• Tidak ada hasil yang ditemukan

Kalkulus Integral (01) | Dwipurnomoikipbu's Blog bab i antiturunan

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "Kalkulus Integral (01) | Dwipurnomoikipbu's Blog bab i antiturunan"

Copied!
23
0
0

Teks penuh

(1)

BAB I

ANTITURUNAN

1.1 Turunan

Turunan selalu berkaitan dengan fungsi, baik fungsi eksplisit maupun fungsi

implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi penulisannya dinyatakan dalam bentuk y = f(x),

sedangkan fungsi implisit adalah fungsi penulisannya dinyatakan dalam bentuk f(x,y) = 0.

Perhatikan beberapa contoh fungsi di bawah ini.

1. y = 2 - 2 3x

2. y = 3x2 4x3

3. y = x x x

4. x2 + y2 – 25 = 0

5. xy2 + x2y – 2 = 0

6. x2 – 2x + y2 + 4y – 5 = 0

Pada contoh di atas, fungsi no 1, 2, dan 3 adalah fungsi eksplisit, sedangkan contoh

4, 5, dan 6 adalah fungsi implisit. Semua fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit dapat

diubah penulisannya dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua fungsi yang ditulis

dalam bentuk implisit dapat diubah dalam bentuk eksplisit. Perhatikan contoh 5 di atas.

Selanjutnya dari fungsi-fungsi tersebut, dapat ditentukan turunannya.

Definisi

Turunan fungsi y = f(x) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan f’(x) dan didefinisikan

oleh

f’(x) =

x x f x x f

x

  

 

) ( ) (

lim

(2)

Misal (x+x)= t , maka x = t – x

Karena x 0maka tx

Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain

f’(x) =

0 , asalkan limitnya ada.

x

lim , asalkan limitnya ada.

Notasi lain untuk turunan y = f(x) dapat juga dinyatakan dengan notasi ,D f(x)

beberapa contoh menentukan turunan fungsi eksplisit dan implisit.

Contoh

Tentukan dx dy

fungsi-fungsi berikut.

(3)

= limx0

Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada contoh di

atas disebut fungsi yang diferensiable (dapat diturunkan).

(4)

x

Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, diperoleh:

(5)

 (2xy + y2) dx + (2xy +x2) dy = 0

diturunkan c sebarang bilangan real, maka dengan menggunakan definisi turunan di atas

dapat ditentukan beberapa rumus umum turunan fungsi sebagai berikut.

1.

(6)

Selanjutnya, dengan menggunakan definisi turunan

bawah ini.

Misal y = cos x, maka

Analog, diperoleh turunan fungsi trigonometri yang lain:

(7)

1.2 Antiturunan

Antiturunan yang merupakan balikan dari turunan, sehingga untuk mempelajarinya

harus dikaitkan dengan turunan fungsi.

Menurut definisi turunan, jika y = x maka

x dx

dy 2

1

.

Dengan cara yang sama, diperoleh

1. Jika y = x+3 maka

x dx

dy 2

1

.

2. Jika y = x - 3 maka

x dx

dy 2

1

.

3. Jika y = x - 100 maka

x dx

dy 2

1 

4. Jika y = x +

7

1 maka

x dx

dy 2

1

, dan seterusnya.

Dengan kata lain, untuk y = x + C, C R maka

x dx

dy 2

1

.

Karena antiturunan merupakan balikan dari turunan, maka penulisan bentuk di atas dapat

disederhanakan dengan Ax 

    

x 2

1

= xC. Hal ini berarti bahwa fungsi y = xC,

dengan C Rmempunyai turunan

x dx

dy 2

1

.

atau antiturunan dari f(x) =      

x 2

1

adalah F(x) = x + C, C R. Fungsi-fungsi yang

(8)

Dalam hal yang lebih umum, bentuk Ax 

    

x 2

1

= xC. dinyatakan dengan

     

x 2

1 dx =

C

x . Jadi, misal y = f(x) dan antiturunannya F(x) + C, maka

f(x) dx = F(x) + C, C

Real.

