34
BAB III PEMBAHASAN
Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy dengan koefisien teknis kendala berbentuk bilangan fuzzy dan pembahasan penyelesaian masalah optimasi studi kasus pada UD FIRDAUS Magelang menggunakan metode fuzzy decisive set.
A. Program Linear dengan Koefisien Teknis Kendala Bilangan Fuzzy
Masalah program linear fuzzy disajikan dengan menentukan batasan dan fungsi tujuan yang akan dicapai dari variabel keputusan dalam bentuk pertidaksamaan linear yaitu:
Memaksimalkan dengan kendala
∑𝑛𝑗=1𝑐𝑗𝑥𝑗
∑𝑛𝑗=1𝑎̃𝑖𝑗𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 (3.1)
𝑥𝑗 ≥ 0 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛
dan 𝑎̃𝑖𝑗 adalah bilangan fuzzy dengan fungsi keanggotaan linear turun:
𝜇𝑎𝑖𝑗(𝑥) = { 1 (𝑎𝑖𝑗+ 𝑑𝑖𝑗 − 𝑥)/𝑑𝑖𝑗 0 , jika 𝑥 < 𝑎𝑖𝑗 , jika 𝑎𝑖𝑗 ≤ 𝑥 < 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 , jika 𝑥 ≥ 𝑎𝑖𝑗+ 𝑑𝑖𝑗 (3.2)
dengan 𝑥 ∈ 𝑅 dan 𝑑𝑖𝑗 > 0 untuk semua 𝑖 = 1, … , 𝑚, 𝑗 = 1, … , 𝑛.
Langkah-langkah yang harus dilakukan untuk menyelesaikan masalah program linear fuzzy dengan koefisien teknis kendala berbentuk bilangan fuzzy adalah sebagai berikut:
35
1. Mengubah masalah program linear fuzzy diubah ke dalam bentuk masalah program linear dengan menentukan nilai batas bawah dan batas atas dari nilai yang optimal. Batas dari nilai yang optimal, yaitu 𝑧1 dan 𝑧2 didapatkan dari dua bentuk penyelesaian program linear sebagai berikut:
𝑧1 = max ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗 𝑛 𝑗=1 dengan kendala ∑𝑛𝑗=1𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑚 (3.3) 𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, … , 𝑛, dan 𝑧2 = max ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗 𝑛 𝑗=1 dengan kendala ∑𝑛𝑗=1(𝑎𝑖𝑗+ 𝑑𝑖𝑗)𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 (3.4) 𝑥𝑗 ≥ 0,
Masalah program linear di atas mempunyai nilai optimal berhingga pada selang 𝑧1 dan 𝑧2. Dengan 𝑧𝑙 = min(𝑧1, 𝑧2) dan 𝑧𝑢 = max(𝑧1, 𝑧2). Kemudian 𝑧𝑙 dan 𝑧𝑢 disebut batas bawah dan batas atas. Dengan demikian, nilai dari fungsi tujuan terletak di antara keduanya. Sementara koefisien teknis terletak di antara 𝑎𝑖𝑗 dan 𝑎𝑖𝑗+ 𝑑𝑖𝑗.
36
2. Membawa masalah optimasi yang sudah ditentukan nilai batas atas dan batas bawah ke dalam fungsi fuzzy goal dan fungsi fuzzy constraint untuk mendapatkan fungsi fuzzy decision.
