Kalkulus Lanjut

(1)

PERANGKAT KULIAH

ISI:

1. KONTRAK PERKULIAHAN 2. SILABUS

3. RENCANA PELAKSANAAN PERKULIAHAN

PROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA

MATA KULIAH : KALKULUS LANJUT

DOSEN PENGAMPU : SITI KHOIRIYAH, M.Pd.

SEKOLAH TINGGI ILMU KEGURUAN DAN PENDIDIKAN MUHAMMADIYAH PRINGSEWU

LAMPUNG

(2)

Nama Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut Kode Mata Kuliah : 27332

Program Studi : Pendidikan Matematika Dosen Pengampu : Siti Khoiriyah, M.Pd. Semester/ Tahun : VII (Tujuh)/ 2013-2014

A. Manfaat Mata Kuliah

Setelah mengikuti matakuliah kalkulus lanjut diharapkan mahasiswa menguasai berbagai teknik uji kekonvergenan untuk barisan dan deret dan menguasai turunan dua peubah serta beberapa aplikasinya, dan menguasai berbagai teknik integrasi ganda dan beberapa aplikasinya.

B. Deskripsi Mata Kuliah

Kalkulus lanjut memuat fungsi dua peubah, turunan fungsi dua peubah, turunan berarah, aturan rantai, nilai maksimum dan nilai minimum fungsi dua peubah, dan metode lagrange. Integral ganda dalam koordinat kartesius ataupun polar, aplikasi integral ganda dalam mencari volume benda pejal dan titik pusat massa, integral lipat tiga dalam koordinat cartesius.

C. Standar Kompetensi

1. Irisan Kerucut dan koordinat kutub 2. Fungsi dua peubah

3. Turunan fungsi dua peubah 4. Turunan berarah

5. Aturan rantai

6. Nilai maksimum dan minimum fungsi dua peubah 7. Metode lagrange

8. Integral ganda dalam koordinat kartesius ataupun polar.

9. Aplikasi integral ganda dalam mencari volume benda pejal dan titik pusat massa.

10. Luas permukaan

11. Integral lipat tiga (Koordinat Cartesius) D. Strategi Perkuliahan

(3)

Strategi perkuliahan yang digunakan dalam perkuliahan ini, antara lain: 1. Metode : Ceramah, diskusi, dan tanya jawab.

2. Tugas : Individu

3. Media : LCD dan white board E. Organisasi Materi Perkuliahan

NO.

MATERI PERKULIAHAN POKOK

BAHASAN SUB POKOK BAHASAN

1.

Irisan Kerucut dan Koordinat Kutub 1. Irisan Kerucut 2. Koordinat Kutub 2. Turunan dalam Ruang Berdimensi n

1. Fungsi dengan Dua Peubah atau Lebih 2. Turunan Parsial

3. Turunan Berarah dan Gradien 4. Aturan Rantai

5. Maksimum dan minimum 6. Metode Lagrange

3. Integral dalam Ruang Berdimensi

n

1. Integral Lipat-Dua atas Persegi Panjang 2. Intergral Lipat-Dua dalam Koordinat

Kutub

3. Penerapan Integral Lipat-Dua 4. Luas Permukaan

5. Integral Lipat-Tiga (koordinat Cartesiua)

F. Bacaan Perkuliahan

1. Edwin J. Purcell, et al. 2003. Kalkulus Jilid 1. Jakarta: Erlangga. 2. Edwin J. Purcell, et al. 2003. Kalkulus Jilid 2. Jakarta: Erlangga. 3. Robert Wrede, et al. 2006. Kalkulus Lanjut Edisi Kedua. Jakarta:

Erlangga G. Tugas

Agar mahasiswa dapat mencapai standar kompetensi yang telah ditetapkan, maka mahasiswa diwajibkan melaksanakan tugas-tugas, baik tugas kelompok maupun individu.

(4)

H. Partisipasi Kelas 1. Presensi

Mahasiswa diwajibkan hadir dalam perkuliahan sesuai dengan ketentuan, minimal 80% dari tatap muka. Apabila hal tersebut tidak dipenuhi, mahasiswa ditetapkan tidak dapat mengikuti ujian dan tidak mendapatkan nilai.

2. Partisipasi Kelas

Mahasiswa harus memberikan kontribusi secara aktif dalam diskusi kelas serta bertanggung jawab untuk mendapatkan pemahaman rinci, mengajukan petanyaan sebagai partisipasi dengan membaca materi bacaan yang dijadualkan serta melaksanakan latihan yang diberikan dari waktu kewaktu, sehingga mahasiswa dapat berpartisipasi aktif dalam perkuliahan ataupun diskusi kelas.

3. Penugasan Aplikatif

Mahasiswa dapat bekerja mandiri ataupun dengan berkelompok wajib mengerjakan latihan dan penugasan pokok Kalkulus Lanjut.