Pada bentuk

f(x) dx = F(x) + C , f(x) disebut integran dan F(x) + C disebut anti

turunan.

Teorema 1.

Jika n sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka:

 

C n

x dx x

n n

1

1

.

Akibatnya jika n = -1 maka

xndx

x1dx

=

dx x 1

= ln xC (LOGARITMA NATURAL)

Bukti

Untuk mengembangkan suatu hasil yang berbentuk

f(x) dx = F(x) + C, C

Real.

Kita cukup menunjukkan bahwa

) ( ] ) (

[F x C f x

Dx  

Dalam kasus di atas

n n n

x n C n n x x

x

D

  

      

 

 

) 1 ( 1 1 1

1

(9)

Misal f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang integrable dan C sebarang konstanta maka:

1.

Cf(x)dx = C

f(x)dx,

2.

[f(x)g(x)]dx

f(x)dx

g(x)dx,

3.

[f(x) g(x)]dx

f(x)dx

g(x)dx,

Bukti

Untuk membuktikan teorema di atas, cukup dengan mendeferensialkan ruas kanan dan

amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri.

1. Dx { C

f(x)dx} = C Dx {

f(x)dx}

= Cf(x)

2. Dx {

f(x)dx

g(x)dx} = Dx

f(x)dxDx

g(x)dx

= f(x) + g(x)

3. Dx {

f(x)dx

g(x)dx} = Dx

f(x)dxDx

g(x)dx

= f(x) - g(x)

Contoh

Tentukan integral berikut berdasarkan sifat integral di atas.

1.

x2 x

dx

Jawab

x2 x

dx

=

x2dx

xdx

= 2 2 1 3

2 1 3

1

C x C

x   

(10)

2. dx x x2 1 2



  

 

Jawab

dx x x2 1 2



  

 

= dx

x x x

2 1

2 4

=

dx x dx

x x dx

x

x4 2 2 1

=

x7/2dx2

x3/2dx

x1/2dx

3. dx

x x x

3 2

) 1 (

Jawab

dx x x x

3 2

) 1 (

=

3  2 2 1)

(

x x x x

dx

= dx x x dx x x dx

x x

 

3 3

2

3 3

2

=

x8/3dx2

x5/3dx

x2/3dx

= x11/3 x8/3  x5/3C 5

3 4

3 11

3

Teorema 3

sin x dx = - cos x + C, C

Real

cos x dx = sin x + C, c

Real

Bukti

Untuk membuktikan teorema di atas cukup dengan menunjukkan bahwa

(11)

Teorema 4

Andaikan f(x) fungsi yang differensiable dan n bilangan Rasional yang bukan -1, maka:

 

, 1

) ( )

( ' ) (

1 C n

x f dx x f x f

n

n C

Real.

Contoh

1.

3x 4x2  11dx

Jawab

Karena D (4x2 11)

x = 6x dx, sehingga berdasarkan teorema di atas

3x 4x2  11dx =

4  11 2

1 2

x d(6x)

= x  C 2

/ 3

) 11 4

( 2

1 2 3/2

= (4 2 11)3/2

3 1

x + C.

2.

2y32y5dy

Jawab

Karena Dx(2y25) = 4y dy, maka

2y32y5dy =

ydy

y 5) 3

2

( 2 1/2

=

y 4ydy

4 3 ) 5 2

( 2 1/2

=

(2y 5).4ydy

4

3 2 1/2

= y  C 2

/ 1

) 5 2 ( . 4

3 2 1/2

= 2y 5C 2

(12)

3.

3sin(6x2)dx

Jawab

Misal U = 6x + 2  dU = 6 dx atau 3 dx = 2 dU

, sehingga

3sin(6x2)dx =

2 sinU dU

= ( cosU)C 2

1

=  cos(6x2)C 2

1

4.

1cosxsinxdx

Jawab

Misal A = 1cosx  A21cosx

2A dA = (-sin x) dx, sehingga:

1cosxsinxdx =

A.(2A)dA

= -2

A2dA

=  A3C 3

2

=  (1cosA)3 C 3

2

Beberapa rumus dasar integral tak tentu.

