149
Permasalahan program linear bilangan bulat muncul ketika kita harus memutuskan jumlah barang yang kita perlukan berbentuk bilangan bulat, seperti menentukan banyaknya mesin untuk suatu pabrik, banyaknya foto copy untuk layanan di suatu kantor, banyaknya komputer di suatu ruangan untuk mengerjakan sejumlah pekerjaan, banyaknya orang yang mengerjakan suatu proyek, dan sebagainya. Tidaklah mungkin banyaknya mesin giling padi di suatu pabrik 2,38 buah untuk menggiling padi di suatu wilayah tertentu, keputusan akan menjadi 3 buah, atau 2 buah dengan kerja lembur, dan sebagainya.
Program linear bilangan bulat dikatakan pure integer programming (program linear bilangan bulat murni) apabila semua variabel adalah bilangan bulat. Ada kalanya sebagian variabel bukan bilangan bulat, bisa jadi sebagian variabel bilangan real. Bilamana variabelnya bilangan bulat dan bilangan biner (nol, satu), maka masalah program linear ini disebut mix integer programming (program linear bilangan bulat campuran) atau program linear bilangan bulat nol satu (zero one integer programming). Masalah zero one integer programming biasanya digunakan untuk pengambilan keputusan. Bernilai 1 bila harus melakukan suatu pekerjaan (menerima keputusan) dan bernilai 0 berarti harus menolak suatu pekerjaan (keputusan).
Untuk lebih jelasnya marilah kita lihat beberapa contoh masalah berikut: Masalah 1 Maksimumkan Z =100x1+90x2 Dengan pembatas: 0 , 0 50 10 5 70 7 10 2 1 2 1 2 1 ≥ ≥ ≤ + ≤ + x x x x x x Masalah 2 Minimumkan Z =200x1+400x2 Dengan pembatas: 0 , 0 12 2 3 100 25 10 2 1 2 1 2 1 ≥ ≥ ≥ + ≥ + x x x x x x
Masalah 3 Maksimumkan Z =80x1+100x2 0 , 0 16 5 15 2 4 2 1 2 1 2 1 ≥ ≥ ≤ + ≤ + x x x x x x 16 5 2 1 + x ≤ x
Selanjutnya apabila kita hitung dengan metode simpleks dengan bilangan real, maka kita peroleh:
Masalah 1 Masalah 2 Masalah 3
15 . 746 31 . 2 38 . 5 2 1 = = = Z x x 73 . 672 , 1 27 . 3 82 . 1 2 1 = = = Z x x 3333 . 463 722222 . 2 388889 . 2 2 1 = = = Z x x
Misalnya kita diminta untuk menjawab dengan bilangan bulat, kemudian kita bulatkan begitu saja, misalnya menjadi:
Masalah 1 Masalah 2 Masalah 3
680 2 5 2 1 = = = Z x x layak tak Z x x = = = 3 2 2 1 layak tak Z x x = = = 3 2 2 1
Pembulatan yang dilakukan begitu saja, akan mengakibatkan solusi tidak optimal, bahkan dapat menghasilkan jawaban yang tak layak (tidak masuk dalam jawaban yang mungkin). Oleh karena itu pembulatan pada program linear bilangan bulat tidak sesederhana membulatkan menjadi bilangan bulat. Sebab beberapa persyaratan mesti dipenuhi.
Pada masalah diatas bila kita lakukan dengan program linear bilangan bulat akan menghasilkan jawaban:
Masalah 1 Masalah 2 Masalah 3 700 0 7 2 1 = = = Z x x 800 , 1 2 , 5 3 , 3 2 1 2 1 = = = = = Z x x atau x x 360 3 1 2 1 = = = Z x x
Bagaimana cara menentukan solusi program linear bilangan bulat?
Ada beberapa cara untuk menentukan (menghitung) solusi program linear bilangan bulat, antara lain: metode grafik, metode cutting plan algorithm, metode branch and bound, dan penyelesaian dengan program komputer. Pada kajian di sini hanya akan dibahas dua cara yaitu metode branch and bound, dan penyelesaian dengan program komputer.
