BAB I PROGRAM LINEAR - Program Linear

BAB I

PROGRAM LINEAR

Program Linier merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumberdaya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya.

Program Linier banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah ekonomi, indutri, militer, social dan lain-lain.

1.1 Metode Grafik

Setelah dapat membuat Model Matematika (merumuskan) persoalan Program Linier, maka untuk menentukan penyelesaian Persoalan Program Linier dapat menggunakan 2 metode, yaitu:

Metode Grafik dan Metode Simpleks. 1. Metode Grafik

Penyelesaian masalah program Linier dengan menggunakan metode grafis pada

umumnya mengikuti langkah-langkah sebagai berikut :

syarat-syarat yang diperlukan dalam model Program Linier, yaitu mempunyai fungsi tujuan, fungsi kendala, syarat ikatan non-negatif.

2. Kendala-kendala yang ada digambar hingga dapat diperoleh daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala (DMK)/Wilayah Kelayakan)/Daerah Fisibelyang titik-titik sudutnya diketahui dengan jelas.

3. Nilai fungsi sasaran (fungsi tujuan) dihitung di setiap titik sudut daerah penyelasaian (DMK). 4. Dipilih nilai yang sesuai dengan fungsi tujuan

(kalau memaksimumkan berarti yang nilainya terbesar dan sebaliknya).

5. Jawaban soal asli sudah diperoleh.

Catatan :

dimensi dapat digambarkan, tetapi sangat tidak praktis).

Contoh Soal :

"PT. Rakyat Bersatu" menghasilkan 2 macam produk. Baik produk I maupun produk II setiap unit laku Rp. 3000,-. Kedua produk tersebut dalam proses pembuatannya perlu 3 mesin. Produk I perlu 2 jam mesin A, 2 jam mesin B, dan 4 jam mesin C. Produk II perlu 1 jam mesin A, 3 jam mesin B, dan 3 jam mesin C. Tersedia 3 mesin A yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, tersedia 6 mesin B yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, dan tersedia 9 mesin C yang mampu beroperasi 8 jam per mesin per hari. Berikan saran kepada pimpinan "PT. Rakyat Bersatu" sehingga dapat diperoleh hasil penjualan yang maksimum ! Dan berapa unit produk I dan produk II harus diproduksi ?

Jawab :

*) Merumuskan permasalahan Program Linier ke dalam model Matematika :

Maka Fungsi tujuannya adalah : Mamaksimumkan : Z = 3000 Xi + 3000 X2

Ma Mb Mc Harga jual per

unit

Produk I 2 jam 2 jam 4 jam Rp.

3000,-Produk II i jam 3 jam 3 jam Rp.

3000,-Jumlah Mesin 3 buah 6 buah 9

buah Memaksimumkan Lama Operasi i0

jam/mesin i0 jam/mesin _jam/mes8 in

Total waktu

Operasi 30 jam 60 jam 72 jam

Keterangan :

Lama operasi adalah dalam jam/hari/mesin.

Total waktu operasi adalah sama dengan jumlah mesin x lama operasi (dalam jam/hari/tipe mesin). Syarat Ikatan (fungsi Kendala):

4Xi + 3X2 < 72....iii)

dan Xi > 0; X2 > 0 (Syarat Non Negatif).

*) Menggambar fungsi-fungsi kendala sehingga diperoleh daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala/Wilayah kelayakan). Titik potong-titik potong dari ketidaksamaan fungsi kendalanya adalah :

a). Untuk persamaan 2Xi + X2 = 30 (i), titik potong dengan sumbu-Xi jika X2 = 0 :

2Xi + 0 = 30 diperoleh Xi = i5 maka titik potong dengan sumbu-Xi adalah (15,0).

Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika Xi = 0 : 0 + X2 = 30 diperoleh X2 = 30 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah (0,30). b) . Untuk persamaan 2Xi + 3X2 =

60 ....(ii), titik potong dengan sumbu-Xi jika X2 = 0 : 2sumbu-Xi + 0 = 60

diperoleh Xi = 30 maka titik potong dengan sumbu-Xi adalah (30,0).

Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika Xi = 0 :

c) . Untuk persamaaan 4Xi + 3X2 = 72 ....(iii), titik potong dengan sumbu-Xi jika X2 = 0 : 4Xi + 0 = 72 diperoleh Xi = i8 maka titik potong dengan sumbu-Xi adalah (18,0).

Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika Xi = 0 :

Daerah Fisibel (Wilayah Kelayakan / Daerah yang Memenuhi Kendala (DMK)) adalah daerah yang merupakan irisan dari daerah yang memenuhi kendala :

1). 2Xi + X2< 30, 2) . 2Xi + 3X2< 60 , 3) . 4Xi + 3X2< 72,

4) .Xi> 0; 5) . X2> 0

Jadi daerah yang memenuhi ke-5 daerah tersebut terletak di dalam daerah yang dibatasi oleh titik-titik O(0,0), A(15,0), D(0,20), titik-titik B yaitu titik-titik potong antara garis 2Xi + X2 = 30 dan garis 4Xi + 3X2 = 72 , dan titik C adalah titik potong antara garis 2Xi + 3X2 = 60 dan garis 4Xi + 3X2 = 72. . Adapun cara menghitung titik B dan C tersebut dengan menggunakan metode Eliminasi dan Substitusi, sebagai berikut:

*) Titik B perpotongan antara garis 2Xi + X2 = 30 dan garis 4Xi + 3X2 = 72, dengan mengeliminasi Xi, dapat dihitung :

4Xi + 2X2 = 60 i) 4Xi + 3X2 = 72 iii)

- X2 = - i2 ^ X2 = 12 Untuk X2 = i2

disubstitusikan ke

*) Titik C perpotongan antara garis 2Xi + 3X2 = 60 dan garis 4Xi + 3X2 = 72, dengan mengeliminasi X2, dapat dihitung :

2Xi + 3X2 = 60. i) 4Xi + 3X2 = 72. iii) - 2Xi = - i2 ^ X1 = 6 Untuk Xi = 6 disubstitusikan ke persamaan 2Xi + 3X2 = 60 sehingga : i2 + 3X2 = 60 ^ X2 = 16 maka titik C adalah (6,16)

Daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala/Wilayah Kelayakan) adalah daerah OABCD yang titik-titik sudutnya adalah : 0(0,0), A(15,0), B(9,12), C(6,16), dan D(0,20).

