PENYELESAIAN MASALAH PENUGASAN FUZZY SEGITIGA DENGAN METODE CENTROID KARYA ILMIAH OLEH JOHN PERSON SIREGAR NIM

PENYELESAIAN MASALAH PENUGASAN FUZZY SEGITIGA DENGAN METODE CENTROID

KARYA ILMIAH

OLEH

JOHN PERSON SIREGAR NIM. 1703122652

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU 2021

PENYELESAIAN MASALAH PENUGASAN FUZZY SEGITIGA DENGAN METODE CENTROID

John Person Siregar

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

john.person3154@student.unri.ac.id

ABSTRACT

This article discusses the solution of assignment problem in the form of triangular fuzzy numbers that converted into crisp numbers, by using centroid method as ranking function. Then, the assignment problem in the form of crisp numbers is completed by using the Hungarian method, so that the solution that obtained from this method is used to properly place workers in order to minimize the total fuzzy assignment cost and total fuzzy time.

Keywords: Fuzzy number, assignment problem, triangular fuzzy assignment problem, centroid method, Hungarian method

ABSTRAK

Artikel ini membahas penyelesaian masalah penugasan dalam bentuk bilangan fuzzy segitiga yang diubah menjadi bilangan tegas, dengan menggunakan metode centroid sebagai fungsi ranking. Kemudian masalah penugasan dalam bentuk bilangan tegas diselesaikan dengan metode Hungarian, sehingga solusi yang diperoleh dari metode ini digunakan untuk menempatkan pekerja secara efisien dalam meminimalkan total biaya penugasan bilangan fuzzy dan total waktu bilangan fuzzy.

Kata kunci: Bilangan fuzzy, masalah penugasan, masalah penugasan fuzzy segitiga, metode centroid, metode Hungarian

1. PENDAHULUAN

Masalah penugasan merupakan bentuk khusus masalah pemrograman linear dalam pengalokasian objek untuk melaksanakan suatu tugas yang bertujuan untuk meminimumkan biaya, waktu dan sebagainya ataupun memaksimumkan keun- tungan. Bentuk umum dari masalah penugasan dapat dirumuskan sebagai berikut [2, h. 5]:

min z =

n

X

i=1 n

X

j=1

c_ijx_ij, (1)

kendala

n

X

j=1

x_ij = 1, i= 1,2,. . . ,n, (2)

n

X

i=1

xij = 1, j= 1,2,. . . ,n, (3)

xij = 1 , bila operator i mengoperasikan mesin j 0 , untuk lainnya.

dengan

xij := Operator ke i mengoperasikan mesin ke j.

c_ij := Koefisien fungsi objektif yang menyatakan ongkos atau waktu untuk menugaskan sumber daya i terhadap tugas j.

z := Nilai optimal yang hendak dicapai.

n := Jumlah operator dan mesin yang akan dikerjakan.

Persamaan (1) disebut fungsi tujuan, persamaan (2) dan persamaan (3) disebut fungsi kendala.

Masalah penugasan yang mewakili situasi dunia nyata melibatkan banyak parameter yang nilainya bersifat ambiguitas, seperti parameter fuzzy yang dikenalkan oleh Zadeh [1]. Seiring perkembangan zaman, para ahli meneliti berbagai penyelesaian persoalan masalah penugasan fuzzy dengan mengkonversi bi- langan fuzzy ke bilangan tegas (crisp). Setelah bilangan tegas diperoleh, selanjutnya dapat dicari solusi optimal pada masalah penugasan fuzzy menggunakan metode optimisasi.

Gurukumaresan et al. [5] membahas metode centroid untuk mengkonversi bilangan fuzzy menjadi bilangan tegas (crisp) dan mencari solusi optimal meng- gunakan metode eliminasi Fourier. Namun artikel ini menggunakan metode Hungarian sebagai metode optimisasi pada masalah penugasan fuzzy, karena metode Hungarian menggunakan perhitungan yang sederhana sehingga lebih mudah di- pahami dan diterapkan dalam kehidupan [7].

