PENYELESAIAN PROGRAM LINEAR
MULTI-OBJEKTIF BILANGAN FUZZY TRAPESIUM DENGAN METODE PEMBOBOTAN
KARYA ILMIAH
OLEH
QURRATA A’YUNI NIM. 1803110347
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2023
PENYELESAIAN PROGRAM LINEAR MULTI-OBJEKTIF BILANGAN FUZZY TRAPESIUM DENGAN
METODE PEMBOBOTAN
Qurrata A’yuni
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This article discusses the solution of multi-objective linear programming of trape- zoidal fuzzy numbers using the weighting method. The coefficient of the amount material production and the coefficient of the amount material available are in the form of fuzzy numbers because of uncertainty. The solution of this problem is to convert the trapezoidal fuzzy numbers on the coefficient of the constraint function to a crisp number using a ranking function, then converting the multi-objective func- tion into a single objective function are used the weighting method and solved by the simplex method. It can be concluded that the weighting method can be used as an alternative method in solving multi-objective linear programming problems.
Keywords: Multi-objective linear programming, trapezoidal fuzzy numbers, rank- ing function, weighting method, simplex method
ABSTRAK
Artikel ini membahas masalah program linear fungsi tujuan banyak (multi-objective) bilangan fuzzy trapesium menggunakan metode pembobotan. Koefisien jumlah pro- duksi material dan koefisien jumlah material yang tersedia berbentuk bilanganfuzzy karena terdapat ketidakpastian. Penyelesaian dari masalah ini yaitu mengkonversi bilangan fuzzy trapesium pada koefisien fungsi kendala ke bentuk bilangan tegas menggunakan fungsiranking, lalu mengubah fungsi tujuan banyak (multi-objective) menjadi fungsi tujuan tunggal (single objective) menggunakan metode pembobotan dan diselesaikan dengan metode simpleks. Dapat disimpulkan bahwa metode pem- bobotan dapat dijadikan sebagai metode alternatif dalam penyelesaian masalah pro- gram linear multi-objektif.
Kata kunci: Program linear multi-objektif, bilangan fuzzy trapesium, fungsi rank- ing, metode pembobotan, metode simpleks
1. PENDAHULUAN
Program linear merupakan salah satu bidang matematika terapan yang banyak di- gunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Kassem et al. [5] menjelaskan bahwa, masalah optimisasi sering melibatkan dua atau lebih tujuan yang ingin dioptimalkan di waktu yang bersamaan yang biasa dikenal dengan fungsi tujuan banyak atau multi-objective.
Dalam kehidupan sehari-hari, permasalahan yang dihadapi manusia terjadi se- cara tidak terduga pada kenyataannya, hal tersebut menimbulkan ketidakpastian (tidak memiliki batas yang jelas). Zadeh [11] memberikan konsep untuk mengatasi ketidakpastian ini dengan memperkenalkan teori fuzzy.
Terdapat beberapa peneliti yang telah mengembangkan teknik untuk menyele- saikan masalah program linear multi-objektif bilangan fuzzy, diantaranya Khalifa dan Al-Shabi [6] memperkenalkan metode interaktif untuk menyelesaikan masalah program linear multi-objektif fuzzy. Selanjutnya, Kassem et al. [5] memperkenalkan metode interaktif menggunakan teknik pembobotan untuk menyelesaikan masalah program linear multi-objektif fuzzy dengan koefisien fungsi tujuan dan koefisien fungsi kendala diekspresikan dengan bilangan fuzzy segitiga.
Pada artikel ini dibahas mengenai penyelesaian dari masalah program linear multi-objektif dengan koefisien pada fungsi kendala berbentuk bilanganfuzzy trape- sium. Adapun struktur artikel ini adalah pada bagian kedua menjelaskan ten- tang bilangan fuzzy trapesium. Bagian ketiga menjelaskan tentang fungsi ranking.
Bagian keempat dibahas tentang metode yang digunakan yaitu metode simpleks.
Pada bagian kelima dijelaskan tentang program linear multi-objektif bilangan fuzzy trapesium dengan metode pembobotan. Bagian keenam dijelaskan contoh numerik.
Kemudian dilanjutkan bagian ketujuh dengan kesimpulan dari artikel ini.