Fungsi keanggotaan himpunan fuzzy goal 𝐺 dengan nilai batas atas 𝑧𝑢 dan batas bawah 𝑧𝑙 yang didapatkan dari bentuk Persamaan (3.3) dan Persamaan (3.4), yang didefinisikan sebagai berikut :
𝜇𝐺(𝑥) = { 0 ∑𝑛𝑗=1𝑐𝑗𝑥𝑗−𝑧𝑙 𝑧𝑢−𝑧𝑙 1 , ∑𝑛𝑗=1𝑐𝑗𝑥𝑗 < 𝑧𝑙 , 𝑧𝑙 ≤ ∑𝑛𝑗=1𝑐𝑗𝑥𝑗 < 𝑧𝑢 , ∑𝑛𝑗=1𝑐𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝑧𝑢 (3.5)
Kemudian fungsi keanggotaan pada kendala ke 𝑖 himpunan fuzzy constraint, 𝐶𝑖 dengan batas atas 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 dan batas bawah 𝑎𝑖𝑗 pada koefisien teknis yang didefinisikan sebagai berikut :
𝜇𝐶𝑖(𝑥) = { 0 𝑏𝑖−∑𝑛𝑗=1𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ∑𝑛𝑗=1𝑑𝑖𝑗𝑥𝑗 1 , 𝑏𝑖 < ∑𝑛𝑗=1𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 , ∑𝑛𝑗=1𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗≤ 𝑏𝑖 < ∑𝑛𝑗=1(𝑎𝑖𝑗+ 𝑑𝑖𝑗)𝑥𝑗 , 𝑏𝑖≥ ∑𝑛𝑗=1(𝑎𝑖𝑗+ 𝑑𝑖𝑗)𝑥𝑗 (3.6)
Fungsi keanggotaan himpunan fuzzy Goal dengan batas atas 𝑧𝑢 dan batas bawah 𝑧𝑙 dan fungsi keanggotaan himpunan fuzzy Constraint dengan batas atas 𝑎𝑖𝑗+ 𝑑𝑖𝑗 dan batas bawah 𝑎𝑖𝑗 di atas merupakan bentuk turunan dari rumus umum fungsi keanggotaan linear naik.
Nilai min
𝑖 {𝜇𝐶𝑖(𝑥)} = min {𝜇𝐶1(𝑥), 𝜇𝐶2(𝑥), … , 𝜇𝐶𝑛(𝑥)} merupakan penyelesaian layak basis dari himpunan fuzzy constraint dan min{𝜇𝐺𝑗(𝑥)} merupakan penyelesaian layak dari himpunan fuzzy goal. Kemudian mencari irisan dari 𝜇𝐶𝑖(𝑥) dan 𝜇𝐺𝑗(𝑥) untuk menghasilkan penyelesaian
37
optimal pada fuzzy decision 𝜇𝐷(𝑥). Dengan menggunakan definisi fuzzy decision yang dikenalkan oleh Bellman Zadeh (Gasimov, 2002),
didapatkan :
𝜇𝐷(𝑥) = min {𝜇𝐺𝑗(𝑥), min
𝑖 (𝜇𝐶𝑖(𝑥))} (3.7)
Penyelesaian optimal diperoleh dengan memaksimumkan nilai fuzzy decision dari masalah sehingga didapatkan:
max
𝑥≥0{𝜇𝐷(𝑥)} = max𝑥≥0 min {𝜇𝐺𝑗(𝑥), min𝑖 (𝜇𝐶𝑖(𝑥))} (3.8) Penyelesaian optimal suatu masalah diharapkan bernilai tegas atau mendekati tegas yang mempunyai arti bahwa penyelesaian optimal yang didapatkan benar-benar memungkinkan ada. Sehingga fuzzy decision maksimum diharapkan mempunyai derajat keanggotaan ≥ dengan nilai berada pada selang [0,1]. Nilai adalah nilai 𝛼 dari himpunan yang memuat semua elemen dari himpunan fuzzy decision yang mempunyai derajat keanggotaan ≥α dan didefinisikan sebagai 𝐷𝛼 = {𝑥 ∈ 𝑋|𝜇𝐷(𝑥) ≥ 𝛼} sehingga 𝜇𝐷 ≥ 𝛼.