*) Penyelesaian dari soal diatas adalah menghitung nilai fungsi sasaran (Z = 3000 Xi + 3000 Xs) di setiap titik sudut-titik sudut Daerah yang

Memenuhi Kendala, sehingga:

(9) + 3000.(12) = 63.000,00 di titik C (6,16)— Z(6,16) = 3000.(6) + 3000.(16) = 66.000,00 di titik D (0,20)— Z(0,20) = 3000.(0) + 3000.(20) = 60.000,00 *) Fungsi Tujuan adalah mencari nilai maksimumnya sehingga nilai yang sesuai adalah terletak pada titik C(6,16) yaitu dengan nilai fungsi tujuannya Rp. 66.000,00

*) Sehingga agar diperoleh laba yang maksimum maka Pimpinan "PT. Rakyat Bersatu" harus memproduksi Produk I sebanyak 6 unit dan Produk II sebanyak 16 unit, sehingga mendapat laba maksimum sebesar Rp.66.000,00.

1.2 Formulasi Model Program Linier

Setelah masalah di identifikasikan, tujuan ditetapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematika yang meliputi tiga tahap seperti berikut :

 Tentukan variable yang tidak diketahui (Variabel keputusan) dan nyatakan dalam symbol matematika.

 Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier (bukan perkalian) dari variable keputusan.

 Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan atau pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variable keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumberdaya masalah itu.

1.3 Masalah Maksimisasi

Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.

Contoh:

penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:

Jenis bahan baku dan

tenaga kerja

Kg bahan baku & Jam tenaga kerja

Maksimum penyediaa

n Kain

sutera

Kain wol Benang

sutera

2 3 60 kg

Benang wol - 2 30 kg

Tenaga kerja

2 1 40 jam

Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kain sutera dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal.

Langkah-langkah: 1) Tentukan variabel

X₁=kain sutera

2) Fungsi tujuan Zmax= 40X1 + 30X2

3) Fungsi kendala / batasan

1. 2X1 + 3X2 ≤ 60 (benang sutera) 2. 2X2 ≤ 30 (benang wol) 3. 2X1 + X2 ≤ 40 (tenaga kerja) 4) Membuat grafik

1. 2X1 + 3 X2 = 60

X1=0, X2 =60/3 = 20 X2=0, X1= 60/2 = 30 2. 2X2 ≤ 30

X2=15

3. 2X1 + X2 ≤ 40 X1=0, X2 = 40

Cara mendapatkan solusi optimal adalah dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim. Titik A

X1=0, X2=0

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0

Titik B

X1=20, X2=0

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 20 + 30 . 0

Mencari titik potong (1) dan (3) 2X1 + 3X2 = 60

2X1 + X2 = 40 2X2 =20

X2=10

Masukkan X2 ke kendala (1) 2X1 + 3X2 = 60

2X1 + 3 .10 = 60 2X1 + 30 = 60 2X1 = 30 X1 = 15

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40X1 + 30X2

Z = 40 . 15 + 30 . 10

Z = 600 + 300 = 900 (optimal) Titik D

2X2 = 30 X2 = 15

2X1 + 45 = 60 2X1 = 15 X1 = 7,5

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 7,5 + 30 . 15

Z = 300 + 450 Z = 750

Titik E X2 = 15 X1 = 0

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 0 + 30 .15

Z = 450 Kesimpulan :

untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan keuntungan sebesar Rp 900 juta.

1.4 Masalah Minimisasi

daerah fasible yang terdekat dengan titik origin.

Contoh :

Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan:

Jenis makanan

Vitamin (unit)

Protein (unit)

Biaya per unit (ribu rupiah)

Royal Bee 2 2 100

Royal Jelly 1 3 80

minimum kebutuhan

8 12

Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi.

Langkah – langkah: 1. Tentukan variabel

X2 = Royal Jelly 2. Fungsi tujuan

Zmin = 100X1 + 80X2 3. Fungsi kendala

1. 2X1 + X2 ≥ 8 (vitamin) 2. 2X1 + 3X2 ≥ 12 (protein) 3. X1 ≥ 2

4. X2 ≥1 4. Membuat grafik

1) 2X1 + X2 = 8 X1 = 0, X2 = 8 X2 = 0, X1 = 4 2) 2X1 + 3X2 = 12

X1 = 0, X2 = 4 X2 = 0, X1 = 6 3) X1 = 2

Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu persilangan garis kendala (1) dan (2).

2X1 + X2 = 8 2X1 + 3X2 = 12

-2X2 = -4  X2 = 2 masukkan X2 ke kendala (1) 2X1 + X2 = 8

2X1 + 2 = 8 2 X1 = 6 X1 = 3

Z min = 100 . 3 + 80 . 2 Z min = 300 + 160

Z min = 460

Kesimpulan :

Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya produksi 460 ribu rupiah.

SOAL LATIHAN

1. Maksimumkan Z = 4X + 5Y Kendala :

1) 3X + 2Y ≤ 12 2) 3X + 4Y≤ 18 X≥ 0 , Y ≥ 0

Penyelesaian :

1. Langkah-langkah:

1) Fungsi tujuan Zmax= 4X + 5Y

 3X + 2Y ≤ 12  3X + 4Y≤ 18  X1≥ 0 , X2 ≥ 0

3) Membuat grafik  3X + 2Y ≤ 12

X=0, Y =12/2 = 6 (0,6) Y=0, X= 12/3 = 4 (4,0)  3X + 4Y≤ 18

X=0, Y =18/4 = 19/2 (0,19/2)

Y=0, X= 18/3 = 6 (6,0)

6

5

3 C

2

1 A D

0 1 2 3 4 5 6 7

Cara mendapatkan solusi optimal adalah dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim. Titik A

X=0, Y=0 Z = 4 . 0 + 5 . 0 = 0 Titik B

X=0, Y=4 Z = 4 . 0 + 5 . 4 = 20 Titik C

Mencari titik potong (1) dan (3) 3X + 2Y = 12

3X + 4Y = 18 -2Y= -6 Y=3

Masukkan Y ke kendala (1) 3X + 2Y = 12

3X = 6 X = 2

masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Zmax = 4X + 5Y

Zmax = 4 . 2 + 5 . 3 Zmax = 8 + 15

Zmax = 23 MAX

Titik D

X=4, Y=0 Z = 4 . 4 + 5 . 0 = 16 Kesimpulan :

X = 2 dan Y = 3 dengan nilai max = 23.

