BAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy

Teks penuh

(1)

34

BAB III PEMBAHASAN

Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy dengan koefisien teknis kendala berbentuk bilangan fuzzy dan pembahasan penyelesaian masalah optimasi studi kasus pada UD FIRDAUS Magelang menggunakan metode fuzzy decisive set.

A. Program Linear dengan Koefisien Teknis Kendala Bilangan Fuzzy

Masalah program linear fuzzy disajikan dengan menentukan batasan dan fungsi tujuan yang akan dicapai dari variabel keputusan dalam bentuk pertidaksamaan linear yaitu:

Memaksimalkan dengan kendala

βˆ‘π‘›π‘—=1𝑐𝑗π‘₯𝑗

βˆ‘π‘›π‘—=1π‘ŽΜƒπ‘–π‘—π‘₯𝑗 ≀ 𝑏𝑖 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š (3.1)

π‘₯𝑗 β‰₯ 0 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛

dan π‘ŽΜƒπ‘–π‘— adalah bilangan fuzzy dengan fungsi keanggotaan linear turun:

πœ‡π‘Žπ‘–π‘—(π‘₯) = { 1 (π‘Žπ‘–π‘—+ 𝑑𝑖𝑗 βˆ’ π‘₯)/𝑑𝑖𝑗 0 , jika π‘₯ < π‘Žπ‘–π‘— , jika π‘Žπ‘–π‘— ≀ π‘₯ < π‘Žπ‘–π‘— + 𝑑𝑖𝑗 , jika π‘₯ β‰₯ π‘Žπ‘–π‘—+ 𝑑𝑖𝑗 (3.2)

dengan π‘₯ ∈ 𝑅 dan 𝑑𝑖𝑗 > 0 untuk semua 𝑖 = 1, … , π‘š, 𝑗 = 1, … , 𝑛.

Langkah-langkah yang harus dilakukan untuk menyelesaikan masalah program linear fuzzy dengan koefisien teknis kendala berbentuk bilangan fuzzy adalah sebagai berikut:

(2)

35

1. Mengubah masalah program linear fuzzy diubah ke dalam bentuk masalah program linear dengan menentukan nilai batas bawah dan batas atas dari nilai yang optimal. Batas dari nilai yang optimal, yaitu 𝑧1 dan 𝑧2 didapatkan dari dua bentuk penyelesaian program linear sebagai berikut:

𝑧1 = max βˆ‘ 𝑐𝑗π‘₯𝑗 𝑛 𝑗=1 dengan kendala βˆ‘π‘›π‘—=1π‘Žπ‘–π‘—π‘₯𝑗 ≀ 𝑏𝑖, 𝑖 = 1, … , π‘š (3.3) π‘₯𝑗 β‰₯ 0, 𝑗 = 1, … , 𝑛, dan 𝑧2 = max βˆ‘ 𝑐𝑗π‘₯𝑗 𝑛 𝑗=1 dengan kendala βˆ‘π‘›π‘—=1(π‘Žπ‘–π‘—+ 𝑑𝑖𝑗)π‘₯𝑗 ≀ 𝑏𝑖 (3.4) π‘₯𝑗 β‰₯ 0,

Masalah program linear di atas mempunyai nilai optimal berhingga pada selang 𝑧1 dan 𝑧2. Dengan 𝑧𝑙 = min(𝑧1, 𝑧2) dan 𝑧𝑒 = max(𝑧1, 𝑧2). Kemudian 𝑧𝑙 dan 𝑧𝑒 disebut batas bawah dan batas atas. Dengan demikian, nilai dari fungsi tujuan terletak di antara keduanya. Sementara koefisien teknis terletak di antara π‘Žπ‘–π‘— dan π‘Žπ‘–π‘—+ 𝑑𝑖𝑗.

(3)

36

2. Membawa masalah optimasi yang sudah ditentukan nilai batas atas dan batas bawah ke dalam fungsi fuzzy goal dan fungsi fuzzy constraint untuk mendapatkan fungsi fuzzy decision.