Oleh karena itu, = 𝜇𝐷(𝑥) sehingga Persamaan (3.1) dapat disajikan kedalam bentuk :
max = 𝜇𝐷(𝑥)
= min {𝜇𝐺𝑗(𝑥), min
38
= min{𝜇𝐺1(𝑥), … , 𝜇𝐺𝑛(𝑥), 𝜇𝐶1(𝑥), 𝜇𝐶2(𝑥), … , 𝜇𝐶𝑚(𝑥)}
Untuk mendapatkan elemen terbesar dari fuzzy decision, masing-masing dari fuzzy goal dan fuzzy constraint juga harus memiliki nilai yang maksimum agar bernilai tegas. Persamaan (3.9) merupakan nilai min {𝜇𝐺𝑗(𝑥), min
𝑖 (𝜇𝐶𝑖(𝑥))} dengan demikian diperoleh, 𝜇𝐺(𝑥) ≥ min {𝜇𝐺𝑗(𝑥), min𝑖 (𝜇𝐶𝑖(𝑥))} 𝜇𝐺(𝑥) ≥ dan 𝜇𝐶𝑖(𝑥) ≥ min {𝜇𝐺(𝑥), min 𝑖 (𝜇𝐶𝑖(𝑥))} 𝜇𝐶𝑖(𝑥) ≥, dengan, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 𝑥 ≥ 0, 0 ≤ ≤ 1
Selanjutnya dengan menggunakan Persamaan (3.5), didapatkan Persamaan (3.10) sebagai berikut :
max 𝜇𝐺(𝑥) ≥ ∑𝑛𝑗=1𝑐𝑗𝑥𝑗−𝑧𝑙 𝑧𝑢−𝑧𝑙 ≥ ∑𝑛𝑗=1𝑐𝑗𝑥𝑗 − 𝑧𝑙 ≥ (𝑧𝑢− 𝑧𝑙) (𝑧𝑢− 𝑧𝑙) − ∑𝑛𝑗=1𝑐𝑗𝑥𝑗+ 𝑧𝑙≤ 0 (3.10)
39
dan dengan menggunakan Persamaan (3.6), didapatkan Persamaan (3.11) sebagai berikut : 𝜇𝐶𝑖(𝑥) ≥ 𝑏𝑖− ∑𝑛𝑗=1𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ∑𝑛𝑗=1𝑑𝑖𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖− ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 𝑛 𝑗=1 ≥(∑ 𝑑𝑖𝑗𝑥𝑗 𝑛 𝑗=1 ) 𝑏𝑖− (∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 𝑛 𝑗=1 −∑ 𝑑𝑖𝑗𝑥𝑗 𝑛 𝑗=1 )≥ 0 ∑𝑛𝑗=1(𝑎𝑖𝑗 +𝑑𝑖𝑗)𝑥𝑗− 𝑏𝑖 ≤ 0 (3.11) Metode fuzzy decisive set merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program linear fuzzy yang dikenalkan oleh Sakawa dan Yana (Gasimov, 2002). Metode ini berdasarkan pada bentuk transformasi program linear fuzzy ke bentuk tegas dengan menyertakan parameter . Bentuk non-konveks didapat pada langkah mengubah masalah program linear fuzzy ke bentuk tegas yang memuat perkalian dan variabelnya. Menurut Ivokhin (2013), kendala pada persamaan (3.1) memuat perkalian 𝑥𝑗 yang berarti kendala tidak konveks. Solusi dari masalah ini menggunakan penyelesaian umum non konveks masalah optimisasi salah satunya dengan metode fuzzy decisive set.
40
3. Menentukan masalah optimasi menggunakan fuzzy decisive set dengan algoritma fuzzy decisive set sebagai berikut:
a. Langkah pertama dengan mengambil = 1 untuk diselesaikan menggunakan metode simpleks.
Solusi layak merupakan solusi permasalahan yang memenuhi kendala dan memaksimalkan fungsi tujuan. Jika solusi layaknya ada (feasible set is nonempty) maka = 1 merupakan nilai optimal. Jika solusi layaknya tidak ada (feasible set is empty) maka lanjut ke langkah kedua.
b. Langkah kedua nilai =𝐿+𝑅
2 dengan
𝐿 dan 𝑅
menggunakan metode bagi dua adalah:
𝐿= jika solusi layak tidak kosong 𝑅= jika solusi layak kosong
Nilai baru yang dihasilkan kemudian dimasukkan ke persamaan yang selanjutnya diselesaikan menggunakan metode simpleks. Solusi dari metode simpleks yang didapatkan jika terdapat solusi layak tidak kosong maka tahap selanjutnya adalah dengan menggunakan tersebut sebagai 𝐿 dan menggunakan 𝑅 yang sama dari iterasi sebelumnya untuk menghasilkan nilai baru yang akan digunakan untuk iterasi berikutnya. Apabila terdapat solusi layak kosong, maka sebaliknya adalah dengan menggunakan tersebut sebagai 𝑅 dan menggunakan 𝐿
41
Iterasi berhenti apabila solusi yang dihasikan pada dua iterasi terakhir adalah layak dengan selisih nilai keduanya sudah sangat kecil dengan nilai ε mendekati nilai 0. Selanjutnya untuk nilai ∗ yang didapat pada iterasi terakhir dimasukkan ke persamaan dan diselesaikan menggunakan metode simpleks untuk mendapatkan penyelesaian yang optimal pada masalah program linear.
