METODE SEDERHANA UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH TRAVELLING SALESMAN FUNGSI OBJEKTIF GANDA DALAM FUZZY SEGITIGA KARYA ILMIAH OLEH

METODE SEDERHANA UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH TRAVELLING SALESMAN FUNGSI

OBJEKTIF GANDA DALAM FUZZY SEGITIGA

KARYA ILMIAH

OLEH

RHIVA PERMATA NIM. 1703110782

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU 2021

METODE SEDERHANA UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH TRAVELLING SALESMAN FUNGSI

OBJEKTIF GANDA DALAM FUZZY SEGITIGA

Rhiva Permata

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

rhiva.permata1504@student.unri.ac.id

ABSTRACT

This paper discusses the solution of multiple objective travelling salesman problem in the form of triangular fuzzy using a simple method. Triangular fuzzy numbers are converted into paramaters. Moreover, travelling salesman problem with multi- ple objective function is converted into a single objective function travelling sales- man problem. Optimal solution of the single objective function travelling salesman problem provides the optimal solution for the travelling salesman problem with the multiple objective fuction in the triangular fuzzy numbers.

Keywords: Triangular fuzzy numbers, the problem of travelling salesman, Hungarian method, branch-and-bound method.

ABSTRAK

Kertas kerja ini membahas tentang penyelesaian masalah travelling salesman fungsi objektif ganda dalam fuzzy segitiga dengan menggunakan metode sederhana. Bi- langan fuzzy diubah ke dalam bentuk parameter. Selanjutnya masalah travelling salesman fungsi obketif ganda diubah ke dalam bentuk masalah travelling salesman fungsi objektif tunggal. Solusi optimal dari masalah travelling salesman fungsi ob- jektif tunggal menunjukkan solusi optimal untuk masalah travelling salesman fungsi objektif ganda dalam bilangan fuzzy segitiga.

Kata kunci: Bilangan fuzzy segitiga, masalah travelling salesman, metode Hungarian, metode cabang dan batas

1. PENDAHULUAN

Masalah travelling salesman merupakan salah satu contoh yang dapat ditemukan dalam optimisasi kombinatorik. Fungsi objektif pada masalah travelling salesman adalah menentukan rute jarak minimum dari beberapa lokasi yang disinggahi satu

per satu dan berakhir kembali di lokasi awal [9]. Adapun tentang metode yang digu- nakan untuk penyelesaiannya cukup banyak variasi, diantaranya metode Hungarian, metode pemrograman dinamik, metode cabang dan batas, metode ant colony sys- tem dan lainnya. Sementara itu, dalam kehidupan nyata suatu ukuran tidak selalu mudah untuk dapat ditentukan besaran yang pasti. Oleh karena itu, Bellman dan Zadeh [2] memperkenalkan konsep himpunan fuzzy dan untuk mengubah ke bilangan tegas digunakan metode ranking.

Pada kertas kerja ini dibahas masalah travelling salesman fungsi objektif ganda dalam fuzzy segitiga dengan menggunakan metode cabang dan batas. Adapun struk- tur artikel ini adalah bagian 2 diperkenalkan mengenai masalah travelling salesman multi objektif. Pada bagian 3 dibahas tentang bilangan fuzzy. Bagian 4 dan 5 diba- has tentang metode yang digunakan yaitu metode Hungarian dan metode cabang dan batas. Bagian 6 dibahas kasus dan penyelesaian masalah travelling salesman fungsi objektif ganda dalam fuzzy segitiga. Kemudian dilanjutkan bagian 7 dengan kesimpulan dari kertas kerja ini.

2. MASALAH TRAVELLING SALESMAN MULTI OBJEKTIF Pertama kali masalah travelling salesman dirumuskan ke dalam model matematika pada tahun 1800 oleh Hamilton dan Kirikman. Gagasan masalah travelling salesman problem adalah menemukan jalur terpendek untuk seorang salesman dengan mulai dari kota asal dan akhirnya kembali ke kota asal [3]. Pada masalah travelling sales- man fungsi objektif ganda dapat dihitung total biaya, total jarak, dan total waktu secara bersamaan. Berikut diberikan tabel masalah travelling salesman fungsi ob- jektif ganda seperti yang disajikan pada Tabel 1.