I. Kriteria Penilaian

Nilai Akhir Huruf Mutu Angka Mutu Status 76 – 100 66 – 75 55 – 65 50 – 54 0 – 49 A B C D E 4 3 2 1 0 LULUS LULUS LULUS LULUS TIDAK LULUS

Dalam menentukan nilai akhir akan digunakan persentase pembobotan sebagai berikut:

1. Kuis = 25%

2. Mid Semester = 20%

3. Tugas = 30%

(5)

J. Jadwal Perkuliahan

Tanggal Pertemuan ke

Pokok Bahasan/ Materi Pokok

Sub Pokok Bahasan 31-08-13 1 Irisan kerucut dan

Koordinat Kutub 1. Irisan Kerucut 7-09-13 2 2. Koordinat Kutub 14-09-13 3 Turunan dalam Ruang Berdimensi n

1. Fungsi dengan Dua Peubah atau Lebih 2. Turunan Parsial

21-09-13 4 3. Turunan Parsial

4. Turunan Berarah dan Gradien 28-09-13 5 KUIS I 5-10-13 6 5. Aturan Rantai 12-10-13 7 6. Maksimum dan minimum 19-10-13 8 7. Metode Lagrange 26-10-13 9 MID SEMESTER 2-11-13 10 Integral dalam Ruang Berdimensi n

1. Integral Lipat-Dua atas Persegi Panjang

9-11-13 11 2. Intergral Lipat-Dua

dalam Koordinat Kutub

16-11-13 12 3. Penerapan Integral Lipat-Dua 23-11-13 13 KUIS II 30-11-13 14 Integral dalam Ruang Berdimensi n 4. Luas permukaan

7-12-13 15 5. Integral Lipat –Tiga

(koordinat Cartesius)

14-12-13 16 UJIAN

(6)

RENCANA PELAKSANAAN PERKULIAHAN(RPP)

Program Studi : Pendidikan matematika Mata Kuliah : Kalkulus Lanjut

SKS : 3 SKS

Semester : VII (tujuh)

Pokok Bahasan : Irisan Kerucut dan Koordinat Kutub Sub Pokok Bahasan : a. Irisan Kerucut

b. Koordinat Kutub

Alokasi Waktu : 6 x 50 menit ( 2 pertemuan) Pertemuan : 1 dan 2

I. Tujuan pembelajaran

1. Memahami jenis-jenis irisan kerucut

2. Memahami persamaan standar dari suatu parabola 3. Memahami persamaan standar dari suatu elips 4. Memahami persamaan standar dari suatu hiperbola

5. Memahami bagaimana menggambar grafik koordinat kutub

6. Menggambarkan persamaan kutub ke dalam grafik koordinat kutub 7. Memahami hubungan koordinat kutub dengan koordinat kartesius 8. Mengubah persamaan kutub kedalam persamaan kartesius kartesius 9. Mengubah persamaan kartesius menjadi persamaan kutub

10. Memahami persamaan kutub untuk garis 11. Memahami persamaan kutub untuk lingkaran 12. Memahami persamaan kutub untuk irisan kerucut II. Metode Pembelajaran

1. Ceramah bervariasi 2. Diskusi

3. Pemberian tugas

III. Langkah-langkah Pembelajaran Pertemuan 1 ( 150 menit)

1. Kegiatan Awal

a. Memberikan pertanyaan tentang irisan kerucut b. Mengingat kembali macam-macam irisan kerucut

(7)

c. Mengingat kembali istilah-istilang dalam irisan kerucut

2. Kegiatan Inti

a. Memahami bagian-bagian dari irisan kerucut

b. Menjelaskan bagaimana persamaan standar dari suatu parabola diturunkan

c. Menjelaskan bagaimana persamaan standar suatu elips diturunkan d. Menjelaskan bagaimana persamaan standar hiperbola diturunkan e. Membedakan parabola, elips, dan hiperbola berdasarkan

eksentrisitasnya

f. Menentukan jenis irisan kerucut jika diketahui persamaannya

3. Kegiatan akhir

a. Menyimpulakan perbedaan parabola, elips, dan hiperbola berdasarkan eksentrisitasnya

b. Menyimpulkan persamaan standar suatu parabola c. Menyimpulkan persamaan standar suatu elips d. Menyimpulkan persamaan standar suatu hiperbola Pertemuan 2 ( 150 menit)

1. Kegiatan Awal

a. Mengingat kembali tentang koordinat kartesius b. Memberi pertanyaan tentang koordinat kutub 2. Kegiatan Inti

a. Menjelaskan koordinat kutub

b. Menjelaskan bagian-bagian dari koordinat kutub

c. Menjelaskan keistimewaan koordinat kutub dibandingkan dengan koordinat kartesius

d. Menggambarkan grafik dari suatu persamaan kutub ke dalam koordinat kutub

(8)

f. Merubah koordinat kutub menjadi koordinat kartesius yang bersesuaian

g. Mengubah koordinat kartesius menjadi koordinat kutub yang bersesuaian

h. Mengubah persamaan kutub menjadi persamaan kartesius i. Mengubah persamaan kartesius menjadi persamaan kutub j. Menjelaskan persamaan kutub untuk garis

k. Menjelaskan persamaan kutub untuk lingkaran l. Menjelaskan persamaan kutub untuk irisan kerucut 3. Kegiatan akhir

a. Menyimpulkan persamaan kutub untuk garis b. Menyimpulkan persamaan kutub untuk lingkaran c. menyimpulkan persamaan kutub untuk irisan kerucut IV. Sumber Belajar

Erlangga

V. Penilaian

1. Bentuk instrumen : Uraian panjang 2. Soal atau instrumen :

a. Plotlah titik-titik yang mempunyai koordinat kutub berikut ini. Untuk setiap titik , berikan 4 pasang koordinat kutub lainnya . dua dengan r positif dan dua dengan r negatif.

a. (1,1 2𝜋) b. (−1, 1 4𝜋) c. (√2, − 1 3𝜋) d. (−√2, 5 2𝜋) b. Tentukan koordinat kartesius dari titik-titik pada soal a

c. Sketsa grafik dari persamaan kartesius berikut, kemudian tentukan persamaan kutubnya.