B. Aplikasi Program Linear dengan Koefisien Teknis Kendala Bilangan
Fuzzy pada Masalah Optimasi
Home Industri UD Firdaus memproduksi paving dan batako yang keduanya mempunyai bahan baku utama yang sama yaitu pasir dan semen. Proses produksi yang dilakukan di UD Firdaus tidak menggunakan bantuan mesin, sehingga tenaga manusia menjadi faktor utama dalam proses produksi. Paving memerlukan 1 jam 30 menit untuk mencampur bahan atau mengaduk bahan, 2 jam untuk mencetak adukan, dan 4 hari pengeringan hasil cetakan. Sedangkan batako memerlukan 1 jam untuk mengaduk bahan, 1 jam untuk mencetak adukan, dan 3 hari untuk pengeringan hasil cetakan. Dalam proses pengadukan, paving membutuhkan waktu yang lebih lama dikarenakan paving harus tercampur lebih rata dan halus dibandingkan dengan batako. Dalam proses pencetakan adukan, paving juga membutuhkan waktu yang lebih lama dikarenakan ukuran alat pencetak paving berbentuk segienam dan memiliki ukuran lebih kecil sehingga harus lebih berhati-hati dan teliti dibanding ukuran cetakan batako yang lebih besar dan berbentuk segiempat. Dalam proses pengeringan, paving membutuhkan waktu penjemuran lebih lama. Hal itu dikarenakan batako segera dapat digunakan
42
untuk membuat pondasi sedangkan paving tidak dapat dengan segera digunakan sebagai lantai yang fungsinya menopang berbagai beban di atasnya.
Dalam proses mengaduk bahan dan mencetak adukan, kedua hasil produksi memiliki kemungkinan memerlukan waktu yang lebih lama dari waktu yang sudah ditentukan. Hal itu dikarenakan tenaga manusia atau karyawan yang bekerja memiliki keterampilan yang berbeda-beda. Karyawan yang memiliki keterampilan baik, akan dengan mudah mengerjakan proses pengadukan dan pencetakan adukannya. Pada proses pengadukan, bahan baku harus tercampur secara merata, dan adukannya tidak boleh terlalu encer maupun terlalu keras. Sedangkan karyawan yang memiliki keterampilan kurang baik, contohnya dilihat dari faktor kondisi badan karyawan yang sedang tidak fit sehingga kinerjanya tidak maksimal, dan juga dari faktor karyawan yang tergolong karyawan baru. Hal ini akan memungkinankan bahwa hasil pengolahan bahan baku akan membutuhkan waktu sedikit lebih lama. Proses pengadukan paving dan batako pada UD Firdaus memiliki toleransi waktu pengerjaan 30 menit lebih lama. Pada proses pencetakan, paving memiliki toleransi waktu pengerjaan 1 jam dan batako memiliki toleransi waktu pengerjaan 30 menit.
Dalam proses pengeringan atau pengerasan cetakan, kedua hasil produksi juga memiliki kemungkinan memerlukan waktu yang lebih lama dari waktu yang sudah ditentukan. Cepat lambatnya cetakan agar kering secara merata, disebabkan oleh faktor cuaca. Jika hari panas, cetakan akan mudah kering, dan jika hari hujan, maka cetakan akan memerlukan waktu yang lebih lama dalam pengeringan. Dalam hal ini, proses pengeringan memiliki toleransi waktu kurang lebih 1 hari.
