BAB I
ANTITURUNAN
1.1 Turunan
Turunan selalu berkaitan dengan fungsi, baik fungsi eksplisit maupun fungsi
implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi penulisannya dinyatakan dalam bentuk y = f(x),
sedangkan fungsi implisit adalah fungsi penulisannya dinyatakan dalam bentuk f(x,y) = 0.
Perhatikan beberapa contoh fungsi di bawah ini.
1. y = 2 - 2 3x
2. y = 3x2 4x3
3. y = x x x
4. x2 + y2 – 25 = 0
5. xy2 + x2y – 2 = 0
6. x2 – 2x + y2 + 4y – 5 = 0
Pada contoh di atas, fungsi no 1, 2, dan 3 adalah fungsi eksplisit, sedangkan contoh
4, 5, dan 6 adalah fungsi implisit. Semua fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit dapat
diubah penulisannya dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua fungsi yang ditulis
dalam bentuk implisit dapat diubah dalam bentuk eksplisit. Perhatikan contoh 5 di atas.
Selanjutnya dari fungsi-fungsi tersebut, dapat ditentukan turunannya.
Definisi
Turunan fungsi y = f(x) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan f’(x) dan didefinisikan
oleh
f’(x) =
x x f x x f
x
) ( ) (
lim
Misal (x+x)= t , maka x = t – x
Karena x 0maka t x
Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain
f’(x) =
0 , asalkan limitnya ada.
x
lim , asalkan limitnya ada.
Notasi lain untuk turunan y = f(x) dapat juga dinyatakan dengan notasi ,D f(x)
beberapa contoh menentukan turunan fungsi eksplisit dan implisit.
Contoh
Tentukan dx dy
fungsi-fungsi berikut.
= limx0
Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada contoh di
atas disebut fungsi yang diferensiable (dapat diturunkan).
x
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, diperoleh:
(2xy + y2) dx + (2xy +x2) dy = 0
diturunkan c sebarang bilangan real, maka dengan menggunakan definisi turunan di atas
dapat ditentukan beberapa rumus umum turunan fungsi sebagai berikut.
1.
Selanjutnya, dengan menggunakan definisi turunan
bawah ini.
Misal y = cos x, maka
Analog, diperoleh turunan fungsi trigonometri yang lain:
1.2 Antiturunan
Antiturunan yang merupakan balikan dari turunan, sehingga untuk mempelajarinya
harus dikaitkan dengan turunan fungsi.
Menurut definisi turunan, jika y = x maka
x dx
dy 2
1
.
Dengan cara yang sama, diperoleh
1. Jika y = x+3 maka
x dx
dy 2
1
.
2. Jika y = x - 3 maka
x dx
dy 2
1
.
3. Jika y = x - 100 maka
x dx
dy 2
1
4. Jika y = x +
7
1 maka
x dx
dy 2
1
, dan seterusnya.
Dengan kata lain, untuk y = x + C, C R maka
x dx
dy 2
1
.
Karena antiturunan merupakan balikan dari turunan, maka penulisan bentuk di atas dapat
disederhanakan dengan Ax
x 2
1
= xC. Hal ini berarti bahwa fungsi y = xC,
dengan C Rmempunyai turunan
x dx
dy 2
1
.
atau antiturunan dari f(x) =
x 2
1
adalah F(x) = x + C, C R. Fungsi-fungsi yang
Dalam hal yang lebih umum, bentuk Ax
x 2
1
= xC. dinyatakan dengan
x 2
1 dx =
C
x . Jadi, misal y = f(x) dan antiturunannya F(x) + C, maka
f(x) dx = F(x) + C, C
Real.Pada bentuk
f(x) dx = F(x) + C , f(x) disebut integran dan F(x) + C disebut antiturunan.
Teorema 1.
Jika n sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka:
C n
x dx x
n n
1
1
.
Akibatnya jika n = -1 maka
xndx
x1dx=
dx x 1= ln x C (LOGARITMA NATURAL)
Bukti
Untuk mengembangkan suatu hasil yang berbentuk
f(x) dx = F(x) + C, C
Real.Kita cukup menunjukkan bahwa
) ( ] ) (
[F x C f x
Dx
Dalam kasus di atas
n n n
x n C n n x x
x
D
) 1 ( 1 1 1
1
Misal f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang integrable dan C sebarang konstanta maka:
1.
Cf(x)dx = C
f(x)dx,2.
[f(x)g(x)]dx
f(x)dx
g(x)dx,3.