1. Metode Branch and Bound
Metode branch and bound mempunyai beberapa langkah:
1. Selesaikan masalah program linear dengan metode biasa (simpleks) yaitu dengan bilangan real (biasa).
2. Teliti solusi optimumnya. Apabila variabel basis yang diharapkan berbentuk bilangan bulat, maka pekerjaan telah selesai. Solusi itu adalah solusi optimum. Tetapi bila solusinya bukan bilangan bulat, maka lakukan langkah selanjutnya. 3. Nilai solusi yang tidak bulat yang layak dicabangkan ke dalam sub-sub masalah,
dengan tujuan untuk menghilangkan solusi yang tidak memenuhi persyaratan bilangan bulat. Pencabangan ini dilakukan dengan kendala-kendala mutually exclusive yang perlu untuk memenuhi persyaratan bulat.
4. Untuk setiap sub masalah, nilai solusi optimum kontinu (tak bulat) fungsi tujuan dijadikan sebagai batas atas. Solusi bulat terbaik menjadi batas bawah (pada awalnya ini adalah solusi kontinu yang dibulatkan kebawah). Sub-sub masalah yang mempunyai batas atas kurang dari batas bawah yang ada tidak diikut sertakan dalam analisis selanjutnya. Suatu solusi bulat, layak adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk semua sub masalah yang dicari. Jika solusi
demikian ada, suatu sub masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan, kemudian kembali ke langkah 3.
Untuk melihat lebih jelas, kita perhatikan contoh berikut: Maksimumkan Z =150x1+175x2 Dengan pembatas: 0 , 0 87 4 8 99 8 6 2 1 2 1 2 1 ≥ ≥ ≤ + ≤ + x x x x x x
Dengan metode simpleks biasa atau metode grafik, maka diperoleh.
2205 75 . 6 5 . 7 2 1 = = = Z x x
Masalah diatas dicabang menjadi 3 bagian yaitu:
Bagian 1. Bagian 2. Bagian 3.
0 , 0 6 7 2 1 2 1 ≥ ≥ ≤ ≤ x x x x 87 4 8 0 , 8 2 1 2 1 ≤ + ≥ ≥ x x x x 99 8 6 7 , 0 2 1 2 1 ≤ + ≥ ≥ x x x x
Nampak disamping bahwa semua solusi bilangan pecah (tidak bulat) maka harus kita lakukan pencabangan.
Bagian 1
Pada bagian 1 memberikan batas bawah (7,6) dengan Z = 150 • 7 + 175 • 6 = 2100
Bagian 2
Pada bagian 2 memberikan batas atas (8,5) dengan Z = 150•8 + 175•5=2075 (dibawah batas bawah).
Pada bagian 3 memberikan batas atas (7,7) dan (0,12) yang memberikan nilai 2100 12 . 175 0 . 150 , 2170 7 . 175 7 . 150 2 1= + = Z = + = Z
Dari perhitungan diatas, terlihat bahwa nilai maksimum tercapai pada titik (7,7) dengan nilai Z = 2170.
Jadi solusi program linear bilangan bulat diatas adalah 170 . 2 , 7 , 7 2 1 = x = denganZ = x .