1.

dx = x + C, C

Real

(13)

3.

xn dx = 1 1  n x

n+1 + C, C

Real, n

-1

4.

(u+v) dx =

u dx +

v dx

5.

a u du = a

u du

6.

x 1

dx = ln | x | + C = elog │x│+ C, C

Real

7.

au du = a a

ln + C, C

Real

8.

eu du = eu + C, C

Real

9.

tan x dx = ln | sec x | + C, C

Real

10.

sec x dx = ln | sec x + tan x | + C, C

Real

11.

cot x dx = ln | sin x | + C, C

Real

12.

css x dx = ln | csc x – cot x | + C, C

Real

13.

sec2x dx = tan x + C, C

Real

14.

csc2x dx = - cot x + C, C

Real

15.

sec x tan x dx = sec x + C, C

Real

16.

csc x cot x dx = -csc x + C, C

Real

17.

cosm x dx =

n n n

x x

n sin 1

cos 1

cos m-2 x dx

18.

sinm x dx =

n n n

x x

n cos 1

sin 1

 

sin m-2 x dx

19.

u dv = uv -

v du

20.

2 2 a x

dx

 = 2a

1

(14)

21.

2 2 x a

dx

 = 2a

1

ln xxaa + C, C

Real

22.

2 2

x a

dx

 = arc sin a x

+ C

23.

2 2 a x

dx

 = a

1

arc tgn a x

+ C

24.

2 2 a x x

dx

 = a 1

arc sec a x

+ C

25.

x2a2 dx =

2 1

u x2a2 +

2 1

a2 Ln ( u + x2u2 ) + C

26.

x2 a2 dx =

2 1

u x2 a2 -

2 1

a2 Ln ( u + x2 u2 ) + C

27.

x2a2 dx =

2 1

u x2a2 +

2 1

a2 Ln ( u + x2u2 ) + C

30.

 2

2 a

x dx

= arc sinh a x

+ C

31.

 2

2 a

x dx

= arc cosh a

x + C

32.

umeau

du = m au

umeau

a m e u a

1

1

du

Soal-soal

Gunakan metode yang seseuai untuk menentukan integral-integral di bawah ini.

1.

(x 2  3)3 2dy

2.

( x3 1)43 x2dx

 

3.

(5x2 1)(5x33x8)6dx

4.

(5x2 1) 5x3 3x 8dx

5. x x dx

x x

) 1 2

1 2 (

2

 

(15)

6. dx x

x x

x

5 2

3 )

5 2 (

2 2

/ 3 3

  

7.

 

dx x

x x

1 1

4 2

4

8.

dx

x

3 cos

1

2

9.

sin3[(x2 1)4]cos[(x2 1)4(x2 1)3xdx

10. Andaikan u = sin{(x2 1)4

 }

Tentukan

sin2 xdx

11.

6sin[3(x 2)]dx

12.

     x dx

6 sin3

13.

(x2cos2xxsin2x)dx

1.3 INTEGRAL TERTENTU

Definisi

Misalkan f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu selang tertutup [a,b]. Jika

f xi x

P ( )

lim

0 = ada

maka kita mengatakan f(x) adalah terintegralkan (integrable) pada [a,b]. Lebih lanjut

, ) (

b

a

dx x

f disebut integral tertentu (integal Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh:

b

dx x

f( ) =

f xi x

P ( )

lim

(16)

Teorema

Andaikan f(x) kontinu (karenanya terintegralkan) pada [a,b] dan andaikan F(x) sebarang

anti turunan dari f(x) pada interval tersebut maka:

b

a b

a

x F dx x

f( )  ( )

= F(b) – F(a)

Teorema di atas disebut teorema dasar Kalkulus

Sifat-sifat integral tertentu

Misal f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a,b] dan k suatu konstanta dan f(x), g(x)

terintegralkan pada interval tersebut, maka:

1.

b

a

b

a

dx x f k dx x

kf( ) ( )

2. f x g x dx f x dx g x dx

b

a a

a b

a

[ ( ) ( )]  ( )  ( )

3. f x g x dx f x dx g x dx

b

a a

a b

a

[ ( ) ( )]  ( )  ( )

4.

