PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Sistem persamaan linear terdiri atas persamaan-persamaan linear. Sistem persamaan linear terbagi- bagi atas beberapa sub materi. seperti: sistem persamaan linear satu variabel, sistem persamaan liner dua variabel, sistem persamaan linear tiga variabel dan sistem persamaan linear lebih dari dua variabel. Semakin banyak variabel yang ada akan semakin sulit untuk menentukan penyelesaiannya.
Sistem persamaan linear ini muncul di berbagai masalah baik teori maupun praktik. Penulisan koefisien bilangan pada sistem persamaan linear yang terdiri dari m persamaan linear dan n bilangan tak diketahui dapat disingkat dengan hanya menuliskan susun empat persegi panjang dari bilangan-bilangan itu. susunan ini dinamakan matriks.
Sedangkan pengertian matrik adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstrukturyang sering dijumpai adalah matriks yang entrinya bilangan-bilangan real atau kompleks.
Penyelesaian masalah sistem persamaan linear dapat dilakukan langsung dengan cara Operasi Baris Elementer (OBE), eliminasi gauss-jordan, aturan Cramer, determinan, matriks ataupun operasi lainnya.
PROGRAM LINEAR
A. PROGRAM LINIER
Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier. a. Formulasi Permasalahan
Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain.
Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.
b. Pembentukan model matematik
Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. Model matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Modelmatematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.
Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adala model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan
keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan.
Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua karakteristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan.
Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut : Fungsi tujuan :
Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
Sumber daya yang membatasi : a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1
karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan.Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap
tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol
a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang
membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi
kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.
Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model
matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.
Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. Meskipun fungsi tujuan
pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.
B. METODE SIMPLEKS
Pada bagian terdahulu masalah program linear dengan dua peubah keputusan masih dapat diselesaikan dengan metode grafik. Akan tetapi pada kenyataannya masalah program linear yang dihadapi kebanyakan lebih dari dua peubah keputusan dengan berbagai macam batasan, sehngga dipandang tidak efisien bila menggunakan metode grafik untuk mencari penyelesaian
optimumnya.
Menghadapi masalah program linear yang memiliki peubah keputusan lebih dari dua, metode simpleks yang lebih efisien. Metode simpleks merupakan pengembangan metode aljabar yang hanya menguji sebagaian dari jumlah penyelesaian yang layak dalam bantuan tabel. Penggunaan dalam bentuk tabel ini membuat metode simpleks lebih siap untuk digunakan dengan bantuan komputer.
a. Bentuk-Bentuk Masalah Program Linear
Kendala utama masalah program linear dapat berbentuk ≤ atau = , I = 1,2,3,4,… m (ada m banyaknya kendala, k peubah keputusan) kendala yang berbentuk pertidaksamaan dapat diubah menjadi persamaan beberapa cara sebagai berikut
(i) Bentuk kendala xj ≤ bi. dapat diubah dengan menyisipkan peubah tambahan st pada ruas kiri
sedimikian hingga + st = bt dengan st ≥ 0. Dalam hal ini, st = 0, bila = bi dan sj > 0 bila <>i
(ii) <>i, dapat diubah dengan menyisipkan peubah tambahan c1 pada ruas kanan sedemikian
sehingga = + ti atau i, dengan bi ≥ 0
Sesuai dengan fungsinya, s1 disebut peubah kekurangan (slack variabel) dan t1 disebut peubah
kelebihan (surplus variabel).
Berdasarkan perubahan di atas, himpunan kendala utama akan berubah menjadi susunan persamaan linear.