1.5 Pemecahan Dasar (Basis) Contoh Soal

4x+3y+2z ≤12 5x+4y+3z ≤12

x , y , z ≥0

m = Jumlah variable n = jumlah persamaan

4x+3y+2z+u=12 2x+4y+3z+v=12

Cnm=C25

C₂5 = 5!

2!3!=

5×4×3×2! 2!3! =10

 x=0,y=0,z=0,u=12,v=12

 x=0,y=0,u=0,z=6,v=−6

4x+3y+2z+u=12

4.0+3.0+2z+0=12 2z=12

z=6 2x+4y+3z+v=12

2.0+4.0+3.6+v=12 18+v=12

v=−6

 x=0,y=0,v=0,z=4,u=4

2x+4y+3z+v=12

2.0+4.0+3.z+0=12 3z=12

z=4 4x+3y+2z+u=12

4.0+3.0+2.4+u=12 8+u=12

u=4

 x=0,z=0,u=0,y=4,v=−4 4x+3y+2z+u=12

4.0+3y+2.0+0=12

3y=12

y=4

2x+4y+3z+v=12 2.0+4.4+3.0+v=12

 x=0,z=0,v=0,y=3,u=3

2x+4y+3z+v=12

2.0+4y+3.0+0=12 4 y=12

y=3

4x+3y+2z+u=12

4.0+3.3+2.0+u=12 9+u=12

u=3

 y=0,z=0,u=0,x=3,v=6 4x+3y+2z+u=12

4x+3.0+2.0+0=12

4x=12 x=3

2x+4y+3z+v=12 2.3+4.0+3.0+v=12

 y=0,z=0,v=0,x=6,u=−12

2x+4y+3z+v=12

2x+4.0+3.0+0=12 2x=12

x=6

4x+3y+2z+u=12

4.6+3.0+2.0+u=12 24+u=12

u=−12

 u=0,v=0,x=0,y=12,z=−12 3y+2z=12

4y+3z=12| ×3 ×2 9y+6z=36 8y+6z=24

y=12

−¿

Subtitusi y ke persamaan 1 3y+2z=12

3.12+2z=12 36+2z=12

z=−12

 u=0,v=0,y=0,x=3 2, z=3

4x+2z=12 2x+3z=12|

×1 ×2 4x+2z=12 4y+6z=24 −4z=−12

z=3

−¿

Subtitusi x ke persamaan 1 4x+2z=12

4x+2.3=12 4x+6=12

4x=6

x=3 2

 u=0,v=0,z=0,x=6 5, y=

12 5

4x+3y=12 2x+4y=12|

×1 ×2 4x+3y=12 4y+8y=24 −5y=−12

y=12 5

4x+3y=12

4x+3

(

12 5

)

=12

4x+36 5 =12

4x=24 5

x=6 5

Var basis Var non basis ket T=2x+3y+z

u=12;v=12 x=0 ; y=0 ; z=0 L 0

z=6;v=-6 x=0 ; y=0 ; u=0 TL

-z=4;u=4 x=0 ; y=0 ; v=0 L 4

y=4;v=-4 x=0 ; z=0 ; u=0 TL

-y=3;u=3 x=0 ; z=0 ; v=0 L 9

x=3;v=6 y=0 ; z=0 ; u=0 L 6

x=6;u=-12 y=0 ; z=0 ; v=0 TL -y=12;z=-12 u=0 ; v=0 ; x=0 TL

-x= 3

2 ;z=3

u=0 ; v=0 ; y=0 L 6

x= 6 5 ;y=

12 5

u=0 ; v=0 ; z=0 L 48

BAB II

METODE SIMPLEKS

2.1 Pengantar

optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1).

Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya : 1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

2. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.

3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika

fungsi kendala menggunakan

pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).

Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.

6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.

7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas. 8. Kolom kunci (kolom kerja) adalah kolom

yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja). 9. Baris kunci (baris kerja) adalah salah satu

10. Unsur kunci (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

11. Variabel pendatang adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

12. Variabel perantau adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.

2.2 BENTUK BAKU

meskipun fungsi kendala pada bentuk umum pemrograman linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah.

Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku, yaitu :

1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.

2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus.

3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum, ditambahkan satu artificial variabel (variabel buatan).

Perhatikan kasus A berikut : Fungsi tujuan :

minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2 Kendala :

x1 + x2 = 90

Bentuk di atas adalah bentuk umum pemrograman liniernya. Kedalam bentuk baku, model matematik tersebut akan berubah menjadi :

Fungsi tujuan :

minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2 Kendala :

x1 + x2 + s1 = 90

0.001 x1 + 0.002 x2 + s2 = 0.9 0.09 x1 + 0.6 x2 – s3 + s4 = 27 0.02 x1 + 0.06 x2 + s5 = 4.5 x1, x2 , s1, s2, s3, s4, s5 ≥ 0

Fungsi kendala pertama mendapatkan variable buatan (s1), karena bentuk umumnya sudah menggunakan bentuk persamaan. Fungsi kendala kedua dan keempat mendapatkan variabel slack (s2 dan s5) karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan ≤, sedangkan fungsi kendala ketiga mendapatkan variabel surplus (s3) dan variabel buatan (s4) karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan ≥.

Perhatikan pula kasus B berikut ini : Maksimumkan z = 2x1 + 3x2

Kendala :

6 x1 + 20 x2 ≤ 600 8 x1 + 15 x2 ≤ 600

x1, x2 ≥0

Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum. Perubahan ke dalam bentuk baku hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umumnya. Maka bentuk bakunya adalah sebagai berikut :

Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 Kendala :

10 x1 + 5 x2 + s1 = 600 6 x1 + 20 x2 + s2 = 600 8 x1 + 15 x2 + s3 = 600 x1, x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0

s1 , s2 , s3 merupakan variable slack.

