Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Sudaryatno Sudirham

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik

13-1

BAB 13

Integral (2)

(Integral Tak Tentu)

Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung integral adalah dengan pendekatan numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yang mengandung error. Namun error dalam pendekatan numerik bisa ditekan sampai pada batas-batas toleransi. Dalam bab ini kita akan melihat perhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam-macam fungsi.

13.1. Integral Fungsi Tetapan:

∫

adx K

ax adx= +

∫

karena dax =adx

Contoh: y=

∫

2dx=2x+K 13.2. Integral Fungsi Mononom:

∫

xndx

Karena dxn=xn−1dx dengan syarat n ≠ −1, maka K n x dx x n n ₊ + = +

∫

1₁ Contoh: y=

∫

x2dx=

∫

x2dx= x3+K 3 2 2 2

13.3. Integral Fungsi Polinom

∫

(xn +xm)dx

Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Integral suatu polinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya. Karena d(xn+xm)=xndx+xmdx maka 1 , 1 syarat dengan , 1 1 ) ( 1 1 − ≠ − ≠ + + + + = + + +

∫

K n m m x n x dx x x m n m n

Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+ + + + − + dx x x x dx x x dx x dx x xdx dx ) 2 4 6 4 ( ; ) 4 2 ( ; ) 5 2 ( ; 4 ; 2 ; 5 2 3 1 0 2 4

13.4. Integral Fungsi Pangkat Dari Fungsi:

∫

v

n

dx

Jika v adalah polinom, maka

∫

+ + = + K dv n v dv v n n 1 1 karena dv v n v d n n = + + 1 1

dengan syarat n ≠ −1. Formulasi ini digunakan untuk

mencari

∫

vndx. Contoh: Hitunglah y=

∫

(2x+1)2dx Misalkan v= x2 +1 →dv=2dx→ 2 dv dx = K x x x K x x x K v dv v dx x y + + + + = + + + + = + = = + =

∫

∫

6 1 2 3 4 6 1 6 12 8 6 2 ) 1 2 ( 2 3 2 3 3 2 2

Kita coba untuk meyakinkan hasil ini dengan hasil yang akan diperoleh jika polinom kita kuadratkan lebih dulu.

K x x x dx x x dx x y=

∫

+ =

∫

+ + = + + + ′ 2 4 3 4 ) 1 4 4 ( ) 1 2 ( 2 3 2 2

Hasil perhitungan sama dengan hasil sebelumnya, 6 / 1 + = ′ K K . Contoh: Hitunglah

∫

− = dx x x y 2 1 3 Misalkan x dv dx x dx dv v x 2 2 1 2 − = → − = → = − 2 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 1 3 2 / 1 2 3 2 3 2 3 1 3 y v dv v x x dv v x dx x x − − = − = − = − = − =

∫

∫

−

Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.

∫

∫

(x+1)2dx; 4x+1dx;

∫

∫

∫

+ + + dx x x dx x dx x 1 2 ; ) 2 3 ( 1 ; 5 2 2 2

13-3

13.5. Integral Fungsi Berpangkat -1:

∫

v

dv

Karena v dv v d(ln )= , maka v K v dv_{= +}

∫

ln . Integrasi ini memecahkan masalah persyaratan n ≠ −1 pada integrasi

∫

vndx.

Contoh: Carilah integral

∫

+ = _dx x x y 1 2 2 Misalkan x dv dx x dx dv x v 2 2 1 2_{+ → = → =} =

∫

∫

= = + = + + + = v K x K x dv v x dx x x y ln ln( 1) 2 2 1 2 2 2

Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.

∫

∫

∫

∫

∫

₊

∫

_{− − + − +} 1 4 ; 1 ; 1 ; 3 2 ; 4 ; 3 2 3 2 2 2 x xdx x xdx x xdx x dx x dx x x dx

13.6. Integral Fungsi Eksponensial:

∫

evdv

Karena dev =evdv maka

∫

evdv=ev +K Soal-Soal:

∫

∫

∫

∫

₊ x x x x x e dx e dx e dx xe dx e 2 1 ; ; ; /3 2 2

13.7. Integral Tetapan Berpangkat Fungsi :

∫

a

v

dv

Karena dav=avlnadv maka K a a dv a v v _{= +}

∫

_ln Contoh: Carilah y=

∫

32xdx Misalkan v = 2x → 2 2 dx dv dx dv_{= → =}

∫

∫

= = + = dx dv K y x v x 3 ln 3 2 1 2 3 3 2 2

13.8. Integral Fungsi Trigonometri

Karena dsinv=cosvdv maka

∫

cosvdx=sinv+K

Karena dcosv=−sinvdx maka

∫

sinvdx=−cosv+K

Relasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang lain termuat dalam Tabel-13.1.