= bi, i = 1, …, m
ialah dengan memberi lambang peubah-peubah kekurangan atau kelebihan dengan xj dimulai
dari j = k + 1 samapi j = n. supaya penyelesaian susunan ini menjadi layak masih harus dipenuhi kendala tidak negative
Xj ≥ 0, j = 1, …, n
Pada umumnya susunan persamaan linear (1) di atas termasuk jenis yang mempunyai
Kemudian, diantara penyelesaian layak yang tidak terhingga banyaknya ini, kita mencari yang mengoptimumkan fungsi tujuan, utnuk memperoleh penyelesaian yang optimum
Untuk menyesuaikan dengan bentuyk kendala yang baru, fungsi tujuan yang semula berbentuk Z = dilengkapi menjadi
Z = dengan ck+1 = ck+2 = ck+3 …= cn = 0
Oleh karena itu, masalah program linear dapat digambarkan dalam berbagai bentuk seperti maksimasi atau minimasi dan dengan kendala dapat pula berbentuk lebih kecil atau sama
dengan, sama dengan, atau lebih besar atau sama dengan (≤, =, ≥), maka diperlukan suatu bentuk baku yang dapat memenuhi prosedur penyelesaian yang optimum. Bentuk baku yang sudah umum digunakan untuk meyelesaikan model program linear dapat dikemukakan sebagai berikut 1.bentuk baku
bentuk baku dari masalah program linear dengan m kendala dan n peubah, merupakan bentuk umum program linear. Keutamaan dari bentuk baku ini adalah: (a) fungsi tujuan berbentuk maksimum atau minimum, (b) semua kendala utama digambarkan dalam bentuk persamaan, (c) semua peubah keputusan tidak negative, dan (d) nilai ruas kanan setiap kendala tidak negative . dalam bentuk baku maslah program linear dapat digambarkan bentuk soal sebagai berikut mencari xj, j = 1, …, n
yang memenuhi = bi I = 1, …, m
atau memaksimumkan atau meminimumkan Z =
Apabila fungsi tujuan diamaksimumkan maka soal disebut berpola maksimum , dan bila fungsi tujuan diminimumkan maka soal disebut berpola minimum.
2.bentuk kanonik
bentuk kanonik mempunyai karakteristik sebagai berikut: (a) fungsi tujuan berbentuk maksimasi atau minimasi, (b) semua kendala utama berbentuk lebih kecil atau sama dengan (≤) untuk fungsi tujuan maksimum atau semua kendala utama berbentuk lebih besar atau sama dengan (≥) untuk fungsi tujuan minimum, (c)semua peubah keputusan tidak negative. Dalam bentuk kanonik masalah program linear dapat digambarkan bentuk soal sebagai berikut:
mencari xj, j = 1,2 …n
x1 ≥ 0
untuk maksimumkan Z =
hubungan dalam semua kendala utama berbentuk disebut berbentuk kanonik maksimum
mencari xj, j = 1,2 …n
yang memenuhi , i = 1, … , m x1 ≥ 0
untuk maksimumkan Z =
hubungan dalam semua kendala utama berbentuk ≥ disebut berbentuk kanonik minimum
Contoh
Tulis bentuk baku dari soal yang berbunyi: Mencari x,y yang memenuhi
5x + 4y ≤ 200 3x + 6y = 180 8x + 5y ≥ 160
x, y ≥ 0 kendala tidak negative untuk meminimumkan Z = 4x + 5y penyelesaian:
sisipkan peubah s pada kendala pertama dan peubah t pada kendala ketiga sehingga soal menjadi: mencari x, y, s, t yang memenuhi
5x + 4y + s = 200 3x + 6y = 180 8x + 5y - t = 160
x, y, s, t ≥ 0 kendala tidak negative
soal ini sudah berbentuk baku dengan x,y peubah asli, s peubah kekurangan dan t peubah kelebihan
b. Tahapan-Tahapan Penyelesaian Metode Simpleks 1. Tahap pra analisis
i.mengenali masalah PL yang diajukan:
beberapa keterangan yang perlu diajukan pada tahap ini, yaitu apakah fungsi tujuan meminimumkan atau memaksimumkan?