43
Dalam satu kali pengolahan bahan baku dengan tiga serangkaian proses pengadukan, pencetakan, dan pengeringan, paving yang dihasilkan sebanyak 150 biji sedangkan batako yang dihasikan sebanyak 80 biji. Satu biji paving memiliki keuntungan 100 rupiah dan 200 rupiah untuk batako. Sehingga Keuntungan paving per satu kali pengolahan adalah 150 𝑏𝑖𝑗𝑖 𝑥 100 𝑟𝑢𝑝𝑖𝑎ℎ = 15000 𝑟𝑢𝑝𝑖𝑎ℎ dan keuntungan batako per satu kali pengolahan adalah 80 𝑏𝑖𝑗𝑖 𝑥 200 𝑟𝑢𝑝𝑖𝑎ℎ = 16000 𝑟𝑢𝑝𝑖𝑎ℎ Bagaimana produksi harus dialokasikan untuk memaksimumkan keuntungan per satu kali pengolahan jika UD firdaus memiliki persediaan waktu 8 jam dalam satu hari kerja dimulai dari pukul 07.00-12.00 dan 13.00-16.00, 6 hari kerja dalam seminggu dan 24 hari kerja dalam satu bulan?
Tabel 3.1 Tabel Proses Produksi dan Keuntungan
Paving Batako Persediaan waktu Toleransi waktu (paving) Toleransi waktu (batako) Pengadukan 1,5 jam 1 jam 8 jam 0,5 jam 0,5 jam
Pencetakan 2 jam 1 jam 8 jam 1 jam 0,5 jam
Pengeringan 4 hari = 96 jam 3 hari = 72 jam 6x4= 24 hari = 576 jam 1 hari = 24 jam 1 hari = 24 jam Profit Rp 15000,- Rp 16000,-
44
Masalah disajikan ke dalam bentuk pertidaksamaan linear dengan menentukan batasan dari variabel keputusan dan menentukan fungsi tujuan yang akan dicapai dari variabel keputusan yang sudah ditentukan.
Untuk memformulasikan di atas dimisalkan:
𝑥1adalah banyak pengolahan paving yang dilakukan 𝑥2adalah banyak pengolahan batako yang dilakukan
Oleh karena itu, perencanaan produksi di atas dapat dirumuskan dalam masalah program linear dengan koefisien teknis kendala bilangan fuzzy sebagai berikut: Memaksimalkan z = 15000𝑥1+ 16000𝑥2 (3.12) dengan kendala : 1,5̃ 𝑥1+ 1̃𝑥2 ≤ 8 (3.13) 2̃𝑥1+ 1̃𝑥2 ≤ 8 (3.14) 4̃𝑥1+ 3̃𝑥2 ≤ 24 (3.15) Sehingga, 𝑎𝑖𝑗 = [ 1,5̃ 2̃ 1̃ 1̃ 4̃ 3̃ ] , 𝑑𝑖𝑗 = [ 0,5̃ 1̃ 0,5̃ 1̃ 1̃ 1̃ ] 𝑎𝑖𝑗+ 𝑑𝑖𝑗 = [ 2̃ 3̃ 1,5̃ 2̃ 5̃ 4̃ ] dan 𝑏𝑖 = [ 8 8 24 ]
Bilangan 1,5̃ adalah bilangan fuzzy dengan fungsi keanggotaan linear turun (𝑥: 1,5; 2). Begitu juga dengan bilangan fuzzy 1̃, 2̃, 1̃, 4̃, dan 3̃ dengan fungsi
45
keanggotaan masing-masing (𝑥: 1; 1,5), (𝑥: 2; 3), (𝑥: 1; 2), (𝑥: 4; 5), dan (𝑥: 3; 4) secara berturut-turut.