Fungsi keanggotaan himpunan fuzzy goal 𝐺 dengan nilai batas atas 𝑧𝑒 dan batas bawah 𝑧𝑙 yang didapatkan dari bentuk Persamaan (3.3) dan Persamaan (3.4), yang didefinisikan sebagai berikut :

πœ‡πΊ(π‘₯) = { 0 βˆ‘π‘›π‘—=1𝑐𝑗π‘₯π‘—βˆ’π‘§π‘™ π‘§π‘’βˆ’π‘§π‘™ 1 , βˆ‘π‘›π‘—=1𝑐𝑗π‘₯𝑗 < 𝑧𝑙 , 𝑧𝑙 ≀ βˆ‘π‘›π‘—=1𝑐𝑗π‘₯𝑗 < 𝑧𝑒 , βˆ‘π‘›π‘—=1𝑐𝑗π‘₯𝑗 β‰₯ 𝑧𝑒 (3.5)

Kemudian fungsi keanggotaan pada kendala ke 𝑖 himpunan fuzzy constraint, 𝐢𝑖 dengan batas atas π‘Žπ‘–π‘— + 𝑑𝑖𝑗 dan batas bawah π‘Žπ‘–π‘— pada koefisien teknis yang didefinisikan sebagai berikut :

πœ‡πΆπ‘–(π‘₯) = { 0 π‘π‘–βˆ’βˆ‘π‘›π‘—=1π‘Žπ‘–π‘—π‘₯𝑗 βˆ‘π‘›π‘—=1𝑑𝑖𝑗π‘₯𝑗 1 , 𝑏𝑖 < βˆ‘π‘›π‘—=1π‘Žπ‘–π‘—π‘₯𝑗 , βˆ‘π‘›π‘—=1π‘Žπ‘–π‘—π‘₯𝑗≀ 𝑏𝑖 < βˆ‘π‘›π‘—=1(π‘Žπ‘–π‘—+ 𝑑𝑖𝑗)π‘₯𝑗 , 𝑏𝑖β‰₯ βˆ‘π‘›π‘—=1(π‘Žπ‘–π‘—+ 𝑑𝑖𝑗)π‘₯𝑗 (3.6)

Fungsi keanggotaan himpunan fuzzy Goal dengan batas atas 𝑧𝑒 dan batas bawah 𝑧𝑙 dan fungsi keanggotaan himpunan fuzzy Constraint dengan batas atas π‘Žπ‘–π‘—+ 𝑑𝑖𝑗 dan batas bawah π‘Žπ‘–π‘— di atas merupakan bentuk turunan dari rumus umum fungsi keanggotaan linear naik.

Nilai min

𝑖 {πœ‡πΆπ‘–(π‘₯)} = min {πœ‡πΆ1(π‘₯), πœ‡πΆ2(π‘₯), … , πœ‡πΆπ‘›(π‘₯)} merupakan penyelesaian layak basis dari himpunan fuzzy constraint dan min{πœ‡πΊπ‘—(π‘₯)} merupakan penyelesaian layak dari himpunan fuzzy goal. Kemudian mencari irisan dari πœ‡πΆπ‘–(π‘₯) dan πœ‡πΊπ‘—(π‘₯) untuk menghasilkan penyelesaian

(4)

37

optimal pada fuzzy decision πœ‡π·(π‘₯). Dengan menggunakan definisi fuzzy decision yang dikenalkan oleh Bellman Zadeh (Gasimov, 2002),

didapatkan :

πœ‡π·(π‘₯) = min {πœ‡πΊπ‘—(π‘₯), min

𝑖 (πœ‡πΆπ‘–(π‘₯))} (3.7)

Penyelesaian optimal diperoleh dengan memaksimumkan nilai fuzzy decision dari masalah sehingga didapatkan:

max

π‘₯β‰₯0{πœ‡π·(π‘₯)} = maxπ‘₯β‰₯0 min {πœ‡πΊπ‘—(π‘₯), min𝑖 (πœ‡πΆπ‘–(π‘₯))} (3.8) Penyelesaian optimal suatu masalah diharapkan bernilai tegas atau mendekati tegas yang mempunyai arti bahwa penyelesaian optimal yang didapatkan benar-benar memungkinkan ada. Sehingga fuzzy decision maksimum diharapkan mempunyai derajat keanggotaan β‰₯ dengan nilai  berada pada selang [0,1]. Nilai  adalah nilai 𝛼 dari himpunan yang memuat semua elemen dari himpunan fuzzy decision yang mempunyai derajat keanggotaan β‰₯Ξ± dan didefinisikan sebagai 𝐷𝛼 = {π‘₯ ∈ 𝑋|πœ‡π·(π‘₯) β‰₯ 𝛼} sehingga πœ‡π· β‰₯ 𝛼.