Terdapat berapa banyak peubah asli? Terdapat berapa banyakkendala utama?
ii.Konversi semua kendala kedalam bentuk baku (system persamaan) Masukkan peubah kekurangan (slack) atau,
Masukkan peubah kelebihan (surplus) atau, Masukkan peubah semu (artifisial)
2. Tahap analisis
iTentukan pemecahan layak dasar (basis) awal
iiSajikan data masalah PL ke dalam tabel simpleks awal
iiiTentuka kolom peubah yang akan masuk dalam dasar, kolom ini disebut kolom kunci. Apabila masalah PL berpola maksimum keuntungan, maka penentuan kolom kunci ini ditandai oleh nilai pada baris zj – cj yang memepunyai nilai negative terbesar (zj – cj ¸0). Dan apabila berpola
minimum biaya, maka kolom kunci ditandai oleh nilai pada baris zj – cjyang mempunyai nilai
positif terbesar (zj – cj > 0)
ivTentukan peubah yang akan keluar dasar (disebut baris kunci) dengan Ri yang terkecil.
vCari unsure baru yang terdapat pada baris kunci dengan cara membagi semua unsur yang terdapat pada baris kunci dengan unsur kunci. Unsur kunci adalah unsur yang terdapat pada persilangan pada baris kunci dengan kolom kunci.
viiApabila penyelesaian optimum belum trcapai pada tabel yang bersangkutan, maka ulangi kembali langkah (iii) sampai dengan ditemukannya penyelsaian optimum. Penyelesaian optimum tercapai bila zj – cj ≤ 0 untuk semua j pada pola minimum.
Untuk mengoperasikan data-data soal dan menerapkan tahapan-tahapan di atas disusun tabel yang kemudian disebut tabel simpleks sebagai berikut
Tabel simpleks
CJ : koefisien ongkos dari fungsi tujuan dan koefisien peubah kekurangan/ kelebihan/ semu
CB : Koefisien ongkos untuk peubah dasar XB
XB : Peubah yang menjadi dasar dalam tabel yang ditinjau
Xj : Peubah-peubah lengkap (asli/kekurangan/kelebihan/semu)
bi : suku tetap (tidak negatif) atau nilai ruas kanan setiap kendala
zj : (hasil kali dari CB dengan kolom aij )
z : (hasil kali dari CB dengan bi
zj - cj : selisih zj dengan cj
Apabila tabel bersangkutan belum optimal dan Xb terpilih sebagai dasar baru maka dibuat kolom
Riyang diperoleh dengan Ri = , hanya untuk aek > 0.
c. Pemecahan awal yang layak
Penyelesaian masalh program linear dengan metode simpleks, menghendaki adanya pemecahan awal yang layak pada awal perhitungan.tanpa adanya pemecahan awal yang layak (dasar awal yang layak), maka tabel simpleks tidak dapat dibentuk. Hal demikian tentu saja tidak dapat ditemui pad setiap permasalahn program linear. Untuk dapat menyelesaikan permasalahn program linear sehingga didapat pemecahan awal yang layak. Pendekatan dasar yangdapat ditempuh adalah dengan penambahan peubah semu (artificial variabel).
Contoh
Tentukan x1 dan x2 tidak negative dan maksimumkan X = 4x1+5x2 yang memenuhi
5x1 + 4x2 ≤ 200
3x1 + 6x2 = 180
8x1 + 5x2 ≥ 160
X1, x2 ≥ 0
Soal diatas diuba ke bentuk baku dengan menyisipkan peubah kekurangan ke dalam kendala ke-1 dan peubah kelebihan ke dalam kendala ke-3, sedang kendala ke-2 tidak memerlukan karena sudah berbentuk persamaan, jadi aoal sekarang adalah
Tentukan x1, x2, x3, x4 tidak negative dan
Maksimumkan Z = 4x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4
5x1+ 4x2 + x3 = 200
3x1 + 6x2 = 180
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
sekarang dipeiksa apakah semua kendala utama tersebut memliki peubah dasar yang layak? Kendala ke-1 : memiliki peubah dasar yang layak yaitu x3
Kendala ke-2 : belum memiliki peubah dasar
Kendala ke-3 : memiliki peubah dasar tapi tidak layak, karena memuat nilai negative untuk -x4
Oleh karena itu, tabel awal simpleks belum dapat dibuat. Untuk mendapatkan pemecahan awal yang layak, maka kendala ke-2 dan ke-3 perlu ditambahkan peubah semu yang bertindak sebagi peubah dasar yang layak.