[f(x) g(x)]dx
f(x)dx
g(x)dx,Bukti
Untuk membuktikan teorema di atas, cukup dengan mendeferensialkan ruas kanan dan
amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri.
1. Dx { C
f(x)dx} = C Dx {
f(x)dx}= Cf(x)
2. Dx {
f(x)dx
g(x)dx} = Dx
f(x)dxDx
g(x)dx= f(x) + g(x)
3. Dx {
f(x)dx
g(x)dx} = Dx
f(x)dx Dx
g(x)dx= f(x) - g(x)
Contoh
Tentukan integral berikut berdasarkan sifat integral di atas.
1.
x2 x
dxJawab
x2 x
dx=
x2dx
xdx= 2 2 1 3
2 1 3
1
C x C
x
2. dx x x2 1 2
Jawab
dx x x2 1 2
= dx
x x x
2 12 4
=
dx x dxx x dx
x
x4 2 2 1
=
x7/2dx2
x3/2dx
x1/2dx3. dx
x x x
3 2) 1 (
Jawab
dx x x x
3 2) 1 (
=
3 2 2 1)(
x x x x
dx
= dx x x dx x x dx
x x
3 3
2
3 3
2
=
x8/3dx2
x5/3dx
x2/3dx= x11/3 x8/3 x5/3C 5
3 4
3 11
3
Teorema 3
sin x dx = - cos x + C, C
Real
cos x dx = sin x + C, c
RealBukti
Untuk membuktikan teorema di atas cukup dengan menunjukkan bahwa
Teorema 4
Andaikan f(x) fungsi yang differensiable dan n bilangan Rasional yang bukan -1, maka:
, 1
) ( )
( ' ) (
1 C n
x f dx x f x f
n
n C
Real.Contoh
1.
3x 4x2 11dxJawab
Karena D (4x2 11)
x = 6x dx, sehingga berdasarkan teorema di atas
3x 4x2 11dx =
4 11 21 2
x d(6x)
= x C 2
/ 3
) 11 4
( 2
1 2 3/2
= (4 2 11)3/2
3 1
x + C.
2.
2y32y5dyJawab
Karena Dx(2y25) = 4y dy, maka
2y32y5dy =
ydy
y 5) 3
2
( 2 1/2
=
y 4ydy4 3 ) 5 2
( 2 1/2
=
(2y 5) .4ydy4
3 2 1/2
= y C 2
/ 1
) 5 2 ( . 4
3 2 1/2
= 2y 5C 2
3.
3sin(6x2)dxJawab
Misal U = 6x + 2 dU = 6 dx atau 3 dx = 2 dU
, sehingga
3sin(6x2)dx =
2 sinU dU
= ( cosU)C 2
1
= cos(6x2)C 2
1
4.
1cosxsinxdxJawab
Misal A = 1cosx A21cosx
2A dA = (-sin x) dx, sehingga:
1cosxsinxdx =
A.(2A)dA= -2
A2dA= A3C 3
2
= (1cosA)3 C 3
2
Beberapa rumus dasar integral tak tentu.
1.
dx = x + C, C
Real3.
xn dx = 1 1 n xn+1 + C, C
Real, n
-14.
(u+v) dx =
u dx +
v dx5.
a u du = a
u du6.
x 1dx = ln | x | + C = elog │x│+ C, C
Real7.
au du = a aln + C, C
Real8.
eu du = eu + C, C
Real9.
tan x dx = ln | sec x | + C, C
Real10.
sec x dx = ln | sec x + tan x | + C, C
Real11.
cot x dx = ln | sin x | + C, C
Real12.
css x dx = ln | csc x – cot x | + C, C
Real13.
sec2x dx = tan x + C, C
Real14.
csc2x dx = - cot x + C, C
Real15.
sec x tan x dx = sec x + C, C
Real16.
csc x cot x dx = -csc x + C, C
Real17.
cosm x dx =n n n
x x
n sin 1
cos 1
cos m-2 x dx18.
sinm x dx =n n n
x x
n cos 1
sin 1
sin m-2 x dx19.
u dv = uv -
v du20.
2 2 a xdx
= 2a
1
21.
2 2 x adx
= 2a
1
ln xxaa + C, C
Real22.
2 2x a
dx
= arc sin a x
+ C
23.
2 2 a xdx
= a
1
arc tgn a x
+ C
24.
2 2 a x xdx
= a 1
arc sec a x
+ C
25.
x2a2 dx =2 1
u x2a2 +
2 1
a2 Ln ( u + x2u2 ) + C
26.
x2 a2 dx =2 1
u x2 a2 -
2 1
a2 Ln ( u + x2 u2 ) + C
27.
x2a2 dx =2 1
u x2a2 +
2 1
a2 Ln ( u + x2u2 ) + C
30.