Adapun struktur artikel ini adalah bagian 2 diperkenalkan bilangan fuzzy segitiga. Bagian 3 dibahas metode Hungarian. Bagian 4 didiskusikan persoalan masalah penugasan fuzzy segitiga. Kemudian bagian 5 dijelaskan tentang metode centroid. Selanjutnya, bagian 6 dibahas kasus dan penyelesaian dari persoalan masalah penugasan fuzzy segitiga. Artikel ini diakhiri dengan bagian 7 yang berisi kesimpulan.

2. BILANGAN FUZZY SEGITIGA

Bilangan fuzzy merupakan suatu bilangan yang tidak sama persis dalam garis bilangan real, dengan diperoleh dari aplikasi teori logika fuzzy dalam bentuk yang tidak tegas. Dalam artikel ini bilangan fuzzy yang digunakan adalah bilangan fuzzy segitiga. Beberapa definisi mengenai bilangan fuzzy segitiga sebagai berikut:

Definisi 1 [4] Bilangan fuzzy ˜A dilambangkan a1, a2, a3 dengan a1 ≤ a2 ≤ a3

dikatakan bilangan fuzzy segitiga jika fungsi keanggotaan µA˜ memenuhi

µA˜(x) =























0 jika x < a₁, x − a₁

a₂− a₁ jika a₁ ≤ x ≤ a₂, 1 jika x = a₂,

a3− x

a₃− a₂ jika a₂ ≤ x ≤ a₃, 0 jika x > a₃,

Definisi 2 [10] Fungsi keanggotaan µA˜ dari bilangan fuzzy A yang diperluas˜ dinyatakan dengan

µA˜(x) =



















0 jika x < a₁, µ^L_˜

A(x) jika a₁ ≤ x ≤ a₂, w jika x = a₂, µ^S_˜

A(x) jika a₂ ≤ x ≤ a₃, 0 jika x > a₃, dengan µ^L_˜

A(x) : [a₁, a₂] → [0, w] dan µ^S_˜

A(x) : [a₂, a₃] → [0, w]

Bilangan fuzzy ˜A yang diperluas pada Definisi 2 dapat dilambangkan dengan (a₁, a₂, a₃; w). Jika w = 1 maka ˜A = (a₁, a₂, a₃; 1) yang merupakan bilangan fuzzy normalisasi dan ˜A dikatakan bilangan fuzzy tidak normalisasi jika 0 < w < 1. Pada masalah penugasan fuzzy segitiga, nilai w akan selalu bernilai 1, karena keakuratan nilai keanggotaan bilangan fuzzy adalah 1. Fungsi ranking pada bilangan fuzzy segitiga dengan menggunakan metode centroid didefinisikan sebagai berikut [10]:

R( ˜A) = (¯x)(¯y) (4)

Definisi 3 [8] Diberikan dua bilangan fuzzy segitiga eA = (a₁, a₂, a₃) dan eB = (b₁, b₂, b₃), selanjutnya operasi aritmatika pada bilangan fuzzy segitiga sebagai berikut:

(i) eA + eB = (a₁+ b₁, a₂+ b₂, a₃+ b₃).

(ii) eA − eB = (a₁− b₃, a₂− b₂, a₃− b₁).

(iii) eA × eB = (min(a1b1, a2b2, a3b3), a2b2, max(a1b1, a2b2, a3b3)).

(iv) ^Ae

Be = min

a1

b1,^a_b²

2,^a_b³

3

 ,^a_b²

2, max

a1

b1,^a_b²

2,^a_b³

3



.

3. METODE HUNGARIAN

Metode Hungarian adalah metode yang memodifikasi baris dan kolom dalam matriks hingga muncul sebuah komponen nol tunggal dalam setiap baris atau kolom yang

dapat dipilih sebagai alokasi penugasan. Metode Hungarian merupakan metode yang efisien untuk menyelesaikan masalah penugasan [9, h. 227].