Sebagai akibat, timbul syarat perlu supaya soal asli mempunyai penyelesaian optimum ialah bahwa dalam tabel optimum peubah semu harus bernilai nol.
Denagn demikian diharapkan bahwa peubah semu segera keluar dari dasar karena koefisien ongkosnya negative besar, sehingga soal menjadi:
Tentukan x1, x2, x3, x4 tidak negative dan
Maksimumkan Z = 4x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 – Mx5 – Mx6
5x1+ 4x2 + x3 = 200
3x1 + 6x2 -x5 = 180
8x1 + 5x2 - x4 -x6 = 160 dan
x1, x2, x3, x4 , x5, x6 ≥ 0
sekarang soal sudah siap untuk dimasukan ke dalam tabel simpleks awal C. ANALISIS PRIMAL - DUAL
Setiap persoalan program linier selalu mempunyai dua macam analisis, yaitu : analisis primal dan analisis dual yang biasanya disebut analisis primal-dual.
Model Umum Persoalan Primal - Dual
Bentuk Primal: Maksimumkan :
dan Xj ≥ 0, j = 1, 2, ... , n
Kalau akan dinyatakan menjadi Bentuk Dual : Minimumkan : F =
syarat ikatan : ≥ Cj , untuk j= 1, 2, 3, ...,n.
Yi ≥ 0, I = 1,2,… m
Dimana: Zopt = adalah samadengan Fopt =
Aturan umum dalam perumusan persoalan Program Linier menyangkut Bentuk Primal dan Dual adalah :
Bentuk Primal Bentuk Dual
Memaksimumkan fungsi tujuan
Meminimumkan fungsi tujuan, dan sebaliknya.
Koefisien fungsi tujuan (Cj )
Nilai Sebelah Kanan (NSK) fungsi kendala
NSK fungsi kendala primal-primal (bi ) Koefisien fungsi tujuan
Koefisien peubah ke-j Koefisien kendala ke-j
Koefisien kendala ke-i Koefisien peubah ke-i
Peubah ke-j yang positif (≥ 0)
Kendala ke-j dengan tandaketidaksa maan “lebih
besar daripada atau sama dengan “ (≥).
Peubah ke-j tandanya tidak dibatasi
Kendala ke-i yang bertanda sama dengan Peubah ke-i tandanya tidak dibatasi
Kendala ke-i yang bertanda
ketidaksamaan (≤) Peubah ke-i yang positif (≥)
D. METODE TRANSPORTASI
Metode Transportasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal dengan biaya yang termurah . Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa karena terdapat perbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber atau beberapa sumber ke tempat tujuan yang berbeda.
Tabel awal dapat dibuat dengan dua metode, yaitu:
1.Metode North West Corner (NWC) => dari pojok kiri atas ke pojok kanan bawah Kelemahan : tidak memperhitungkan besarnya biaya sehingga kurang efisien.
2.Metode biaya terkecil => mencari dan memenuhi yang biayanya terkecil dulu. Lebih efisien dibanding metode NWC.
Setelah tabel awal dibuat, tabel dapat dioptimalkan lagi dengan metode: 1.Stepping Stone (batu loncatan)
2.Modified Distribution Method (MODI)
Selain metode-metode di atas masih ada satu metode yang lebih sederhana penggunaannya yaitu metode Vogel’s Approximation Method (VAM).