2.3 Metode Simpleks dengan Operasi Baris

Contoh Soal :

400 x1 + 200 x2 ≤ 12000 x1, x2 ≥0

Penyelesaian : x₃, x₄=variabel slack

100 x1 + 200 x2 +x3= 9000 400 x1 + 200 x2 +x4= 12000 Z=4000x1+3000x2

Z – 4000x1 – 3000x2=0 k₁

⃗ k₂ ⃗z

[

100 200 1

400 200 0

−4000 −3000 0 0 1 0

|

9000 12000 0

]

1 400B2

→

[

100 200 1

1 1

2 0

−4000 −3000 0 0 1 400 0

|

9000 30 0

]

B₁−100B₂

→

B₃+4000B₂

[

0 150 1 −1

4

1 1

2 0

1 400 0 −1000 0 10

|

6000 30 120000

]

1 50B1

→

[

0 1 1

150 −1 600 1 1 2 0 1 400 0 −1000 0 10

|

40 30 120000

]

B₂−1 2B1

→

[

0 1 1 150

−1 600 1 0 −1

300 1 300 0 0 100

15 50

6

|

40 30 160000

]

Jadi Z_max=160000 saat x₁=10;x₂=40

2.4 Metode simpleks dengan table variable dasar

Dalam perhitungan iterative, kita akan bekerja menggunakan tabel. Bentuk baku yang sudah diperoleh, harus dibuat ke dalam bentuk tabel.

Semua variabel yang bukan variabel basis mempunyai solusi (nilai kanan) sama dengan nol dan koefisien variabel basis pada baris tujuan harus sama dengan 0. Oleh karena itu kita harus membedakan pembentukan tabel awal berdasarkan variabel basis awal. Gunakan kasus B di atas, maka tabel awal simpleksnya adalah :

VB X1 X2 S1 S2 S3 Solusi

Z -2 -3 0 0 0 0

S1 10 5 1 0 0 600

S2 6 20 0 1 0 600

LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CARA 1

Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut :

1. Periksa apakah tabel layak atau tidak. Kelayakan tabel simpleks dilihat dari solusi (nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai negatif, maka tabel tidak layak. Tabel yang tidak layak tidak dapat diteruskan untuk dioptimalkan.

2. Tentukan kolom pivot. Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan maksimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien paling negatif. Jika tujuan minimisasi , maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien positif terbesar. Jika kolom pivot ditandai dan ditarik ke atas, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika nilai paling negatif (untuk tujuan maksimisasi) atau positif terbesar (untuk tujuan minimisasi) lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.

diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi pembagi. Baris pivot adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. Jika baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan mendapatkan variabl keluar. Jika rasio pembagian terkecil lebih dari satu, pilih salah sau secara sembarang.

4. Tentukan elemen pivot. Elemen pivot merupakan nilai yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot.

5. Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru adalah baris pivot lama dibagi dengan elemen pivot. Baris baru lainnya merupakan pengurangan nilai kolom pivot baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru dalam satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak pada kolom tersebut.

Rumus yang digunakan:

yr’ = y_r

x_{rk (untuk baris ke – r yang terdapat} elemen pivot)

yi’ = yi – bi ar (untuk baris ke – i yang tidak terdapat elemen pivot)

Keterangan:

yr’ = elemen baris ke – r pada tabel yang baru yi’ = elemen baris ke – i pada tabel yang baru yr = elemen baris ke – r pada tabel yang lama yi = elemen baris ke – i pada tabel yang lama bi = elemen baris ke – i pada tabel lama yang

se-kolom dengan elemen pivot

ar = elemen baris ke – r pada tabel yang baru

LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN

CARA 2

1. Rumuskan dan standarisasi modelnya Optimumkan :

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n± S_n=b_n 2. Bentuk tabel pertama

VD Z x₁ x₂ … x_n S₁ S₂ … S_n C

Z 1 c₁ c₂ … c_n 0 0 … 0 0

S1 0 a11 a12 … a1n 0 1 … 0 0

S₂ 0 a₂₁ a₂₂ … a_2n 1 0 … 0 0

… … … … … … … … … … …

S₃ 0 a_m1 a_n1 … a_mn 0 0 … 1 0

3. Tentukan ”variabel pendatang” yaitu kolom kunci dari nilai Z yang paling negatif

4. Menentukan ”variabel perantau” yaitu baris kunci dari nilai rasio terkecil

5. Memasukkan variabel pendatang ke kolom VD

Transformasi baris kunci :

Tansformasi baris-baris lain : baris kunci baru=baris kunci lama

unsur kunci

 Jika semua baris dasar baris Z sudah tidak ada lagi yang negatif => max  Jika semua baris dasar baris z sudah

tidak ada lagi yang positif => min  Berarti proses selesai

Selesaikan kasus berikut ini menggunakan metode simpleks :

Maksimum z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3 Kendala :

x1 + x2 + 2x3 ≤ 2 2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 3 7x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8 x1,x2,x3 ≥ 0

Penyelesaian :

Bentuk bakunya adalah :

Maksimum z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3 atau

z - 8 x1 - 9 x2 - 4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3 = 0 Kendala :

7x1 + 6x2 + 2x3 + s3 = 8 x1,x2,x3 ,s1 , s2 , s3 ≥ 0

Solusi / table awal simpleks :

VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK Rasio

Z -8 -9 -4 0 0 0 0

S1 1 1 2 1 0 0 2

S2 2 3 4 0 1 0 3

S3 7 6 2 0 0 1 8

Karena nilai negative terbesar ada pada kolom X2, maka kolom X2 adalah kolom pivot dan X2 adalah variabel masuk. Rasio pembagian nilai kanan dengan kolom pivot terkecil adalah 1 bersesuaian dengan baris s2, maka baris s2 adalah baris pivot dan s2 adalah varisbel keluar. Elemen pivot adalah 3. VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK Rasio