Berdasarkan langkah untuk menyelesaikan masalah program linear fuzzy dengan koefisien teknis kendala berbentuk bilangan fuzzy, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Menentukan batas dari nilai yang optimal, yaitu 𝑧𝑙 dan 𝑧𝑢 yang didapat dari penyelesaian masalah program linear yang standar
Memaksimalkan𝑍1 = 15000𝑥1+ 16000𝑥2 (3.16) dengan kendala, 1,5𝑥1 + 1𝑥2 ≤ 8 (3.17) 2𝑥1+ 1𝑥2 ≤ 8 (3.18) 4𝑥1+ 3𝑥2 ≤ 24 (3.19) dan memaksimalkan 𝑍2 = 15000𝑥1+ 16000𝑥2 (3.20) dengan kendala, 2𝑥1+ 1,5𝑥2 ≤ 8 (3.21) 3𝑥1+ 2𝑥2 ≤ 8 (3.22) 5𝑥1+ 4𝑥2 ≤ 24 (3.23)
Dengan menggunakan matlab pada persamaan (3.16), (3.17), (3.18), dan (3.19) didapatkan output sebagai berikut:
𝑥1= 0 𝑥2= 8 𝑍1= 128000
46
dan pada persamaan (3.20), (3.21), (3.22), dan (3.23) didapatkan output sebagai berikut: 𝑥1= 0 𝑥2= 4 𝑍2= 64000 Sehingga diperoleh, 𝑍𝑙 = min(𝑍1, 𝑍2) = min(128000,64000) = 64000 𝑍𝑢 = max(𝑍1, 𝑍2) = max(128000,64000) = 128000
2. Membawa masalah optimasi yang sudah ditentukan nilai batas atas dan batas bawah ke dalam bentuk fuzzy goal dan fuzzy constraint untuk mendapatkan fuzzy decision sebagai berikut:
a. Himpunan Fuzzy Goal
Menggunakan persamaan (3.5) diperoleh, 𝜇𝐺(𝑥) = { 0 15000𝑥1+16000𝑥2−64000 128000−64000 1 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 15000𝑥1+ 16000𝑥2< 64000 , 𝑗𝑖𝑘𝑎64000 ≤ 15000𝑥1+ 16000𝑥2< 128000 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 15000𝑥1+ 16000𝑥2≥ 128000 (3.24)
b. Himpunan Fuzzy Constraint
Menggunakan persamaan (3.6) diperoleh,
𝜇𝐶1(𝑥) = { 0 8−1,5𝑥1−1𝑥2 0,5𝑥1+0,5𝑥2 1 , 8 < 1,5𝑥1+ 1𝑥2 ,1,5𝑥1+ 1𝑥2 ≤ 8 < 2𝑥1+ 1,5𝑥2 , 8 ≥ 2𝑥1 + 1,5𝑥2 (3.25) 𝜇𝐶2(𝑥) = { 0 8−2𝑥1−1𝑥2 1𝑥1+1𝑥2 1 , 8 < 2𝑥1+ 1𝑥2 ,2𝑥1 + 1𝑥2 ≤ 8 < 3𝑥1+ 2𝑥2 , 8 ≥ 3𝑥1+ 2𝑥2 (3.26)
47 𝜇𝐶3(𝑥) = { 0 24−4𝑥1−3𝑥2 1𝑥1+1𝑥2 1 , 24 < 4𝑥1+ 3𝑥2 ,4𝑥1+ 3𝑥2 ≤ 24 < 5𝑥1+ 4𝑥2 , 24 ≥ 5𝑥1+ 4𝑥2 (3.27)
c. Himpunan Fuzzy Decision
Menggunakan persamaan (3.24), (3.25), (3.26) dan (3.27) diperoleh bentuk lain dari masalah (3.12), (3.13), (3.14), dan (3.15) sebagai berikut:
max 15000𝑥1+ 16000𝑥2− 64000 128000 − 64000 ≥ 8 − 1,5𝑥1− 1𝑥2 0,5𝑥1+ 0,5𝑥2 ≥ 8 − 2𝑥1− 1𝑥2 1𝑥1+ 1𝑥2 ≥ 24 − 4𝑥1− 3𝑥2 1𝑥1+ 1𝑥2 ≥ 0 ≤ ≤ 1 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 Atau ekuivalen dengan persamaan,
max 15000𝑥1+ 16000𝑥2 ≥ 64000 + 64000 (0,5 + 1,5)𝑥1+ (0,5 + 1)𝑥2 ≤ 8 (1 + 2)𝑥1+ (1 + 1)𝑥2 ≤ 8 (1 + 4)𝑥1+ (1 + 3)𝑥2 ≤ 24 0 ≤ ≤ 1 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