II. TINGKAT SMA
A. Merancang model matematika yang berkaitan dengan program linier
Untuk dapat menyelesaikan program linier, terlebih dahulu kita harus terjemahkan
persoalankedalam bahasa matematika disebut model matematika. Jadi, model matematika adalah suatu rumusan matematika (berupa persamaan, pertidaksamaan atau fungsi) yang diperoleh dari hasil penafsiran suatu masalah program linier ke dalam bahasa matematika. Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (fungsional) antara satu unsur dengan unsur lain. Komponen dari suatu fungsi terdiri atas variabel, koefisien, dan
konstanta. Variabel adalah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan/ mewakili faktor tertentu dan terdiri atas variabel bebas dan variabel tak bebas. Variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung variabel lain. Sedangkan variabel tak bebas adalah variabel yang nilainya tergantung variabel lain. Koefisien adalah bilangan yang terletak didepan suatu variabel dalam sebuah fungsi. Konstanta adalah bilangan yang membentuk sebuah fungsi tetapi tidak terkait dengan variabel (berdiri sendiri). Sedangkan parameter adalah lambang-lambang yang mewakili anggota sebarang dari semestanya.
Contoh:
Luas suatu lahan parker adalah 400 m2. Luas rata-rata satu mobil dan satu bus masing-masing
adalah 8 m2 dan 24 m2. Lahan tersebut hanya memuat paling banyak 20 kendaraan. Buatlah
model matematika dari persoalan tersebut dengan memisalkan mobil yang sedang diparkir sebanyak x dan bus sebanyak y.
Penyelesaian: 8x + 24y ≤ 400 x + y ≤ 20
Karena x dan y masing-masing menunjukkan banyak mobil dan bus, x dan y berupa bilangan cacah. Jadi, model matematika persoalan tersebut adalah
8x + 24y ≤ 400 x + y ≤ 20 x ≥ 0, y ≥ 0 x, y € C
B. Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya 1. fungsi objektif ax + by
Langkah-langkah untuk meyelesaikan persoalan program linier secara umum adalah: 1.Menerjemahkan permasalahan ke dalam model matematika
2.Menyelesaikan system pertidaksamaan yang merupakan kendala atau pembatas. 3.Mencari penyelesaian optimum
4.Menjawab permasalahan.
Berkaitan dengan hal tersebut, kita dapat menggunakan metode grafik yang terdiri atasa dua macam cara, yaitu metode uji titik sudut dan metode garis selidik.
a.Metode uji titik sudut
Dengan menggunakan metode ini, nilai optimum dari bentuk objektif z = ax + by ditentukan dengan menghitung nilai-nilai z = ax + by pada setiap titik sudut yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian. Beberapa nilai yang diperoleh kemudian dibandingkan. Nilai yang paling besar merupakan nilai maksimum dari z = ax + by, sedangkan nilai yang paling kecil merupakan nilai minimum dari z = ax + by.
Contoh:
Tentukan nilai optimum bentuk objektif dari model matematika berikut, System pertidaksamaan linier dua variabel.
2x + y ≤ 30 2x + 3y ≤ 50
x ≥ 0, y ≥ 0, dengan x, y € C
Fungsi objektif : memaksimumkan z = x + y Penyelesaian:
Titik potong garis dengan persamaan 2x + y = 30 dan 2x + 3y = 50 dengan sumbu koordinat dapat ditentukan dengan membuat tabel.