2. Penyelesaian Program Linear Bilangan Bulat dengan Program Lindo
Untuk menyelesaikan masalah diatas dengan komputer, dalam hal ini kita gunakan program lindo, maka masalah tersebut kita tuliskan pada papan lindo sebagai berikut:
Apabila masalah program linear yang tidak harus bilangan bulat kita tuliskan dengan, Max 150x1+175x2
Subject to 6x1+8x2<=99 8x1+4x2<=87 End
Sedangkan untuk masalah program linear bilangan bulat, kita tambahkan gin x1 dan gin x2 untuk memberitahu bahwa x1 adalah bilangan bulat, dan x2 juga bilangan bulat. Atau langsung ditulis dengan gin 2. Sehingga program menjadi:
Max 150x1+175x2 Subject to 6x1 + 8x2 <= 99 8x1 + 4x2 <= 87 End Gin x1 Gin x2
atau cukup ditulis dengan max 150x1+175x2 subject to 6x1+8x2<=99 8x1+4x2<=87 end gin 2
Maka setelah program Lindo dijalankan akan diperoleh hasil keluaran seperti berikut:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE VALUE = 2306.25000
NEW INTEGER SOLUTION OF 2275.00000 AT BRANCH 0 PIVOT 2
BOUND ON OPTIMUM: 2275.000
ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 2 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND
RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 2275.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 7.000000 -150.000000 X2 7.000000 -175.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1.000000 0.000000 3) 3.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2
BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0
Dari hasil diatas dapat dilihat bahwa, solusi tercapai dengan Z = 2.275, dengan X1 = 7, dan X2 = 7.
3. Penyelesaian Program Linear Bilangan Bulat dengan Program Solver
Untuk menyelesaikan Masalah program linear bilangan bulat Dengan solver prinsipnya sama dengan penyelesaian program linear, hanya ditambah syarat (constrain) yaitu sel banyaknya barang adalah bilangan bulat (integer), maka program awal yang kita isikan ke dalam Excel adalah sebagai berikut.
Program awal pada lembar kerja Excel.
Setelah menjalankan Solver dengan mengisi Parameter Solver berikut.
Tabel Kebutuhan Bahan Barang (Variabel) Pembatas Barang 1 Barang 2 Bahan 1 6 8 99 Bahan 2 8 4 87 Koef. fungsi Tujuan 150 175 Banyaknya 7 7
Bahan yang dipakai
Barang
Barang 1 Barang 2 Dipakai
Bahan 1 42 56 98
Bahan 2 56 28 84
Fungsi Tujuan 2275
Hasil di atas menunjukkan bahwa Z optimal terjadi pada x1 = 7, dan x2 = 7 dengan Z = 2275.
Pengerjaan dengan program Lingo diserahkan kepada pembaca.
Pengerjaan dengan cara konvensional memerlukan waktu yang cukup lama dan cukup sukar, apalagi apabila banyaknya variabel banyak. Sebagai contoh perhatikan masalah berikut.
Sebuah Home Industri “Dynamics Bag Collection” membuat lima macam barang, yaitu Tas Remaja, Tas Ibu-ibu, Tas Sekolah, Dompet Wanita, dan Dompet Pria. Kebutuhan bahan, harga bahan, harga jual, biaya tenaga setiap harinya adalah sebagai berikut:
Tabel Kebutuhan Bahan, Persediaan bahan dan Harga Barang
.Pengerjaan secara konvensional hampir tidak mungkin dilakukan, karena menyangkut lima buah variabel.
