METODE BRANCH AND BOUND UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PENUGASAN FUZZY SIMETRIK TERSEBAR MERATA KARYA ILMIAH OLEH

METODE BRANCH AND BOUND UNTUK

MENYELESAIKAN MASALAH PENUGASAN FUZZY SIMETRIK TERSEBAR MERATA

KARYA ILMIAH

OLEH

DHEADRA AULIA PUTRIE SYAFHIRA NIM. 1703121793

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU 2021

METODE BRANCH AND BOUND UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PENUGASAN FUZZY SIMETRIK TERSEBAR

MERATA

Dheadra Aulia Putrie Syafhira Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

dheadra.aulia1793@student.unri.ac.id

ABSTRACT

This final project discusses the solution of assignment problems in the form equally spread symmetric fuzzy numbers for minimization balanced case. The fuzzy numbers does not need to be converted into crisp numbers and then completed using the branch and bound method by forming branch in each step to construct a solution tree at the end to obtain the optimal solutions. Moreover, the optimal solutions for the assignment problems with fuzzy numbers can be converted into crisp number using the robust’s ranking method. The problem solving of equally spread symmetric fuzzy assignment problem using branch and bound method displays a systematic and simple procedure so that is efficient and easy to understand.

Keywords: Fuzzy number, fuzzy assignment problem, branch and bound method, robust’s ranking method

ABSTRAK

Kertas kerja ini membahas penyelesaian masalah penugasan dalam bentuk bilangan fuzzy simetrik tersebar merata untuk kasus inimasi seimbang. Bilangan fuzzy tidak perlu diubah menjadi bilangan tegas kemudian diselesaikan menggunakan metode branch and bound dengan membentuk cabang dari setiap langkahnya sampai mem- bentuk pohon solusi diakhir sehingga diperoleh solusi optimal dalam bilangan fuzzy.

Selanjutnya solusi optimal dari masalah penugasan dengan bilangan fuzzy dapat diubah menjadi bilangan tegas menggunakan metode robust’s ranking. Penyelesa- ian masalah penugasan fuzzy simetrik tersebar merata dengan metode branch and bound menampilkan prosedur yang sistematis dan simpel sehingga efisien dan mudah dimengerti.

Kata kunci: Bilangan fuzzy, masalah penugasan fuzzy, metode branch and bound, metode robust’s ranking

1. PENDAHULUAN

Matematika adalah salah satu disiplin ilmu yang banyak diterapkan dikehidupan sehari-hari. Salah satu diantaranya adalah masalah penugasan yang berkenaan dengan perencanaan alokasi tugas dari sejumlah pekerja dalam menyelesaikan se- jumlah pekerjaan untuk mencapai optimalitas fungsi tujuan seperti biaya, waktu, ataupun pendapatan.

Misalkan pada suatu perusahaan yang memproduksi suatu barang memiliki se- jumlah m pekerjaan (aktivitas) untuk ditugaskan kepada n jumlah pekerja. Ketika pekerjaan i (i = 1, 2, . . . , m) ditugaskan ke pekerja j (j = 1, 2, . . . , n), tentu diper- lukan biaya atau waktu yang dinyatakan dengan C_ij, sehingga tujuan dari penugasan adalah untuk menetapkan jenis pekerjaan mana yang harus dilakukan oleh pekerja agar biaya yang dikeluarkan minimum [1].

Pada koefisien biaya atau waktu penugasan tidak dapat ditentukan secara pasti atau samar. Hal ini disebabkan oleh beberapa faktor diantaranya kualifikasi kemam- puan khusus suatu pekerjaan atau mesin dan kecepatan pekerja dalam bekerja.

Kesamaran nilai tersebut dapat diwakili oleh bilangan fuzzy, yang pertama kali dikenalkan oleh Zadeh [14], sehingga yang dibutuhkan adalah metode pengambilan keputusan bilangan samar (fuzzy) [12].