Table 1: Biaya Masalah Travelling Salesman Fungsi Objektif Ganda

Kota asal

Kota tujuan

1 2 3 · · · n

1 ∞ C₁₂¹ C₁₃¹ · · · C_1n¹ ... ... ... · · · ...

∞ C₁₂^k C₁₃^k · · · C_1n^k 2 C₂₁¹ ∞ C₂₃¹ · · · C_2n¹ ... ... ... · · · ... C₂₁^k ∞ C₂₃^k · · · C_2n^k ... ... ... ... · · · ... n C_n1¹ C_n2¹ C_n3¹ · · · C_nn¹

... ... ... · · · ... C_n1^k C_n2^k C_n3^k · · · C_n(n−1)^k

Notasi ∞ digunakan untuk mendefinisikan masalah travelling salesman yang tidak diterima dengan ∞ adalah sebarang nilai yang sangat besar. Jika i = j, maka Cij = ∞. Misalkan Cij adalah biaya perjalanan dari lokasi i ke lokasi j

(i, j = 1, 2, 3, . . . , n) dan Xij adalah aktivitas perjalanan dari lokasi i ke lokasi j (i, j = 1, 2, 3, . . . , n). Berdasarkan matriks biaya pada Tabel 1, masalah travelling salesman dapat dirumuskan sebagai berikut [5]:

min Z₁ = C₁₂¹ X₁₂+ C₁₃¹ X₁₃+· · · + C1n¹ X_1n+ C₂₁¹ X₂₁+ C₂₃¹ X₂₃ +· · · + C2n¹ X2n+ C_1n¹ X1n+ C_2n¹ X2n+· · · + Cn(n¹ −1)X_n(n−1) ...

min Z_k = C₁₂^kX₁₂+ C₁₃^kX₁₃+· · · + C1n^k X_1n+ C₂₁^kX₂₁+ C₂₃^k X₂₃

+· · · + C_2n^k X_2n+ C_1n^k X_1n+ C_2n^k X_2n+· · · + C_n(n^k ₋₁₎X_n(n−1). kendala,

∑n j=1

X_ij = 1, i = 1, 2, . . . , n, (1)

∑n i=1

X_ij = 1, j = 1, 2, . . . , n, (2)

X_ij+ X_ji ≤ 1, untuk 1 ≤ i ̸= j ≤ n, (3)

X_ij+ X_jk+ X_ki ≤ 2, untuk 1 ≤ i ̸= j ̸= k ≤ n, (4) ...

X_ip1 + X_p1p2 + X_p2p3 +· · · + Xpn−2i ≤ (n − 2), 1 ≤ i ̸= p1 ̸= · · · ̸= pn−2≤ n, (5) Xij = 1 atau Xij = 0 i, j = 1, 2, . . . , n, i̸= j. (6) Persamaan (1) dan (2) menjamin bahwa setiap kota hanya dikunjungi satu kali.

Persamaan (3) menjamin bahwa solusi masalah travelling salesman untuk dua kota tidak menghasilkan subtur. Persamaan (4) menjamin bahwa solusi masalah tra- velling salesman untuk tiga kota tidak menghasilkan subtur. Persamaan (5) men- jamin untuk tidak ada subtur pada n− 1 kota. Persamaan (6) menjelaskan bahwa Xij = 1 jika ada perjalanan dari kota i ke kota j dan Xij = 0 jika tidak ada perjalanan dari kota i ke kota j.

3. BILANGAN FUZZY

Teori himpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965 [2]. Pada himpunan tegas, keberadaan suatu elemen x dalam suatu himpunan X hanya memiliki dua kemungkinan keanggotaan, yaitu x menjadi anggota X berni- lai 1 atau x tidak menjadi anggota X bernilai 0. Teori himpunan tegas diperluas menjadi himpunan fuzzy. Pada bilangan fuzzy suatu nilai yang menunjukkan se- berapa besar tingkat keanggotaan suatu elemen x dalam suatu himpunan X biasa disebut dengan nilai keanggotaan, yang biasa ditulis dengan µA˜(x).

Definisi 1 [6] Himpunan fuzzy ˜A dalam X (himpunan bilangan real) adalah pasangan terurut:

A =˜ {(x, µA^˜(x))|x ∈ X},

dan µA(x)˜ disebut derajat keanggotaaan x di ˜A yang memetakan X ke [0.1].