Z -8 -9 -4 0 0 0 0

S1 1 1 2 1 0 0 2 2

S2 2 3 4 0 1 0 3 1

S3 7 6 2 0 0 1 8 8/6

Iterasi 1

Nilai pertama yang kita miliki adalah nilai baris pivot baru (baris x2). Semua nilai pada baris s2 pada tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen pivot).

o Z

S1

x2 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1

S3

Perhitungan nilai barisnya : Baris z :

-8 -9 -4 0 0 0 0

-9 ( 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 )

--2 0 8 0 3 0 9

Baris s1 :

1 1 2 1 0 0 2

1 (2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 )

-1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1

Baris s3 :

7 6 2 0 0 1 8

6 ( 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 )

-3 0 -6 0 -2 1 2

nilai baris z di bawah variabel x1 masih negatif, maka tabel belum optimal. Kolom dan baris pivotnya ditandai pada tabel di bawah ini :

B X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK Rasi o

Z -2 0 8 0 3 0 9

-S1 1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1 3

X2 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 3/2

S3 3 0 -6 0 -2 1 2 2/3

Variabel masuk dengan demikian adalah X1

dan variabel keluar adalah S3 . Hasil

perhitungan iterasi ke 2 adalah sebagai berikut :

Iterasi 2 :

VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK Rasi o

Z 0 0 4 0 5/3 2/3 31/3

S1 0 0 4/3 1 -1/9 -1/9 7/9

X2 0 1 8/3 0 7/9 -2/9 5/9

X1 1 0 -2 0 -2/3 1/3 2/3

Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan !

diperhatikan dengan baik. Disarankan jangan menggunakan bentuk bilangan desimal, akan lebih teliti jika menggunakan bilangan pecahan. Pembulatan dapat menyebabkan iterasi lebih panjang atau bahkan tidak selesai karena ketidaktelitian dalam melakukan pembulatan.

Perhitungan iteratif dalam simpleks pada dasarnya merupakan pemeriksaan satu per satu titik-titik ekstrim layak pada daerah penyelesaian. Pemeriksaan dimulai dari kondisi nol (dimana semua aktivitas/variabel keputusan bernilai nol). Jika titik ekstrim berjumlah n, kemungkinan terburuknya kita akan melakukan perhitungan iteratif sebanyak n kali.

MEMBACA TABEL OPTIMAL

Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi pengambil keputusan. Ada beberapa hal yang bisa dibaca dari table optimal :

1. Solusi optimal variable keputusan 2. Status sumber daya

3. harga bayangan (dual/shadow prices).

VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK

Z 0 0 4 0 5/3 2/3 31/3

S1 0 0 4/3 1 -1/9 -1/9 7/9

X2 0 1 8/3 0 7/9 -2/9 5/9

X1 1 0 -2 0 -2/3 1/3 2/3

Solusi optimal X1 = 2/3, X2 = 5/9 , X3 = 0 dan Z = 31/3, artinya untuk mendapatkan keuntungan maksimum sebesar $ 31/3 , maka perusahaan sebaiknya menghasilkan produk 1 sebesar 2/3 unit dan produk 2 sebesar 5/9 unit.

Status sumber daya :

Sumber daya pertama dilihat dari keberadaan variable basis awal dari setiap fungsi kendala pada table optimal. Dalam kasus di atas, untuk fungsi kendala pertama periksa keberadaan S1 pada variable basis table optimal. Periksa keberadaan S2 pada variable basis table optimal untuk fungsi kendala kedua. Periksa keberadaan S3 pada variable basis table optimal untuk fungsi kendala ketiga.

S1 = 7/9. Sumber daya ini disebut berlebih (abundant)

Harga bayangan :

Harga bayangan dilihat dari koefisien variable slack atau surplus pada baris fungsi tujuan. Koefisien S1 pada baris fungsi tujuan table optimal = 0, dengan demikian harga bayangan sumber daya pertama adalah 0 Koefisien S2 pada baris fungsi tujuan table optimal = 5/3, dengan demikian harga bayangan sumber daya kedua adalah 5/3 Koefisien S3 pada baris fungsi tujuan table optimal = 2/3, dengan demikian harga bayangan sumber daya kedua adalah 2/3.

Selesaikan kasus berikut ini

menggunakan metode simpleks : Z_maks=3x₁+5x₂

Kendala : x₁+2x₂≤10

3x₁+x₂≤10 x₁, x₂≥0

Penyelesaian : Z−3x₁−5x₂=0 x₁+2x₂+S₁=10

Var pendatang

Var perantau

VD z x₁ x₂ S₁ S₂ C R

Z 1 -3 -5 0 0 0

S1 0 1 2 1 0 10 5

S₂ 0 3 1 0 1 10 10

VD z x₁ x₂ S₁ S₂ C

Z 1 -3 -5 0 0 0

x₂ 0 1

2

1 1

2

0 5

S₂ 0 3 1 0 1 10

Transformasi baris Z : 1−(−5) (0)=1

−3−(−5)

(

1 2

)

=

−1 2

−5−(−5)(1)=0

0−(−5)

(

1 2

)

=

5 2

0−(−5)(0)=0

0−(−5)(5)=25

Var perantau

Var pendatang

3−(1)

(

1 2

)

=

5 2

1−(1) (1)=0

0−(1)

(

1 2

)

=

−1 2

1−(1) (0)=1 1 0−(1)(5)=5

VD z x₁ x₂ S₁ S₂ C

Z 1 −1

2

0 5

2

0 25

x₂ 0 1

2

1 1

2

0 5

S₂ 0 5

2

0 −1

2

1 5

VD z x₁ x₂ S₁ S₂ C

Z 1 −1

2

0 5

2

0 25

x₂ 0 1

2

1 1

2

0 5

x₁ 0 1 0 −1

5 2 5

2

Transformasi baris Z : 1−

(

−1

−1 2 −(

−1

2 )(1)=0

0−(−1

2 )(0)=0 5

2−

(

−1

2

)(

−1

5

)

= 12

5

0−(−1 2 )

(

2 5

)

=

1 5

25−(−1

2 )(2)=26 Transformasi x₂ :

0−

(

1

2

)

(0)=0

1 2−

(

1

2

)

(1)=0

1−

(

1

2

)