Oleh karena itu,  = πœ‡π·(π‘₯) sehingga Persamaan (3.1) dapat disajikan kedalam bentuk :

max  = πœ‡π·(π‘₯)

 = min {πœ‡πΊπ‘—(π‘₯), min

(5)

38

 = min{πœ‡πΊ1(π‘₯), … , πœ‡πΊπ‘›(π‘₯), πœ‡πΆ1(π‘₯), πœ‡πΆ2(π‘₯), … , πœ‡πΆπ‘š(π‘₯)}

Untuk mendapatkan elemen terbesar dari fuzzy decision, masing-masing dari fuzzy goal dan fuzzy constraint juga harus memiliki nilai  yang maksimum agar bernilai tegas. Persamaan (3.9)  merupakan nilai min {πœ‡πΊπ‘—(π‘₯), min

𝑖 (πœ‡πΆπ‘–(π‘₯))} dengan demikian diperoleh, πœ‡πΊ(π‘₯) β‰₯ min {πœ‡πΊπ‘—(π‘₯), min𝑖 (πœ‡πΆπ‘–(π‘₯))} πœ‡πΊ(π‘₯) β‰₯ dan πœ‡πΆπ‘–(π‘₯) β‰₯ min {πœ‡πΊ(π‘₯), min 𝑖 (πœ‡πΆπ‘–(π‘₯))} πœ‡πΆπ‘–(π‘₯) β‰₯, dengan, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š π‘₯ β‰₯ 0, 0 ≀  ≀ 1

Selanjutnya dengan menggunakan Persamaan (3.5), didapatkan Persamaan (3.10) sebagai berikut :

max πœ‡πΊ(π‘₯) β‰₯ βˆ‘π‘›π‘—=1𝑐𝑗π‘₯π‘—βˆ’π‘§π‘™ π‘§π‘’βˆ’π‘§π‘™ β‰₯ βˆ‘π‘›π‘—=1𝑐𝑗π‘₯𝑗 βˆ’ 𝑧𝑙 β‰₯ (π‘§π‘’βˆ’ 𝑧𝑙) (π‘§π‘’βˆ’ 𝑧𝑙) βˆ’ βˆ‘π‘›π‘—=1𝑐𝑗π‘₯𝑗+ 𝑧𝑙≀ 0 (3.10)

(6)

39

dan dengan menggunakan Persamaan (3.6), didapatkan Persamaan (3.11) sebagai berikut : πœ‡πΆπ‘–(π‘₯) β‰₯ π‘π‘–βˆ’ βˆ‘π‘›π‘—=1π‘Žπ‘–π‘—π‘₯𝑗 βˆ‘π‘›π‘—=1𝑑𝑖𝑗π‘₯𝑗 β‰₯  π‘π‘–βˆ’ βˆ‘ π‘Žπ‘–π‘—π‘₯𝑗 𝑛 𝑗=1 β‰₯(βˆ‘ 𝑑𝑖𝑗π‘₯𝑗 𝑛 𝑗=1 ) π‘π‘–βˆ’ (βˆ‘ π‘Žπ‘–π‘—π‘₯𝑗 𝑛 𝑗=1 βˆ’ο¬βˆ‘ 𝑑𝑖𝑗π‘₯𝑗 𝑛 𝑗=1 )β‰₯ 0 βˆ‘π‘›π‘—=1(π‘Žπ‘–π‘— +𝑑𝑖𝑗)π‘₯π‘—βˆ’ 𝑏𝑖 ≀ 0 (3.11) Metode fuzzy decisive set merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program linear fuzzy yang dikenalkan oleh Sakawa dan Yana (Gasimov, 2002). Metode ini berdasarkan pada bentuk transformasi program linear fuzzy ke bentuk tegas dengan menyertakan parameter . Bentuk non-konveks didapat pada langkah mengubah masalah program linear fuzzy ke bentuk tegas yang memuat perkalian  dan variabelnya. Menurut Ivokhin (2013), kendala pada persamaan (3.1) memuat perkalian π‘₯𝑗 yang berarti kendala tidak konveks. Solusi dari masalah ini menggunakan penyelesaian umum non konveks masalah optimisasi salah satunya dengan metode fuzzy decisive set.

(7)

40

3. Menentukan masalah optimasi menggunakan fuzzy decisive set dengan algoritma fuzzy decisive set sebagai berikut:

a. Langkah pertama dengan mengambil  = 1 untuk diselesaikan menggunakan metode simpleks.

