Penyelesaian Program Bilangan Bulat Campuran Dua Kriteria dengan Menggunakan Metode Branch and Cut

(1)

PENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN

DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN

METODE BRANCH AND CUT

SKRIPSI

TAUFIK HIDAYAT RITONGA

110803028

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

PENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN

DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN

METODE BRANCH AND CUT

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains

TAUFIK HIDAYAT RITONGA

110803028

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

PERSETUJUAN

Judul : Penyelesaian Program Bilangan Bulat Campuran

Dua Kriteria dengan Menggunakan Metode

Branch and Cut

Kategori : Skripsi

Nama : Taufik Hidayat Ritonga

Nomor Induk Mahasiswa : 110803028

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

(FMIPA) Universitas Sumatera Utara

(4)

PERNYATAAN

PENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN

METODE BRANCH AND CUT

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Januari 2015

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT Yang Maha Esa dan Kuasa

atas limpahan rahmat dan karuniaNYA sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.

Pada skripsi ini, penulis mengangkat judul Penyelesaian Program Bilangan Bulat

Campuran Dua Kriteria dengan Menggunakan Metode Branch and Cut.

Terimakasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT

selaku pembimbing 1 dan Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si selaku pembimbing

2 yang berkenan dan rela mengorbankan waktu, tenaga dan pikiran guna

memberikan petunjuk dan bimbingannya dalam penulisan skripsi ini. Bapak Dr.

Suyanto, M.Kom dan Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si selaku dosen penguji

yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan

skripsi ini. Terimakasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr.

Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA

USU. Terimakasih kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA

USU, Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh Staff dan Dosen Matematika

FMIPA USU, pegawai FMIPA USU, untuk orang–orang tersayang khususnya

sahabat penulis Franklin, Joe, Nana, Amik, Endang, Lely, Bang Andi, Kak

Rizkika, Kak Mila, Kak Retno, Kak Huide dan seluruh rekan-rekan Matematika

2011 yang tidak bisa diucapkan satu per satu serta semua abang dan kakak senior

stambuk 2010 keatas dan adik-adik junior stambuk 2012, stambuk 2013, stambuk

2014 yang selama ini selalu memberi semangat dan mendo’akan dalam

menyelesaikan skripsi ini. Akhirnya tidak terlupakan kepada Ayahanda tercinta

Zulkifli Ritonga, Ibunda tercinta Hj. Asmi Derimi Dongoran, serta saudara–

saudara penulis yang tersayang Erlina Ritonga, Amd, Safrizal Ritonga, Siti Paisah

Ritonga, Erwinsyah Rambe, Abdul Rahman Tambak, Hari Abdi Rambe dan

Habib Rahman Rambe serta keluarga dari Ayah dan Mama atas segala perhatian,

pengertian, kesabaran, do’a, dukungan dan kasih sayang yang telah diberikan

kepada penulis selama di bangku perkuliahan hingga akhirnya menyelesaikan

(6)

Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini, baik

dalam teori maupun penulisannya. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran

dari pembaca demi perbaikan bagi penulis. Semoga segala bentuk bantuan yang

telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Allah

SWT. Akhir kata penulis berharap semoga tulisan ini bermanfaat bagi para

(7)

PENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN

METODE BRANCH AND CUT

ABSTRAK

Metode branch and cut merupakan suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah linear programming yang menghasilkan berupa penyelesaian dalam bentuk bilangan bulat (integer), metode ini merupakan perpaduan metode branch and bound dengan metode cutting plane. Metode ini selalu digunakan dalam menyelesaikan permasalahan single objective linear

integer programming. Dalam tulisan ini akan ditunjukkan suatu permasalahan dua

kriteria (bicriteria) yang diselesaikan dengan metode branch and cut.

Permasalahan tersebut disebut bicriteria linear programming. Dalam

menyelesaikan permasalahan ini penulis menggunakan parametric simplex

algorithm kemudian diiringi dengan metode branch and cut apabila tidak

diperoleh suatu penyelesaian yang tidak berupa bilangan bulat (integer).