Adapun langkah-langkah penyelesaian persoalan penugasan menggunakan metode Hungarian adalah sebagai berikut:

(i) Tentukan nilai terkecil pada setiap baris, selanjutnya kurangkan masing-masing baris dengan nilai terkecil pada setiap baris.

(ii) Memeriksa setiap baris dan kolom sudah memiliki elemen 0. Jika sudah lan- jutkan ke langkah (iv). Jika belum, lanjutkan ke langkah (iii).

(iii) Tentukan nilai terkecil pada kolom yang belum memiliki elemen 0 lalu ku- rangkan kolom dengan nilai terkecil pada kolom tersebut.

(iv) Tandai elemen 0 yang tunggal pada setiap baris dan kolom matriks. Jika sudah diperoleh elemen 0 tunggal pada matriks tersebut, maka solusi sudah optimal.

Jika belum lanjutkan ke langkah (v).

(v) Beri sesedikit mungkin garis pada 0 yang terletak pada matriks.

(vi) Tentukan nilai terkecil yang tidak tertutupi oleh garis, kemudian kurangkan elemen yang tidak tertutupi oleh garis dengan nilai tersebut dan jumlahkan nilai terkecil dengan setiap elemen yang tertutupi oleh dua garis sementara untuk elemen yang hanya tertutupi oleh satu garis tidak berubah.

4. MASALAH PENUGASAN FUZZY SEGITIGA

Masalah penugasan bilangan fuzzy segitiga adalah masalah penugasan biasa dengan koefisien pada fungsi tujuan diubah menjadi bilangan fuzzy segitiga. Jikaec_ij adalah biaya dalam bilangan fuzzy segitiga untuk operator ke-i dan mesin ke-j, maka ter- bentuklah matriks biaya masalah penugasan fuzzy segitiga pada Tabel 1 dengan M adalah mesin dan J adalah operator.

Tabel 1: Matriks biaya dalam bilangan fuzzy segitiga M₁ M₂ · · · M_n

J₁ ˜c₁₁ ˜c₁₂ · · · ˜c_1n J₂ ˜c₂₁ ˜c₂₂ · · · ˜c_2n ... ... ... . .. ... J_n ˜c_n1 ˜c_n2 · · · ˜c_nn dengan ˜c_ij = [a_ij, b_ij, c_ij;w_ij] untuk i, j = 1, 2, . . . , n.

Selanjutnya dari Tabel 1 dapat dibentuk masalah penugasan dalam bilangan fuzzy segitiga sebagai berikut:

min z = (ae ₁₁, b₁₁, c₁₁; w₁₁) x₁₁+ (a₁₂, b₁₂, c₁₂; w₁₂) x₁₂+ · · · + (a_1n, b_1n, c_1n; w_1n) x_1n+ (a₂₁, b₂₁, c₂₁; w₂₁) x₂₁+ (a₂₂, b₂₂, c₂₂; w₂₂) x₂₂+ · · · + (a_2n, b_2n, c_2n; w_2n) x_2n+

(a₃₁, b₃₁, c₃₁; w₃₁) x₃₁+ · · · + (a_nn, b_nn, c_nn; w_nn) x_nn, (5) kendala

x11+ x12+ · · · + x1n = 1 x₂₁+ x₂₂+ · · · + x_2n = 1

...

x_n1+ x_n2+ · · · + x_nn = 1 x₁₁+ x₂₁+ · · · + x_n1 = 1 x₁₂+ x₂₂+ · · · + x_n2 = 1

...

x_1n+ x_2n+ · · · + x_nn = 1

























 ,

dengan

x_ij = 1 , bila operator ke-i mengoperasikan mesin ke-j 0 , untuk lainnya.