2. BILANGAN FUZZY TRAPESIUM
Beberapa definisi pendukung mengenai bilangan fuzzy diberikan sebagai berikut:
Definisi 1 [8, h. 7] Himpunanfuzzyditandai dengan fungsi keanggotaan memetakan elemen dari suatu semesta X ke satuan interval [0,1] yaitu ˜A={(x, µA˜(x))| x∈X} denganµA˜(x) : X →[0,1] adalah pemetaan yang disebut derajat nilai keanggotaan dalam himpunan fuzzy A.˜
Grafik fungsi keanggotaan adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan elemen ke dalam nilai keanggotaannya yang memiliki interval antara 0 dan 1. Ter- dapat berbagai bentuk fungsi keanggotaan yang bisa digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan salah satunya bentuk trapesium.
Definisi 2 [1] Bilangan fuzzy A˜ = (a, b, c, d) dikatakan bilangan fuzzy trapesium dengan a, b, c, d bilangan real, dengan fungsi keanggotaan diberikan seperti
µA˜(x) =
x−a
b−a, jika a≤x≤b, 1, jika b ≤x≤c,
d−x
d−c, jika c≤x≤d, 0, lainnya.
(1)
3. FUNGSI RANKING
Fungsi ranking diperoleh dengan menggunakan fungsi robust ranking yang meru- pakan suatu cara untuk mengkonversi bilangan fuzzy trapesium menjadi bilangan tegas (crisp) dengan menggunakan potongan-α.
Definisi 3 [7] Potongan-α dari himpunan fuzzy A˜ adalah suatu bilangan dalam interval tertutup [0,1]. Untuk suatu bilangan α ∈ [0,1], potongan-α dari suatu himpunan fuzzy A, yang dilambangkan dengan ˜˜ Aα adalah himpunan tegas yang memuat semua elemen dari himpunan dengan derajat keanggotaan dalam ˜A yang lebih besar atau sama dengan α yang didefinisikan sebagai berikut:
A(α) =˜ {x:µA˜(x)≥α, α∈[0,1]}.
Definisi 4 [1] Jika A˜ adalah bilangan fuzzy , maka robust ranking dari A˜ didefinisikan
ℜ( ˜A) =
∫ 1 0
(0.5)[
ALα, AUα]
dα. (2)
Misalkan terdapat himpunan fuzzy trapesium dengan ˜A = (a, b, c, d), sehingga potongan-α dari fuzzy trapesium dinyatakan sebagai berikut [1]:
[ALα, AUα]
= [(b−a)α+a, d−(d−c)α]. (3) dengan (ALα, AUα) merupakan potongan α pada fuzzy trapesium ˜A. Selanjutnya, persamaan (3) disubstitusikan ke dalam persamaan (2) sehingga diperoleh
ℜ(A) = ∫1
0 (0.5)((b−a)α+a) + (d−(d−c)α)dα. (4) Persamaan (4) diintegralkan terhadap α sehingga diperoleh fungsi ranking dari bi- langan fuzzy trapesium, yaitu
ℜ( ˜A) = a+b+c+d
4 . (5)
4. METODE SIMPLEKS
Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif, yang bergerak selangkah demi selangkah dimulai dari titik ekstrim dan daerah layak menuju ke
titik ekstrim optimum untuk mencari nilai optimal dari fungsi tujuan dalam masalah optimisasi yang terkendala.
Gamal [4, h. 25] menjelaskan bahwa sebelum menggunakan metode simpleks, persoalan program linear terlebih dahulu harus diubah dalam bentuk persamaan dan semua variabel bertanda non-negatif. Program linear dalam bentuk ini dinamakan program linear dalam bentuk standar. Secara umum program linear dalam bentuk standar sebagai berikut [10, h. 131]:
maks/minz =c1x1+c2x2+· · ·+cnxn+s1+· · ·+sm, (6) kendala
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn+s1 = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn+s2 = b2 ... = ... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn+sm = bm
, (7)
xj, si ≥0, i= 1,2, . . . , m, j = 1,2, . . . , n. (8) Adapun langkah-langkah metode simpleks untuk persoalan minimisasi disele- saikan dengan tabel, sebagai berikut [4, h. 31]:
(i) Mengubah program linear ke dalam bentuk standar
Program linear dalam bentuk standar terdapat pada persamaan (6), per- samaan (6), dan persamaan (8).