(0)=1

1 2−

(

1 2

)(

−1 5

)

=

3 5

0−

(

1 2

)(

2 5

)

=

−1 5

5 −

(

1

2

)

(2)=4

VD z x₁ x₂ S₁ S₂ C

Z 1 0 0 12

5 1 5

26

x2 0 0 1 3

5

−1 5

x₁ 0 1 0 −1 5

2 5

2

∴nilai Z_max=26saat x₁=−2dan x₂=14 2.5 Metode Simpleks 2 Fase 1

Langkah – langkah :

 Menambahkan variabel pada

pertidaksamaan yang telah diketahui, jika pertidaksamaan tersebut telah memenuhi syarat simpleks yaitu (≤) berarti pertidaksamaan tersebut ditambahkan satu variabel slack, jika pertidaksamaan tersebut tidak memenuhi syarat simpleks yaitu (≥) berarti persamaan dikurangi variabel surplus dan ditambah variabel slack.

 Fungsi Z ditambahkan variabel dari persamaan yang tidak memenuhi syarat tersebut dengan simbol M yang berarti

M=106

 Persamaan tersebut dsusun fungsi Z diletakkan paling atas, lalu dari fungsi Z yang koefisiennya adalah M maka hasilnya harus nol

 Setelah dikalikan dan ditambahkan dengan fungsi Z , maka dicari nilai yang paling kecil dari hasilnya

telah diberi tanda peda hasil yang paling kecil tersebut.

 Dari kunci tersebut dibuat menjadi 1 dan angka yang berada satu kolom dengan angka 1 tersebut dijadikan nol

 Lakukan hal tersebut berulang-ulang hingga tidak ada yang bernilai negatif pada hasil yang berada paling bawah kecuali nilai Z

Contoh soal :

1. Minimumkan : Z=3x+2y Kendala :

x+y ≤6 2x+5y ≥10 Penyelesaian : Misal :

a , c=variabel slack b=variabel surplus x+y+a=6

2x+5y−b+c=10 3x+2y+M_c−Z=0

Cj 3 2 0 0 M −1 0

R

VBCB x y a b c Z C¿

a 0 1 1 1 0 0 0 6 6

C −M 2 5 0 −1 1 0 10 2

Zj+Cj −2M+3 −5M+2 0 M 0 −1 −10M

VB CB x y a b c Z C¿

a 0 1 1 1 0 0 0 6

C −M 2

5

1 0 −1

5 1 5

0 2

Zj+Cj −2M+3 −5M+2 0 M 0 −1 −10M

B₁−B₂

→

B₃−(−5M+2)B₂

Cj 3 2 0 0 M −1 0

VB CB x y a b c Z C¿

a 0 3

5

0 1 1

5

−1 5

0 4

C −M 2 5

1 0 −1 5

1 5

0 2

Zj+Cj 19 5

0 0 2

5 M−

2 5

−1 −4

Karena Zj−Cj sudah tidak ada yang negatif maka proses selesai

Z=4saat x=0,y=2,a=4dan b , c=0

2.6 Metode Simpleks 2 Fase 2 Langkah – langkah :

 Sistem pertidaksamaan 1 dan seterusnya dibuat sama seperti simpleks dengan 1 fase  Nilai Z diminimumkan (dikalikan dengan

- )

 Z pindah ruas menjadi bernilai +

variabel yang mengandung nilai M bernilai -1 dan Z=1 selebihnya bernilai nol  Cari nilai pada sistem pertidaksamaan yang membentuk identitas dan pada posisi 1 di sebelah kiri (pengali) diletakkan nilai X , lalu setelah 2 variabel dikali dan dijumlahkan, dikurangkan nilai x diatasnya

 Selanjutnya sama dengan simpleks 2 fase 1 hingga berakhir pada nilai baris terakhir yang bernilai positif

 Hilangkan kolom yang mengandung nilai M pada Z lalu letakkan nilai keseluruhan Z pada atas baris

 Lalu seperti cara pada langkah 5 hingga baris terakhir bernilai positif

 Dan itulah nilai Z (jangan lupa nilai Z adalah – Z¿

Contoh Soal : Z_min=8x+6y Kendala :

4x+2y ≥60 2x+4y ≥48 Penyelesaian : Misal

x+2y−b+d=24 Z−8x−6y=0

Cj 0 0 −1 −1 0 0 1 0

R

VBCB x y a b c d Z HB

a −1 2 1 1 0 −1 0 0 30 30

b −1 1 2 0 1 0 −1 0 24 12

Zj−Cj −3 −3 0 0 1 1 0 −54

Cj 0 0 −1 −1 0 0 1 0

VBCB x y a b c d Z HB

a −1 2 1 1 0 −1 0 0 30

y 0 1

2

1 0 1

2

0 −1 2

0 12

Zj−Cj −2 −1 0 1 1 0 0 −54

B₁−B₂

→

Cj 0 0 −1 −1 0 0 1 0

VBCB x y a b c d Z HB

a −1 3 2

0 1 −1 2

−1 1 2

0 18

y 0 1

2

1 0 1

2

0 −1 2

0 12

Zj−Cj −2 0 0 3 2

1 −1 2

0 −18

2 3B1

→

VBCB x y a b c d Z HB

x 0 1 0 2

3 −1 3 −2 3 1 3 0 12

y 0 1

2

1 0 1

2

0 −1 2

0 12

Zj−Cj 0 0 1 1 0 0 −1 0 B₂−1

2B1

→

Cj 0 0 −1 −1 0 0 1 0

VBCB x y a b c d Z HB

x 0 1 0 2

3 −1 3 −2 3 1 3 0 12

y 0 0 1 −1

3 1 4 1 3 −1 4 0 6

Zj−Cj 0 0 1 1 0 0 −1 0

Karena Zj−Cj sudah tidak ada yang negatif maka proses selesai

Z=132saat x=12,y=6,dan a , b , c , d=0

2.7 Metode M Charnes Prosedur Pemecahan :

 Merumuskan masalah PL dalam bentuk baku dengan kendala / syarat berbentuk persamaan, dengan apabila tanda

pertidaksamaan (≤) berarti

 Pada fungsi tujuan, konstanta, variabel surplus/ variabel slack adalah nol, sedangkan variabel tiruan diberi nilai – M jika memaksimumkan dan nilai M jika meminimumkan