Solusi layak merupakan solusi permasalahan yang memenuhi kendala dan memaksimalkan fungsi tujuan. Jika solusi layaknya ada (feasible set is nonempty) maka  = 1 merupakan nilai optimal. Jika solusi layaknya tidak ada (feasible set is empty) maka lanjut ke langkah kedua.

b. Langkah kedua nilai  =𝐿+𝑅

2 dengan 

𝐿 dan 𝑅

menggunakan metode bagi dua adalah:

𝐿=  jika solusi layak tidak kosong 𝑅=  jika solusi layak kosong

Nilai  baru yang dihasilkan kemudian dimasukkan ke persamaan yang selanjutnya diselesaikan menggunakan metode simpleks. Solusi dari metode simpleks yang didapatkan jika terdapat solusi layak tidak kosong maka tahap selanjutnya adalah dengan menggunakan  tersebut sebagai 𝐿 dan menggunakan 𝑅 yang sama dari iterasi sebelumnya untuk menghasilkan nilai  baru yang akan digunakan untuk iterasi berikutnya. Apabila terdapat solusi layak kosong, maka sebaliknya adalah dengan menggunakan  tersebut sebagai 𝑅 dan menggunakan 𝐿

(8)

41

Iterasi berhenti apabila solusi yang dihasikan pada dua iterasi terakhir adalah layak dengan selisih nilai  keduanya sudah sangat kecil dengan nilai Ξ΅ mendekati nilai 0. Selanjutnya untuk nilai ο¬βˆ— yang didapat pada iterasi terakhir dimasukkan ke persamaan dan diselesaikan menggunakan metode simpleks untuk mendapatkan penyelesaian yang optimal pada masalah program linear.

B. Aplikasi Program Linear dengan Koefisien Teknis Kendala Bilangan

Fuzzy pada Masalah Optimasi

Home Industri UD Firdaus memproduksi paving dan batako yang keduanya mempunyai bahan baku utama yang sama yaitu pasir dan semen. Proses produksi yang dilakukan di UD Firdaus tidak menggunakan bantuan mesin, sehingga tenaga manusia menjadi faktor utama dalam proses produksi. Paving memerlukan 1 jam 30 menit untuk mencampur bahan atau mengaduk bahan, 2 jam untuk mencetak adukan, dan 4 hari pengeringan hasil cetakan. Sedangkan batako memerlukan 1 jam untuk mengaduk bahan, 1 jam untuk mencetak adukan, dan 3 hari untuk pengeringan hasil cetakan. Dalam proses pengadukan, paving membutuhkan waktu yang lebih lama dikarenakan paving harus tercampur lebih rata dan halus dibandingkan dengan batako. Dalam proses pencetakan adukan, paving juga membutuhkan waktu yang lebih lama dikarenakan ukuran alat pencetak paving berbentuk segienam dan memiliki ukuran lebih kecil sehingga harus lebih berhati-hati dan teliti dibanding ukuran cetakan batako yang lebih besar dan berbentuk segiempat. Dalam proses pengeringan, paving membutuhkan waktu penjemuran lebih lama. Hal itu dikarenakan batako segera dapat digunakan

(9)

42

untuk membuat pondasi sedangkan paving tidak dapat dengan segera digunakan sebagai lantai yang fungsinya menopang berbagai beban di atasnya.

Dalam proses mengaduk bahan dan mencetak adukan, kedua hasil produksi memiliki kemungkinan memerlukan waktu yang lebih lama dari waktu yang sudah ditentukan. Hal itu dikarenakan tenaga manusia atau karyawan yang bekerja memiliki keterampilan yang berbeda-beda. Karyawan yang memiliki keterampilan baik, akan dengan mudah mengerjakan proses pengadukan dan pencetakan adukannya. Pada proses pengadukan, bahan baku harus tercampur secara merata, dan adukannya tidak boleh terlalu encer maupun terlalu keras. Sedangkan karyawan yang memiliki keterampilan kurang baik, contohnya dilihat dari faktor kondisi badan karyawan yang sedang tidak fit sehingga kinerjanya tidak maksimal, dan juga dari faktor karyawan yang tergolong karyawan baru. Hal ini akan memungkinankan bahwa hasil pengolahan bahan baku akan membutuhkan waktu sedikit lebih lama. Proses pengadukan paving dan batako pada UD Firdaus memiliki toleransi waktu pengerjaan 30 menit lebih lama. Pada proses pencetakan, paving memiliki toleransi waktu pengerjaan 1 jam dan batako memiliki toleransi waktu pengerjaan 30 menit.

Dalam proses pengeringan atau pengerasan cetakan, kedua hasil produksi juga memiliki kemungkinan memerlukan waktu yang lebih lama dari waktu yang sudah ditentukan. Cepat lambatnya cetakan agar kering secara merata, disebabkan oleh faktor cuaca. Jika hari panas, cetakan akan mudah kering, dan jika hari hujan, maka cetakan akan memerlukan waktu yang lebih lama dalam pengeringan. Dalam hal ini, proses pengeringan memiliki toleransi waktu kurang lebih 1 hari.