(ii) Menentukan solusi layak basis dan bentuk tabel awal simpleks
Variabelslack dapat digunakan sebagai variabel basis untuk suatu persamaan (kendala) apabila ruas kanan kendala tidak negatif [4, h. 28]. Berdasarkan persamaan (6) dan persamaan (7) bentuk tabel awal simpleks dapat dilihat pada Tabel 1 [10, h. 150].
Tabel 1: Simpleks awal dalam bentuk simbol
Basis z x1 · · · xn s1 · · · sm Ruas Kanan Rasio
z 1 c1 · · · cn 0 · · · 0 0 0
xB1 a11 a12 · · · a1n 1 · · · 0 b1 r1
xB2 a21 a22 · · · a2n 0 · · · 0 b2 r2
...
xBm am1 am2 · · · amn 0 · · · 1 bm rm
dengan
n := jumlah variabel, m := jumlah kendala,
z := nilai skalar kriteria pengambilan keputusan, xj := variabel keputusan ke-j, j = 1,2, . . . , n,
sj := variabel slack ke-i, i= 1,2, . . . , m, xBj := variabel basis ke-j,
aij := koefisien variabel ke-i pada persamaan ke-j, bi := nilai fungsi kendala,
ri := jumlah rasio (nilai baris pivot dibagi nilai kolom pivot).
(iii) Melakukan uji optimalisasi untuk menentukan kolom pivot
Periksa apakah ada elemen positif pada baris 0. Jika seluruh variabel nonbasis mempunyai koefisien nonpositif artinya bernilai negatif atau nol pada baris fungsi tujuan (baris 0), maka solusi layak basis sudah optimal. Apabila pada baris 0 masih ada variabel nonbasis dengan koefisien positif, cari kolom pivot dengan memilih satu variabel yang mempunyai koefisien paling positif pada baris 0 (pilih sebarang apabila terdapat lebih dari satu). Variabel ini akan memasuki status variabel basis, karena itu variabel ini disebut dengan variabel yang masuk basis (entering variable).
(iv) Menentukan baris pivot
Periksa apakah ada elemen positif pada kolom pivot di bawah baris 0. Apabila tidak terdapat elemen positif pada kolom pivot di bawah baris 0, menunjukkan bahwa tidak ada solusi optimal berhingga. Jika ada, maka cari baris pivot dengan cara melakukan uji rasio dan pilih rasio terkecil (pilih sebarang apabila terdapat lebih dari satu pemenang).
(v) Bentuk tabel baru dengan pivoting (melakukan iterasi) dan kembali ke langkah (iii).
5. PROGRAM LINEAR MULTI-OBJEKTIF BILANGAN FUZZY TRAPESIUM DENGAN METODE PEMBOBOTAN
Program linear multi-objektif (PLMO) yaitu persoalan program linear yang memiliki lebih dari satu fungsi tujuan [9]. Pada artikel ini, bilangan fuzzy yang digunakan adalah bilangan fuzzy trapesium, yaitu pada koefisien fungsi kendala.
Secara umum, bentuk dari persoalan program linear multi-objektif bilangan fuzzy, pada koefisien fungsi kendala dapat dirumuskan sebagai berikut:
maks/minz(x) =
z1 =c11x1+c12x2+c13x3+· · ·+ c1nxn z2 =c21x1+c22x2+c23x3+· · ·+ c2nxn z3 =c31x1+c32x2+c33x3+· · ·+ c3nxn
... ...
zq =cq1x1+cq2x2+cq3x3+· · ·+ cqnxn
, (9)
kendala
˜
a11x1 + ˜a12x2 + · · · + ˜a1nxn ≤ ˜b1,
˜
a21x1 + ˜a22x2 + · · · + ˜a2nxn ≤ ˜b2,
˜
a31x1 + ˜a32x2 + · · · + ˜a3nxn ≤ ˜b3, ... ≤ ...
˜
am1x1 + ˜am2x2 + · · · + ˜amnxn ≤ ˜bm,
(10)
xj ≥0, j = 1,2, . . . , n. (11) Masatoshi [8, h.45] menjelaskan bahwa metode yang dapat digunakan dalam penyelesaian masalah program linear multi-objektif, salah satunya yaitu metode pembobotan.