Tabel 2x + y = 30
Y 30 0
(x,y) (0,30) (15,0)
Untuk 2x + 3y = 50
x 0 25
y 16 2/3 0
(x,y) (0,16 2/3) (25,0)
C(0,16 2/3)
(0,30)
B(10,10)
(25,0)
A(15,0)
O
b.Metode garis selidik ax + by = k
Menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif dengan menggunakan uji titik
Misalkan terdapat sutu fungsi objektif z = ax + by, dengan a dan b bilangan real. Dengan
mengambil beberapa nilai ki untuk z, yaitu k1, k2, …, kn, diperoleh n garis selidik yang memiliki
persamaan berikut k1 = ax + by
k2 = ax + by
…
kn = ax + by
Garis-garis tyersebut mempunyai gradient yang sama, yaitu m = - a/b. dengan demikian, garis tersebut merupakan garis yang sejajar. Apabila digambarkan, sebagaian dari garis-garis tersebut terletak pada daerah penyelesian pertidaksamaan linier (daerah feasible) dan salah satu diantaranya melalui titik optimum. Garis yang melalui titik optimum inilah yang
menghasilkan nilai optimum bagi fungsi objektif z = ax + by. Garis selidik yang berada paling kanan atau paling atas pada daerah penyelesaian menunjukan nilai maksimum, sedangkan garis selidik yang berada paling kiri atau paling baah daerah penyelesaian menunjukkan nilai
minimum. Contoh:
Tentukan nilai optimum bentuk objektif model matematia berikut. System pertidaksamann linier dua variabel:
2x + y ≤ 30 2x + 3y ≤ 50
X, y ≥ 0, dengan x, y € C
Fungsi objektif memaksimumkan z = x + y Penyelesaian:
Terlebih dahulu kita buat garis x + y = k, dengan k = 0, yaitu x + y = 0. Kemudian, kita buat garis-garis yang sejajar dengan garis x + y = 0 , yaitu mengambil nilai k yang berbeda-beda.
(0,30)
(25,0)
(0,16 2/3)
(10,10)
O
Dari gambar, tampak bahwa apabila nilai k makin besar, letak garis-garis x + y = k makin jauh dari titik O(0,0). Karena nilai k bersesuaian dengan nilai z, nilai z terbesar dan nilai z terkecil bersesuaian dengan garis terjauh dan garis terdekat dari titk O (0,0). Nilai z maksimum diperoleh dari garis x + y = k yang memalui titik (10,10), yaitu 10 + 10 = 20 dan nilai z minimum
diperoleh Dario garis x + y = k yang melalui titik O (0,0) yaitu 0 + 0 = 0 Persamaan adalah
III. TINGKAT SMP
a. Persamaan Linear Satu Variabel
Bentuk umum persamaan linier satu variabel: ax + c = 0
a = koefisien x = variabel c = konstanta
koefisien adalah bilangan yang menunjukkan faktor dari variabel variabel adalah huruf atau lambang yang belum diketahui nilainya. konstanta adalah bilangan tetap.
Suatu persamaan tidak akan berubah nilainya walaupun di tambah, di kurang, dikalikan atau di bagi dengan suatu bilangan asalkan dilakukan pada kedua ruas.
2. Menyelesaikan persamaan linear satu variabel
Menyelesaikan suatu persamaan adalah mencari pengganti ini dari suatu variabel dengan suatu bilangan sehingga kalimat matematika terbuka tersebut menjadi kalimat matematika tertutup yang bernilai benar.
3. Langkah-langkah menyelesaikan persamaan linier satu variabel Mengumpulkan suku sejenis
Variabel dan konstanta dipisahkan dan dikumpulkan masing-masing dalam satu ruas Menyederhanakan tiap ruas
Menyederhanakan baik variabel maupun konstanta yang sudah terkumpul dalam masing-masing ruas.
Membagi kedua ruas dengan koeffisien variabel
Apabila koefisien variabelnya belum -1 maka kedua ruas dibagi dengan koefisien variabelnya sehingga diperoleh koefisien dari variabelnya -1.
Pertidaksamaan inier satu variabel
Pertidaksamaan inier satu variabel adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama (<, > ≤, ≥ )
Sifat pertidaksamaan:
Suatu pertidaksamaan tidak akan berubah nilainya walaupun dikali/ dibagi dengan bilangan negative asalkan tanda pertidaksamaannya dirubah arahnya.