Seiring perkembangan zaman, banyak para ahli meneliti tentang masalah penu- gasan bilangan fuzzy. Metode penugasan Hungarian telah terbukti secara ilmiah adalah metode yang paling sesuai untuk produksi bengkel kerja yang dikembangkan oleh matematikawan Hungaria D. Konig [4]. Metode branch and bound pertama kali ditemukan oleh Land dan Doig [5] untuk menyelesaikan masalah pemograman diskrit, dan dikembangkan lebih lanjut oleh Little et al. [6] sehingga dicetuskan nama ”Branch and Bound ”. Metode branch and bound melakukan pendekatan langkah demi langkah [8] membentuk cabang menuju solusi optimal [10] dengan bilangan terbatas (finite) dan menggunakan syarat batas kendala [2]. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk mengulas kembali tentang penyelesaian masalah penu- gasan bilangan fuzzy segitiga dengan metode branch and bound. Dengan metode ini masalah penugasan f uzzy tidak perlu diubah menjadi masalah penugasan tegas.

Pada kertas kerja ini dibahas penyelesaian masalah penugasan bilangan fuzzy segitiga. Bagian kedua dibahas tentang bilangan fuzzy segitiga. Bagian ketiga dijelaskan tentang masalah penugasan bilangan fuzzy. Pada bagian keempat dibahas tentang metode yang digunakan yaitu metode branch and bound. Pada bagian ke lima dijelaskan ilustrasi numerik. Kemudian dilanjutkan bagian ke enam dengan kesimpulan dari kertas kerja ini.

2. BILANGAN FUZZY SEGITIGA

Bilangan fuzzy merupakan konsep perluasan dari bilangan pada himpunan tegas yaitu besaran yang dinyatakan dengan bilangan samar [14]. Himpunan fuzzy adalah himpunan yang anggotanya memiliki derajat keanggotaan. Bilangan fuzzy dikatakan simetris jika jarak setiap anggota fuzzy adalah sama untuk semua himpunan bilangan [7].

Definisi 1 [9] Misalkan R adalah bilangan real, himpunan fuzzy ˜A dalamR didefin- isikan sebagai himpunan pasangan terurut

A =˜ {(x, µA˜(x))|x ∈ R}

dengan µA˜(x) adalah fungsi keanggotaan yang memetakan setiap elemen x di R pada selang [0, 1].

Dengan demikian fungsi keanggotaan pada bilangan fuzzy menunjukkan derajat keanggotaan suatu elemen x dalam suatu himpunan ˜A. Fungsi keanggotaan himpu- nan fuzzy ˜A pada himpunan semestaR yang dinotasikan dengan µA˜ :R → [0, 1].

Definisi 2 [9] Sebuah bilangan fuzzy ˜A = (a, b, c) pada R disebut bilangan fuzzy segitiga jika fungsi keanggotaannya µA˜(x) diberikan sebagai berikut:

µA˜(x) =









 x− a

b− a, x∈ [a, b] , x− c

b− c, x∈ [b, c] , 0, lainnya.

Jika bilangan fuzzy dinotasikan dengan ˜A = (a, b, c) maka sebaran kiri dari bilangan fuzzy segitiga adalah Left ( ˜A) = (b − a) sedangkan sebaran kanan dari bilangan fuzzy segitiga adalah Right ( ˜A) = (c−b) [7], sehingga bilangan fuzzy segitiga dapat diklasifikasikan sebagai berikut:

(i) Bilangan fuzzy sebaran kiri ketika Left ( ˜A) > Right ( ˜A).

(ii) Bilangan fuzzy sebaran kanan ketika Left ( ˜A) < Right ( ˜A).

(iii) Bilangan fuzzy sebaran merata ketika Left ( ˜A) = Right ( ˜A).

Terdapat relasi antar dua bilangan fuzzy sebaran merata. Jika ˜A = (a, b, c) dan B = (e, f, g) adalah dua bilangan fuzzy simetris nonnegatif dengan sebaran merata˜ [7]. Relasi antara kedua bilangan tersebut adalah:

(i) Jika a < e maka ˜A < ˜B.

(ii) Jika a > e maka ˜A > ˜B.

(iii) Jika a = e maka ˜A = ˜B.

Dalam penerapannya, kalkulasi bilangan fuzzy tidak lepas dari operasi arit- matika. Jika ˜A = (a, b, c) dan ˜B = (e, f, g) adalah dua bilangan fuzzy segitiga.