5. METODE CENTROID

Metode centroid adalah cara yang digunakan untuk mentransformasikan bilangan fuzzy segitiga menjadi bilangan tegas (crisp). Metode centroid diperoleh berdasarkan titik pusat dalam segitiga yang merupakan titik dimana ketiga garis berat segitiga berpotongan [6]. Garis berat merupakan garis yang ditarik dari sudut segitiga dan membagi dua dengan sama panjang sisi yang ada di hadapan sudut tersebut.

Titik pusat pada segitiga membagi garis berat menjadi rasio 2 : 1. Dari rasio tersebut akan mengahasilkan (a + b + c)/3 yang merupakan centroid pada segitiga, berikut diberikan lema titik pusat segitiga yang membagi garis berat.

c

a G

b

Gambar 1: Centroid pada segitiga

Lema 4 [3, h. 49] Centroid pada segitiga membagi garis berat menjadi rasio 2 : 1.

Fungsi ranking pada centroid yang digeneralisasi bilangan f uzzy segitiga ˜A = (a, b, c; w) yang memetakan himpunan semua bilangan f uzzy ke himpunan bilangan tegas didefinisikan sebagai

R( ˜A) = a + b + c 3

 w 3



. (6)

6. KASUS DAN PENYELESAIAN

Sebuah perusahaan bergerak di bidang produksi keripik singkong. Perusahaan ini memiliki 4 orang pekerja yang bersedia melakukan 4 pekerjaan berbeda diberi label J₁, J₂, J₃, dan J₄. Empat pekerjaan yang merupakan mesin diberi label M₁, M₂, M₃, dan M₄.

Pada setiap pekerja sering terjadi ketidakakuratan dalam biaya pengerjaan yang diakibatkan oleh beberapa faktor seperti waktu pengerjaan. Semakin lama pekerja mengoperasikan mesin maka semakin tinggi biaya pengeluaran, begitu sebaliknya.

Dalam masalah ini, ditentukan biaya produksi dihitung berdasarkan waktu pekerja dalam mengoperasikan mesin. Setiap 1 jam pekerja menggoperasikan mesin dike- nakan biaya sebesar 1 yakni dari pekerja J₁ mengoperasikan mesin M₁biaya penger- jaan berturut-turut 1, 5, dan 9 untuk nilai ini tampak pada sel (1,1), untuk nilai yang lain secara lengkap disajikan pada Tabel 2 dengan satuan biaya dalam ribu rupiah. Salah satu metode yang bisa digunakan untuk meminimumkan biaya penu- gasan adalah dengan menggunakan metode penugasan. pada masalah ini terdapat biaya pengerjaan yang samar atau tidak jelas yang mengharuskan penggunaan fuzzy dalam menangani masalah ini.

Tabel 2: Tabel penugasan dengan bilangan fuzzy

M₁ M₂ M₃ M₄

J₁ (1, 5, 9; 1) (3, 7, 11; 1) (7, 11, 15; 1) (2, 6, 10; 1) J2 (4, 8, 12; 1) (1, 5, 9; 1) (4, 9, 13; 1) (2, 6, 10; 1) J₃ (0, 4, 8; 1) (3, 7, 11; 1) (6, 10, 14; 1) (3, 7, 11; 1) J₄ (6, 10, 14; 1) (0, 4, 8; 1) (4, 8, 12; 1) (−3, 7, 11; 1)

Definisikan xij= operator i mengoperasikan mesin j dan ˜cij= biaya operator i mengoperasikan mesin j dengan i, j = 1, 2, 3, 4.

Adapun langkah untuk menyelesaikan masalah penugasan sebagai berikut:

(i) Dengan mengubah masalah penugasan fuzzy segitiga menjadi masalah penu- gasan dengan bilangan tegas dengan menggunakan metode centroid ranking.