2
2 a
x dx
= arc sinh a x
+ C
31.
2
2 a
x dx
= arc cosh a
x + C
32.
umeaudu = m au
um eaua m e u a
1
1
du
Soal-soal
Gunakan metode yang seseuai untuk menentukan integral-integral di bawah ini.
1.
(x 2 3)3 2dy2.
( x3 1)43 x2dx
3.
(5x2 1)(5x33x 8)6dx4.
(5x2 1) 5x3 3x 8dx5. x x dx
x x
) 1 2
1 2 (
2
6. dx x
x x
x
5 2
3 )
5 2 (
2 2
/ 3 3
7.
dx x
x x
1 1
4 2
4
8.
dxx
3 cos
1
2
9.
sin3[(x2 1)4]cos[(x2 1)4(x2 1)3xdx10. Andaikan u = sin{(x2 1)4
}
Tentukan
sin2 xdx11.
6sin[3(x 2)]dx12.
x dx
6 sin3
13.
(x2cos2xxsin2x)dx1.3 INTEGRAL TERTENTU
Definisi
Misalkan f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu selang tertutup [a,b]. Jika
f xi x
P ( )
lim
0 = ada
maka kita mengatakan f(x) adalah terintegralkan (integrable) pada [a,b]. Lebih lanjut
, ) (
b
a
dx x
f disebut integral tertentu (integal Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh:
b
dx x
f( ) =
f xi x
P ( )
lim
Teorema
Andaikan f(x) kontinu (karenanya terintegralkan) pada [a,b] dan andaikan F(x) sebarang
anti turunan dari f(x) pada interval tersebut maka:
ba b
a
x F dx x
f( ) ( )
= F(b) – F(a)
Teorema di atas disebut teorema dasar Kalkulus
Sifat-sifat integral tertentu
Misal f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a,b] dan k suatu konstanta dan f(x), g(x)
terintegralkan pada interval tersebut, maka:
1.
b
a
b
a
dx x f k dx x
kf( ) ( )
2. f x g x dx f x dx g x dx
b
a a
a b
a
[ ( ) ( )] ( ) ( )3. f x g x dx f x dx g x dx
b
a a
a b
a
[ ( ) ( )] ( ) ( )4.
( ) 0a
a
dx x f
5.
a
b b
a
dx x f dx
x
f( ) ( )
6.
b
a
dx x
f( )
b
c c
a
dx x f dx x
7.
( )0,Tentukan hasil integral
= 6
2.
2
0 3
2(x 1)dx
x
Jawab
Misaln u = (x31)
du = 3x2 dx
du x2dx 3
Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9, sehingga:
2
0 3
2(x 1)dx
x =
9
1 3
du u
=
9
1 2
6 u
=
6 1 6 91
= 6 90
3.
4
1
) 1
( u udu
Jawab
Misal p = u p2 = u
2p dp = du
Untuk u = 1 maka p = 1
Untuk u = 4 maka p = 2, sehingga:
4.
4
1
) 1
( u udu =
2
1
2) .2
1
6.
Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat
Menurut definisi harga mutlak, bentuk di atas dapat dinyatakan dengan
=
0
3 2 3
0 2
2
2
x x
= (8/3 – 0) – (0 – 8/3)
= 3 16
Berdasarkan contoh di atas, tentukan hasil pengintegralan fungsi-fungsi berikut ini:
1.
8
1
3 1 xdx
2. x(1 x)2dx
3.
1
1
2 2 4 x dx x
4.
2
2
2
4 x dx
5.
3
0 1 x
dx
6.
4
2
2
16 dx
x x
7.
27
8
3 / 1
x x
dx
8.
2
0 2
sin xdx
9.
3 /
0
2sin3
xdx x
10.
2 /
0 3 cos2
24.
2 /
0
23 sin3
cos
xdx x
25. sin 3xcos3xdx
2 /
0 2
26. Hitunglah
b
a
dx x
f( ) , jika:
a. f(x) =
2
1
,2
)1
(2
1
0
,
2
x
untuk
x
x
untuk
x
b. f(x) =
2
1
,1
1
0
,
1
2x
untuk
x
x
untuk
x
c. f(x) =
2
0
,2
2
0
2
,
1
2x
untuk
x
x
untuk
x
d. f(x) = x 2 untuk -4x4
e. f(x) = x x , untuk -1x2
f. f(x) = (x-
x )2g. f(x) = x2