Operasi aritmatika antar kedua bilangan tersebut [9] adalah sebagai berikut:

(i) Penjumlahan : ˜A + ˜B = (a + e, b + f, c + g).

(ii) Pengurangan : ˜A− ˜B = (a− g, b − f, c − e).

Bilangan fuzzy segitiga diubah kebentuk bilangan tegas dengan menggunakan indeks robust’s ranking.

Definisi 3 [3] Diberikan sebuah himpunan fuzzy A dalam X dan bilangan real α ∈ [0, 1], lalu potongan-α dinotasikan dengan^αA adalah himpunan tegas

αA ={x ∈ X : µA˜(x)≥ α} .

Dutta et al. [3] menjelaskan potongan-α untuk bilangan fuzzy segitiga ˜A = (a, b, c) yaitu

αA = [A_l, A_u] = [(b− a)α + a, −(c − b)α + c] . (1) Srinivasan dan Geetharamani [11] menyatakan metode robust’s ranking didefin- isikan sebagai berikut:

R (Ae

)

=

∫ ₁

0

1

2[A_l, A_u] dα, (2)

Jika persamaan (1) disubstitusikan ke dalam persamaan (2) maka diperoleh in- deks robust’s ranking didapatkan hasil transformasi bilangan fuzzy segitiga (a, b, c) menjadi sebuah bilangan ¹₄(a + 2b + c)∈ R.

3. MASALAH PENUGASAN BILANGAN FUZZY

Masalah penugasan bilangan fuzzy adalah masalah transportasi dengan koefisien bi- aya/waktu penugasan berbentuk bilangan fuzzy. Pada kenyataannya, besar kemu- ngkinan dapat terjadi kesamaran (fuzzyness) terhadap koefisien biaya/waktu dengan asumsi terjadi pelanggaran terhadap nilai koefisien fungsi objektifnya.

Jika terdapat m jumlah pekerjaan (atau aktifitas) dan n jumlah pekerja (atau fasilitas) dengan x_ij adalah variabel keputusan penugasan pekerjaan i ke pekerja j, dan eC_ij = (a, b, c) adalah variabel biaya/waktu atau pendapatan fuzzy dari penu- gasan pekerjaan i ke pekerja j, yang menunjukkan bilangan fuzzy segitiga serta eZ sebagai fungsi tujuan fuzzy. Serta Model matematika masalah penugasan fuzzy [13]

adalah sebagai berikut:

min eZ =

∑m i=1

∑n j=1

Ce_ijx_ij

kendala

∑m i=1

x_ij = 1, untuk semua i (pekerja yang tersedia)

∑n j=1

xij = 1, untuk semua j (pekerjaan yang dibutuhkan) i = 1, . . . , m dan j = 1, . . . , n

dengan,

xij = {

1, jika pekerjaan i ditugaskan pada pekerja j, 0, jika pekerjaan i tidak ditugaskan pada pekerja j,

4. METODE BRANCH AND BOUND

Prosedur pengerjaan metode branch and bound dalam penyelesaian masalah penu- gasan fuzzy adalah sebagai berikut:

1. Diberikan masalah penugasan fuzzy dengan orde tabel (m, n) dimana kendala- nya adalah mencari waktu atau biaya minimum maupun pendapatan maksi- mum dalam menyelesaikan m pekerjaan (J ) dengan n sumber daya (M ) yang tersedia.

2. Jika masalah penugasan berjenis minimasi seperti minimasi waktu, maka pilih waktu minimum dari setiap pekerjaan dan jumlahkan total waktu minimum setiap pekerjaan tersebut. Bilangan pada data ini merupakan batas bawah un- tuk semua solusi yang mungkin. Artinya, tidak ada penugasan yang mungkin dengan waktu kurang dari batas bawah tersebut. Sebaliknya untuk masalaha penugasan maksimisasi

3. Dengan mengasumsikan solusi feasible (layak) ke dalam n himpunan bagian, lalu ditugaskan pekerjaan 1 (J₁) dengan sumber daya 1 (M₁) dan pekerjaan yang tersisa biarkan tetap ditugaskan dengan sumber daya yang telah dipilih berdasarkan waktu minimum atau pendapatan maksimum pada langkah (2) tadi setelah mengabaikan asumsi ”satu pekerjaan hanya satu sumber daya”.