(10)

43

Dalam satu kali pengolahan bahan baku dengan tiga serangkaian proses pengadukan, pencetakan, dan pengeringan, paving yang dihasilkan sebanyak 150 biji sedangkan batako yang dihasikan sebanyak 80 biji. Satu biji paving memiliki keuntungan 100 rupiah dan 200 rupiah untuk batako. Sehingga Keuntungan paving per satu kali pengolahan adalah 150 𝑏𝑖𝑗𝑖 π‘₯ 100 π‘Ÿπ‘’π‘π‘–π‘Žβ„Ž = 15000 π‘Ÿπ‘’π‘π‘–π‘Žβ„Ž dan keuntungan batako per satu kali pengolahan adalah 80 𝑏𝑖𝑗𝑖 π‘₯ 200 π‘Ÿπ‘’π‘π‘–π‘Žβ„Ž = 16000 π‘Ÿπ‘’π‘π‘–π‘Žβ„Ž Bagaimana produksi harus dialokasikan untuk memaksimumkan keuntungan per satu kali pengolahan jika UD firdaus memiliki persediaan waktu 8 jam dalam satu hari kerja dimulai dari pukul 07.00-12.00 dan 13.00-16.00, 6 hari kerja dalam seminggu dan 24 hari kerja dalam satu bulan?

Tabel 3.1 Tabel Proses Produksi dan Keuntungan

Paving Batako Persediaan waktu Toleransi waktu (paving) Toleransi waktu (batako) Pengadukan 1,5 jam 1 jam 8 jam 0,5 jam 0,5 jam

Pencetakan 2 jam 1 jam 8 jam 1 jam 0,5 jam

Pengeringan 4 hari = 96 jam 3 hari = 72 jam 6x4= 24 hari = 576 jam 1 hari = 24 jam 1 hari = 24 jam Profit Rp 15000,- Rp 16000,-

(11)

44

Masalah disajikan ke dalam bentuk pertidaksamaan linear dengan menentukan batasan dari variabel keputusan dan menentukan fungsi tujuan yang akan dicapai dari variabel keputusan yang sudah ditentukan.

Untuk memformulasikan di atas dimisalkan:

π‘₯1adalah banyak pengolahan paving yang dilakukan π‘₯2adalah banyak pengolahan batako yang dilakukan

Oleh karena itu, perencanaan produksi di atas dapat dirumuskan dalam masalah program linear dengan koefisien teknis kendala bilangan fuzzy sebagai berikut: Memaksimalkan z = 15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 (3.12) dengan kendala : 1,5Μƒ π‘₯1+ 1Μƒπ‘₯2 ≀ 8 (3.13) 2Μƒπ‘₯1+ 1Μƒπ‘₯2 ≀ 8 (3.14) 4Μƒπ‘₯1+ 3Μƒπ‘₯2 ≀ 24 (3.15) Sehingga, π‘Žπ‘–π‘— = [ 1,5Μƒ 2Μƒ 1Μƒ 1Μƒ 4Μƒ 3Μƒ ] , 𝑑𝑖𝑗 = [ 0,5Μƒ 1Μƒ 0,5Μƒ 1Μƒ 1Μƒ 1Μƒ ] π‘Žπ‘–π‘—+ 𝑑𝑖𝑗 = [ 2Μƒ 3Μƒ 1,5Μƒ 2Μƒ 5Μƒ 4Μƒ ] dan 𝑏𝑖 = [ 8 8 24 ]

Bilangan 1,5Μƒ adalah bilangan fuzzy dengan fungsi keanggotaan linear turun (π‘₯: 1,5; 2). Begitu juga dengan bilangan fuzzy 1Μƒ, 2Μƒ, 1Μƒ, 4Μƒ, dan 3Μƒ dengan fungsi

(12)

45

keanggotaan masing-masing (π‘₯: 1; 1,5), (π‘₯: 2; 3), (π‘₯: 1; 2), (π‘₯: 4; 5), dan (π‘₯: 3; 4) secara berturut-turut.

