LK 0.1 Modul 2 - Aljabar dan Program Linear (Suci Nabilah Ulfah)

(1)

LK 0.1 : Lembar Kerja Belajar Mandiri Nama : Suci Nabilah Ulfah

Judul Modul MODUL 2

ALJABAR DAN PROGRAM LINEAR Judul Kegiatan Belajar (KB) 1. KB 1. BENTUK ALJABAR DAN SISTEM

PERSAMAAN LINEAR

2. KB 2. MATRIKS DAN VEKTOR PADA BIDANG DAN RUANG

3. KB 3. PROGRAM LINEAR

4. KB 4. PEMBELAJARAN ALJABAR N

o

Butir Refleksi Respon/Jawaban

1 Garis besar materi yang dipelajari

KB 1. BENTUK ALJABAR DAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

1. Bentuk Aljabar a. Bentuk Aljabar

Bentuk Aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui.

b. Suku

Suku adalah bagian dari bentuk aljabar yang dipisah dengan tanda

–

atau

+ ¿

^. c. Faktor

Faktor adalah bilangan yang membagi bilangan lain atau hasil kali.

d. Koefisien

Koefisien adalah faktor bilangan pada hasil kali dengan suatu peubah.

e. Konstanta

Konstanta adalah lambang yang

menyatakan bilangan tertentu (bilangan konstan/tetap).

f. Suku Sejenis dan Tidak Sejenis

Suku sejenis memiliki peubah dan pangkat dari peubah yang sama. Jika berbeda, disebut dengan suku tidak sama atau suku tidak sejenis.

g. Operasi Bentuk Aljabar

1) Operasi hitung penjumlahan dan pengurangan suku aljabar dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan koefisien antara suku- suku yang sejenis.

2) Operasi hitung perkalian dan pembagian suku aljabar dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat operasi hitung pada bilangan riil.

a) Sifat komutatif penjumlahan, yaitu:

a + b = b + a

b) Sifat asosiatif penjumlahan, yaitu:

a + (b + c) = (a + b) + c

(2)

c) Sifat komutatif perkalian, yaitu:

a × b = b × a

d) Sifat asosiatif perkalian, yaitu:

a × (b × c) = (a × b) × c

e) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu:

a × (b ± c) = (a × b) ± (a × c) h. Perkalian antarsuku Bentuk Aljabar

Pada perkalian antarsuku bentuk aljabar, kita dapat menggunakan sifat distributif sebagai konsep dasarnya.

i. Pemfaktoran Bentuk Aljabar

Untuk memfaktorkan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan hukum distributif. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari faktor

persekutuan terbesar dari setiap suku aljabar.

2. Persamaan dan Pertidaksamaan a. Persamaan

Persamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung ” = ” (sama dengan).

1) Persamaan linear satu variabel (PLSV) Bentuk umumnya:

ax + b = c ,

a ≠ 0 , x

sebagai variabel.

2) Penyelesaian PLSV

Penyelesaian (solusi) dari suatu PLSV adalah bilangan real yang

menggantikan variabel sehingga persamaan tersebut menjadi bernilai benar.

3) Persamaan linear dua variabel (PLDV) Bentuk umumnya:

ax +by =c , a , b ≠ 0 , x

dan

y

sebagai variabel.

4) Himpunan penyelesaian (HP) dari PLDV Penyelesaian (solusi) dari PLDV adalah bilangan terurut (

x

₁

, y

₁) sedemikian hingga jika disubstitusikan

x

₁ untuk

x

dan

y

₁ untuk

y

mengakibatkan persamaan menjadi bernilai benar.

b. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah kalimat matematis yang dibangun dengan menggunakan satu atau lebih simbol untuk membandingkan 2 kuantitas.

1) Pertidaksamaan linear satu variabel Bentuk umumnya:

x < a

.

Langkah-langkah penyelesaian:

a) Tambahkan kedua ruas dengan bilangan yang sama.

b) Kurangkan kedua ruas dengan bilangan yang sama.

(3)

c) Kalikan atau bagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama.

d) Jika mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama maka tanda

pertidaksamaannya harus dibalik.

2) Pertidaksamaan linear dua variabel Bentuk umumnya:

y < mx

atau

ax + by < c

. Langkah-langkah penyelesaian:

a) Ubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan.

b) Ambil titik uji

P

yang tidak berada pada garis

l

dan cek apakah memenuhi pertidaksamaan.

c) Arsir daerah yang tidak memenuhi pertidaksamaan.

d) Himpunan penyelesaiannya dalam gambar berupa daerah sehingga disebut dengan daerah

penyelesaian.