Kemudian dijumlahkan total waktu atau pendapatannya.

4. Lalu J₁ ditugaskan ke M₂ dan pekerjaan yg tersisa tetap ke sumber daya yang telah dipilih pada langkah (3). Proses ini diulangi sampai J₁ telah ditugaskan ke semua n sumber daya yang ada. Lalu total waktu ataupun pendapatan dijumlahkan di setiap langkah nya.

5. Kemudian dikonstruksikan cabang (branch) yang menunjukkan total waktu atau pendapatan dibawah simpul yang sesuai dan menunjukkan penugasan dengan garis panah. Cabang selanjutnya dibuat dari simpul terminal yang merupakan total waktu minimum untuk masalah minimasi atau sebaliknya untuk masalah maksimasi. Jika terdapat dua total waktu minimum pada su- atu cabang, maka dicari hasil akhir dari kedua percabangan, sehingga dapat dibandingkan hasil akhir minimum untuk ditetapkan sebagai penugasan, be- gitu juga sebaliknya untuk masalah maksimisasi.

6. Langkah (3) sampai (5) diulangi dengan menggunakan J₂, J₃, . . . , J_n di posisi J₁.

7. Jika telah dipilih total waktu minimum atau total pendapatan maksimum yang berada disalah satu node terminal di tingkat (n− 1), maka optimalitas telah tercapai. Kemudian penugasan optimal diberikan oleh lintasan pohon (tree) dimulai dari node awal ke node terminal melalui simpul-simpul yang merupakan sambungan antar cabang satu dengan berikutnya sehingga mem- bentuk pohon bersamaan dengan pekerja maupun pekerjaan yang terpilih di masing-masing cabangnya.

5. ILUSTRASI NUMERIK

Sebuah perusahaan PT. Emde memiliki 5 buah mesin dan 5 pekerjaan yang harus diselesaikan. Setiap mesin akan ditugaskan untuk menyelesaikan sebuah pekerjaan dan sebaliknya. Setiap mesin dan pekerjaan memiliki kualifikasi masing-masing se- hingga terdapat waktu setup (dalam satuan menit) yang samar dari setiap mesin dalam menyelesaikan setiap jenis pekerjaan. Akan ditentukan penugasan dari se- tiap mesin yang dimiliki PT. Emde agar total waktu setup yang dibutuhkan untuk menyelesaikan semua pekerjaan menjadi minimum. Data waktu setup dari setiap mesin dalam mengerjakan setiap pekerjaan yang berbentuk bilangan fuzzy simetrik tersebar merata diberikan pada Tabel 1.

Tabel 1: Data Waktu Penugasan Fuzzy dari PT. Emde Mesin

Pekerjaan M1 M2 M3 M4

J₁ (62,65,68) (47,50,53) (57,60,63) (67,70,73) J2 (52,55,58) (42,45,48) (57,60,63) (52,55,58) J₃ (47,50,53) (57,60,63) (72,75,78) (67,70,73) J₄ (37,40,43) (52,55,58) (62,65,68) (57,60,63)

Waktu minimum dipilih dari setiap pekerjaan dan dijumlahkan total waktu minimum setiap pekerjaan tersebut dengan operasi penjumlahan aritmatika fuzzy.

Karena data waktu pada Tabel 1 berbentuk bilangan fuzzy segitiga simetrik terse- bar merata, maka relasi antar bilangan berlaku yaitu hanya perlu melihat angka awal pada masing-masing bilangan fuzzy untuk membandingkan minimumnya. Data bilangan ini merupakan batas bawah untuk semua solusi yang ditunjukkan pada Tabel 2.