a. x – 3y + 2 = 0 b. y = -2

(9)

c. x2 + y2 = 4

d. tentukan persamaan kartesius dari persamaan kutub berikut ini a. 𝜃 =1

2𝜋 b. r cos θ + 3 = 0 c. r sin θ – 1 = 0

d. r2 – 6r cos θ – 4r sin θ + 9 = 0

e. namailah kurva dengan persamaan kutub yang diberikan berikut ini. Jika merupakan irisan kerucut tentukan eksentrisitasnya.

a. r = 6 b. 𝑟 = 3 𝑠𝑖𝑛𝜃 c. 𝑟 = 4 sin 𝜋 d. 𝑟 = 4 1+cos 𝜃 e. 𝑟 = 6 2+sin 𝜃 f. 𝑟 = 4 2+2 cos 𝜃 Pringsewu, Agustus 2013

Mengetahui Dosen Pengampu

Ketua Jurusan P.MIPA, Mata Kuliah Kalkulus Lanjut,

Dra. Naning Sutriningsih, M.Pd. Siti Khoiriyah, M.Pd. NIP 19680205 199103 2 003

(10)

SKS : 3 SKS

Pokok Bahasan : Turunan dalam Ruang Berdimensi n Sub Pokok Bahasan : a. Fungsi dengan dua peubah atau lebih

b. Turunan Parsial

Alokasi Waktu : 6 x 50 menit ( 2 pertemuan) Pertemuan : 3 dan 4

1. Memahami fungsi bernilai real dengan dua peubah real 2. Menentukan daerah asal dari suatu fungsi dua peubah 3. Menentukan daerah asal alami dari suatu fungsi dua peubah 4. Menentukan daerah hasil dari suatu fungsi dua peubah 5. Menggambarkan sketsa grafik fungsi dua peubah

6. Memahami pengertian turunan parsial dari fungsi dengan dua peubah 7. Menyelesaikan turunan parsial dari fungsi dengan dua peubah

8. Menyelesaikan turunan parsial yang lebih tinggi dari fungsi dengan dua peubah

9. Menyelesaikan turunan parsial dari fungsi dengan tiga peubah

10. Menyelesaikan turunan parsial yang lebih tinggi dari fungsi dengan tiga peubah

II. Metode Pembelajaran 1. Ceramah bervariasi 2. Diskusi

3. Pemberian tugas

1. Kegiatan Awal

a. Mengingat kembali fungsi bernilai real dari suatu peubah real b. Fungsi bernilai vektor dari suatu peubah real

(11)

c. Memberikan pertanyaan tentang fungsi bernilai real dengan dua peubah real

2. Kegiatan Inti

a. Menjelaskan pengertian fungsi dengan dua peubah

b. Menjelaskan daerah asal dan daerah asal alami dari suatu fungsi dengan dua peubah

c. Menggambarkan daerah asal alami dari suatu fungsi dengan dua peubah

d. Menentukan daerah hasil dari fungsi dua peubah e. Memberikan contoh fungsi dengan dua peubah f. Menjelaskan fungsi dengan tiga peubah

g. Memberikan contoh fungsi dengan tiga peubah 3. Kegiatan akhir

a. Menyimpulkan pengertian fungsi dengan dua peubah b. Menyimpulkan pengertian fungsi dengan tiga peubah

c. Mahasiswa diminta untuk menentukan daerah hasil dari suatu fungsi dua peubah

Pertemuan 2 ( 150 menit) 1. Kegiatan Awal

a. Mengingat kembali pengertian turunan

b. Mengingat kembali bagaimana menyelesaikan turunan pertama dari suatu fungsi dengan satu peubah

c. Mengingat kembali bagaimana menyelesaikan turunan kedua dari suatu fungsi dengan satu peubah

2. Kegiatan Inti

a. Menjelaskan pengertian suatu turunan parsial dari suatu fungsi dengan dua peubah

b. Mengingat kembali simbol turunan parsial

c. Memberikan contoh bagaimana menyelesaikan turunan parsial pertama dari suatu fungsi dengan dua peubah

(12)

d. Memberikan contoh bagamana menyelesaikan turunan parsial kedua dari suatu fungsi dengan dua peubah

e. Menjelaskan pengertian turunan parsial dari suatu fungsi dengan tiga peubah

f. Memberikan contoh bagaimana menyelesaikan turunan parsial pertama dari suatu fungsi tiga peubah

g. Memberikan contoh bagaimana menyelesaikan turunan parsial kedua dari suatu fungsi tiga peubah.

3. Kegiatan akhir

a. Menyimpulkan pengertian turunan parsial pertama dari suatu fungsi dua peubah dan tiga peubah

b. Mahasiswa diminta untuk menyelesaikan turunan parsial pertama dan kedua dari suatu fungsi dengan tiga peubah.

IV. Sumber Belajar

1. Edwin J. Purcell, et al. 2003. Kalkulus Jilid 1. Jakarta: Erlangga. 2. Edwin J. Purcell, et al. 2003. Kalkulus Jilid 2. Jakarta: Erlangga.