3. Sistem Persamaan Linear (SPL) a. Pengertian SPL dan Solusi SPL b. Jenis-jenis SPL

1) SPL bentuk AX=B

a) SPL homogen, jika B=O b) SPL non homogen, jika B

≠

O 2) Solusi yang dimiliki oleh SPL

a) SPL konsisten, jika mempunyai solusi

b) SPL tak konsisten, jika tidak mempunyai solusi

c. Metode Penyelesaian SPL 1) Metode substitusi 2) Metode eliminasi

3) Metode gabungan (Eliminasi dan Substitusi)

KB 2. MATRIKS DAN VEKTOR PADA BIDANG DAN RUANG

1. Matriks dan Determinan a. Matriks

Matriks adalah susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan.

1) Jenis-jenis matriks a) Matriks persegi

b) Matriks segitiga bawah c) Matriks segitiga atas d) Matriks segitiga e) Matriks diagonal f) Matriks skalar g) Matriks identitas h) Matriks nol i) Matriks kolom 2) Operasi pada matriks

(4)

a) Sifat komutatif penjumlahan b) Sifat asosiatif penjumlahan c) Sifat asosiatif perkalian

d) Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan

e) Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan

3) Invers matriks

Jika A matriks persegi dan terdapat matriks B sedemikian sehingga

AB= BA= I

, maka

A

dikatakan invertibel dan

B

dikatakan invers

A ( A

⁻¹

)

^.

4) Transpos matriks

Jika

A

matriks

p × q

, maka transpos

A

, ditulis

A

^T, didefinisikan sebagai matriks

q × p

yang diperoleh dari menukar baris dan kolom

A

.

Sifat-sifatnya:

a)

( A

^T

)

^T

= A

b)

( A + B )

^T

= A

^T

+ B

^T

c)

( kA )

^T

=k ( A )

^T^{, dengan}

k

sebarang skalar

d)

( AB )

^T

=B

^T

A

^T

5) Matriks elementer dan metode mencari invers matriks

Suatu matriks

n × n

disebut matriks elementer jika dapat diperoleh dari matriks identitas

I

_n berukuran

n × n

dengan melakukan satu operasi baris elementer.

b. Determinan

Determinan A, ditulis det(A) atau |A| , dan didefinisikan sebagai jumlah semua

hasilkali elementer bertanda dari A.

1) Sifat-sifat determinan matriks 2) Aturan Cramer

2. Vektor pada Bidang dan Ruang

a. Vektor pada Sistem Koordinat Kartesius b. Norm Vektor

Jika

u , v

dan

w

vektor-vektor di

R

²

atau R

³^,

k

dan

l

skalar maka:

1)

u + v= v +u

2)

( u+ v )+w=u +(v + w )

3)

u + 0 = 0 + u

4)

u +(−u )= 0

5)

k ( lu )=( kl ) u

6)

k (u + v )=ku+ kv

7)

( k +l ) u=ku +lu

8)

lu = u

c. Hasil Kali Titik (Dot Product) d. Hasil Kali Silang (Cross Product)

(5)

3. Matriks Transformasi a. Refleksi

Transformasi pada

R

²

atau R

³^yang

memetakan titik ke bayangan simetrisnya terhadap garis atau bidang.

b. Rotasi

Transformasi yang merotasikan setiap vektor di

R

² sebesar sudut tetap

θ

. c. Translasi

Transformasi yang memindahkan (menggeser) setiap titik di

R

²^menurut besar dan arah yang tetap.

d. Dilatasi

Jika koordinat dari setiap titik pada bidang dikalikan konstanta positif

k

, maka efeknya adalah memperkecil atau memperbesar setiap gambar bidang pada arah

− x

. KB 3. PROGRAM LINEAR

1. Program Linear

Masalah yang berkaitan dengan upaya menemukan nilai optimal (nilai maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan dengan kendala/pembatas yang dinyatakan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan linear.

2. Metode Grafik

Untuk menyelesaikan masalah program linear yang melibatkan 2 variabel dan 2 atau lebih pertidaksamaan maka digunakan metode grafik.

Metode grafik dibedakan menjadi 2 yaitu:

a. Metode titik ekstrim (titik pojok) b. Metode garis selidik

3. Metode Simpleks 4. Dualitas

Jika model maksimumnya dianggap sebagai primal maka model minimumnya sebagai dual.

Begitu pula sebaliknya, jika model

maksimumnya sebagai dual maka model minimumnya sebagai primal.