 Variabel tiruan sebagai variabel basis awal yang akan segera meninggalkan basis menjadi non basis

 Ikuti aturan simpleks juntuk menentukan nilai fungsi turunan, yaitu :

 Jika memaksimumkan maka pemecahan selesai/fungsi tujuan optimal pada saat semua elemen pada baris Zj−Cj bernilai positif

 Jika meminimumkan pengerjaan selesai pada saat semua masukkan pada baris

Zj−Cj negatif Contoh Soal :

Zmaks=4x+y Kendala :

3x+y ≤3 4x+3y ≥6 x+2y ≤3

Penyelesaian :

Cara maksimum dengan mengalikan dengan min Misal : a , b , c=variabel slack

4x+3y−d+b=6 x+2y+c=3

Cj −4 −1 0 −M 0 0 0 R

VBCB x y a b c d HB

a 0 3 1 1 0 0 0 3 1

b −M 4 3 0 1 0 −1 6 3

2

c 0 1 2 0 0 0 1 3 3

Zj−Cj 4 1 0 0 0 0 0

−4 −3 0 0 0 1 −6

Transformasi baris kunci 3 3 1 3 1 3 0 3 0 3 0 3 3 3 11 3 1 30 00 1

Transformasi Baris b 4−(4) (1)=0

3−(4)

(

1 3

)

=

5 3

0−(4)

(

1 3

)

=

−4 3

1−(4) (0)=1

0−(4)(0)=0 −(1)−(4)(0)=−1

1−(1) (1)=0

2−(1)

(

1 3

)

=

5 3

0−(1)

(

1 3

)

=

−1 3

0−(1)(0)=0 1−(1) (0)=1 0−(1)(0)=0 3−(1)(1)=2

Cj −4 −1 0 −M 0 0 0 _R

VBCB x y a b c d HB

x −4 1 1 3

1 3

0 0 0 1

b −M 0 5 3

−4 3

1 0 −1 2 3

c 0 0 5

3 −1

3

0 0 0 2 6

5

Zj−Cj

−4 1 3

−4 3

0 0 0 4

0 −5 3

4 3

0 0 1 −2

Transformasi baris kunci

0 5 3 5 3 5 3 −4 3 5 3 1 5 3 0 5 3 −1 5 3 2 5 3

0 1−4 5

3 50−

3 5

6 5

1−

(

1

3

)

(0)=1

1 3−

(

1

3

)

(1)=0

1 3−

(

1 3

)

(

−4 5 )=

3 5

0−

(

1 3

)(

3 5

)

=

−1 5

0−

(

1

3

)

(0)=0

0−(1 3)

(

−3 5

)

=

1 5

1−

(

1 3

)(

6 5

)

=

3 5

Transformasi Baris c 0−

(

5

3

)

(0)=0

5 3−

(

5

3

)

(1)=0

−1 3 −

(

5 3

)

(

−4 5 )=3

0−

(

5 3

)(

3 5

)

=−1

1−

(

5

3

)

(0)=1

2−

(

5 3

)(

6 5

)

=−2

Cj −4 −1 0 −M 0 0 0

VBCB x y a b c d HB

x −4 1 0 3

5 −1 5 0 1 5 3 5 y −1 0 1 −4

5 3 5

0 −3 5

6 5

c 0 0 0 3 −1 1 1 - 2

Zj−Cj

0 0 −8 5

7 5

0 0 −18 5

0 0 0 M 0 0 0

Jadi, nilai Zmin=−Zmaks Zmin=−(−18

5 )

Zmin=18 5

Saat x=3

5dan y= 6 5

2.8 Metode Simpleks 2 Fase

Fase I berakhir dalam kondisi Z=0 maka simpulan untuk meneruskan ke fase II dengan memperhatikan 3 kemungkinan, yaitu :

2. Zmaks=0 dengan kenyataan tidak ada variabel slack terletak dalam basis ini berarti telah diperoleh penyelesaian layak dasar (fisibel basis) dari persoalan PL yang asli 3. Zmaks=0 dengan kenyataan satu/lebih

variabel slack terletak dalam basis tingkat nol (degenerasi) kenyataan ini juga menunjukkan bahwa telah diperoleh penyelesaian layak dasar (fisibel basis) dari masalah PL

Persyaratan untuk memulai fase II :

Perhitungan fase II merupakan lanjutan fase I apabila akhir Fase I menunjukkan kemungkinan modivikasi sebagai berikut :

 Koefisien harga fungsi tujuan adalah koefisien harga fungsi tujuan yang asli, atau nilai koefisien variabel pokok pada fase I yaitu nol harus diganti dengan koefisien asli

 Elemen pada baris Zj−Cj dihitung kembali Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persoalan PL yang memuat variabel buatan Contoh = Min Z=14x₁+18x₂

Kendala x₁+x₂≤25

Dengan menggunakan cara memaksimumkan (dikali negative )

Missal :

x₃, x₅=variabel slack x₄=variabel surplus

Z=0x₁+0x₂+(−1)x₃+0x₄+(−1)x₅

x₁+x₂+x₃=25

5x₁+6x₂−x₄+x₅=140

Fase I

Cj 0 0 −1 0 −1 0

VBCB x1 x2 x3 x4 x5 HB

x₃ −1 1 1 1 0 0 25

x₅ −1 5 6 0 −1 1 140 Zj−Cj −6 −7 0 1 0 −165

Transformasi baris kunci : 5 6 6 6 0 6 −1 6 1 6 140 6 5

61 0 −1 6 1 6 70 3

Transformasi Baris x₃ 1−(1)

(

5

6

)

= 1 6

1−(1)(1)=0 1−(1)(0)=1

0−(1)

(

−1 6

)

=

0−(1)

(

1 6

)

=

−1 6

25−(1)

(

70 3

)