Berdasarkan langkah untuk menyelesaikan masalah program linear fuzzy dengan koefisien teknis kendala berbentuk bilangan fuzzy, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Menentukan batas dari nilai yang optimal, yaitu 𝑧𝑙 dan 𝑧𝑒 yang didapat dari penyelesaian masalah program linear yang standar

Memaksimalkan𝑍1 = 15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 (3.16) dengan kendala, 1,5π‘₯1 + 1π‘₯2 ≀ 8 (3.17) 2π‘₯1+ 1π‘₯2 ≀ 8 (3.18) 4π‘₯1+ 3π‘₯2 ≀ 24 (3.19) dan memaksimalkan 𝑍2 = 15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 (3.20) dengan kendala, 2π‘₯1+ 1,5π‘₯2 ≀ 8 (3.21) 3π‘₯1+ 2π‘₯2 ≀ 8 (3.22) 5π‘₯1+ 4π‘₯2 ≀ 24 (3.23)

Dengan menggunakan matlab pada persamaan (3.16), (3.17), (3.18), dan (3.19) didapatkan output sebagai berikut:

π‘₯1= 0 π‘₯2= 8 𝑍1= 128000

(13)

46

dan pada persamaan (3.20), (3.21), (3.22), dan (3.23) didapatkan output sebagai berikut: π‘₯1= 0 π‘₯2= 4 𝑍2= 64000 Sehingga diperoleh, 𝑍𝑙 = min(𝑍1, 𝑍2) = min(128000,64000) = 64000 𝑍𝑒 = max(𝑍1, 𝑍2) = max(128000,64000) = 128000

2. Membawa masalah optimasi yang sudah ditentukan nilai batas atas dan batas bawah ke dalam bentuk fuzzy goal dan fuzzy constraint untuk mendapatkan fuzzy decision sebagai berikut:

a. Himpunan Fuzzy Goal

Menggunakan persamaan (3.5) diperoleh, πœ‡πΊ(π‘₯) = { 0 15000π‘₯1+16000π‘₯2βˆ’64000 128000βˆ’64000 1 , π‘—π‘–π‘˜π‘Ž 15000π‘₯1+ 16000π‘₯2< 64000 , π‘—π‘–π‘˜π‘Ž64000 ≀ 15000π‘₯1+ 16000π‘₯2< 128000 , π‘—π‘–π‘˜π‘Ž 15000π‘₯1+ 16000π‘₯2β‰₯ 128000 (3.24)

b. Himpunan Fuzzy Constraint

Menggunakan persamaan (3.6) diperoleh,

πœ‡πΆ1(π‘₯) = { 0 8βˆ’1,5π‘₯1βˆ’1π‘₯2 0,5π‘₯1+0,5π‘₯2 1 , 8 < 1,5π‘₯1+ 1π‘₯2 ,1,5π‘₯1+ 1π‘₯2 ≀ 8 < 2π‘₯1+ 1,5π‘₯2 , 8 β‰₯ 2π‘₯1 + 1,5π‘₯2 (3.25) πœ‡πΆ2(π‘₯) = { 0 8βˆ’2π‘₯1βˆ’1π‘₯2 1π‘₯1+1π‘₯2 1 , 8 < 2π‘₯1+ 1π‘₯2 ,2π‘₯1 + 1π‘₯2 ≀ 8 < 3π‘₯1+ 2π‘₯2 , 8 β‰₯ 3π‘₯1+ 2π‘₯2 (3.26)

(14)

47 πœ‡πΆ3(π‘₯) = { 0 24βˆ’4π‘₯1βˆ’3π‘₯2 1π‘₯1+1π‘₯2 1 , 24 < 4π‘₯1+ 3π‘₯2 ,4π‘₯1+ 3π‘₯2 ≀ 24 < 5π‘₯1+ 4π‘₯2 , 24 β‰₯ 5π‘₯1+ 4π‘₯2 (3.27)

c. Himpunan Fuzzy Decision

Menggunakan persamaan (3.24), (3.25), (3.26) dan (3.27) diperoleh bentuk lain dari masalah (3.12), (3.13), (3.14), dan (3.15) sebagai berikut:

max 15000π‘₯1+ 16000π‘₯2βˆ’ 64000 128000 βˆ’ 64000 β‰₯  8 βˆ’ 1,5π‘₯1βˆ’ 1π‘₯2 0,5π‘₯1+ 0,5π‘₯2 β‰₯  8 βˆ’ 2π‘₯1βˆ’ 1π‘₯2 1π‘₯1+ 1π‘₯2 β‰₯  24 βˆ’ 4π‘₯1βˆ’ 3π‘₯2 1π‘₯1+ 1π‘₯2 β‰₯  0 ≀ ≀ 1 π‘₯1, π‘₯2 β‰₯ 0 Atau ekuivalen dengan persamaan,

max 15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 β‰₯ 64000 + 64000 (0,5 + 1,5)π‘₯1+ (0,5 + 1)π‘₯2 ≀ 8 (1 + 2)π‘₯1+ (1 + 1)π‘₯2 ≀ 8 (1 + 4)π‘₯1+ (1 + 3)π‘₯2 ≀ 24 0 ≀ ≀ 1 π‘₯1, π‘₯2 β‰₯ 0