KB 4. PEMBELAJARAN ALJABAR 1. Teori Belajar

2. Model Pembelajaran Discovery Learning Pendekatan pembelajaran berbasis inquiry dimana siswa membangun pengetahuan baru berdasarkan pengetahuan awal yang

dimilikinya dan pengalaman aktif.

Sintak pembelajaran Discovery Learning:

a. Menciptakan Stimulus/Rangsangan (Stimulation)

b. Meyiapkan Pernyataan Masalah (Problem Statement)

(6)

c. Mengumpulkan Data (Data Collecting) d. Mengolah Data (Data Processing) e. Memverifikasi Data (Verification) f. Menarik Kesimpulan (Generalization) 3. Pembelajaran Abad 21

Keterampilan pembelajaran abad 21:

a. Kreativitas Berpikir dan Inovasi Peserta didik dapat menghasilkan, mengembangkan, dan

mengimplementasikan ide-ide mereka secara kreatif baik secara mandiri maupun berkelompok.

b. Berpikir Kritis dan Pemecahan Masalah Peserta didik dapat mengidentifikasi, menganalisisi, mengintrepetasikan, dan mengevaluasi bukti-bukti, argumentasi, klaim dan data-data yang tersaji secara luas melalui pengkajian secara mendalam serta merefleksikannya dalam kehidupan sehari-hari.

c. Komunikasi

Peserta didik dapat mengkomunikasikan ide-ide dan gagasan secara efektif

menggunakan media lisan, tertulis, maupun teknologi.

d. Kolaborasi

Peserta didik dapat bekerja sama dalam sebuah kelompok dalam memecahkan permasalahan yang ditemukan.

4. Penguatan Pendidikan Karakter (PPK) a. Nilai Utama Gerakan PPK

1) Religius 2) Nasionalis 3) Mandiri

4) Gotong royong 5) Integritas b. Gerakan PPK

1) PPK berbasis kelas

2) PPK berbasis budaya sekolah 3) PPK berbasis masyarakat

5. Perangkat Pembelajaran Materi Bentuk Aljabar

a. Silabus

1) Identittas satuan pendidikan 2) Mata pelajaran

3) Kelas/semester 4) Kompetensi inti (KI) 5) Kompetensi dasar (KD) 6) Nilai karakter

7) Indikator pencapaian kompetensi (IPK) 8) Materi pokok

9) Kegiatan pembelajaran 10) Penilaian

11) Alokasi waktu

(7)

12) Sumber belajar

b. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) 1) Identitas satuan pendidikan

2) Mata pelajaran 3) Materi pokok 4) Kelas/semester 5) Alokasi waktu 6) KI, KD, dan IPK 7) Tujuan pembelajaran 8) Materi pembelajaran

9) Pendekatan, metode, dan model pembelajaran

10) Media/alat 11) Sumber belajar

12) Kegiatan pembelajaran Penilaian

c. Lampiran 1 Bahan Ajar d. Lampiran 2 Materi Remedial e. Lampiran 3 Materi Pengayaan f. Lampiran 4 Media PPT

g. Lampiran 5 LKPD

h. Lampiran 6 Instrumen Penilaian 2 Daftar materi yang sulit

dipahami di modul ini

KB 1. BENTUK ALJABAR DAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

1. Menentukan faktor bentuk aljabar 2. Mencari penyelesaian pertidaksamaan KB 2. MATRIKS DAN VEKTOR PADA BIDANG DAN RUANG

1. Determinan matriks dengan aturan Cramer 2. Menggambar vektor resultan yang rumit 3. Menentukan matriks transformasi

KB 3. PROGRAM LINEAR

1. Menyelesaiakan masalah program linear dengan metode simpleks

2. Menyelesaikan permasalahan dualitas KB 4. PEMBELAJARAN ALJABAR

1. Memberikan stimulus/rangsangan kepada siswa agar dapat berpikir kritis

3 Daftar materi yang sering mengalami miskonsepsi

KB 1. BENTUK ALJABAR DAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

1. Operasi Bentuk Aljabar (contoh penjumlahan suku aljabar:

5 x+ 4 y

dijumlahkan menjadi

9 xy

)

KB 2. MATRIKS DAN VEKTOR PADA BIDANG DAN RUANG

1. Invers Matriks

2. Matriks Transformasi KB 3. PROGRAM LINEAR 1. Penggunaan garis selidik

2. Mengarsir daerah himpunan penyelesaian

(8)

(DHP)

KB 4. PEMBELAJARAN ALJABAR

1. Penyelesaian masalah open ended dan HOTS