3. Robert Wrede, et al. 2006. Kalkulus Lanjut Edisi Kedua. Jakarta: Erlangga

V. Penilaian

a. Bagaimana daerah asal alami dari fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 + √𝑦 , tentukan nilai dari f (2,1); f(1,4); f(1/x, x4); f(2, -4)

b. Tentukan seluruh turunan parsial pertama dari setiap fungsi berikut. 1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦 )4 2) 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2− 𝑦2 𝑥𝑦 3) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑦sin 𝑥 4) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 _{− 𝑦}2 5) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥−𝑥𝑦 6) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑡𝑎𝑛−1 (4𝑥 − 7𝑦)

(13)

7) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 cos(𝑥2− 𝑦2) c. Buktikan bahwa

𝜕2𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑦+

𝜕2𝑓

𝜕𝑥 𝜕𝑦= 0 dengan fungsi dibawah ini: 1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2_𝑦3_{− 𝑥}3_𝑦5

2) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑒2𝑥 cos 𝑦

d. Volume V dari suatu silinder lingkaran tegak dinyatakan dengan V = 𝜋r2_{h , dimana r adalah jari-jarinya dan h adalah tingginya. Jika h} dipertahankan tetap pada h = 10 inci. Tentukan laju perubahan v terhadap r ketika r = 6 inci

Pringsewu, Agustus 2013

(14)

SKS : 3 SKS

Pokok Bahasan : Turunan dalam Ruang Berdimensi n Sub Pokok Bahasan : a. Turunan Berarah dan gradien Alokasi Waktu : 3 x 50 menit ( 1 pertemuan) Pertemuan : 5

1. memahami definisi turunan berarah

2. memahami hubungan turunan berarah dengan gradien 3. menyelesaikan turunan berarah dari suatu fungsi dua peubah

4. menyelesaikan turunan berarah dari suatu fungsi dengan tiga peubah II. Metode Pembelajaran

3. Pemberian tugas

1. Kegiatan Awal

a. Mengingat kembali turunan parsial yang digunakan untuk mengukur laju perubahan dan kemiringan pada arah sejajar sumbu x dan y b. Menyampaikan bahwa dalam materi kali ini tujuan yang ingin dicapai

adalah mempelajari laju perubahan f pada sebarang arah. c. Mengingat kembali vektor

2. Kegiatan Inti

a. Menjelaskan pengertian turunan berarah

b. Menjelaskan hubungan antara turunan berarah dengan gradien c. Memberikan contoh bagai mana menyelesaikan turunan berarah dari

(15)

d. Memberikan contoh bagaimana menyelesaikan turunan berarah dari suatu fungsi dengan tiga peubah

e. Mahasiswa menyelesaikan turunan berarah dari fungsi dengan dua peubah

f. Mahasiswa menyelesaikan turunan berarah dari fungsi dengan tiga peubah

3. Kegiatan akhir

a. Menyimpulkan hubungan turunan berarah dengan suatu gradien b. Meminta siswa menyelesaikan tugas

Erlangga V. Penilaian

a. Tentukan turunan berarah dari f di titik p pada arah a 1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦; 𝑝 = (1,2); 𝑎 = 3𝑖 − 4𝑗

2) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2+ 𝑥𝑦 − 𝑦2; 𝑝 = (3, −2); 𝑎 = 𝑖 − 𝑗 3) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒2_{sin 𝑦 ; 𝑝 = (0,}𝜋

4) ; 𝑎 = 𝑖 + √3𝑗

4) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3𝑦 − 𝑦2𝑧2; 𝑝 = (−2, 1, 3); 𝑎 = 𝑖 − 2𝑗 + 2𝑘

b. Kearah manakah vektor u dimana 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 menurun paling cepat di p = (-1, 2)?

c. Tentukan vektor satuan pada arah dimana f meningkat paling cepat di p. Berapakah laju perubahan pada arah tersebut.

1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3_{− 𝑦}5_{; 𝒑 = (2, −1)} 2) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3𝑦𝑧; 𝒑 = (1, −1, 2 )

(16)

d. Kearah manakah vektor u dimana 𝑓(𝑥, 𝑦) = sin(3𝑥 − 𝑦) menurun paling cepat di p = (𝜋

6, 𝜋 4)

e. Tentukan turunan berarah dari 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑧2 𝑑𝑖 (1,1,1) 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑎𝑟𝑎ℎ 𝑘𝑒 (5, −3, 3)

f. Tentukan gradien dari 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = sin √𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 𝑧}2_{. Tunjukkan} bahwa gradiennya tepat mengarah langsung ke titik asal atau tepat menjauh titik asal.

(17)

SKS : 3 SKS

Pokok Bahasan : Turunan dalam Ruang Berdimensi n Sub Pokok Bahasan : a. Aturan Rantai

Alokasi Waktu : 3 x 50 menit ( 1 pertemuan) Pertemuan : 6

1. Memahami teorema aturan rantai 2. Membuktikan teorema aturan ranta

3. Menyelesaikan aturan rantai dengan kasus dua peubah 4. Menyelesaikan aturan rantai dengan kasus tiga peubah II. Metode Pembelajaran

3. Pemberian tugas

1. Kegiatan Awal

a. Mengingat kembali aturan rantai pada fungsi komposit dengan satu peubah

b. Mahasiswa diminta untuk menyelesaikan aturan rantai pada fungsi komposit dengan satu peubah

2. Kegiatan Inti

a. Menjelaskan teorema aturan rantai b. Membuktikan teorema aturan rantai

c. Memberikan contoh bagaimana menyelesaikan aturan rantai dengan menggunakan teorema yang telah dijelaskan sebelumnya