( ) 0

a

a

dx x f

5.



a

b b

a

dx x f dx

x

f( ) ( )

6.

b

a

dx x

f( )

b

c c

a

dx x f dx x

(17)

7.

( )0,

Tentukan hasil integral

(18)

= 6

2.

2

0 3

2(x 1)dx

x

Jawab

Misaln u = (x31)

du = 3x2 dx

du x2dx 3 

Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9, sehingga:

2

0 3

2(x 1)dx

x =

9

1 3

du u

=

9

1 2

6     u

=   

 

 6 1 6 91

= 6 90

3.

4

1

) 1

( u udu

Jawab

Misal p = u  p2 = u

 2p dp = du

Untuk u = 1 maka p = 1

Untuk u = 4 maka p = 2, sehingga:

4.

4

1

) 1

( u udu =

2

1

2) .2

1

(19)
(20)

6.

Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat

Menurut definisi harga mutlak, bentuk di atas dapat dinyatakan dengan

(21)

=

0

3 2 3

0 2

2

2 

          

x x

= (8/3 – 0) – (0 – 8/3)

= 3 16

Berdasarkan contoh di atas, tentukan hasil pengintegralan fungsi-fungsi berikut ini:

1.

8

1

3 1 xdx

2. x(1 x)2dx

3.

1

1

2 2 4 x dx x

4.

2

2

2

4 x dx

5.

3

0 1 x

dx

6.

4

2

2

16 dx

x x

7.

27

8

3 / 1

x x

dx

8.

2

0 2

sin xdx

9.

3 /

0

2sin3

xdx x

10.

2 /

0 3 cos2

(22)
(23)

24.

2 /

0

23 sin3

cos

xdx x

25. sin 3xcos3xdx

2 /

0 2

26. Hitunglah

b

a

dx x

f( ) , jika:

a. f(x) =

2

1

,2

)1

(2

1

0

,

2

x

untuk

x

x

untuk

x

b. f(x) =



2

1

,1

1

0

,

1

2

x

untuk

x

x

untuk

x

c. f(x) =



2

0

,2

2

0

2

,

1

2

x

untuk

x

x

untuk

x

d. f(x) = x 2 untuk -4x4

e. f(x) = x x , untuk -1x2

f. f(x) = (x-

 

x )2

g. f(x) = x2

 

x

Referensi

Dokumen terkait

Teman-teman seperjuangan di Teknologi Informasi yang selalu menemani hari-hari penulis dan tidak lupa memotivasi penulis sehingga penulis dapat menyelesaikannya, Ryan, Musyafa,

agian baratdaya Kalimantan tersusun atas kerak yang stabil (Kapur Awal) sebagai bagian dari Lempeng Asia Tenggara meliputi baratdaya Kalimantan, Laut Jawa bagian

 Kerusakan akibat listrik pada struktur yang lebih dalam tergantung pada resistensi jaringan, dengan urutan paling resisten adalah berturut-turut tulang,

Kompleksnya permasalahan yang dimiliki oleh anak tunaganda dalam menjalani kehidupan sehari-harinya dan harapan orang tua akan masa depan yang lebih baik pada anaknya

Rendahnya hasil belajar siswa disebabkan oleh kurangnya motivasi siswa selama pembelajaran, Salah satu upaya untuk meningkatkan motivasi danhasil belajar

Dari Tabel 1 dapat dilihat jenis industri yang mengalami pertumbuhan produksi pada Triwulan II Tahun 2016 dibandingkan dengan triwulan sebelumnya (q-to-q) terjadi pada

Dari hasil penelitian ini, untuk parameter TSS penurunan yang paling optimum adalah pada dosis 300 mg/l dengan kecepatan pengadukan cepat 150 rpm dengan nilai

(2) Dalam hal pemilihan ulang sebagaimana dimaksud ayat (1) hasilnya tetap sama, maka Panitia Pencalonan, BPD dan Calon Kepala Dusun yang bersangkutan beserta