PERSAMAAN DIFFERENSIAL. Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika

Disusun oleh:

Audrey Devina B 1211041005 Irul Maulidia 1211041007 Andhy Ramadhan 1211041021 Azhar Fuadi P 1211041025 Murni Mardiatus S 1211041029

SEKOLAH TINGGI KESEHATAN WIDYA CIPTA HUSADA MALANG

2012

Matematika doc. Page 2 DAFTAR ISI

Daftar Isi ...2

Pengertian Persamaan Diferensial ...3

1. Persamaan Diferensial Eksponen ...5

2. Persamaan Diferensial Logaritma ...6

3. Persamaan Diferensial Trigonometri ...8

Daftar Pustaka ...13

Pembagian Tugas ...14

Matematika doc. Page 3 PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. Pengertian persamaan diferensial

Persamaan differensial adalah persamaan matematika untuk suatu fungsi tak diketahui dari satu atau beberapa peubah yang menghubungkan nilai dari fungsi tersebut dengan turunannya sendiri pada berbagai derajat turunan (Ledder, 2005,p16). Suatu persamaan differensial disebut persamaan differensial biasa, jika semua turunannya berkaitan dengan satu peubah saja, dan disebut persamaan differensial parsial, jika turunannya berkaitan dengan dua atau lebih peubah. Orde dari persamaan differensial adalah derajat tertinggi dari turunan dalam persamaan yang bersangkutan. Himpunan dari n persamaan differensial orde- satu dengan n menyatakan banyaknya persamaan yang tidak diketahui disebut sistem persamaan differensial orde-satu; n adalah dimensi dari sistem yang bersangkutan.

pengertian lain yang perlu diketahui adalah persamaan differensial otonom. Suatu persamaan differensial biasa atau suatu sistem persamaan differensial biasa disebut otonom jika peubah bebasnya tidak tampak secara eksplisit dalam persamaannya (Ledder, 2005, p16).

Persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi 2 macam, yang tergantung pada jumlah variabel bebas. Apabila persamaan tersebut mengandung hanya satu variabel bebas, persamaan disebut dangan persamaan diferensial biasa, dan jika mengandung lebih dari satu variabel bebas disebut persamaan diferensial parsial. Derajad (order) dari persamaan diferensial ditentukan oleh derajad tertinggi dari turunannya.

1. Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.

2. Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik,

Matematika doc. Page 4 terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. Beberapa pesamaan diferensial parsial tidak dapat digolongkan dalam kategori-kategori tadi, dan dinamakan sebagai jenis campuran.

Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier. Sebuah persamaan diferensial disebut linier apabila fungsi yang tidak diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat satu (hasilkali tidak dibolehkan). Bila tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut adalah nonlinier.

Sebagai contoh persamaan diferensial biasa dibawah ini :

orde 1

orde 2

Persamaan diferensial biasa dengan ordo n, merupakan persamaan dengan satu perubah ( variabel) yang dapat dituliskan dalam bentuk :

dengan y = f(x)

Penyelesaian persamaan differensial ordo satu dapat lebih dari satu, sehingga untuk mencari penyelesaian yang unik atau khusus memerlukan informasi tambahan berupa harga awal.

Matematika doc. Page 5 Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana dibandingkan dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti.

Persamaan Metode Euler dapat dituliskan sebagai berikut : y_n = y_n-1 + h . f ( x_{n -1},y_{n- 1}) ; n = 1,2, 3, ……

dengan : xn = nilai x yang ditanya nilai fungsinya x₀ = nilai x awal.

n = bilangan bulat

B Macam macam Persamaan Deferensial 1. Persamaan deferensial eksponen

Persmaan deferensial eksponen adalah persamaan deferensial yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x(x sebagai pengubah). Berikut ini adalah rumus yang terkait dengan persamaan deferensial eksponen

No. y = f(x)

dx

dy = f ’(x)

1 k, k adalah konstanta 0

2 xⁿ nx^n-1 , n  Riil

3 e^x e^x

4 e^kx ke^kx

5 a^x a^x ln(a)

Sifat-sifat turunan.

Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi yang mempunyai turunan yaitu f ’(x) dan g ’(x) maka berlaku :

1. (k f) ‘(x) = k f ‘(x)

2. (f + g) ’(x) = f ’(x) + g ’(x) 3. (f – g) ‘(x) = f ‘(x) – g ‘(x)

Matematika doc. Page 6 4. (f . g) ‘(x) = f ‘(x) . g(x) + f (x) . g ‘(x)

5.

 

 

²

' ' '

) (

) ( ).

( ) ( ).

(

x g

x g x f x g x x f

g

f   



 



 , g(x) ≠ 0

untuk dua sifat (rumus) terakhir dapat diringkaskan agar memudahkan kita untuk menghafalnya, yaitu dengan cara memisalkan u = f(x) maka u’ = f ’(x) dan v = g(x) maka v’

= g ‘(x). sehingga dua rumus terakhir dapat dituliskan sebagai berikut : (u . v) ‘(x) = u’ . v + u . v’ dan

2 ' ' '

. ) .

( v

v u v x u

v

u  



 



 , v ≠ 0.

Selanjutnya, contoh-contoh berikut akan menjelaskan bagaimana daftar (rumus) dasar turunan dan sifatnya dapat digunakan dalam menyelesaikan persoalan turunan untuk fungsi sederhana..

Contoh :

Tentukan turunan dari fungsi y = x⁴ + 5x³– 4x² + 7x – 2.

Penyelesaian

y = x⁴ + 5x³– 4x² + 7x – 2, berdasarkan rumus no.1 dan 2 pada daftar maka

dx

dy = 4x^4-1 + 5 (3x^3-1) – 4 (2x^2-1) + 7 (x^1-1) – 0

= 4x³ + 15x² - 8x + 7.

2. Logaritma

Sebelum mencari turunan logaritma natural maka kita harus mengingat bilangan natural e Bilangan natural bisa didefinisikan sebagai berikut

Nah, sekarang kita akan menurunkan fungsi f(x) = ln x,maka

Matematika doc. Page 7 sekarang misalkan y = h/x misal h = xy atau 1/h = 1/(xy). Karena h ->0 maka y -> 0 Jadi

Jadi turunan dari f(x) = ln x adalah

Aturan rantai bisa dipakai pada logaritma natural ini, jadi

Matematika doc. Page 8 Contoh 1 :

Tentukan turunan pertama dari y = ln (8x +1) Jawab :

Contoh 2 :

Tentukan turunan pertama dari y = ln 9x adalah ....

Jawab :

Cara I :

Cara II

y = ln 9x = ln 9 + ln x, maka

(ln 9 adalah konstanta, jadi turunannya = 0)

3 Trigonometri

Trigonometri atau yang juga dikenal sebagai ilmu ukur segitiga adalah salah satu dari cabang ilmu matematika yang sangat terkenal dan telah digunakan sejak ribuan tahun yang lalu. Mungkin banyak diantara kita yang tidak mengetahui bahwa Trigonometri telah banyak digunakan untuk mengungkap banyak misteri alam yang pada akhirnya banyak membantu manusia dalam bidang sains dan teknologi.

Turunan Sinus dan Kosinus

Pada dasarnya turunan sinus dan kosinus mengacu pada definisi turunan, namun hasilnya telah diringkaskan pada teorema berikut :

Teorima 1

Fungsi-fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x, keduanya mempunyai turunan (dapat didiferensialkan) yaitu turunan sin x adalah f ’(x) = cos x dan turunan cos x adalah g ’(x) = - sin x.

Matematika doc. Page 9 Dengan menggunakan teorema diatas dan rumus turunan hasil kali serta turunan hasil bagi, maka dapat di tentukan rumus turunan fungsi trigonometri lainnya yang dinyatakan pada teorema berikut.