(18)

d. Menyelesaikan masalah matematika dalam kehidupan nyata dengan menggunakan aturan rantai

e. Mahasiswa menyelesaikan aturan rantai dari suatu fungsi dengan dua peubah

f. Mahasiswa menyelesaikan maslah matematika yang berkaitan dengan kehidupan nyata dengan menggunakan aturan rantai

3. Kegiatan akhir

a. Menyimpulkan teorema aturan rantai

b. Mahasiswa diminta menyelesaikan soal-soal terkait dengan penggunaan aturan rantai

a. Andaikan 𝑧 = 𝑥3_{𝑦, dimana 𝑥 = 2𝑡 dan 𝑦 = 𝑡}3_{. tentukan 𝑑𝑧/𝑑𝑡} b. Ketika sebuah silinder lingkaran tegak yang padat dipanaskan, jari-jari

r dan tingginya h akan meningkat, sehingga luas permukaannya S juga meningkat. Andaikan pada waktu sesaat ketika r = 10 cm, dan h = 100 cm, r meningkat 0,2 cm per jam dan h meningkat 0,5 cm per jam. Seberapa cepatkah peningkatan S pada waktu tersebut?

c. Andaikan 𝑤 = 𝑥2𝑦 + 𝑦 + 𝑥𝑧. Dimana 𝑥 = cos 𝜃, 𝑦 = sin 𝜃, 𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 𝜃2_{tentukan 𝑑𝑤/𝑑𝜃 , dan hitunglah nilai tersebut di 𝜃 = 𝜋/3}

d. Jika 𝑧 = 3𝑥2 _{− 𝑦}2_{, dimana 𝑥 = 2𝑠 + 7𝑡 dan 𝑦 = 5𝑠𝑡 tentukan 𝜕𝑧/𝜕𝑡} dan nyatakan dalam s dan t

e. Jika 𝑤 = 𝑥2 + 𝑦2+ 𝑧2+ 𝑥𝑦, dimana 𝑥 = 𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑠 − 𝑡, 𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 𝑠 + 2𝑡 tentukan 𝜕𝑤/𝜕𝑡

(19)

f. Bagian dri sebuah pohon yang biasanya digergaji adalah dipotong adalah bagian yang berbentuk seperti silinder tegak. Jika bagian ini tumbuh ½ inci pertahun dan tingginya bertambah 8 inci per tahun, seberapa cepatkah volume pertumbuhannya ketika jari-jarinya 20 inci dan tingginya 400 inci? Nyatakan jawaban anda dalam board feet per tahun (1 boar feet = 1 inci x 12 inci x 12 inci)

(20)

SKS : 3 SKS

Pokok Bahasan : Turunan dalam Ruang Berdimensi n Sub Pokok Bahasan : a. Maksimum dan Minimum

1. Memahami definisi nilai maksimum, nilai minimum, dan nilai ekstrim global dari suatu fungsi

2. Menentukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi dengan dua peubah

3. Menentukan nilai ekstrim dari suatu fungsi dengan dua peubah 4. Menentukan jarak terpendek antara titik asal dengan suatu bidang

3. Pemberian tugas

1. Kegiatan Awal

a. Mengingat kembali nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi dengan satu peubah yang telah dipelajari pada kalkulus 1

b. Mengingat kembali dimana nilai ekstrim terjadi pada fungsi dengan satu peubah

2. Kegiatan Inti

a. Menjelaskan definisi nilai maksimu, nilai minimum dan nilai ekstrim global dari fungsi dengan beberapa peubah

(21)

b. Menjelaskan dimana nilai ekstrim terjadi pada fungsi dengan beberapa peubah

c. Memberikan contoh bagaimana menentukan nilai minimum, maksimum pada fungsi dengan dua peubah

d. Memberikan contoh bagaimana menentukan nilai maksimum, nilai minimum lokal dari suatu fungsi dengan dua peubah

e. Memberikan contoh bagaimana menentukan titik ekstrim dari suatu fungsi dengan dua peubah

f. Mahasiswa menentukan nilai maksimum, minimum, lokal dari fungsi dengan dua peubah

g. Mahasiswa menentukan titik ekstrim dari suatu fungsi dengan dua peubah

3. Kegiatan akhir

a. Menyimpulkan bagaimana menentukan nilai maksimum, minimum, dan nilai ekstrim global pada suatu fungsi dengan dua peubah b. Mahasiswa diminta untuk menyelesaikan tugas terkait dengan nilai

maksimum, minimum dan ekstrim global pada fungsi dengan dua peubah.

Erlangga

V. Penilaian

a. Tentukan nilai maksimum atau minimum dari 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2_{− 2𝑥 +} 𝑦2

(22)

b. Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal untuk 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥2

𝑎2 +

𝑦2 𝑏2

c. Tentukan titik ekstrim jika ada dari F yang didefinisikan dengan 𝐹(𝑥, 𝑦) = 3𝑥3_{+ 𝑦}2_{− 9𝑥 + 4𝑦}

d. Tentukan jarak minimum antara titik asal dan permukaan 𝑧2 = 𝑥2𝑦 + 4

e. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 + 𝑥2_{+ 𝑦}2

pada himpunan tertutup 𝑆 = {(𝑥, 𝑦); 𝑥2+ 1 4𝑦

2 _{≤ 1}}

f. Tentukan nilai maksimum dan minimum global dari 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 4𝑦 pada himpunan tertutup 𝑆 = {(𝑥, 𝑦); 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, −1 ≤ 𝑦 ≤ 1 } g. Tentukan nilai maksimum dan minimum global dari 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2+

𝑦2+ 1pada himpunan tertutup 𝑆 = {(𝑥, 𝑦); 𝑥2+ 𝑦2 ≤ 1 }

h. Tentukan seluruh titik kritis, nyatakan apakah seluruh titik tersebut memberikan nilai maksimum lokal atau minimum lokal atau merupakan titik pelana.