Definisi 2 [4] Bilangan fuzzy ˜A = (a₁, a₂, a₃) dengan a₁ ≤ a2 ≤ a3 dikatakan bilangan fuzzy segitiga jika fungsi keanggotaannya µA˜ memenuhi kriteria sifat di bawah ini:

µA˜(x) =

















(x− a1) a₂− a1

untuk a₁ ≤ x ≤ a2, 1 untuk x = a2

(a₃− x) a₃− a2

untuk a₂ ≤ x ≤ a3,

0 untuk lainnya.

Ma et al. [7] menjelaskan tentang aritmatika fuzzy baru berdasarkan indeks lokasi dan fungsi indeks fuzzy untuk sebarang bilangan fuzzy segitiga ˜A = (a0, a_∗, a^∗) dan ˜B = (b₀, b_∗, b^∗), operasi aritmatika bilangan fuzzy segitiga dapat didefenisikan sebagai berikut

(i) Penjumlahan = ˜A + ˜B = (a₀, a_∗, a^∗) + (b₀, b_∗, b^∗) = (a₀+ b₀,max{a∗, b_∗} , max{a^∗, b^∗}).

(ii) Pengurangan = ˜A− ˜B = (a₀, a_∗, a^∗)− (b0, b_∗, b^∗) = (a₀− b0,min{a_∗, b_∗} , min{a^∗, b^∗}).

(iii) Perkalian = ˜A × ˜B = (a₀, a_∗, a^∗)× (b0, b_∗, b^∗) = (a₀× b0,max{a∗, b_∗} , max{a^∗, b^∗}).

(iv) Pembagian = ˜A÷ ˜B = (a₀, a_∗, a^∗)÷ (b0, b_∗, b^∗) = (a₀÷ b0,min{a_∗, b_∗} , min{a^∗, b^∗}).

Definisi 3 [1] Suatu bilangan fuzzy dalam bentuk parameter adalah sepasang (u, u) dari fungsi u(r), u(r), 0≤ r ≤ 1 yang memenuhi syarat sebagai berikut:

(i) Fungsi u(r) adalah fungsi kontinu monoton naik terbatas kiri.

(ii) Fungsi u(r) adalah fungsi kontinu monoton turun terbatas kanan.

(iii) Fungsi u(r)≤ u(r), 0 ≤ r ≤ 1.

Pavithra dan Ganessan [8] menjelaskan bahwa bilangan fuzzy segitiga ˜A = (a₁, a₂, a₃) dirumuskan dengan ˜A = (α, m, β). Jika m = a₂ mewakili nilai tengah, maka α = (a2 − a1) mewakili penyebaran dari kiri dan β = (a3 − a2) mewakili penye- baran dari kanan. Selanjutnya, bilangan fuzzy ˜A dapat dituliskan dalam bentuk parameter yaitu:

A = (a˜ 2, α− αr, β − βr). (7)

4. METODE HUNGARIAN

Metode Hungarian adalah metode yang memodifikasi baris dan kolom dalam matriks biaya hingga muncul sebuah komponen nol tunggal dalam setiap baris atau kolom yang dapat dipilih sebagai alokasi penugasan. Metode Hungarian juga dapat di- gunakan dalam menyelesaikan masalah travelling salesman. Matriks biaya pada masalah travelling salesman berisikan tentang bobot biaya, jarak atau waktu per- jalanan dari kota i menuju kota j untuk i, j = 1, 2,· · · , n dan i ̸= j. Winston [10, h.

395] menjelaskan langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah travelling salesman dengan menggunakan metode Hungarian yaitu sebagai berikut:

(i) Menentukan nilai minimum pada setiap baris. Kemudian, kurangi elemen setiap baris dengan nilai terkecil tersebut. Selanjutnya, tentukan nilai terke- cil pada setiap kolom dan kurangi elemen setiap kolom dengan nilai terkecil tersebut.

(ii) Menarik garis (horizontal, vertikal atau keduanya) pada setiap nilai yang berni- lai nol dimatriks baru. Jika diperoleh garis sebanyak n maka solusi optimal diperoleh dari nol yang tertutupi garis. Jika garis yang diperoleh lebih kecil dari n maka dilanjutkan ke langkah (iii).

(iii) Menentukan nilai tak nol terkecil pada matriks baru yang tidak tertutupi garis pada langkah ke-(ii). Selanjutnya, kurangi elemen yang tidak terkena garis dengan nilai terkecil tersebut dan elemen yang tertutupi dua garis di- tambahkan dengan nilai terkecil yang sudah dipilih, dan kembali ke langkah (ii).