Contoh: Carilah integral tak tentu y=

∫

sin2xdx

Misalkan 2 2 2 dx dv dx dv x v= → = → = 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin xdx vdv v x y=

∫

=

∫

=− =−

Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.

∫

∫

∫

sin4xdx; cos(2x+2)dx; 4cos3xdx.

∫

∫

2sinxcosxdx; sin2xcosxdx.

∫

∫

sin2xdx; cos2axdx

∫

∫

₋ dx x x xdx x 2 cos 2 2 sin ; sin cos2 .

13.9. Integral Fungsi Hiperbolik

Karena d(sinhv)=coshv maka

∫

coshvdv=sinhv+K

Karena d(coshv)=sinhvdv maka

∫

sinhvdv=coshv+K

Relasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termuat dalam Tabel-13.1.

Contoh: Carilah y=

∫

cosh(2x+1)dx

Misalkan 2 2 1 2 dx dv dx dv x v= + → = → = K x K v dv v dx x y + + = + = = + =

∫

∫

) 1 2 sinh( 1 sinh 2 1 ) cosh( 2 1 ) 1 2 cosh(

13-5

Soal-Soal: Carilah integral berikut

∫

∫

∫

∫

∫

dx xdx x x xdx xdx dx x x 2 4 2 _{; tanh} cosh sinh ; 2 cosh ; tanh ; sinh

13.10. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri Inversi

Integral fungsi-fungsi yang berbentuk

∫

− 2 1 v dv ,

∫

+ 2 1 v dv ,

∫

− 1 2 v v dv

dan setrusnya mulai nomer 20 sampai 31,

menghasilkan fungsi-fungsi trigonometri inversi.

Contoh: Carilah

∫

− = 2 4 1 x dx y

Jika kita membuat pemisalan v=1−4x2 maka x dx dv 8 − = _atau x dv dx 8 −

= _{. Kalau pemisalan ini kita masukkan dalam persoalan} integral yang diberikan, kita akan mendapatkan bentuk

x dv v 8 2 / 1 −

∫

−

yang tidak dapat diproses lebih lanjut; persoalan integral tidak dapat ter-transformasi menjadi integral dalam peubah v.

Namun bentuk

∫

−₄ 2

1 x

dx _{ini dapat kita transformasi menjadi bentuk}

yang termuat dalam Tabel-13.1, yaitu nomer 20. Kita misalkan v = 2x

yang akan memberikan =2

dx dv

atau 2

dv

dx = . Persoalan integral kita

menjadi

∫

∫

∫

− = − = − = 2 2 2 1 2 1 1 2 4 1 v dv v dv x dx y

yang menghasilkan y= − v+K= sin−(2x)+K

2 1 sin

2

1 _{1 1}

Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.

∫

∫

∫

∫

∫

₋ + + − + 1 ; 4 ; 4 ; 1 ; 4 1 2 2 2 2 x2 dx x x dx x dx x dx x dx

13.9. Relasi Diferensial dan Integral

Berikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya. Beberapa di antaranya perlu untuk diingat, misalnya formula 1 sampai 9 dan 16, 17 yang sering kita temui.

Tabel-13.1. 1. dx dx dv dv = 1.

∫

dv=v+K 2. d(kv)=kdv _2.

_∫

_kdv=k

_∫

_dv 3. d(v+ )w =dv+dw 3.

∫

(dv+dw)=

∫

dv+

∫

dw 4. dvn =nvn−1dv 4. C n v dv v n n ₊ + = +

∫

1₁ ; n≠1 5. v dv v d(ln )= 5. v K v dv _{= +}

∫

ln 6. dev =evdv 6.

∫

evdv=ev+K 7. dav =avlnadv 7. K a a dv a v v _{= +}

∫

_ln

8. d(sinv)=cosvdv 8.

∫

cosvdv=sinv+K

9. d(cosv)=−sinvdv 9.

∫

sinvdv=−cosv+K

10. d(tanv)=sec2vdv 10.