1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 +2 𝑥+

4 𝑦

2) 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos 𝑥 + cos 𝑦 + cos(𝑥 + 𝑦); 0 < 𝑥 ≤𝜋

2, 0 < 𝑦 < 𝜋 2

(23)

SKS : 3 SKS

Pokok Bahasan : Turunan dalam Ruang Berdimensi n Sub Pokok Bahasan : a. Metode Lagrange

1. Memahami teorema metode lagrange

2. Menggunakan metode lagrange untuk menentukan linai maksimum dan minimum dari suatu fungsi f .

3. Pemberian tugas

1. Kegiatan Awal

a. Mengingat kembali nilai maksimum dan nilai minimum yang telah dibahas pada pertemuan sebelumnya.

2. Kegiatan Inti

a. Menjelaskan teorema lagrange dalam mencari nilai maksimum dan nilai minimum dari suatu fungsi yang dikenai kendala

b. Memberikan contoh bagaimana menentukan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi dengan dua peubah dengan menggunakan metode lagrange

c. Memberikan contoh bagaimana menentukan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi tiga peubah yang dikenai suatu kendala dengan menggunakan metode lagrange

(24)

d. Mahasiswa menentukan nilai maksimum atau minimum dengan menggunakan metode lagrange

3. Kegiatan akhir

a. Menyimpulkan bagaimana menentukan nilai maksimum, minimum, dengan menggunakan metode lagrange

b. Mahasiswa diminta untuk menyelesaikan tugas terkait dengan nilai maksimum, minimum dengan menggunakan metode lagrange. IV. Sumber Belajar

a. Gunakan metode lagrange untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2_{− 𝑥}2_{pada elips}𝑥2

4 + 𝑦 2 _{= 1}

b. Tentukan nilai minimum 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 5 yang dikenai kendala

𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 9𝑥2_{+ 4𝑦}2_{− 𝑧 = 0}

(25)

SKS : 3 SKS

Pokok Bahasan : Integral dalam Ruang Berdimensi n Sub Pokok Bahasan : a. Integral Lipat Dua Atas Persegi Panjang Alokasi Waktu : 3 x 50 menit ( 1 pertemuan)

Pertemuan : 10

1. Memahami definisi integral lipat dua 2. Memahami sifat-sifat integral lipat dua

3. Menyelesaikan integral lipat dua dari suatu fungsi tangga

4. Menyelesaikan integral lipat dua dengan menggunakan sifat-sifat integral lipat dua

5. Menyelesaikan integral berulang atas daerah persegi panjang 6. Menyelesaikan integral lipat dua atas daerah bukan persegi panjang II. Metode Pembelajaran

3. Pemberian tugas

1. Kegiatan Awal

a. Mengingat kembali integral tunggal yang telah dipelajari pada kalkulus 2

b. Mengingat kembali integral lipat satu dari suatu fungsi dengan satu peubah

2. Kegiatan Inti

(26)

b. Menjelaskan sifat –sifat integral lipat dua

c. Menjelaskan bagaimana menyelesaikan integral lipat dua dari suatu fungsi tangga

d. Menjelaskan bagaimana menyelesaikan integral lipat dua dengan menggunakan sifat-sifat integral lipat dua

e. Menjelaskan bagaimana menyelesaikan integral berulang atas daerah persegipanjang

f. Menjelaskan bagaimana menyelesaikan integral berulang atas daerah bukan persegipanjang

3. Kegiatan akhir

a. Menyimpulkan definisi integral lipat dua dikaitkan dengan integral lipat satu

b. Mahasiswa diminta untuk menyelesaikan tugas terkait dengan integral lipat dua dan integral berulang

a. Misalkan f adalah fungsi tangga yaitu 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 1 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 2 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2 3 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 2 ≤ 𝑦 ≤ 3 Hitunglah ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴_𝑅 dimana 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 0 ≤ 𝑦 ≤ 3} b. Hampirilah ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴_𝑅 , dimana 𝑓(𝑥, 𝑦) =64−8𝑥+𝑦2 16 dan 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 4, 0 ≤ 𝑦 ≤ 8}

(27)

c. Hitunglah integral berulang berikut ∫ ∫ 𝑥₀2 ₁3 2𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥

d. Hitunglah integral berulang berikut ∫ ∫ 𝑥 sin 𝑦₀𝜋 ₀1 𝑑𝑥𝑑𝑦

e. Hitunglah integral berulang berikut ∫ ∫ 2𝑥√𝑥1 2 _{+ 𝑦}

0 𝑑𝑥𝑑𝑦

3 0

f. Hitunglah integral berulang berikut ∫₀𝑙𝑛3∫ 𝑥𝑦𝑒₀1 𝑥𝑦2𝑑𝑦𝑑𝑥 g. Gunakan integral lipat dua untuk menentukan volume dari

tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 3x + 6y + 4z – 12 = 0

h. Hitunglah integral berulang berikut: 1) ∫_1/21 ∫₀2𝑥cos (𝜋𝑥2)𝑑𝑦 𝑑𝑥 2) ∫ ∫2𝑦xey3 −𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 3 1 3) ∫₀𝜋/9∫_𝜋/43𝑟 sec2θ𝑑𝜃 𝑑𝑟 Pringsewu, Agustus 2013