Branke et al. [3, h. 10] menjelaskan bahwa metode pembobotan merupakan metode yang digunakan untuk memformulasikan program linear multi-objektif ke dalam bentuk persoalan program linear fungsi tujuan tunggal, dengan menetapkan bobot wk dari masing-masing fungsi tujuan, lalu substitusikan bobot tersebut ke dalam persamaan berikut:
min wz(x) =
∑m k=1
wkzk(x) ;w1+w2+· · ·+wk = 1, (12) dengan wk adalah bobot untuk fungsi tujuan ke-k dan zk(x) adalah fungsi tujuan ke-k,k = 1,2, . . . , m.
Langkah penyelesaian masalah program linear multi-objektif bilanganfuzzy trape- sium dengan metode pembobotan sebagai berikut:
(i) Memformulasikan persoalan program linear multi-objektif bilanganfuzzytrape- sium ke dalam bentuk persamaan (9), persamaan (10), dan persamaan (11) lalu dinyatakan sebagai bentuk minimisasi.
(ii) Mensubstitusikan bilanganfuzzy trapesium ˜aij =⟨dj, ej, fj, gj⟩dan ˜bi =⟨pi, qi , ri, si⟩ ke dalam fungsi kendala pada persamaan (10).
(iii) Mengkonversikan program linear multi-objektif bilangan fuzzy trapesium ke bentuk bilangan tegas menggunakan fungsi ranking.
(iv) Mengubah fungsi tujuan banyak (multi-objective) pada persamaan (9) menjadi fungsi tujuan tunggal (single objective) dengan memasukkan bobot.
(v) Menyelesaikan persoalan program linear multi-objektif yang telah diubah men- jadi fungsi tujuan tunggal menggunakan metode simpleks untuk memperoleh solusi optimal.
6. KASUS DAN PENYELESAIAN
Suatu perusahaan yang bergerak di bidang industri memiliki sebuah pabrik cat yang memproduksi cat interior dan cat eksterior, yang diberi label A dan B, untuk di distribusikan secara massal. Untuk memproduksi kedua cat tersebut digunakan tiga jenis material yang diberi label x, y, dan z.
Jumlah produksi material x pada produk A berturut-turut 0.5,0.8,1.2 dan 1.5 (satuan ton) dalam bentuk bilanganfuzzy, begitu juga dengan jumlah produksi ma- terial y dan z tidak diketahui pasti jumlahnya atau samar. Hal ini terjadi karena
dipengaruhi oleh jumlah orang yang bekerja pada setiap harinya dan waktu penger- jaan setiap orang yang tidak konsisten. Jumlah yang tersedia untuk material x, y, dan z juga masih samar atau tidak diketahui pasti jumlahnya. Hal ini dipengaruhi oleh sistem pembukuan yang tidak jelas.
Perusahaan ingin menjual cat interior dengan harga Rp2 juta/ton dan cat ekste- rior dengan harga Rp1 juta/ton. Tetapi selama proses berlangsung, setiap 1 ton cat interior menghasilkan 2 unit polusi berbahaya dan setiap 1 ton cat eksterior meng- hasilkan 3 unit polusi berbahaya. Jika perusahaan tersebut ingin memaksimumkan total pendapatan dan meminimumkan total polusi, maka berapa jumlah cat interior dan cat eksterior yang diproduksi.
Berikut jumlah produksi dan jumlah yang tersedia dari materialx, y, danz dari produk cat interior dan cat eksterior (satuan ton) dalam bentuk bilangan fuzzy, dapat dilihat pada Tabel 2 dan Tabel 3.
Tabel 2: Jumlah produksi materialx, y, dan z (dalam ton)
Produk Material x Material y Material z
A ((0.5),(0.8),(1.2),(1.5)) (2,5,6,7) (5,8,9,10) B (1,3,5,7) ((0.5),(0.8),(1.2),(1.5)) (2,6,7,9)
Tabel 3: Jumlah material x, y, dan z yang tersedia (dalam ton)
Material J umlah x (12,16,25,35) y (16,28,30,46) z (38,49,67,82)
Penyelesaian persoalan perusahaan industri menggunakan metode pembobotan, yaitu
(i) Persoalan perusahaan industri, dirumuskan sebagai kasus memaksimumkan total pendapatan dan meminimumkan total polusi. Variabel keputusan dari kasus tersebut yaitu x1 adalah jumlah cat interior yang harus diproduksi dan x2 adalah jumlah cat eksterior yang harus diproduksi. Formulasi dari kasus perusahaan industri adalah sebagai berikut:
maks z1 = 2x1+x2, min z2 = 2x1+ 3x2, kendala
˜
a11x1+ ˜a12x2 ≤˜b1,
˜
a21x1+ ˜a22x2 ≤˜b2,
˜
a31x1+ ˜a32x2 ≤˜b3, x1, x2 ≥0.