Tabel 2: Data Waktu Minimum Penugasan Fuzzy dari PT. Emde Pekerjaan Waktu Minimum Mesin yang Bersesuaian

J₁ (47,50,53) M₂

J₂ (42,45,48) M₂

J₃ (47,50,53) M₁

J₄ (52,55,58) M₁

Total (188,200,212)

Data di atas menunjukkan total waktu minimum untuk semua solusi. Namun tidak dapat dijadikan solusi feasible karena M₂ dan M₁ tidak dapat melakukan lebih dari 1 pekerjaan. Pekerjaan J1 ditugaskan ke semua mesin dan pekerjaan yg tersisa tetap ke mesin yang telah dipilih berdasarkan waktu minimum pada langkah diatas.

Total waktu masing-masing dijumlahkan di setiap langkah nya ditunjukkan pada Tabel 3, 4, 5, dan 6.

Tabel 3: Kalkulasi Waktu Penugasan J₁ ke M₁ pada PT. Emde Pekerjaan Waktu Mesin

J₁ (62,65,68) M₁ J2 (42,45,48) M2

J₃ (57,60,63) M₂ J₄ (37,40,43) M₂ Total (213,225,237)

Tabel 4: Kalkulasi Waktu Penugasan J₁ ke M₂ pada PT. Emde Pekerjaan Waktu Mesin

J₁ (47,50,53) M₂ J₂ (52,55,58) M₁ J₃ (47,50,53) M₁ J₄ (37,40,43) M₁ Total (183,195,207)

Tabel 5: Kalkulasi Waktu Penugasan J₁ ke M₃ pada PT. Emde Pekerjaan Waktu Mesin

J₁ (57,60,63) M₃ J₂ (42,45,48) M₂ J3 (47,50,53) M1

J₄ (37,40,43) M₅ Total (183,195,207)

Tabel 6: Kalkulasi Waktu Penugasan J₁ ke M₄ pada PT. Emde Pekerjaan Waktu Mesin

J1 (67,70,73) M4

J₂ (42,45,48) M₃ J₃ (47,50,53) M₃ J4 (37,40,43) M3

Total (193,205,217)

Gambar 1: Jaring Cabang Pertama dari Pohon Solusi Penugasan PT. Emde

Dari jaring cabang diatas dapat dilihat bahwa total waktu minimum untuk penu- gasan J₁ adalah terhadap M₂ dan M₃, sehingga harus dicari hasil akhir dari masing- masing penugasan J₁ terhadap M₂ dan M₃lalu dipilih waktu minimum untuk mene- tapkan apakah J₁ → M2 atau J₁ → M3.

Dengan cara yang sama dan mengabaikan mesin yang telah ditetapkan pada penugasan J₁, kalkulasi waktu penugasan J₂menghasilkan cabang kedua solusi penu- gasan PT. Emde seperti pada Gambar 2.

Gambar 2: Jaring Cabang Kedua dari Pohon Solusi Penugasan PT. Emde

Dari jaring cabang kedua tersebut dapat dilihat bahwa total waktu minimum untuk penugasan J₂ jika dipilih J₁ → M2 maka dihasilkan J₂ → M4 dan jika dipilih J₁ → M3 maka dihasilkan J₂ → M2 sehingga harus dicari hasil akhir dari keduanya agar dapat menetapkan penugasan untuk J₂.

Dengan cara yang sama untuk kalkulasi J3, didapat total waktu minimum untuk penugasan J₃ adalah terhadap M₁ dan M₄ pada penugasan J₂ → M2, sehingga ditetapkan penugasan pekerjaan J₃ → M1 atau J₃ → M4. Karena pekerjaan dan mesin yang tersisa adalah J4 dan M1, M4, maka ditetapkan penugasan pekerjaan J₄ → M1 pada penugasan J₃ → M4 atau J₄ → M4 pada penugasan J₃ → M1.