Setiap elemen matriks biaya bilangan fuzzy segitiga pada Tabel 2 diubah

ke bilangan tegas sebagai berikut:

R(1, 5, 9; 1) = 1 + 5 + 9 3

 1 3



= 1.67, R(3, 7, 11; 1) = 3 + 7 + 11

3

 1 3



= 2.33, selanjutnya untuk

R(7, 11, 15; 1) = 3.67, R(2, 6, 10; 1) = 2, R(4, 8, 12; 1) = 2.67, R(1, 5, 9; 1) = 1.67, R(4, 9, 13; 1) = 2.89, R(2, 6, 10; 1) = 2, R(0, 4, 8; 1) = 1.33, R(3, 7, 11; 1) = 2.33, R(6, 10, 14; 1) = 3.33, R(3, 7, 11; 1) = 2.33, R(6, 10, 14; 1) = 3.33, R(0, 4, 8; 1) = 1.33, R(4, 8, 12; 1) = 2.67, dan R(−1, 3, 7; 1) = 1.

Dengan mengganti nilai bilangan fuzzy segitiga pada Tabel 2 dengan bilangan tegas diperoleh masalah penugasan pada Tabel 3.

Tabel 3: Tabel penugasan bilangan tegas (crisp) M₁ M₂ M₃ M₄

J₁ 1.67 2.33 3.67 2 J₂ 2.67 2.67 2.89 2 J₃ 1.33 2.33 3.33 2.33 J₄ 3.33 1.33 2.67 1

Setelah diperoleh tabel penugasan bilangan tegas, dengan menggu- nakan metode Hungarian untuk memperoleh solusi optimal pada masalah penugasan. Berikut langkah-langkah metode Hungarian:

(ii) Dengan mengurangi elemen minimum setiap baris dari semua elemen baris.

M₁ M₂ M₃ M₄ J₁ 0 0.66 2 0.33 J₂ 1 0 1.22 0.33

J₃ 0 1 2 1

J₄ 2.33 0.33 1.67 0

(iii) Dengan mengurangi elemen minimum setiap kolom dari semua elemen kolom.

M₁ M₂ M₃ M₄ J₁ 0 0.66 0.78 0.33

J₂ 1 0 0 0.33

J₃ 0 1 0.78 1

J₄ 2.33 0.33 0.45 0

(iv) Diberikan garis horizontal dan vertikal seminimum mungkin yang mencakup semua nol.

M₁ M₂ M₃ M₄ J₁ 0 0.66 0.78 0.33

J₂ 1 0 0 0.33

J₃ 0 1 0.78 1

J₄ 2.33 0.33 0.45 0

(v) Dengan mengurangi angka terkecil yang tidak tercakup dari semua elemen yang tidak dilalui oleh garis dan menambahkan bilangan yang sama dilalui oleh dua garis.

M₁ M₂ M₃ M₄ J₁ 0 0.33 0.45 0.33 J2 1.33 0 0 0.66 J₃ 0 0.67 0.45 1 J₄ 2.33 0 0.12 0

(vi) Diberikan garis horizontal dan vertikal seminimum mungkin yang mencakup semua nol.

M₁ M₂ M₃ M₄ J1 0 0.33 0.45 0.33 J₂ 1.33 0 0 0.66 J₃ 0 0.67 0.45 1 J4 2.33 0 0.12 0

(vii) Dengan mengurangi angka terkecil yang tidak tercakup dari semua elemen yang tidak dilalui oleh garis dan menambahkan bilangan yang sama dilalui oleh dua garis.

M₁ M₂ M₃ M₄

J₁ 0 0 0.12 0

J2 1.66 0 0 0.66 J₃ 0 0.34 0.12 0.67 J₄ 2.66 0 0.12 0

(viii) Dengan membentuk penugasan optimal yang terdapat nol pada setiap garis dan kolom.