Masalah ini apabila dikerjakan dengan Solver, maka akan diperoleh hasil berikut. Bahan keperluan
Bahan -bahan
Tas
Remaja Tas Ibu-ibu
Tas Sekolah Dompet Wanita Dompet Pria Persediaan Imitasi 4 5 6 1 1 65 Benang 2 3 3 1 1 25 Resliting 2.5 3.6 2.8 0.5 0.25 90 Lem Latex 0.75 0.5 0 0.25 0.25 7 Lem PC 0.25 0.2 0 0.2 0.2 3 Furing 2.5 7 0 1.25 1 34 Asesoris 36 24 0 10 0 198 Bahan - bahan Tas Remaja Tas Ibu-ibu Tas Sekolah Dompet Wanita Dompet Pria Persediaan Imitasi 4 m 5 m 6 m 1 m 1 m 65 m
Benang 2 rol 3 rol 3 rol 1 rol 1 rol 25 rol
Resliting 2,5 m 3,6 m 2,8 m 0,5 m 0,25 m 90 m
Lem Latex 0,75 kg 0,5 kg 0 0,25 kg 0,25 kg 7 kg
Lem PC 0,25 kg 0,2 kg 0 0,2 kg 0,2 kg 3 kg
Furing 2,5 m 7 m 0 1,25 m 1 m 34 m
Asesoris 36 buah 24 buah 0 10 buah 0 198 buah
Karton 5 lbr 1 lbr 0 0 0 20 lembar
Busa 3 m 5 m 0 0 0 30 m
Harga jual
Karton 5 1 0 0 0 20 Busa 3 5 0 0 0 30 Harga jual (rupiah) 276 300 276 144 123 Banyaknya 2 0 3 12 0
Bahan yang terpakai
Bahan - bahan Tas Remaja Tas Ibu-ibu Tas Sekolah Dompet Wanita Dompet Pria Digunakan Sisa bahan Imitasi 8 0 18 12 0 38 27 Benang 4 0 9 12 0 25 0 Resliting 5 0 8.4 6 0 19.4 70.6 Lem Latex 1.5 0 0 3 0 4.5 2.5 Lem PC 0.5 0 0 2.4 0 2.9 0.1 Furing 5 0 0 15 0 20 14 Asesoris 72 0 0 120 0 192 6 Karton 10 0 0 0 0 10 10 Busa 6 0 0 0 0 6 24 Penghasilan kotor 3108
Hasil ini menunjukkan bahwa Home Industri tersebut harus membuat 2 tas remaja, 3 tas sekolah, dan 12 dompet wanita. Dengan pendapatan kotor Rp 3.108.000,-.
Apabila kita cermati hasil di atas, khususnya bahan yang tersisa, maka kekurangan bahan yang menonjol adalah benang dan Lem PC yang kedua bahan tersebut harganya murah dan mudah di dapat. Oleh karena itu ada baiknya persediaan kedua bahan tersebut ditambah.
Misalkan benang kita tambah menjadi 50 dan Lem PC kita tambah menjadi 7, maka apabila kita selesaikan akan menghasilkan pendapatan yang cukup melonjak.
Bahan keperluan Bahan - bahan Tas Remaja Tas Ibu-ibu Tas Sekolah Dompet Wanita Dompet Pria Persediaan Imitasi 4 5 6 1 1 65 Benang 2 3 3 1 1 50 Resliting 2.5 3.6 2.8 0.5 0.25 90 Lem Latex 0.75 0.5 0 0.25 0.25 7 Lem PC 0.25 0.2 0 0.2 0.2 7 Furing 2.5 7 0 1.25 1 34 Asesoris 36 24 0 10 0 198 Karton 5 1 0 0 0 20 Busa 3 5 0 0 0 30 Harga jual (rupiah) 276 300 276 144 123 Banyaknya 0 0 6 19 9
Bahan yang terpakai Bahan - bahan Tas Remaja Tas Ibu-ibu Tas Sekolah Dompet Wanita Dompet Pria Digunakan Sisa bahan Imitasi 0 0 36 19 9 64 1 Benang 0 0 18 19 9 46 4 Resliting 0 0 17 10 2 29 61 Lem Latex 0 0 0 5 2 7 0 Lem PC 0 0 0 4 2 6 1 Furing 0 0 0 24 9 33 1 Asesoris 0 0 0 190 0 190 8 Karton 0 0 0 0 0 0 20 Busa 0 0 0 0 0 0 30 Penghasilan kotor 5499
Kita perhatikan pendapatan menjadi Rp 5.499.000,--. Yaitu dengan membuat 9 tas sekolah, 19 dompet wanita, dan 9 dompet pria. Sebuah kenaikan penghasilan yang luar biasa.
Bagaimana kalau Home Industri tersebut sekurang-kurangnya membuat 2 tas wanita dan 3 tas ibu-ibu?
Untuk menyelesaikan masalah ini, cukup menambah pada constrais sel tas remaja >= 2 dan sel tas ibu-ibu >= 3 seperti berikut.