5. METODE CABANG DAN BATAS

Misalkan M merupakan sebuah matriks tereduksi untuk simpul A dan B merupakan anak dari simpul A dari pohon ruang status sedemikian sehingga sisi (i, j) pada pohon ruang status berkoresponden dengan sisi (i, j) pada perjalanan. Jika B bukan merupakan simpul daun maka reduksi matriks biaya dari simpul B dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:

(i) Mengubah semua nilai pada baris i dan kolom j menjadi tak hingga.

(ii) Mengubah M (j, 1) menjadi tak hingga. Ini untuk mencegah penggunaan sisi (j,1).

(iii) Mereduksi kembali matriks M sehingga setiap kolom dan baris memiliki seti- daknya satu nilai 0. Namun baris dan kolom yang direduksi selain baris atau kolom dengan nilai tak hingga semua.

Rumus yang digunakan untuk menentukan cost pada metode cabang dan batas yaitu:

ˆ

c(B) = ˆc(A) + M (i, j) + s,

dengan ketentuan ˆ

c(B) := biaya minimum yang dilalui simpul B (simpul di pohon ruang status),

ˆ

c(A) := biaya minimum yang melalui simpul A,

M (i, j) := jarak sisi (i, j) pada graf yang berkorespondensi dengan sisi (B, A) pada pohon ruang status,

s := jumlah semua pengurang pada proses memperoleh matriks tereduksi untuk simpul B.

6. KASUS DAN PENYELESAIAN

Seorang salesman berlokasi di kota 1 mempunyai rencana mempromosikan barang produksinya dengan mengunjungi kota 2, kota 3, dan kota 4 masing-masing tepat satu kali singgah. Dalam melaksanakan kegiatan tersebut salesman harus mem- pertimbangkan total biaya minimum, total jarak minimum, dan total waktu yang ditempuh juga minimum. Adapun biaya, jarak, dan waktu yang ditempuh berben- tuk bilangan fuzzy segitiga seperti pada Tabel 2.

Table 2: Masalah Travelling Salesman Fungsi Objektif Ganda dalam Fuzzy Segitiga

PPPDariPPPPPP

Ke 1 2 3 4

(14,15,16) (18,20,22) (8,10,12)

1 ∞ (4,5,6) (4,5,6) (1,3,5)

(3,5,7) (2,4,6) (2,3,4) (28,30,32) (18,20,22) (7,9,11)

2 (18,20,22) ∞ (7,10,13) (1,3,5)

(3,5,7) (4,5,6) (1,2,3)

(7,10,13) (19,20,21) (9,11,13)

3 (3,4,5) (8,10,12) ∞ (8,10,12)

(1,2,3) (2,3,4) (4,5,6)

(8,10,12) (13,15,17) (18,20,22)

4 (4,5,6) (4,5,6) (13,15,17) ∞

(3,4,5) (3,4,5) (1,2,3)

Adapun langkah-langkah untuk menghitung masalah travelling salesman adalah sebagai berikut:

Langkah 1 Masalah travelling salesman fungsi objektif ganda fuzzy segitiga di- ubah ke dalam bentuk parameter dengan menggunakan persamaan (7) dan dapat disajikan dalam bentuk tabel seperti pada Tabel 3.

Table 3: MTSFOGFS dalam Bentuk Parameter

PPPDariPPPPPP

Ke 1 2 3 4

(15,1-r,1-1r) (20,2-2r,2-2r) (10,2-2r,2-2r)

1 ∞ (5,1-r,1-r) (5,1-r,1-r) (3,2-2r,2-2r)

(5,2-2r,2-2r) (4,2-2r,2-2r) (3,1-r,1-r) (30,2-2r,2-2r) (20,2-2r,2-2r) (9,2-2r,2-2r) 2 (20,2-2r,2-2r) ∞ (10,3-3r,3-3r) (3,2-2r,2-2r) (5,2-2r,2-2r) (5,1-r,1-r) (2,1-r,1-r) (10,3-3r,3-3r) (20,1-r,1-r) (11,2-2r,2-2r) 3 (4,1-r,1-r) (10,2-2r,2-2r) ∞ (10,2-2r,2-2r)

(2,1-r,1-r) (3,1-r,1-r) (5,1-r,1-r)