Tabel 4: Penugasan optimal M₁ M₂ M₃ M₄

J1 0 0 0.12 0

J₂ 1.66 0 0 0.66 J₃ 0 0.34 0.12 0.67 J₄ 2.66 0 0.12 0

Selanjutnya, dari Tabel 4 diperolehlah

x14 = x23 = x31 = x42 = 1, (7) x₁₁ = x₁₂ = x₁₃ = x₂₁ = x₂₂ = x₂₄= x₃₂= x₃₃= x₃₄=

x₄₁ = x₄₃ = x₄₄ = 0. (8)

Berdasarkan persamaan (7) diperoleh penugasan optimal, yaitu J₁ M engoperasikan

→ M₄,

J₂ M engoperasikan

→ M₃,

J₃ M engoperasikan

→ M₁,

J₄ M engoperasikan

→ M₂.

(ix) Dengan mensubstitusikan persamaan (7) dan persamaan (8) ke persamaan (5) diperoleh solusi untuk masalah penugasan dalam bentuk bilangan fuzzy segitiga sebagai berikut:

minz =e

4

X

i=1 4

X

j=1

ec_ijx_ij

=ec₁₁x₁₁+ec₁₂x₁₂+ec₁₃x₁₃+ec₁₄x₁₄ +ec₂₁x₂₁+ec₂₂x₂₂+ec₂₃x₂₃+ec₂₄x₂₄ +ec31x31+ec32x32+ec33x33+ec34x34

+ec₄₁x₄₁+ec₄₂x₄₂+ec₄₃x₄₃+ec₄₄x₄₄

=ec₁₄+ec₂₃+ec₃₁+ec₄₂

= (2, 6, 10; 1) + (4, 9, 13; 1) + (0, 4, 8; 1) + (0, 4, 8; 1) minz = (6, 23, 39; 1).e

7. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, maka dapat disim- pulkan bahwa metode Hungarian dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah penugasan dalam bentuk bilangan fuzzy segitiga. Adapun penyelesaian masalah penugasan dalam bentuk bilangan fuzzy segitiga tersebut dilakukan dengan mengubah elemen biaya fuzzy segitiga kebilangan tegas (crisp). Bilangan tegas (crisp) diperoleh dengan menentukan titik tengah bilangan fuzzy segitiga dengan menggunakan metode centroid. Selanjutnya solusi optimal masalah penugasan dengan elemen biaya bilangan tegas (crisp) akan diselesaikan dengan menggunakan metode Hungarian.

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. M. D. H.

Gamal, M.Sc. dan anonymous reviewer yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] R. E. Bellman, dan L. A. Zadeh, Decision making in a fuzzy environment, Management Science, 17 (2017), 141-164.

[2] R. Burkad, M. Dell’Amico dan S. Martello, Assignment Problem, SIAM, Philadelphia, 2008.

[3] E. Chen, Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads, The Mathematical Association of Amerika, Washington DC, 2016.

[4] S. Dinakar dan K. Rameshan, Sub interval average method for ranking of linear fuzzy numbers, International Journal of Pure and Applied Mathematics, 4 (2017), 119-130.

[5] D. Gurukumaresan, C. Duraisamy, R. Srinivasan, dan V. Vijayan, Optimal solution of fuzzy assignment problem with centroid methods, Material Today:

Proceedings, (In Press).

[6] R. Q. Mary dan D. Selvi, Solving fuzzy assignment problem, International Jour- nal of Mathematics and Its Applications, 6 (2018), 9-16.

[7] V. Ramadas dan P. Shanmugam, An effective fuzzy ranking method in convex triangular fuzzy soft numbers. International Journal of Applied and Advanced Scientific Research, 3 (2018), 2456-3080.

[8] J. P. Singh dan N. I. Thakur, A novel method to solve assignment problem in fuzzy environment, Industrial Engineering Letters, 5 (2015), 31-35.

[9] H. A. Taha, Operation Research: An Introduction, Eighth Edition, J Pearson Prentice-Hall, Upper Saddle River, 2007.

[10] J. W. Yu dan S. L. Hsuan, The revised method of ranking fuzzy numbers wth an area between the centroid and original points, Computers and Mathematics with Applications, 55 (2008), 2033-2042.