(13)
Fungsi tujuan pertama pada persamaan (13) dapat dinyatakan sebagai bentuk minimisasi, yaitu
min −z1 =−2x1−x2, (14) sehingga dapat dibentuk menjadi
min −z1 =−2x1−x2, min z2 = 2x1+ 3x2, kendala
˜
a11x1+ ˜a12x2 ≤˜b1,
˜
a21x1+ ˜a22x2 ≤˜b2,
˜
a31x1+ ˜a32x2 ≤˜b3, x1, x2 ≥0.
(15)
(ii) Mensubstitusikan bilangan fuzzy trapesium ke dalam fungsi kendala.
(iii) Selanjutnya program linear bilanganfuzzy trapesium dikonversi ke dalam ben- tuk bilangan tegas menggunakan fungsi ranking. Hasil konversi ke bentuk bilangan tegas, yaitu
min −z1 =−2x1−x2, min z2 = 2x1+ 3x2, kendala
x1+ 4x2 ≤22, 5x1+x2 ≤30, 8x1+ 6x2 ≤59, x1, x2 ≥0.
(16)
(iv) Program linear multi-objektif (multi-objective) pada persamaan (16) diubah menjadi fungsi tujuan tunggal (single objective) menggunakan metode pem- bobotan. Misalkan diberikan bobot w1 = 1 danw2 = 0, yaitu
min wz =w1z1+w2z2
= (1)(−2x1−x2) + (0)(2x1+ 3x2),
= (−2x1−x2) + (0),
min wz = (−2x1−x2). (17)
Berdasarkan persamaan (17) bentuk program linear fungsi tujuan tunggal yang akan diselesaikan, yaitu
min wz =−2x1−x2, kendala
x1+ 4x2 ≤22, 5x1+x2 ≤30, 8x1+ 6x2 ≤59, x1, x2 ≥0.
(18)
(v) Permasalahan program linear pada persamaan (18) diselesaikan menggunakan metode simpleks yang dilakukan dengan cara sebagai berikut:
(a) Mengubah persamaan (18) ke dalam bentuk standar min wz =−2x1−x2,
kendala
x1+ 4x2+s1 = 22, 5x1+x2 +s2 = 30, 8x1+ 6x2 +s3 = 59, x1, x2, s1, s2, s3 ≥0.
(19)
Mengubah bentuk standar program linear pada persamaan (19) menjadi bentuk kanonik, yaitu
wz+ 2x1+x2 = 0, kendala
x1+ 4x2+s1 = 22, 5x1+x2 +s2 = 30, 8x1+ 6x2 +s3 = 59, x1, x2, s1, s2, s3 ≥0.
(20)
(b) Menentukan solusi layak basis dan bentuk tabel awal simpleks
Berdasarkan persamaan (20) bentuk tabel awal simpleks dapat dilihat pada Tabel 4.
Tabel 4: Simpleks awal
Baris Basis wz x1 x2 s1 s2 s3 Ruas Kanan Rasio
0 wz 1 2 1 0 0 0 0 0
1 s1 0 1 4 1 0 0 22 22
2 s2 0 5 1 0 1 0 30 6
3 s3 0 8 6 0 0 1 59 7.375
(c) Melakukan uji optimalisasi untuk menentukan kolom pivot
Pada Tabel 4 kolom pivot yang terpilih yaitu kolom x1 dengan koefisien positif terbesar yaitu 2.
(d) Menentukan baris pivot
Pada Tabel 4 rasio terkecil yaitu pada baris 2.
(e) Bentuk tabel baru dengan pivoting (melakukan iterasi) dan kembali ke langkah (c).
Tabel 5: Iterasi pertama simpleks
Baris Basis wz x1 x2 s1 s2 s3 Ruas Kanan Rasio
0′ wz 1 0 3/5 0 −2/5 0 −12 −20
1′ s1 0 0 19/5 1 −1/5 0 16 21/5
2′ x1 0 1 1/5 0 1/5 0 6 30
3′ s3 0 0 22/5 0 −8/5 1 11 5/2
Pada Tabel 5, baris 0′ masih terdapat variabel nonbasis yang mempunyai koefisien positif, dilakukan kembali iterasi.