Kata Kunci: Branch and cut, branch and bound, cutting plane, bicriteria linear

programming, parametric simplex algorithm

(8)

SOLVING BICRITERIA MIXED INTEGER PROGRAMMING USING BRANCH AND CUT METHOD

ABSTRACT

Branch and cut method is a method that used to solve linear programming problems that deliver the solution in integer form, this method is a mix of branch and bound method with the cutting plane method. This method is always used in a single objective problem to solve integer linear programming. A bicriteria problems that solved by the branch and cut method will be shown in this paper. These problems are called bicriteria linear programming. The writer use simplex parametric algorithm to solving this problem then followed by the branch and cut method, if not obtained a solution that is not an integer.

(9)

DAFTAR ISI

1.7 Metodologi Penelitian 7

BAB 2 LANDASAN TEORI 8

2.1 Program Linier 8

2.1.1 Syarat Utama Program Linier 9

2.1.2 Karakterisrik Program Linier 10

2.1.3 Asumsi dalam Program Linier 11

2.1.4 Metode Simpleks 12

2.2 Program Bilangan Bulat 14

2.2.1 Program Bilangan Bulat Murni

(Pure Integer Programming) 15

2.2.2 Program Bilangan Bulat Campuran

(Mixed Integer Programming) 15

2.2.3 Program Bilangan Bulat Biner

(Binary Integer Programming) 16

2.3 Metode Penyelesaian Masalah Program Bilangan Bulat 17

2.3.1 Metode Pendekatan Grafik 17

2.3.2 Metode Cutting Plane 18

2.3.3 Metode Branch and Bound 25

BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 36

3.1 Program Linier Dua Kriteria 36

3.2 Metode Branch and Cut 38

(10)

dengan Menggunakan Metode Branch and Cut 40 3.4 Penyelesaian Contoh Kasus Program Bilangan Bulat

Dua Kriteria dengan Menggunakan Metode Branch and Cut 45

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 61

4.1 Kesimpulan 61

4.2 Saran 61

DAFTAR PUSTAKA 62

(11)

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

2.1 Bentuk Tabel Simpleks Program Linier 13

2.2 Solusi Optimum Masalah Program Linier 19

2.3 Penambahan Kendala Gomory 21

2.4 Solusi Optimum Contoh 2.2 22

2.5 Penambahan Kendala Gomory Pertama 23

2.6 Solusi Optimum dengan Penambahan Kendala Gomory

Pertama 23

2.7 Penambahan Kendala Gomory Kedua 24

2.8 Solusi Optimum dengan Penambahan Kendala Gomory

Kedua 24

3.1 Bentuk Tabel Simpleks Program Linier Dua Kriteria 38

3.2 Bahan Baku dan Jumlah Persediaan Bahan Baku 46

3.3 Bahan Baku Pembuatan Satu Bungkus dan Jumlah Persediaan

Bahan Baku Tipang 46

3.3 Waktu Proses Produksi Satu Jenis Tipang 47

3.3 Pendapatan Penjualan dan Biaya Produksi pada Pembuatan

(12)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

2.1 Penyelesaian Program Bilangan Bulat dengan

Pendekatan Grafik 18

2.2 Diagram Prosedur Permasalahan dengan Metode

Branch and Bound 35

3.1 Diagram Penyelesaian Permasalahan Program Linier

Dua Kriteria dengan Metode Branch and Cut 45

3.2 Diagram Penyelesaian Contoh Kasus Permasalahan

Program Linier Dua Kriteria dengan

(13)

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Halaman

Lamp

1 Pembahasan Masalah Program Linier Dua Kriteria

Menggunakan Parametric Simplex Algorithm 64

dengan Menerapkan Percabangan (Branch) 67

dengan Menerapkan Pemotongan (Cut) 73

dengan Menerapkan Pemotongan (Cut) 76

6 Pembahasan Contoh Kasus Program Linier Dua Kriteria

Menggunakan Parametric Simplex Algorithm 79

7 Pembahasan Contoh Kasus Program Linier Dua Kriteria