=

5 3

Cj 0 0 −1 0 −1 0

VBCB x1 x2 x3 x4 x5 HB x₃ −1 1

6

0 1 1

6 −1

6 5 3 x₂ 0 5

6

1 0 −1 6

1 6

70 3 Zj−Cj −1

6

0 0 −1 6

7 6

−5 3

Transformasi baris kunci : 1 6 1 6 0 1 6 1 1 6 1 6 1 6 −1 6 1 6 5 3 1 6 1 06 1−110

Transformasi Baris x₃ 5

6−

(

5

6

)

(1)=0

1−

(

5

6

)

(0)=1

0−

(

5

−1 6 −

(

5

6

)

(1)=−1

1 6−

(

5

6

)

(−1)= 7 6 70

3 −( 5

6)(10)=15

Cj 0 0 −1 0 −1 0

VBCB x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ HB

x₁ 0 1 0 0 1 −1 10

x₂ 0 0 1 −5 −1 7 6

15

Zj−Cj 0 0 1 0 1 0

Fase II

Cj −14 −18 0 0

VB CB x₁ x₂ x₄ HB

x₁ −14 1 0 1 10

x₂ −18 0 1 −1 15

Zj−Cj 0 0 4 −410

Jadi, Zmin=−Zmaks Zmin=−(−410) Zmin=410

Tahap 1 :

Bentuk dengan var buatan : R1 dan R2 Min r = R1 + R2

3 X1 + X2 + R1 = 3 4 X1 + 3 X2 - X3 - R2 = 6 X1 + 2 X2 + X4 = 4 X1 , X2 , X3 ,R1 , R2 , X4  0

Fungsi tujuan r = R1 + R2

= ( 3 – 3 X1 - X2 ) + ( 6 - 4 X1 - 3 X2 + X3 )

= -7 X1 - 4 X2 + X3 + 9 Tabel Awal

VB X1 X2 X3 R1 R2 X4 NK

r 7 4 -1 0 0 0 9

R1 3 1 0 1 0 0 3

R2 4 3 -1 0 1 0 6

X4 1 2 0 0 0 1 4

Tabel optimum : setelah 2 iterasi ( periksa ! )

VB X1 X2 X3 R1 R2 X4 NK

r 0 0 0 -1 -1 0 0

X1 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5

X2 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5

X4 0 0 1 1 -1 1 1

Karena minimum solusi r = 0, masalah ini memiliki pemecahan (solusi) layak. Lanjutkan ke tahap ( Fase ) kedua.

 Dari tabel optimum tahap 1 didapatkan : X1 + 1/5X3 = 3/5

X2 - 3/5X3 = 6/5 X3 + X4 = 1 Masalah semula ditulis : Min Z = 4 X1 + X2

Kendala X1 + 1/5X3 = 3/5 ... ( 1 ) X2 - 3/5X3 = 6/5 ... ( 2 ) X3 + X4 = 1

X1 , X2 , X3 ,R1 , R2 , X4  0

Maka terdapat 3 persamaan dan 4 variabel sehingga solusi dasar layak didapat dg membuat (4 – 3) = 1 variabel dibuat nol

X3 = 0 -> X1 = 3/5 ; X2 = 6/5 ; X4 = 1

 Fungsi tujuan Z = 4 X1 + X2 = 4 ( 3_/

5 + 1/5 X3 ) + (6/5 + 3/5X3 ) = - 1_/

5 X3 + 18/5 Tabel Awal

Var msk

VB X1 X2 X3 X4 NK

Z 0 0 1_/

5 0 18/5

X1 1 0 1/5 0 3/5

X2 0 1 -3/5 0 6/5

Tabel optimum

SOAL LATIHAN

1. Selesaikan linear program berikut ini dengan metode Simplex

Maksimumkan Z = 400X1 + 300X2 Fungsi kendala/ batasan:

 4X1 + 6X2 ≤ 1200  4X1 + 2X2 ≤ 800  X1 ≤ 250

 X2 ≤ 300  X1, X2 ≥ 0

2. Selesaikan linear program berikut ini dengan metode Simplex

Maksimumkan Z = 2X1 + 3X2 + X3 Dengan fungsi kendala:

1) X1 + X2 + X3 ≤ 9 2) 2X1 + 3X2 ≤ 25 3) X2 + 2X3 ≤ 10 4) X1, X2, X3 ≥ 0

3. Minimumkan Z = 3X1 + 2X2

VB X1 X2 X3 X4 NK

Z 0 0 0 -1_/

5 17/5

X1 1 0 0 -1/5 2/5

X2 0 1 0 3/5 9/5

Fungsi batasan : 1) X1 + 2X2 ≥ 20 2) 3X1 + X2 ≥ 20 3) X1 ≥ 0 , X2 ≥ 0

BAB III

DUAL DAN PRIMAL

Setiap masalah Program Linear yang bertujuan mencari nilai maksimum selalu bertalian dengan suatu masalah program linear dengan tujuan mencari nilai minimum, yang disebut dual masalah yang pertama. Sebaliknya setiap masalah program linear yang bertujuan mencari nilai minimum selalu bertalian dengan suatu masalah program linear yang bertujuan mencari nilai maksimum yang disebut dual. Masalah pertama disebut primal sedangkan masalah kedua dengan tujuan berlawanan disebut dual.

MAKS

DUAL

MIN

MAKS

Dalam analisis Program Linear (PL) terdapat 2 bentuk, yaitu :

1. Bentuk primal : Bentuk asli dari persamaan program linear

2. Bentuk dual : Bentuk duplikat atau rangkap dari persamaan program linear

Jika penyelesaian persoalan Program Linear dengan bentuk primal secara langsung juka dapat diketahui hasil bentuk dualnya, sebaliknya jika penyelesaian Program Linear dengan bentukdual, maka secara langsung dapat diketahui bentuk primalnya.

Contoh Soal :

Tentukan dual dari masalah primal berikut ini : Min Z=14x₁+18x₂

Kendala x₁+x₂≤25

5x₁+6x₂≥140 x1, x2≥0

Penyelesaian :

Karena meminimumkan maka semua kendala harus bertanda ( ≥ )

Matriks Primal Matriks dual

[

−1 −1 −25

5 6 140

14 18 ¿

]

transpose

→

[

−1 5 14 −1 6 18 25 140 ¿

]

Masalah dual :

Max H=25a+140b Kendala