(15)

48 Sehingga didapatkan, max 15000π‘₯1+ 16000π‘₯2β‰₯ 64000 + 64000 (0,5 + 1,5)π‘₯1+ (0,5 + 1)π‘₯2 ≀ 8 (1 + 2)π‘₯1+ (1 + 1)π‘₯2 ≀ 8 (1 + 4)π‘₯1+ (1 + 3)π‘₯2 ≀ 24

3. Menyelesaikan masalah optimasi menggunakan fuzzy decisive set dengan algoritma fuzzy decisive set

1. Untuk = 1

15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 β‰₯ 128000 2π‘₯1+ 1,5π‘₯2 ≀ 8

3π‘₯1+ 2π‘₯2 ≀ 8 5π‘₯1+ 4π‘₯2 ≀ 24

Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿 = 0 dan 𝑅 = 1. Nilai baru  =𝐿+ 𝑅

2 =

0+1

2 = 0,5 digunakan untuk iterasi ke-2. 2. Untuk = 0,5

15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 β‰₯ 96000 1,75π‘₯1+ 1,25π‘₯2 ≀ 8

2,5π‘₯1+ 1,5π‘₯2 ≀ 8 4,5π‘₯1+ 3,5π‘₯2 ≀ 24

(16)

49

Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿 = 0 dan 𝑅 = 0,5. Nilai baru  =𝐿+ 𝑅

2 =

0+0,5

2 = 0,25 digunakan untuk iterasi ke-3 3. Untuk = 0,25

15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 β‰₯ 80000 1,625π‘₯1+ 1,125π‘₯2 ≀ 8

2,25π‘₯1+ 1,25π‘₯2 ≀ 8 4,25π‘₯1+ 3,25π‘₯2 ≀ 24

Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai 1 yang artinya himpunan layak tidak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿 = 0,25 dan 𝑅 = 0,5. Nilai baru  =

𝐿+ 𝑅

2 =

0,25+0,5

2 = 0,375 digunakan untuk iterasi ke-4

4. Untuk = 0,375

15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 β‰₯ 88000 1,6875π‘₯1+ 1,1875π‘₯2 ≀ 8

2,375π‘₯1+ 1,375π‘₯2 ≀ 8 4,375π‘₯1+ 3,375π‘₯2 ≀ 24

Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai 1 yang artinya himpunan layak tidak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿 =

(17)

50 0,375 dan 𝑅 = 0,5. Nilai baru  = 𝐿+ 𝑅 2 = 0,375+0,5 2 = 0,4375 digunakan untuk iterasi ke-5

5. Untuk = 0,4375

15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 β‰₯ 92000 1,7188π‘₯1+ 1,2188π‘₯2 ≀ 8 2,4375π‘₯1+ 1,4375π‘₯2 ≀ 8 4,4375π‘₯1+ 3,4375π‘₯2 ≀ 24

Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿 = 0,375 dan 𝑅 = 0,4375. Nilai baru  =𝐿+ 𝑅

2 =

0,375+0,4375

2 = 0,4063 digunakan untuk iterasi ke-6

6. Untuk = 0,4063

15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 β‰₯ 90003,2 1,7034π‘₯1+ 1,2034π‘₯2 ≀ 8 2,4063π‘₯1+ 1,4063π‘₯2 ≀ 8 4,4063π‘₯1+ 3,4063π‘₯2 ≀ 24

Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai 1 yang artinya himpunan layak tidak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿 = 0,4063 dan 𝑅 = 0,4375. Nilai baru  =𝐿+ 𝑅

2 =

0,4063+0,4375

2 = 0,4219

(18)

51 7. Untuk = 0,4219 15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 β‰₯ 91001,6 1,7110π‘₯1+ 1,2110π‘₯2 ≀ 8 2,4219π‘₯1+ 1,4219π‘₯2 ≀ 8 4,4219π‘₯1+ 3,4219π‘₯2 ≀ 24

Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿= 0,4063

dan 𝑅 = 0,4219. Nilai baru  =

𝐿+ 𝑅

2 =

0,4063+0,4219

2 = 0,4141

digunakan untuk iterasi ke-8. 8. Untuk = 0,4141

15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 β‰₯ 90502,4 1,7071π‘₯1+ 1,2071π‘₯2 ≀ 8 2,4141π‘₯1+ 1,4141π‘₯2 ≀ 8 4,4141π‘₯1+ 3.4141π‘₯2 ≀ 24

Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai 1 yang artinya himpunan layak tidak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿 = 0,4141 dan 𝑅 = 0,4219. Nilai baru  =𝐿+ 𝑅

2 =

0,4141+0,4219

2 = 0,4180

digunakan untuk iterasi ke-9. 9. Untuk = 0,4180

(19)

52

1,7090π‘₯1+ 1,2090π‘₯2 ≀ 8 2,4180π‘₯1+ 1,4180π‘₯2 ≀ 8 4,4180π‘₯1+ 3,4180π‘₯2 ≀ 24

Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿

= 0,4141 dan 𝑅 = 0,4180. Nilai baru  = 

𝐿

+ 𝑅

2 =

0,4141+0,4180

2 = 0,4161

digunakan untuk iterasi ke-10. 10. Untuk = 0,4161

15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 β‰₯ 90630,4 1,7081π‘₯1+ 1,2081π‘₯2 ≀ 8 2,4161π‘₯1+ 1,4161π‘₯2 ≀ 8 4,4161π‘₯1+ 3,4161π‘₯2 ≀ 24

Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿

= 0,4141 dan 𝑅 = 0,4161. Nilai baru  = 

𝐿+ 𝑅

2 =

0,4141+0,4161

2 = 0,4151

digunakan untuk iterasi ke-11. 11. Untuk = 0,4151

15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 β‰₯ 90566,4 1,7076π‘₯1+ 1,2076π‘₯2 ≀ 8 2,4151π‘₯1+ 1,4151π‘₯2 ≀ 8

(20)

53

4,4151π‘₯1+ 3,4151π‘₯2 ≀ 24

Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿= 0,4141

dan 𝑅 = 0,4151. Nilai baru  = 

𝐿+ 𝑅

2 =

0,4141+0,4151

2 = 0,4146

digunakan untuk iterasi ke-12. 12. Untuk = 0,4146

15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 β‰₯ 90534,4 1,7073π‘₯1+ 1,2073π‘₯2 ≀ 8 2,4146 π‘₯1+ 1,4146 π‘₯2 ≀ 8 4,4146 π‘₯1+ 3,4146 π‘₯2 ≀ 24

Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿= 0,4141

dan 𝑅 = 0,4146. Nilai baru  = 

𝐿+ 𝑅

2 =

0,4141+0,4146

2 = 0,4144

digunakan untuk iterasi ke-13. 13. Untuk = 0,4144

15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 β‰₯ 90521,6 1,7072π‘₯1+ 1,2072π‘₯2 ≀ 8 2,4144π‘₯1+ 1,4144π‘₯2 ≀ 8 4,4144π‘₯1+ 3,4144π‘₯2 ≀ 24

(21)

54

Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿= 0,4141

dan 𝑅 = 0,4144. Nilai baru  =

𝐿+ 𝑅

2 =

0,4141+0,4144

2 = 0,4143

digunakan untuk iterasi ke-14. 14. Untuk = 0,4143

15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 β‰₯ 90515,2 1,7072π‘₯1+ 1,2072π‘₯2 ≀ 8 2,4143π‘₯1+ 1,4143π‘₯2 ≀ 8 4,4143π‘₯1+ 3,4143π‘₯2 ≀ 24

Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai -2 yang artinya himpunan layak kosong. Dengan demikian, ditentukan 𝐿= 0,4141

dan 𝑅 = 0,4143 . Nilai baru  =𝐿+ 𝑅

2 =

0,4141+0,4143

2 = 0,4142

digunakan untuk iterasi ke-15. 15. Untuk = 0,4142

15000π‘₯1+ 16000π‘₯2 β‰₯ 90508,8 1,7071π‘₯1+ 1,2071π‘₯2 ≀ 8 2,4142π‘₯1+ 1,4142π‘₯2 ≀ 8 4,4142π‘₯1+ 3,4142π‘₯2 ≀ 24

(22)

55

Dengan menggunakan function linprog di matlab, dan script lengkap terlampir di lampiran 1, diperoleh output yaitu exitflag bernilai 1 yang artinya himpunan layak tidak kosong.

Pada iterasi ke 15 sudah menunjukkan bahwa hasil output memiliki solusi layak atau himpunan layak tidak kosong dengan nilai exitflag sama dengan 1 dan nilai π‘₯1 = 0, π‘₯2 = 5,6569 dan nilai 𝑧 = 90511,1719.

Figur

Tabel 3.1 Tabel Proses Produksi dan Keuntungan

Tabel 3.1

Tabel Proses Produksi dan Keuntungan p.10

Referensi

Memperbarui...

Related subjects :