(15,2-2r,2-2r) (15,2-2r,2-2r) (20,2-2r,2-2r)

4 (5,1-r,1-r) (5,1-r,1-r) (15,2-2r,2-2r) ∞ (4,1-r,1-r) (4,1-r,1-r) (2,1-r,1-r)

Langkah 2 Dari Tabel 3, MTSFOGFS diubah ke dalam bentuk MTSFOT meng- gunakan rumus:

min Z = p₁Z₁+ p₂Z₂+· · · + pkZ_k. (8) Sebelum menggunakan rumus 8, terlebih dahulu subsitusikan nilai p yang dibatasi dengan 0 ≤ p ≤ 1, yaitu:

Z = 0.5Z1, Z = 0.3Z2, Z = 0.2Z3.

Didapatkan hasil dari subsitusi nilai p yang disajikan pada Tabel 4.

Table 4: MTSFOGFS Diberi Nilai Bobot

.PPP^Dari PPP^{Ke 1 2 3 4}

(7.5,0.5-0.5r,0.5-0.5r) (10,1-r,1-r) (5,1-r,1-r) 1 ∞ (1.5,0.3-0.3r,0.3-0.3r) (1.5,0.3-0.3r,0.3-0.3r) (0.9,0.6-0.6r,0.6-0.6r)

(1,0.4-0.4r,0.4-0.4r) (0.8,0.4-0.4r,0.4-0.4r) (0.6,0.2-0.2r,0.2-0.2r)

(15,1-r,1-r) (10,1-r,1-r) (4.5,1-r,1-r)

2 (6,0.6-0.6r,0.6-0.6r) ∞ (3,0.9-0.9r,0.9-0.9r) (0.9,0.6-0.6r,0.6-0.6r) (1,0.2-0.2r,0.2-0.2r) (1,0.2-0.2r,0.2-0.2r) (0.4,0.2-0.2r,0.2-0.2r)

(5,1.5-1.5r,1.5-1.5r) (10,0.5-0.5r,0.5-0.5r) (5.5,1-r,1-r)

3 (1.2,0.3-0.3r,0.3-0.3r) (3,0.6-0.6r,0.6-0.6r) ∞ (3,0.6-0.6r,0.6-0.6r) (0.4,0.2-0.2r,0.2-0.2r) (0.6,0.2-0.2r,0.2-0.2r) (1,0.2-0.2r,0.2-0.2r)

(5,1-r,1-r) (7.5,1-r,1-r) (10,1-r,1-r)

4 (1.5,0.3-0.3r,0.3-0.3r) (1.5,0.3-0.3r,0.3-0.3r) (4.5,0.6-0.6r,0.6-0.6r) ∞ (0.8,0.2-0.2r,0.2-0.2r) (0.8,0.4-0.4r,0.4-0.4r) (0.4,0.2-0.2r,0.2-0.2r)

Langkah 3 Mengubah MTSFOG ke dalam bentuk MTSFOT dengan menjumlahkan bilangan fuzzy segitiga pada setiap kolom menggunakan persamaan (8). Kemudian diperoleh hasil seperti pada Tabel 5.

Table 5: Masalah Travelling Salesman Fungsi Objetif Tunggal

. PPP^Dari PPP^{Ke 1 2 3 4}

1 ∞ (10,0.5-0.5r,0.5-0.5r) (12.3,1-r,1-r) (6.5,1-r,1-r)

2 (22,1-r,1-r) ∞ (14,1-r,1-r) (5.8,1-r,1-r)

3 (6.6,1.5-1.5r,1.5-1.5r) (13.6,0.6-0.6r,0.6-0.6r) ∞ (9.5,1-r,1-r)

4 (7.3,1-r,1-r) (9.8,1-r,1-r) (14.9,1-r,1-1r) ∞

Langkah 4 Masalah travelling salesman diselesaikan dengan menggunakan metode Hungarian. Hasil yang didapatkan dengan metode Hungarian seperti pada Tabel 6

Table 6: Hasil Reduksi Baris

XXXXX^Dari ₁ ^KeX _∞^{1 2}₀ (1.5,0.5-0.5r,0.5-0.5r)³ (1.7,0.5-0.5r,0.5-0.5r)⁴

2 (1.7) ∞ 0 (14.2)

3 0 (7.7,-0.4+0.4r,-0.4+0.4r) ∞ (1.4,0.5-0.5r,0.5-0.5r)

4 (3.5,-0.5+0.5r,-0.5+0.5r) 0 (9.6) ∞

Berdasarkan Tabel 6 diperoleh solusi dengan menggunakan metode Hungarian yaitu X₁₂ = X₂₃= X₃₁ = 1, dengan tur 1-2-3-1 dan min Z = 32.2, 1− r, 1 − r. So- lusi yang didapatkan dengan menggunakan metode Hungarian belum menjadi solusi optimal untuk masalah travelling salesman karena semua kota belum terkunjungi.