∫

sec2vdv=tanv+K

11. d(cotv)=−csc2vdv 11.

∫

csc2vdv=−cotv+K

12. d(secv)=secvtanvdv 12.

∫

sectanvdv=secv+K

13. d(cscv)=−cscvcotvdv 13.

∫

csccotvdv=−cscv+K

14. d(sinhv)=coshv 14.

∫

coshvdv=sinhv+K

15.d(coshv)=sinhvdv _15.

∫

sinh_vdv=cosh_v+_K 2

13-7 17.d(cothv)=−csch2vdv 17.

∫

csch2vdv=−cothv+K

18. d(sechv)=−sechvtanhvdv _18.

_∫

_{sechvtanhvdv=−sechv+K}

19. d(cschv)=−cschvcothvdv _19.

_∫

_{cschvcothvdv=−coshv+K}

20. 2 1 1 ) (sin v dv v d − = − _20.

_∫

_{= +} − − K v v dv ₁ 2 sin 1 21. 2 1 1 ) (cos v dv v d − − = − 21.

_∫

=− + ′ − − K v v dv 1 2 cos 1 22. 2 1 1 tan v dv v d + = − 22.

∫

= + + − K v v dv 1 2 tan 1 23. 2 1 1 cot v dv v d + − = − 23.

∫

=− + + − K v v dv 1 2 cot 1 24. 1 sec 2 1 − = − v v dv v d 24.

∫

= + − − K v v v dv 1 2 sec 1 , v >0 25. 1 csc 2 1 − − = − v v dv v d _25.

∫

=

−

+

−

−

K

v

v

v

dv

1 2

csc

1

, v >0 26. 2 1

1

)

(sinh

v

dv

v

d

+

=

− _26.

_∫

₌

₊

+

−

K

v

v

dv

1 2

sinh

1

27. 1 ) (cosh 2 1 − = − v dv v d 27.

∫

= + − − K v v dv ₁ 2 ₁ cosh 28. 1 ₂ 1 ) (tanh v dv v d − = − _28.

_∫

_{= +} − − K v v dv ₁ 2 tanh 1 ; jika |v|<1 29. 1 ₂ 1 ) (coth v dv v d − = − 29.

∫

= + − − ; coth 1 1 2 v K v dv jika |v|>1 30. 2 1 1 ) h (sec v v dv v d − − = − 30.

∫

=− + − − ; h sec 1 1 2 v K v v dv 31. 2 1 1 ) h (csc v v dv v d + − = − 31.

∫

=− + + − ; h csc 1 1 2 v K v v dv

Catatan Tentang Isi Tabel-13.1.

Dengan menggunakan relasi-relasi dalam Tabel-13.1 kita dapat melakukan proses integrasi fungsi-fungsi mencakup:

Fungsi mononom dan polinom:

∫

vdv

Fungsi polinom berpangkat:

∫

∫

v dv dv vn ;

Fungsi exponensial:

∫

evdv;

∫

avdv

Fungsi trigonometri:

∫

cosvdv;

∫

sinvdv;

∫

sec2vdv;

∫

csc2vdv;

∫

sectanvdv;

∫

csccotvdv.

tetapi tidak:

∫

tanvdv;

∫

cotvdv;

∫

secvdv;

∫

cscvdv. Fungsi hiperbolik:

∫

coshvdv;

∫

sinhvdv;

∫

sech2vdv;

∫

csch2vdv;

∫

sechv tanhvdv;

∫

cschv cothvdv.

tetapi tidak:

∫

tanhvdv;

∫

cothvdv;

∫

sechvdv;

∫

cschvdv. Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometri inversi dan fungsi hiperbolik inversi, seperti

∫

− 2 1 v dv ;

∫

+ 2 1 v dv ;

∫

− 1 2 v v dv ;

∫

+ 2 1 v dv ;

∫

− 1 2 v dv ;

∫

− 2 1 v dv ;

∫

− 2 1 v v dv ;

∫

+ 2 1 v v dv .

tetapi tidak mengintegrasi fungsi inversi seperti

∫

−

vdv

1

sin ;

∫

tan−1xdx;

∫

sinh−1vdv;

∫

tanh−1vdv

Tabel-13.1 tidak memuat relasi integrasi fungsi-fungsi aljabar yang

berbentuk

∫

∫

±

∫

− + ; ; ; dsb 2 2 2 2 2 2 a v dv v a dv v a dv