Hasil terakhir menyarankan untuk membuat 2 tas ramaja, 3 tas ibu-ibu, 6 tas sekolah, 4 dompet wanita, dan 2 dompet pria, dengan penghasilan kotor Rp 3.930.000,--.
Penyelesaian masalah dengan Lindo maupun Lingo diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Soal-soal
1. Seorang Pasien di rumah sakit setiap harinya memerlukan tiga macam zat, sebut saja zat A, zat B, dan zat C, berturut-turut paling sedikit sebanyak 16 satuan, 18 satuan, dan 17 satuan. Zat-zat tersebut terdapat dalam tiga macam obat yaitu obat P, obat Q, dan obat R. Setiap obat P mengandung 2 zat A, 1 zat B, dan 2 zat C. Setiap obat Q mengandung 4 zat A, 1 zat B, dan 1 zat C. Dan setiap obat R mengandung 1 zat A, 3 zat B, dan 2 zat C. Harga obat P, obat Q, dan obat R berturut-turut Rp 1000, Rp 1500, dan Rp 1250.
Tentukan banyaknya masing-masing obat untuk memenuhi kebutuhan pasien tersebut agar dicapai biaya minimum.
2. Perusahaan mobil akan mengeksport 400 mobil model A, dan 500 mobil model B. Mobil model A memerlukan tempat 12 m3 dan mobil model B memerlukan tempat 15 m3. Pada jadwal pelayaran terdapat tiga pengangkutan yaitu pada awal bulan Januari, pertengahan bulan Februari dan akhir bulan Maret. Ada pengangkutan pertama hanya membuat mobil model A dengan biaya Rp 450.000,- tiap-tiap mobil. Pada pengangkutan mobil yang kedua dan ketiga membawa kedua model tersebut dengan biaya angkut berturut-turut Rp 35.000,- dan Rp 40.000,- tiap meter kubik. Kapasitas kapal pertama hanya 200 mobil. Pengangkitan kedua dan ketiga berturut-turut sebesar 4500 dan 6000 meter kubik. Pada pertengahan Februari harus terkirim sekurang-kurangnya 250 mobil model A, dan 300 mobil model B. Buatlah model pengangkutan agar diperoleh biaya transportasi minimal.
3. Rapi Alumunium adalah pengusaha kecil yang membuat beberapa barang yang berbasis alumunium. Kebutuhan bahan dan persediaan, serta harga jual terlihat pada tabel berikut ini:
Jenis barang dan bahan Meja Setrika Jemuran handuk sayap Jemuran handuk engkel Rak Piring Jemuran Pakaian Persediaan Alumunium □ 1” x 1” 650 cm 1780 cm 1386 cm 24000 cm Alumunium □ 1” x ½ ” 234 cm 12000 cm Alumunium □ 3/4” x 3/4” 80 cm 756 cm 654 cm 36000 cm Alumunium ○ 3/8” 75 cm 639 cm 60000 cm Alumunium ○ 3/4” 27 cm 570 cm 298 cm 2540 cm 60000 cm Alumunium ○ 5/8” 2214 cm 60000 cm Alumunium Lis M 3/4” 360 cm 640 cm 400 cm 30000 cm Alumunium Lis M 1” 660 cm 640 cm 30000 cm Karet Plane 360 cm 640 cm 400 cm 660 cm 640 cm 70000 cm Karet Sepatu 25 x 25 4 bh 4 bh 4 bh 250 bh Karet Sepatu O 4 bh 4 bh 250 bh Partikel 2800 cm2 60000 cm2
Busa 2800 cm2 24000 cm2 Kain 2800 cm2 50000 cm2 Tripek Melamin 6000 cm 2 60000 cm2 Alumunium Gate Rel 20 cm 500 cm Alumunium Rel 21 cm 600 cm Alumunium U 3/8” 162 cm 3000 cm Plat Alumunium 90 cm 1000 cm Spigot 130 cm 3000 cm Harga satuan Barang 157.000 125.000 100000 315.000 270.000