Langkah selanjutnya yaitu mencari solusi dengan menggunakan metode cabang dan batas.

Langkah 5 Melakukan pencabangan Kota1 dan Kota2 dengan mengubah baris pertama, kolom kedua, dan (2,1) sebagai ∞. Lalu, melakukan metode Hungarian dengan mereduksi baris dan kolom agar setiap baris dan kolom terdapat elemen nol.

Langkah 6 Melakukan pencabangan Kota1 dan Kota3 dengan mengubah baris pertama, kolom ketiga, dan (3, 1) sebagai ∞ dan dilanjutkan dengan menggunakan metode Hungarian.

Langkah 7 Melakukan pencabangan Kota1 dan Kota4 dengan mengubah baris pertama, kolom keempat, dan (4,1) sebagai ∞. Selanjutnya, dapat dibentuk pohon pencabangan awal seperti pada Gambar 1.

1

2 ˆ

c(2) = 35.7, 0.5− 0.5r, 0.5 − 0.5r 3 ˆ

c(3) = 35.4, 1.5− 1.5r, 1.5 − 1.5r 4 ˆ

c(4) = (32.2, 1− r, 1 − r)

Gambar 1: Pencabangan awal masalah travelling salesman

Dari Gambar 1 didapatkan cost paling minimum yaitu dari dari Kota1 ke Kota4.

Selanjutnya, ulangi langkah-langkah di atas dengan Kota4 sebagai simpul akar.

Langkah 8 Melakukan pencabangan Kota1, Kota4, dan Kota2 dengan mengubah baris pertama, kolom keempat, baris keempat, kolom kedua, dan (2,1) sebagai∞ dan melakukan metode Hungarian jika setiap baris dan kolom belum terdapat elemen nol.

Langkah 9 Melakukan pencabangan Kota1, Kota4, Kota3 dengan mengubah baris pertama, kolom keempat, baris keempat, kolom ketiga, dan (3,1) sebagai ∞ dan melakukan metode Hungarian jika setiap baris dan kolom belum terdapat elemen nol. Selanjutnya, didapatkan hasil seperti pada Gambar 2.

1

2 ˆ

c(2) = 35.7, 0.5− 0.5r, 0.5 − 0.5r 3 ˆ

c(3) = 35.4, 1.5− 1.5r, 1.5 − 1.5r 4

ˆ

c(4) = 32.5, 1− r, 1 − r

2 3

ˆ

c(5) = 32.5, 1− r, 1 − r ˆc(6) = 51.5, 0.6− 0.6r, 0.6 − 0.6r

Gambar 2: Pencabangan kedua masalah travelling salesman .

Dari Gambar 2 didapatkan cost paling minimum yaitu dari kota4 ke kota2. Se- lanjutnya, ulangi langkah-langkah di atas dengan Kota2 sebagai simpul akar.

Langkah 10 Melakukan pencabangan Kota1, Kota4, Kota2, Kota3 dengan meng- ubah baris pertama, kolom keempat, baris keempat, kolom kedua, baris kedua, kolom ketiga, dan (3,1) sebagai ∞ seperti pada Tabel 7.

Table 7: Pencabangan Kota1, Kota3, Kota2, Kota4

. _PPP

PPPPPP

Dari

Ke 1 2 3 4

1 ∞ ∞ ∞ ∞

2 ∞ ∞ ∞ ∞

3 ∞ ∞ ∞ ∞

4 ∞ ∞ ∞ ∞

Setiap baris dan kolom sudah tak hingga, ini berarti bahwa tidak ada lagi penca- bangan yang akan dilakukan. Selanjutnya, solusi optimal masalah travelling sales- man dengan metode cabang dan batas yaitu X₁₄ = X₄₂= X₂₃= X₃₁ = 1. Solusi ini

mengandung tur yaitu 1−4−2−3−1. Dengan demikian, dapat dihitung jarak min- imum, biaya minimum, dan waktu minimum dalam bilangan fuzzy sebagai berikut:

Biaya optimal = (20, 2− 2r, 2 − 2r) + (10, 2 − 2r, 2 − 2r) + (15, 2 − 2r, 2 − 2r) + (11, 2− 2r, 2 − 2r) = (56, 2 − 2r, 2 − 2r).