b. Persamaan Linear Dua Variabel
1. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan garis lurus pada bidang Cartesius dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by =
Persamaan-persamaan di atas adalah contoh bentuk persamaan linear dua variabel. Variabel pada persamaan x + 5 = y adalah x dan y, variabel pada persamaan 2a – b = 1 adalah a dan b. Adapun variabel pada persamaan 3p + 9q = 4 adalah p dan q. Perhatikan bahwa pada setiap contoh persamaan di atas,
banyaknya variabel ada dua dan masing-masing berpangkat satu. Persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c R, a, b ≠0, dan x, y suatu variabel. 2. Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel
Perhatikan persamaan x + y = 5. Persamaan x + y = 5 masih merupakan kalimat terbuka, artinya belum mempunyai nilai kebenaran. Jika nilai x kita ganti bilangan 1 maka nilai y yang memenuhi adalah 4. Karena pasangan bilangan (1, 4) memenuhi persamaan tersebut, maka
persamaan x + y = 5 menjadi kalimat yang benar. Dalam hal ini dikatakan bahwa (1, 4) merupakan salah satu penyelesaian dari persamaan x + y = 5.
C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel a.Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan linear adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan dan variabelnya berpangkat satu. Sedangkan persamaan ax + by + c = 0 dengan a, b dan c € R dan a, b ≠ 0 dinamakan persamaan linear dua variabel. Suatu konstanta tersebut mengubah persamaan itu menjadi kalimat yang bernilai benar. Himpunan semua konstanta yang memenuhi persamaan itu disebut himpunan penyelesaian. Persamaan-persamaan seperti 2x + 5y + 8 = 0, 2y – 6x = 9, 3m + n = 9 adalah bentuk-bentuk persamaan linear dua variabel.
Sistem persamaan linear dua variabel dalam x dan y adalah suatu susunan x dan y yang merupakan kesatuan-kesatuan yang masing-masing tidak berdiri sendiri, tetapi berfungsi membentuk kesatuan secara keseluruhan yang berbentuk ax + by = c, dimana a,b adalah koefisien dan c adalah konstanta, a dan b tidak sama dengan nol.
a2x + b2y = c2
Maka kedua persamaan diatas dikatakan sistem persamaan linear dua variabel dalam bentuk baku. Koordinat titik (x,y) yang memenuhi kedua persamaan itu dikatakan penyelesaian SPLDV tersebut.
b. Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV
Dalam menyelesaikan soal-soal sistem persamaan linear dua variabel ada beberapa metode yang digunakan, yaitu:
Metode Grafik
Grafik dari dua persamaan adalah berupa dua buah garis. Dalam metode grafik ada tiga hal yang perlu diperhatikan yaitu:
1)Jika kedua garis itu berpotongan, maka titik potongnya merupakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.
2)Jika kedua garis itu berimpit, maka himpunan penyelesaiannya tak berhingga.
3)Jika kedua garis itu sejajar, maka sistem persamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian. Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 10 dan x + y = 6, x,y € R dengan metode grafik.
Jawab:
Langkah 1:
Menentukan koordinat titik potong terhadap sumbu X (y = 0) dan sumbu Y (x = 0). 1)x + 2y = 10
X y (x,y)
0 5 (0,5)
2)x + y = 6,
X y (x,y)
0 6 (0,6)
6 0 (6,0)
Langkah 2:
(0,-7)
Menggambar grafik dari kedua persamaan linear dengan memperhatikan koordinat-koordinat titik potongnya pada suatu sistem koordinat kartesius yaitu:
O
X
Y
(0,6)
(2,4)
(6,0)
(6,0)
x + 2y = 10
Dengan melihat grafik diatas maka dapat ditentukan bahwa kedua garis dari persamaan tersebut berpotongan pada titik (2,4). Maka himpunan penyelesaian dari persamaan x + 2y = 10 dan x + y = 6 adalah { (2,4) }.
Metode eliminasi
Eliminasi artinya proses menghilangkan salah satu variabel untuk menentukan nilai variabel lainnya dan sebaliknya.
Adapun langkah-langkah yang digunakan untuk mengeliminasi variabel x atau y adalah sebagai berikut:
1)Perhatikan salah satu variabel dari masing-masing persamaan. Jika koefisiennya sama,perkurangkan persamaan (1) dan (2), dan jika berbeda tanda jumlahkan.