Gambar 3: Jaring Pohon Solusi Penugasan PT. Emde

Dari pohon solusi pada Gambar 3 di atas, diperoleh solusi optimal waktu mini- mum (dalam satuan jam) penugasan PT. Emde dengan menggunakan metode branch and bound adalah sebagai berikut:

J₁ → M3 = (57, 60, 63) J₂ → M2 = (42, 45, 48) J3 → M1 = (47, 50, 53) J₄ → M4 = (57, 60, 63) Total waktu = (203, 215, 227)

atau,

J1 → M3 = (57, 60, 63) J₂ → M2 = (42, 45, 48) J₃ → M4 = (57, 60, 63) J₄ → M1 = (37, 40, 43) Total waktu = (203, 215, 227)

Artinya waktu minimum 4 mesin PT. Emde dalam menyelesaikan 4 pekerjaan dengan metode branch and bound didapat bahwa tidak kurang dari 203 menit dan tidak lebih dari 227 menit. Apabila diinginkan hasil dalam bentuk bilangan tegas, maka dapat menggunakan indeks robust ranking untuk mengubah bilangan fuzzy segit- iga menjadi bilangan tegas. Bilangan eA = (203, 215, 227) diubah menjadi bilangan tegas sebagai berikut:

R (Ae

)

= 1

4(a1+ 2a2+ a3)

= 1

4(203 + 2(215) + 227) R

(Ae )

= 215

Penyelesaian permasalahan minimasi waktu setup dari penugasan PT. Emde dengan metode branch and bound menghasilkan waktu minimum 215 menit untuk menye- lesaikan 4 pekerjaan dengan 4 mesin yang tersedia.

8. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa metode branch and bound dapat menyelesaikan masalah penugasan fuzzy simetris tersebar merata dengan konsep membangun semua cabang yang mungkin dari hasil kalkulasi alokasi penugasan setiap pekerjaan secara sistematis untuk menuju solusi pohon optimal dengan menggunakan syarat batas kendala.

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Drs. Tumpal P. Nababan, M.Si dan Dr. M. D. H. Gamal, M.Sc. serta anonymous reviewer yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan kertas kerja ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] H. Basirzadeh, Ones assignment method for solving assignment problems, Ap- plied Mathematical Sciences, 6 (2012), 2345–2355.

[2] J. Clausen, Branch and Bound Algorithms Principles and Examples, 12 Maret 1999, 30 hal, https://imada.sdu.dk/ jbj/heuristikker/TSPtext.pdf, diakses 2 Desember 2020, pk. 20.30.

[3] P. Dutta, H. Boruah, dan T. Ali, Fuzzy arithmatic with and without using α- cut method: A comparative study, International Journal of Latest Trends in Computing, 2 (2011), 99–107.

[4] H. W. Kuhn, The hungarian method for the assignment problem, Naval Research Logistics Quarterly, 2 (1955), 83–97.

[5] A. H. Land dan A. G. Doig, An automatic method of solving discrete program- ming problems, Econometrica, 28 (1960), 497–520.

[6] J. D. C. Little, K. G. Murty, D. W. Sweeney, dan C. Karel, An algorithm for travelling salesman problem, Operations Research, 11 (1963), 972–989.

[7] C. Muralidaran dan B. Venkateswarlu, A method for solving equally spread symmetric fuzzy assignment problems using branch and bound technique, IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 4 (2017), 1–7.

[8] O. Naud, J. Taylor, L. Colizzi, R. Giroudeau, S. Guillaume, E. Bourreau, T.

Crestey, B. Tisseyre, Agricultural Internet of Things and Decision Support for Precision Smart Farming, Academic Press, London Wall, 2020.

[9] S. H. Nasseri, E. Behmanesh, F. Taleshian, M. Abdolalipoor, dan N. A. Nezhad, Fully fuzzy linear programming with inequality constraints, International Jour- nal Industrial Mathemtics, 5 (2013), 309–316.

[10] G. T. Ross dan R. M. Soland, A branch and bound algorithm for the generalized assignment problem, Mathematical Programming, 8 (1975), 91–103.

[11] A. Srinivasan dan G. Geetharamani, Method for solving fuzzy assignment prob- lem using ones assignment method and robusts ranking technique, Applied Mathematical Sciences, 7 (2013), 5607–5619.

[12] H. Tanaka dan K. Asai, Fuzzy linear programming problems with fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems, 1 (1984), 1–10.

[13] Y. L. P. Thorani dan N. R. Shankar, Fuzzy assignment problem with generalized fuzzy numbers, Applied Mathematical Sciences, 7 (2013), 3511–3537.

[14] L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and Control, 8 (1965), 338–353.