(28)

SKS : 3 SKS

Pokok Bahasan : Integral dalam Ruang Berdimensi n

Sub Pokok Bahasan : a. Integral Lipat Dua dalam koordinat kutub Alokasi Waktu : 3 x 50 menit ( 1 pertemuan)

1. Menyelesaikan integral lipat dua dalam koordinat kutub

2. Menghitung volume benda padat dengan menggunakan integral lipat dua

3. Pemberian tugas

1. Kegiatan Awal

a. Mengingat kembali koordinat kutub

b. Mengingat kembali bagaimana menentukan koorditanat titik dalam suatu koordinat kutub

c. Mengingat kembali persamaan garis, lingkaran, dan irisan kerucut dalam koordinat kutub

2. Kegiatan Inti

a. Menjelaskan integral lipat dua dalam koordinat kutub dengan menggunakan partisi-partisi

b. Menjelaskan bagaimana menyelesaikan integral lipat dua dalam koordinat kutub

(29)

c. Menjelaskan bagaimana menghitung volume benda padat di atas persegipanjang kutub

d. Mahasiswa menyelesiakan integral lipat dua dalam koordinat kutub e. Mahasiswa menghitung volume benda padat di atas persegipanjang

kutub 3. Kegiatan akhir

a. Mahasiswa diminta untuk menyelesaikan tugas terkait dengan integral lipat dua dalam koordinat kutub

a. Hitunglah integral berulang berikut: 1) ∫₀𝜋/2∫₀cos 𝜃r2sin θ𝑑𝑟 𝑑𝜃

2) ∫ ∫₀𝜋 ₀sin 𝜃r2𝑑𝑟 𝑑𝜃

3) ∫₀𝜋/2∫₀sin 𝜃r𝑑𝑟 𝑑𝜃

4) ∫ ∫₀𝜋 ₀1−cos 𝜃r sin θ𝑑𝑟 𝑑𝜃

(30)

SKS : 3 SKS

Pokok Bahasan : Integral dalam Ruang Berdimensi n Sub Pokok Bahasan : a. Penerapan Integral Lipat Dua Alokasi Waktu : 3 x 50 menit ( 1 pertemuan) Pertemuan : 12

1. Menggunakan integral lipat dua untuk menentukan massa lamina 2. Menggunakan integral lipat dua untuk menentukan pusat massa lamina 3. Menggunakan integral lipat dua untuk menentukan momen inersia II. Metode Pembelajaran

3. Pemberian tugas

1. Kegiatan Awal

a. Mengingat kembali integral lipat dua

b. Memberikan pertanyaan kepada mahasiswa tentang massa, pusat massa, momen inersia, dan jari-jari perputaran

c. Memberikan penjelasan kepada siswa bahwa dalam sub bab ini akan dipelajari bagaimana menghitung massa, pusat massa, momen inersia, dan jari-jari perputaran dengan menggunakan integral lipat dua 2. Kegiatan Inti

a. Menjelaskan bagaimana menghitung massa total dari suatu lamina b. Menjelaskan bagaimana menghitung pusat massa dari suatu lamina c. Menjelaskan pengertian momen inersia

(31)

d. Menjelaskan bagaimana menghitung momen inersia dari suatu lamina e. Mahasiswa menghitung massa dan pusat massa dari suatu lamina

dengan menggunakan integral lipat dua

f. Mahasiswa menghitung momen inersia dari suatu lamina dengan menggunakan integral lipat dua

3. Kegiatan akhir

a. Mahasiswa diminta untuk menyelesaikan tugas terkait dengan massa, pusat massa, momen inersia dari suatu lamina dengan menggunakan integral lipat dua

1) Sebuah lamina dengan kerapatan 𝛿(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 dibatasi oleh sumbu x, garis x = 8 dan kurva y = x2/3 _{. tentukan massa totalnya, pusat}

massanya, dan momen inersianya

(32)

SKS : 3 SKS

Pokok Bahasan : Integral dalam Ruang Berdimensi n Sub Pokok Bahasan : a. Integral Lipat Tiga (koordinat cartesius) Alokasi Waktu : 3 x 50 menit ( 1 pertemuan)

1. Menyelesaikan integral lipat tiga

2. Menentukan massa dan pusat massa dengan menggunkan integral lipat tiga

3. Pemberian tugas

1. Kegiatan Awal

a. Mengingat kembali koordinat kartesius b. Mengingat kembali integral lipat dua

c. Mengingat kembali definisi integral lipat dua dengan menggunakan partisi-partisi

2. Kegiatan Inti

a. Menjelaskan integral lipat tiga dengan menggunakan partisi-partisi b. Menjelaskan bagaimana menyelesaikan integral lipat tiga dari suatu

fungsi dengan tiga peubah

c. Menjelaskan bagaimana menghitung massa, pusat massa

d. Mahasiswa menyelesaikan integral lipat tiga pada fungsi dengan tiga peubah

(33)

e. Mahasiswa menghitung massa, dan pust massa 3. Kegiatan akhir

a. Mahasiswa diminta untuk menyelesaikan tugas terkait integral lipat tiga pada suatu fungsi dengan tiga peubah

Erlangga

V. Penilaian

1) Hitunglah ∭ 𝑥_𝐵 2𝑦𝑧 𝑑𝑉, dimana B adalah kotak 𝐵 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 1 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 2}

2) Hitunglah integral berikut ∫₀𝜋/2∫ ∫ sin(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧₀𝑧 ₀𝑦

3) Hitunglah integral lipat tiga dari 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑦𝑧 atas daerah padat S yang dibatasi oleh silinder parabolik 𝑧 = 2 − 1

2𝑥

2_{dan bidang z = 0, y}

(34)

SILABUS

MATA KULIAH : KALKULUS LANJUT

SKS : 3 SKS

PEROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA

Standar Kompetensi: 1. Mahasiswa dapat memahami persamaan irisan kerucut dan koordinat kutub

NO.