48 Sehingga didapatkan, max 15000𝑥1+ 16000𝑥2≥ 64000 + 64000 (0,5 + 1,5)𝑥1+ (0,5 + 1)𝑥2 ≤ 8 (1 + 2)𝑥1+ (1 + 1)𝑥2 ≤ 8 (1 + 4)𝑥1+ (1 + 3)𝑥2 ≤ 24
3. Menyelesaikan masalah optimasi menggunakan fuzzy decisive set dengan algoritma fuzzy decisive set
1. Untuk = 1
15000𝑥1+ 16000𝑥2 ≥ 128000 2𝑥1+ 1,5𝑥2 ≤ 8
3𝑥1+ 2𝑥2 ≤ 8 5𝑥1+ 4𝑥2 ≤ 24
Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿 = 0 dan 𝑅 = 1. Nilai baru =𝐿+ 𝑅
2 =
0+1
2 = 0,5 digunakan untuk iterasi ke-2. 2. Untuk = 0,5
15000𝑥1+ 16000𝑥2 ≥ 96000 1,75𝑥1+ 1,25𝑥2 ≤ 8
2,5𝑥1+ 1,5𝑥2 ≤ 8 4,5𝑥1+ 3,5𝑥2 ≤ 24
49
Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿 = 0 dan 𝑅 = 0,5. Nilai baru =𝐿+ 𝑅
2 =
0+0,5
2 = 0,25 digunakan untuk iterasi ke-3 3. Untuk = 0,25
15000𝑥1+ 16000𝑥2 ≥ 80000 1,625𝑥1+ 1,125𝑥2 ≤ 8
2,25𝑥1+ 1,25𝑥2 ≤ 8 4,25𝑥1+ 3,25𝑥2 ≤ 24
Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai 1 yang artinya himpunan layak tidak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿 = 0,25 dan 𝑅 = 0,5. Nilai baru =
𝐿+ 𝑅
2 =
0,25+0,5
2 = 0,375 digunakan untuk iterasi ke-4
4. Untuk = 0,375
15000𝑥1+ 16000𝑥2 ≥ 88000 1,6875𝑥1+ 1,1875𝑥2 ≤ 8
2,375𝑥1+ 1,375𝑥2 ≤ 8 4,375𝑥1+ 3,375𝑥2 ≤ 24
Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai 1 yang artinya himpunan layak tidak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿 =
50 0,375 dan 𝑅 = 0,5. Nilai baru = 𝐿+ 𝑅 2 = 0,375+0,5 2 = 0,4375 digunakan untuk iterasi ke-5
5. Untuk = 0,4375
15000𝑥1+ 16000𝑥2 ≥ 92000 1,7188𝑥1+ 1,2188𝑥2 ≤ 8 2,4375𝑥1+ 1,4375𝑥2 ≤ 8 4,4375𝑥1+ 3,4375𝑥2 ≤ 24
Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿 = 0,375 dan 𝑅 = 0,4375. Nilai baru =𝐿+ 𝑅
2 =
0,375+0,4375
2 = 0,4063 digunakan untuk iterasi ke-6
6. Untuk = 0,4063
15000𝑥1+ 16000𝑥2 ≥ 90003,2 1,7034𝑥1+ 1,2034𝑥2 ≤ 8 2,4063𝑥1+ 1,4063𝑥2 ≤ 8 4,4063𝑥1+ 3,4063𝑥2 ≤ 24
Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai 1 yang artinya himpunan layak tidak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿 = 0,4063 dan 𝑅 = 0,4375. Nilai baru =𝐿+ 𝑅
2 =
0,4063+0,4375
2 = 0,4219
51 7. Untuk = 0,4219 15000𝑥1+ 16000𝑥2 ≥ 91001,6 1,7110𝑥1+ 1,2110𝑥2 ≤ 8 2,4219𝑥1+ 1,4219𝑥2 ≤ 8 4,4219𝑥1+ 3,4219𝑥2 ≤ 24
Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿= 0,4063
dan 𝑅 = 0,4219. Nilai baru =
𝐿+ 𝑅
2 =
0,4063+0,4219
2 = 0,4141
digunakan untuk iterasi ke-8. 8. Untuk = 0,4141
15000𝑥1+ 16000𝑥2 ≥ 90502,4 1,7071𝑥1+ 1,2071𝑥2 ≤ 8 2,4141𝑥1+ 1,4141𝑥2 ≤ 8 4,4141𝑥1+ 3.4141𝑥2 ≤ 24
Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai 1 yang artinya himpunan layak tidak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿 = 0,4141 dan 𝑅 = 0,4219. Nilai baru =𝐿+ 𝑅
2 =
0,4141+0,4219
2 = 0,4180
digunakan untuk iterasi ke-9. 9. Untuk = 0,4180
52
1,7090𝑥1+ 1,2090𝑥2 ≤ 8 2,4180𝑥1+ 1,4180𝑥2 ≤ 8 4,4180𝑥1+ 3,4180𝑥2 ≤ 24
Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿
= 0,4141 dan 𝑅 = 0,4180. Nilai baru =
𝐿
+ 𝑅
2 =
0,4141+0,4180
2 = 0,4161
digunakan untuk iterasi ke-10. 10. Untuk = 0,4161
15000𝑥1+ 16000𝑥2 ≥ 90630,4 1,7081𝑥1+ 1,2081𝑥2 ≤ 8 2,4161𝑥1+ 1,4161𝑥2 ≤ 8 4,4161𝑥1+ 3,4161𝑥2 ≤ 24
Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿
= 0,4141 dan 𝑅 = 0,4161. Nilai baru =
𝐿+ 𝑅
2 =
0,4141+0,4161
2 = 0,4151
digunakan untuk iterasi ke-11. 11. Untuk = 0,4151
15000𝑥1+ 16000𝑥2 ≥ 90566,4 1,7076𝑥1+ 1,2076𝑥2 ≤ 8 2,4151𝑥1+ 1,4151𝑥2 ≤ 8
53
4,4151𝑥1+ 3,4151𝑥2 ≤ 24
Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿= 0,4141
dan 𝑅 = 0,4151. Nilai baru =
𝐿+ 𝑅
2 =
0,4141+0,4151
2 = 0,4146
digunakan untuk iterasi ke-12. 12. Untuk = 0,4146
15000𝑥1+ 16000𝑥2 ≥ 90534,4 1,7073𝑥1+ 1,2073𝑥2 ≤ 8 2,4146 𝑥1+ 1,4146 𝑥2 ≤ 8 4,4146 𝑥1+ 3,4146 𝑥2 ≤ 24
Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿= 0,4141
dan 𝑅 = 0,4146. Nilai baru =
𝐿+ 𝑅
2 =
0,4141+0,4146
2 = 0,4144
digunakan untuk iterasi ke-13. 13. Untuk = 0,4144
15000𝑥1+ 16000𝑥2 ≥ 90521,6 1,7072𝑥1+ 1,2072𝑥2 ≤ 8 2,4144𝑥1+ 1,4144𝑥2 ≤ 8 4,4144𝑥1+ 3,4144𝑥2 ≤ 24
54
Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿= 0,4141
dan 𝑅 = 0,4144. Nilai baru =
𝐿+ 𝑅
2 =
0,4141+0,4144
2 = 0,4143
digunakan untuk iterasi ke-14. 14. Untuk = 0,4143
15000𝑥1+ 16000𝑥2 ≥ 90515,2 1,7072𝑥1+ 1,2072𝑥2 ≤ 8 2,4143𝑥1+ 1,4143𝑥2 ≤ 8 4,4143𝑥1+ 3,4143𝑥2 ≤ 24
Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿= 0,4141
dan 𝑅 = 0,4143 . Nilai baru =𝐿+ 𝑅
2 =
0,4141+0,4143
2 = 0,4142
digunakan untuk iterasi ke-15. 15. Untuk = 0,4142
15000𝑥1+ 16000𝑥2 ≥ 90508,8 1,7071𝑥1+ 1,2071𝑥2 ≤ 8 2,4142𝑥1+ 1,4142𝑥2 ≤ 8 4,4142𝑥1+ 3,4142𝑥2 ≤ 24
55
Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai 1 yang artinya himpunan layak tidak kosong.
Pada iterasi ke 15 sudah menunjukkan bahwa hasil output memiliki solusi layak atau himpunan layak tidak kosong dengan nilai exitflag sama dengan 1 dan nilai 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 5,6569 dan nilai 𝑧 = 90511,1719.