Tabel 6: Iterasi kedua simpleks
Baris Basis wz x1 x2 s1 s2 s3 Ruas Kanan Rasio
0′′ wz 1 0 0 0 −1/5 −1/7 −27/3 −
1′′ s1 0 0 0 1 6/5 −6/7 13/2 −
2′′ x1 0 1 0 0 2/7 0 11/2 −
3′′ x2 0 0 1 0 −1/3 2/9 5/2 −
Pada Tabel 6, menunjukkan baris 0′′tidak ada lagi variabel nonbasis yang mempunyai koefisien positif, hal ini memenuhi syarat kondisi dikatakan optimal. Solusi optimal kasus ini yaitu x1 = 5.5 dan x2 = 2.5. Pe- rusahaan memproduksi jumlah cat interior sebanyak 5.5 (dalam ton) dan jumlah cat eksterior sebanyak 2.5 (dalam ton).
(vi) Mensubstitusikan nilaix1 = 5.5 danx2 = 2.5 ke dalam fungsi tujuan pertama dan fungsi tujuan kedua pada persamaan (16), diperoleh maks z1 = 13.5 dan min z2 = 18.5.
Pendapatan maksimum yang didapatkan oleh perusahaan industri dalam mem- produksi cat interior dan cat eksterior adalah Rp13.5 (juta) dan minimum total po- lusi sebanyak 18.5 unit dengan jumlah cat interior yang harus diproduksi sebanyak 5.5 (dalam ton) dan jumlah cat eksterior sebanyak 2.5 (dalam ton).
8. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, maka dapat disim- pulkan bahwa metode pembobotan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah program linear multi-objektif bilanganfuzzytrapesium. Adapun penyelesaian masa- lah program linear multi-objektif dalam bentuk bilangan fuzzy trapesium tersebut, dilakukan dengan mengkonversi bilangan fuzzy trapesium ke bentuk bilangan tegas (crisp). Lalu fungsi tujuan banyak (multi-objektif) diubah menjadi fungsi tujuan tunggal dengan menggunakan metode pembobotan. Selanjutnya, untuk memperoleh solusi optimal, diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks.
Ucapan terima kasih diberikan kepada Prof. Dr. M. D. H. Gamal, M. Sc. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] N. U. Ahmed dan A. R. Khan, dan MD. S. Uddin,Solution of mixed type trans- portation problem: A fuzzy approach, Automatica Di Calculatore, 2 (2015), 20-32.
[2] M. Z. Bazaraa, J. J. Jarvis, dan H. D. Sherali,Linear Programming and Net- work Flows, Fourth Edition, Wiley, Canada, 2010.
[3] J. Branke, K. Deb, K. Mietinen, dan R. Slowinski,Multiobjective Optimization, Springer, Berlin, 2008.
[4] M. D. H. Gamal,Program Linear dan Integer: Buku Ajar,Pusat Pengemban- gan dan Pendidikan Universitas Riau, Pekanbaru, 2007.
[5] M. A. E. Kassem, N. A. El-Kholy, M. H. Eid, dan M. M. M. Ibrahim,An inter- active method for solving fuzzy multi-objektive linear programming problems, International Journal of Advanced Trends in Computer Science and Engineer- ing, 10 (2021), 2685-2689.
[6] Khalifa, H. A., dan M. Al-Shabi, An interactive approach for solving fuzzy multi-objective assignment problems, Journal of Advances in Mathematics and Computer Science, 6 (2018), 1-12.
[7] A. Kumar dan P. Dhiman, Fuzzy information and engineering : Reliability range through upgraded operation with trapezoidal fuzzy numbers, An Interna- tional Journal, (2021), 1-12.
[8] S. Masatoshi,Fuzzy Sets and Interactive Multiobjective Optimization, Jepang, 2013.
[9] A. Ranjan, O. P. Singh, G. R. Mishra, dan H. Katiyar, Multi objective op- timization for performance analysis of cooperative wireless communication, International Journal of Advanced Trends in Computer and Engineering, 9 (2020), 7636-7644.
[10] W. L. Winston, Operations Research: Applications and Alghoritms, Fourth Edition, Thomson Learning, Belmont, 2004.
[11] L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and Control, 3 (1965), 338-353.
