita sebut sebagai frekuensi

dasar karena frekuensi inilah yang menentukan perioda T0 = 1/f0 .

Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (2fo), harmonisa

ketiga (3f0), dan seterusnya, yang secara umum kita katakan harmonisa

ke-n mempunyai frekuensi nf0 .

7.3. Spektrum Dan Lebar Pita.

Spektrum. Jika kita menghadapi suatu fungsi periodik, kita bisa

mempertanyakan bagaimana komponen-komponen sinusoidalnya. Bagaimana penyebaran amplitudo dan sudut fasa setiap komponen, atau dengan singkat bagaimana spektrum fungsi tersebut. Kita juga mempertanyakan bagaimana sebaran frekuensi dari komponen-komponen tersebut.

Gb.7.4. Beberapa fungsi periodik.

Berikut ini kita akan melihat suatu contoh fungsi yang dinyatakan dengan persamaan

(

f t

)

(

f t

)

(

f t

)

y=10+30cos2π₀ +15sin 2π(2 ₀) −7,5cos2π(4 ₀)

Fungsi ini merupakan jumlah dari satu komponen konstan dan tiga komponen sinus. Komponen konstan sering disebut komponen berfrekuensi nol karena y(t) = A cos(2πft) = A jika f = 0. Komponen sinus yang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen inilah yang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku ketiga dan keempat adalah harmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3 tidak ada.

Fungsi ini dinyatakan dengan campuran fungsi sinus dan cosinus. Untuk melihat bagaimana spektrum fungsi ini, kita harus menuliskan tiap suku dengan bentuk yang sama yaitu bentuk normal (standar). Telah dikatakan

-4 1 -5 15 ) 4 / ) 2 ( 2 cos( 2 2 cos 3 1++++ π₀ −−−− π ₀ ++++π = == = f t f t y y y = 1 + 3 cos 2f0t -4 0 4 -5 15

t

) ) 2 ( 2 cos( 2 2 cos 3 1 f0t f0 t y==== ++++ π −−−− π y t -4 0 4 -5 15 y y = 3 cos 2f0t -4 0 4 -5 15

t

7-6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral di depan bahwa bentuk normal pernyataan fungsi sinusoidal adalah menggunakan fungsi cosinus, yaitu y=Acos(2πft+ϕ).

Dengan menggunakan kesamaan ) 2 / 2 cos( ) 2

sin( πft = πft−π dan −cos(2πft)=cos(2πft+π) persamaan fungsi di atas dapat kita tulis

) 4 2 cos( 5 , 7 ) 2 / 2 2 cos( 15 ) 2 cos( 30 10+ π₀ + π ₀ −π + π ₀ +π = f t f t f t y

Dalam pernyataan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalam bentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiap komponen seperti dalam tabel berikut.

Frekuensi 0 f0 2 f0 4 f0

Amplitudo 10 30 15 7,5

Sudut fasa − 0 −π/2 π

Fungsi yang kita ambil sebagai cintoh mungkin merupakan pernyataan suatu sinyal (dalam rangkaian listrik misalnya). Tabel ini menunjukkan apa yang disebut sebagai spektrum dari sinyal yang diwakilinya. Suatu spektrum sinyal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudo maupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi dari

frekuensi. Sinyal yang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, yaitu

: 0, f0 , 2f0 , dan 4f0. Amplitudo dari setiap frekuensi secara berturut-turut

adalah 10, 30, 15, dan 7,5 satuan (volt misalnya, jika ia adalah sinyal tegangan). Sudut fasa dari komponen sinus yang berfrekuensi f0 , 2f0 dan

4f0 berturut turut adalah 0, −π/2, dan π radian.

Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik yaitu grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi frekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a) dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa (Gb.7.5.b).

Gb.7.5.a. Spektrum Amplitudo

Gb.7.5.b. Spektrum sudut fasa.

Penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan harmonisa sinus, dapat dilakukan untuk semua bentuk fungsi periodik dengan syarat tertentu. Fungsi persegi misalnya, yang juga periodik, dapat diuraikan menjadi jumlah harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian fungsi persegi ini adalah sebagai berikut :

.... ) 2 / 7 2 cos( 7 ) 2 / 5 2 cos( 5 + ) 2 / 3 2 cos( 3 ) 2 / 2 cos( 0 0 0 0 + π − π + π − π π − π + π − π = t f A t f A t f A t f A y

Dari persamaan ini, terlihat bahwa semua harmonisa mempunyai sudut fasa sama besar yaitu –π/2; amplitudonya menurun dengan meningkatnya frekuensi dengan faktor 1/n; tidak ada komponen konstan dan tidak ada harmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut.

0 π/2 2π 0 1 2 3 4 5 S u d u t F a s a Frekuensi [×f0] −π/2 −2π 0 10 20 30 40 0 1 2 3 4 5 Frekuensi [×f0] A m p lit u d o

7-8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral Frekuensi: 0 f0 2f0 3f0 4f0 5f0 .. nf0

Amplitudo: 0 A 0 A/3 0 A/5 .. A/n

Sudut Fasa: - -π/2 - -π/2 - -π/2 .. -π/2 Gb.7.6. berikut ini memperlihatkan bagaimana fungsi persegi dibangun dari harmonisa-harmonisanya.

a)

_b)

d)

c)

e)

Gb.7.10. Uraian fungsi persegi.

a). sinus dasar. b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3. c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5. d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7. e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai pada harmonisa ke-21.

Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di atas, terlihat bahwa dengan

menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akan makin mendekati bentuk persegi. Penambahan ini dapat kita lakukan terus sampai ke suatu harmonisa tinggi yang memberikan bentuk fungsi yang kita anggap cukup memuaskan artinya cukup dekat dengan bentuk yang kita inginkan.

Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggi frekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudonya. Hal ini tidak hanya berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum. Oleh karena itu secara umum kita dapat menetapkan suatu batas

frekuensi tertinggi dari suatu fungsi periodik, dengan menganggap

amplitudo harmonisa-harmonisa yang frekuensinya di atas frekuensi tertinggi ini dapat diabaikan. Batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kita tetapkan, misalnya frekuensi harmonisa yang amplitudonya tinggal 2% dari amplitudo sinus dasar.

Jika batas frekuensi tertinggi kita tetapkan, batas frekuensi terendah juga perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar jika bentuk fungsi yang kita tinjau tidak mengandung komponen konstan. Jika mengandung komponen konstan maka frekuensi terendah adalah nol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band

7-10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

Soal-Soal: Fungsi Sinus, Gabungan Sinus, Spektrum

1. Tentukan persamaan bentuk kurva fungsi sinus berikut ini dalam format cosinus

y

=

A

cos(

x

−

x

_s

)

:

a). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0, frekuensi siklus 10 siklus/skala.

b). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0,02, frekuensi siklus 10 siklus/skala.

c). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa 0o, frekuensi sudut 10 rad/skala.

d). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa +30o, frekuensi sudut 10 rad/skala.

2. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan sinus berikut ini

8000 2 sin 2 , 0 4000 2 cos 2 2000 2 sin 5 4 t t t y= + π − π + π

Dengan mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%, tentukan lebar pita fungsi ini.

3. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut. 8000 cos2 2000 2sin2 -) 60 1000 2 cos( 3 t o t t y= π − π + π

4. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut.

5000 cos 02 , 0 1500 cos 2 . 0 500 cos 300 cos 2 100 cos 10 t t t t t y + + + + =

5. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut.

2000 2 cos 2 , 0 1500 2 cos 2 1000 2 cos 3 500 2 cos 10 10 t t t t y π + π + π + π + =