MATERI PERKULIAHAN

TUJUAN KHUSUS PEMBELAJARAN SUB POKOK BAHASAN POKOK BAHASAN

1. Irisan kerucut Irisan kerucut dan koordinat kutub

1. Memahami jenis-jenis irisan kerucut

2. Memahami persamaan standar dari suatu parabola 3. Memahami persamaan standar dari suatu elips 4. Memahami persamaan standar dari suatu hiperbola 2. Koordinat kutub Irisan kerucut dan koordinat

kutub

1. Memahami bagaimana menggambar grafik koordinat kutub 2. Menggambarkan persamaan kutub ke dalam grafik koordinat

kutub

3. Memahami hubungan koordinat kutub dengan koordinat kartesius

(35)

4. Mengubah persamaan kutub kedalam persamaan kartesius kartesius

5. Mengubah persamaan kartesius menjadi persamaan kutub 6. Memahami persamaan kutub untuk garis

7. Memahami persamaan kutub untuk lingkaran 8. Memahami persamaan kutub untuk irisan kerucut

Standar Kompetensi: 2. Mahasiswa dapat memahami turunan dalam ruang berdimensi n serta aplikasinya

NO.

1. Fungsi dengan dua peubah atau lebih

Turunan dalam ruang berdimensi n

1. Memahami fungsi bernilai real dengan dua peubah real 2. Menentukan daerah asal dari suatu fungsi dua peubah 3. Menentukan daerah asal alami dari suatu fungsi dua peubah 4. Menentukan daerah hasil dari suatu fungsi dua peubah 5. Menggambarkan sketsa grafik fungsi dua peubah

(36)

2. Turunan parsial Turunan dalam ruang berdimensi n

1. Memahami pengertian turunan parsial dari fungsi dengan dua peubah

2. Menyelesaikan turunan parsial dari fungsi dengan dua peubah 3. Menyelesaikan turunan parsial yang lebih tinggi dari fungsi

dengan dua peubah

4. Menyelesaikan turunan parsial dari fungsi dengan tiga peubah 5. Menyelesaikan turunan parsial yang lebih tinggi dari fungsi

dengan tiga peubah

3. Turunan berarah dan gradien Turunan dalam ruang berdimensi n

1. memahami definisi turunan berarah

2. memahami hubungan turunan berarah dengan gradien 3. menyelesaikan turunan berarah dari suatu fungsi dua peubah 4. menyelesaikan turunan berarah dari suatu fungsi dengan tiga

peubah

4. Aturan rantai Turunan dalam ruang

berdimensi n

1. Memahami teorema aturan rantai 2. Membuktikan teorema aturan ranta

3. Menyelesaikan aturan rantai dengan kasus dua peubah 4. Menyelesaikan aturan rantai dengan kasus tiga peubah

(37)

5. Maksimum dan minimun Turunan dalam ruang berdimensi n

1. Memahami definisi nilai maksimum, nilai minimum, dan nilai ekstrim global dari suatu fungsi

2. Menentukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi dengan dua peubah

3. Menentukan nilai ekstrim dari suatu fungsi dengan dua peubah 4. Menentukan jarak terpendek antara titik asal dengan suatu

bidang

6. Metode lagrange Turunan dalam ruang berdimensi n

1. Memahami teorema metode lagrange

2. Menggunakan metode lagrange untuk menentukan linai maksimum dan minimum dari suatu fungsi f .

(38)

Standar Kompetensi: 3. Mahasiswa dapat memahami integral dalam ruang berdimensi n serta aplikasinya

NO.

1. Integral lipat dua atas persegi panjang

Integral dalam ruang berdimensi n

1. Memahami definisi integral lipat dua 2. Memahami sifat-sifat integral lipat dua

3. Menyelesaikan integral lipat dua dari suatu fungsi tangga 4. Menyelesaikan integral lipat dua dengan menggunakan

sifat-sifat integral lipat dua

5. Menyelesaikan integral berulang atas daerah persegi panjang 6. Menyelesaikan integral lipat dua atas daerah bukan persegi

panjang

2. Integral lipat dua dalam koordinat kutub

1. Menyelesaikan integral lipat dua dengan menggunakan koordinat kutub

2. Menghitung volume benda padat dengan menggunakan integral lipat dua

(39)

berdimensi n lamina

2. Menggunakan integral lipat dua untuk menentukan pusat massa lamina

3. Menggunakan integral lipat dua untuk menentukan momen inersia

4. Luas Permukaan Integral dalam ruang berdimensi n

1. Menggunakan integral lipat dua untuk menentukan luas suatu bidang

5. Integral lipat tiga (koordinat Cartesius)

1. Menyelesaikan integral lipat tiga

2. Menentukan massa dan pusat massa dengan menggunkan integral lipat tiga

Studi P.Matematika,

Dra. Naning Sutriningsih, M.Pd. Siti Khoiriyah, M.Pd.