Contoh :

Tentukan turunan dari fungsi y = 3 sin x – 2 cos x.

Penyelesaian.

y = 3 sin x – 2 cos x, maka

dx

dy = 3 (sin x) dx

d - 2 (cosx) dx

d

= 3 cos x - 2 (- sin x) = 3 cos x + 2 sin x.

Teorima 2 Jika (sin x)

dx

d = cos x dan (cosx) dx

d = – sin x, maka :

1. (tan x) dx

d = sec² x.

2. (cotanx) dx

d = - cosec² x.

3. (secx) dx

d = sec x . tan x.

4. (cosecx) dx

d = - cosec x . cotan x.

Contoh :

Tentukan turunan dari fungsi y = 3 sin 2x.

Penyelesaian.

Untuk menentukan dx

dy terlebih dahulu kita uraikan fungsi sin 2x dengan menggunakan

kesamaan trigonometri yaitu sin 2x = 2 sin x . cos x. Dan dengan menggunakan rumus turunan hasil kali, maka

dx

dy = (3sin2x) dx

d = [3(2sinx.cosx)]

dx d

= (6sinx.cosx) dx

d

= 6 _



 



 (sin ).cos sin (cosx) dx

x d x

dx x d

Matematika doc. Page 10 dx

dy = 6[cos x . cos x + sin x . (- sin x)]

= 6 cos² x – sin² x = 6 cos 2x.

Aplikasi

Persamaan Deferensial dapat diterapkan pada bidang radiologi salah satunyayaitu peluruhan radioaktif. Peluruhan radioaktif adalah kumpulan beragam proses di mana sebuah inti atom yang tidak stabil memancarkan partikel subatomik (partikel radiasi). Peluruhan terjadi pada sebuah nukleus induk dan menghasilkan sebuah nukleus anak. Ini adalah sebuah proses acak sehingga sulit untuk memprediksi peluruhan sebuah atom.

Satuan internasional (SI) untuk pengukuran peluruhan radioaktif adalah becquerel (Bq). Jika sebuah material radioaktif menghasilkan 1 buah kejadian peluruhan tiap 1 detik, maka dikatakan material tersebut mempunyai aktivitas 1 Bq. Karena biasanya sebuah sampel material radiaktif mengandung banyak atom,1 becquerel akan tampak sebagai tingkat aktivitas yang rendah; satuan yang biasa digunakan adalah dalam orde gigabecquerels.

Laju peluruhan, atau aktivitas, dari material radioaktif ditentukan oleh:

1. Konstanta:

 Waktu paruh - simbol t1 / 2 - waktu yang diperlukan sebuah material radioaktif untuk meluruh menjadi setengah bagian dari sebelumnya.

 Rerata waktu hidup - simbol τ - rerata waktu hidup (umur hidup) sebuah material radioaktif.

 Konstanta peluruhan - simbol λ - konstanta peluruhan berbanding terbalik dengan waktu hidup (umur hidup).

 (Perlu dicatat meskipun konstanta, mereka terkait dengan perilaku yang secara statistik acak, dan prediksi menggunakan kontanta ini menjadi berkurang keakuratannya untuk material dalam jumlah kecil. Tetapi, peluruhan radioaktif yang digunakan dalam teknik penanggalan sangat handal. Teknik ini merupakan salah satu pertaruhan yang aman dalam ilmu pengetahuan.

2. Variabel:

 Aktivitas total - simbol A - jumlah peluruhan tiap detik.

 Aktivitas khusus - simbol SA - jumlah peluruhan tiap detik per jumlah substansi. "Jumlah substansi" dapat berupa satuan massa atau volume.)

Half-life (waktu paruh) adalah periode waktu yang diperlukan suatu zat untuk meluruh menjadi separuh. Nama ini pada awalnya dipakai untuk karakteristik atom yang tidak stabil