2)Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisien dengan mengalikan persamaan-persamaan dengan konstanta yang sesuai, kemudian lakukan operasi penjumlahan atau pengurangan seperti pada langkah pertama.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan cara eliminasi: x + 2y = 10
x + y = 6, x,y € R Jawab:
Misalnya yang pertama-tama akan dieliminasi adalah variabel y. Karena koefisiennya tidak sama, maka persamaan (1) dan (2) diperkalikan dengan konstanta yang bersesuaian sehingga koefisien y dari masing-masing persamaan menjadi sama.
x+ 2y = 10 × 1 x+ 2y =10
x + y = 6 × 2 2x + 2y = 12 (tanda sama maka diperkurangkan) -x = -2
x = 2
Untuk mengeliminasi variabel x, maka langsung diperkurangkan x + 2y = 10
_
x + y = 6 (tanda sama maka diperkurangkan) y = 4
Diperoleh nilai x = 2 dan y = 4. Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah { (2,4) }.
Metode substitusi
Kata “substitusi” sama artinya dengan “pengganti”, maka yang dimaksud dengan menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah dengan metode substitusi adalah terlebih dahulu menyatakan variabel yang satu ke variabel yang lainnya pada salah satu persamaan, kemudian mensubstitusi (mengganti) variabel tadi ke persamaan yang satunya lagi.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi, langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1)Pilih salah satu persamaan, kemudian nyatakan salah satu variabel persamaan tersebut ke dalam variabel yang lain sehingga diperoleh persamaan baru.
2)Substitusi persamaan yang diperoleh pada langkah pertama ke persamaan yang kedua sehingga diperoleh persamaan linear satu variabel. Kemudian selesaikan persamaan tersebut sehingga diperoleh nilai salah satu variabel.
3)Substitusi nilai yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan yang diperoleh pada langkah pertama sehingga diperoleh nilai variabel yang kedua.
Contoh:
x + y = 6, x,y € R Jawab:
Misalkan: x + 2y = 10 . . . (1) x + y = 6, . . . (2)
Langkah 1
Dari persamaan (1) yaitu x + 2y = 10 dinyatakan ke dalam variabel x sehingga diperoleh x = 10 – 2y . . . (3)
Langkah 2
Persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (2), sehingga diperoleh: (10 – 2y) + y = 6
<=> – y = 6 – 10 <=> – y = – 4 <=> y = 4
Langkah 3
Substitusikan y = 4 ke persamaan (3), diperoleh: x = 10 – 2 (4) = 2
Dari langkah-langkah diatas maka diperoleh bahwa nilai x = 2 dan y = 4. Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan diatas adalah { (2,4) }.
Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi
Metode gabungan eliminasi dan substitusi merupakan salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan mengeliminasi salah satu variabel kemudian dilanjutkan dengan mensubstitusi nilai variabel yang diperoleh ke dalam salah satu persamaannya.
III TINGKAT SD
A. Pengenalan Lambang Bilangan
= = =
B. Operasi Hitung
Tamu yang datang 5 orang, kemudian dating lagi tamu 3 orang + =
Banyaknya tamu sekarang adalah 8 orang
Indra membawa 4 permen, kemudian ia memberikan ardi 1 permen .
-Permen indra menjadi ________ =
C. Melakukan operasi hitung perkalian + +
Ada 3 piring yang berisi jeruk. Setiap piring berisi 6 buah jeruk. Banyak jeruk seluruhnya dapat dihitung dengan cara. 6 + 6 + 6 = 18
Bentuk 6 + 6 + 6 menunjukkan penjumlahan angka 6 sebanyak 3 kali. Jadi, 6 + 6 + 6 dapat ditulis menjadi perkalian 3 × 6 = 18.
D. Membandingkan banyak benda
Nanang memiliki enam belas ekor burung merpati, Adit memiliki dua belas ekor burung merpati. Manakah yang lebih banyak burung merpati Nanang atau burung merpati Adit ?
perhatikan gambar berikut burung merpati Nanang Burung merpati Adit