Jarak optimal = (3, 2− 2r, 2 − 2r) + (3, 1 − r, 1 − r) + (3, 2 − 2r, 2 − 2r) + (4, 1− r, 1 − r) = (13, 2 − 2r, 2 − 2r).

Waktu optimal = (3, 1− r, 1 − r) + (2, 1 − r, 1 − r) + (2, 1 − r, 1 − r) + (3, 1− r, 1 − r) = (10, 1 − r, 1 − r).

Bilangan fuzzy dalam bentuk parameter diubah ke dalam bentuk bilangan fuzzy segitiga dengan 0 ≤ r ≤ 1, sehingga didapatkan biaya optimal, jarak optimal, dan waktu optimal masing-masing seperti pada Tabel 8.

Table 8: Hasil Akhir

. Nilai dari r Biaya optimal Jarak optimal Waktu optimal (56, 2− 2r, 2 − 2r) (13, 2 − 2r, 2 − 2r) (10, 1− r, 1 − r)

r = 0 (54,56,57) (11,13,15) (9,10,11)

r = 0.5 (55,56,57) (12,13,14) (9,10,10)

r = 1 (56,56,56) (13,13,13) (10,10,10)

7. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukan sebelumnya, maka dapat disim- pulkan bahwa metode cabang dan batas dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah travelling salesman. Kemudian, masalah travelling salesman yang dise- lesaikan berupa fungsi objektif ganda dalam bentuk bilangan fuzzy segitiga.

Adapun penyelesaian masalah tersebut dilakukan dengan mengubah elemen bi- aya bilangan fuzzy ke dalam bentuk paramater. Selanjutnya bilangan fuzzy dalam bentuk parameter diberi nilai kombinasi konveks dan diubah ke dalam bentuk masalah travelling salesman fungsi objektif tunggal. Kemudian, masalah travelling salesman akan diselesaikan dengan menggunakan metode Hungarian lalu dilanjutkan dengan menggunakan metode cabang dan batas. Dengan demikian, didapatkan hasil untuk biaya optimal, jarak optimal, dan juga waktu optimal.

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Drs. Endang Lily, M.Si dan anonymous reviewer yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan kertas kerja ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] S. Abbasbandy dan T. Hajjari, A new approach for ranking of trapezoidal fuzzy numbers, Computer and Mathematics with Applications, 57 (2009), 413–419.

[2] R. E. Belmann dan L. A. Zadeh, Decision making in a fuzzy environment, Management Science, 17 (1970), B141–B164.

[3] T. Hamid, Solving the travelling salesman problem using genetic algorithms with the new evaluation function, Bulletin of Environment Pharmacology and Life Science, 4 (2015), 124–131.

[4] H. A. Hashem, Sensitivity analysis for fuzzy linear programming with its appli- cations in the transportation problem, Middle East Journal of Applied Sciences, 3 (2013), 150–155.

[5] A. Kumar dan A. Gupta, Assignment and travelling salesman problems with coefficients as LR fuzzy parameters, International Journal of Applied Science and Engineering, 10 (2012), 155-170.

[6] A. Kumar dan N. Bhatia, A new method for solving fuzzy sensitivity analysis for fuzzy linear programming problems, International Journal of Applied Science and Engineering, 9 (2001), 169–176.

[7] M. Ma, M. Friedman, dan A. Kandel, A new fuzzy arithmetic, Fuzzy Sets and System, 108 (1999), 83–90

[8] M. Pavithra dan K. Ganesan, A simple approach for the solution of fuzzy multi objective travelling salesman problem, Journal of Physics: Conference Series, 1377 (2019) 1–7.

[9] A. K. Rana, A study on fuzzy travelling salesman problem using fuzzy number, International Journal for Research in Engineering Application & Management, 5 (2019), 210–212.

[10] W. L. Winston, Operations Research: Applications and Algorithms, Fourth Edi- tion, Thomson Learning, Belmont, 2004.